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中考数学几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理
一、填空题
1．如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2 ，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形
BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为，当点D运动到
点H，此时线段BE的长为．
【答案】
【分析】由“SAS”可得△ABD≌△CBE，推出AD=EC，可得结论，再由勾股定理求解 当 重合
时， 从而可得答案.
【详解】解：如图，连接EC．
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
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∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=EC，
∵点D从点A运动到点H，
∴点E的运动路径的长为 ，
当 重合，而 （即 ）为等边三角形，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确
寻找全等三角形解决问题．
2．如图，正方形 的边长为4， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连接 ，以
为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为．
【答案】
【分析】由题意分析可知，点 为主动点， 为从动点，所以以点 为旋转中心构造全等关系，得到点
的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得 最小值．
【详解】由题意可知，点 是主动点，点 是从动点，点 在线段上运动，点 也一定在直线轨迹上运动
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将 绕点 旋转 ，使 与 重合，得到 ，
从而可知 为等边三角形，点 在垂直于 的直线 上，
作 ，则 即为 的最小值，
作 ，可知四边形 为矩形，
则 .
故答案为 ．
【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点 的运动轨
迹，是本题的关键．
3．如图，等边 中， ，O是 上一点，且 ，点M为 边上一动点，连接 ，将
线段 绕点O按逆时针方向旋转 至 ，连接 ，则 周长的最小值为．
【答案】 /
【分析】过点N作 于点D，过点O作 于点H，则 ，证明
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，可得 ，从而得到点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线 平行，在 的
左侧，与 的距离是 ，作点C关于该直线的对称点E，连接 交该直线于N， 即当点B，N，E三点共
线时， 的周长最小，连接 交该直线于G，则 ， ，求出 ，即可
求解．
【详解】解：如图，过点N作 于点D，过点O作 于点H，则 ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
根据题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线 平行，在 的左侧，与 的距离是 ，
作点C关于该直线的对称点E，连接 交该直线于N，
即当点B，N，E三点共线时， 的周长最小，连接 交该直线于G，则 ，
，
∴ ，
∴△ACN的周长的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添
加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．如图，正方形 的边长为 ，点 是 边上的一动点，连接 ，将 绕点 顺时针方旋转
后得到 ，连接 ，则点 在整个运动过程中，线段 所扫过的图形面积为．
【答案】
【分析】根据题意画出点 在 上移动的过程，线段 所扫过的面积就是 的面积，根据正方形的
性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出线段 所扫过的图形面积
，再根据等边三角形，等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：如图，当点 在点 时，相应的点 落在点 ，当点 移动到点 时，相应的点 在点 ，
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扫过的面积就是 的面积，
由题意可知， 、 都是等边三角形，
， ，
四边形 是正方形， 是等边三角形，
， ，
，
，
， ，
，
， ，
≌ ，
， ，
，
即 是等腰直角三角形，
线段 所扫过的图形面积
，
故答案为： ．
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【点睛】本题考查正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形、等
边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．
5．如图，点D是等边 边 上的一动点(不与端点重合)，点D绕点C引顺时针方向旋转 得点E，
所得的 边 与 交于点F，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】由旋转的性质得 为等边三角形，由 得到 ，即 ，从而得
到当 最小时，比值最小，再由“垂线段最短”得到当 时， 值最小，作出对应图形，利用
“ 是含 角的直角三角形”求出 ，从而得解．
【详解】解：由旋转的性质得： ， ，
为等边三角形，
，
∵ ，
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，即
为定值，
当 最小时，比值最小．
根据“垂线段最短”可知：当 时， 值最小，
过点C作 于D，并补全图形如下：
是等边三角形， ，
∴
设 ，则
∴ ，
∴此时 ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查图形的旋转变化与性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，含
角的直角三角形的性质，垂线段最短，理解“垂线段最短”和利用相似三角形的性质将 转化为 是
解题的关键．
6．如图，在 中， ， ， ，点D是边 上的一动点，连接 ，将线
段 绕点A按逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 长度的最小值是．
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【答案】 /
【分析】过点A作 于点F，在 上取点N，使 ，连接 ，过点N作点
于点M，证明 ，求出 ，得出当 最小时， 最小，根据垂线段最短，得出
当点D与点M重合时， 最小，则 最小，求出最小结果即可．
【详解】解：过点A作 于点F，在 上取点N，使 ，连接 ，过点N作点
于点M，如图所示：
根据旋转可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最小时， 最小，
∵垂线段最短，
∴当点D与点M重合时， 最小，则 最小，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的
性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明 ．
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7．如图，点A的坐标为 ，点B是x轴正半轴上的一点，将线段 绕点A按逆时针方向旋转 得
到线段 ．若点C的坐标为 ，则k的值为 ．
【答案】
【分析】连接 ，过A点作 轴于F，C作 轴于点D， 于点E，则四边形 是矩
形，根据将线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到线段 ，可得 是等边三角形， ，
由点A的坐标为 ， ，有 ，而
， ，根据 ，可
得 ，解方程可得答案．
【详解】解：连接 ，过A点作 轴于F，C作 轴于点D， 于点E，则四边形
是矩形，如图：
∵将线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到线段 ，
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∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵点A的坐标为 ， ，，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
化简变形得： ，
解得 （舍去）或 ，
∴ 或 （不符合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
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故答案为： ．
【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含k的代数式表示相关
线段的长度．
8．如图，在边长为 的等边 中，直线 ， 是 上的一个动点连接 ，将线段 绕点
逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，则点 运动过程中， 的最小值是．
【答案】
【分析】取线段 的中点 ，连接 ，根据等边三角形的性质可得出 以及 ，由
旋转的性质可得出 ，由此即可利用全等三角形的判定定理 证出 ≌ ，进而即可得
出 ，再根据点 为 的中点，即可得出 的最小值，此题得解．
【详解】解：取线段 的中点 ，连接 ，如图所示．
为等边三角形， ，且 为 的对称轴，
， ，
，
．
≌ ，
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．
当 时， 最小，
点 为 的中点，
此时 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性
质找出 ．
9．如图，在 中， ，点 在 边上， ， ，点 是边 所在直线上的一动
点，连接 ，将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为．
【答案】
【分析】当E与点C重合时，点F与等边三角形CDG的点G重合，当点F开始运动时，△ECD≌△FGD，故点
F在线段GF上运动，根据垂线段最短原理，当BF⊥GF时，BF有最小值，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】当E与点C重合时，点F与等边三角形CDG的点G重合，
∵ 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠GDC=∠FDE=60°，ED=FD，
∴∠GDC-∠GDE=∠FDE-∠GDE，
∴∠EDC=∠FDG，
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∵△DEF是等边三角形，
∴CD=GD，
∴△ECD≌△FGD，
∴EC=GF，∠ECD=∠FGD=90°，
∴点F在线段GF上运动，根据垂线段最短原理，当BF⊥GF时，BF有最小值，如图，当旋转到BF∥DG时,
BF⊥GF，垂足为F，过点D作DH⊥BF，垂足为H，
∵∠FGD=90°，
∴四边形FGDH是矩形，
∴∠GDH=90°，GD=FH=2，
∵∠GDC=60°，
∴∠BDH=30°，
∵BD=BC-CD=5-2=3，
∴BH= ，
∴BF=FH+BH=2+ = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟
练掌握等边三角形的判定，灵活运用直角的判定和直角三角形的性质是解题的关键．
10．如图，正方形 的边长为4，E为 上一点，且 ，F为 边上的一个动点，连接 ，将
烧点E顺时什旋转60°得到 ，连接 ，则 的最小值为．
【答案】
【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的
运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
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【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上
运动，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EBH为等边三角形，△EBF≌△EHG，
∴∠EHG=∠ABC=90°，HE=BE=1，∠BEH=60°，
∴点G在垂直于HE的直线HN上．
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
∴∠CEP=180°-60°-90°=30°，
∴CP= CE= ×(4-1)= ，
则CM=MP+CP= ，
即 的最小值为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，线段最值问题，全等三角形的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，
含30°角的直角三角形的性质，以及垂线段最短等知识，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而
判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的
类型．
11．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A，B的一动点，将△ACD绕点C逆时针旋转
60°得△BCE，则旋转过程中△BDE周长的最小值
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【答案】2 +4．
【分析】由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到
△DBE
DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论．
【详解】∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE=60°，DC=EC，
∴△CDE是等边三角形，
由旋转的性质得，BE=AD，
∴C =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，
△DBE
∵△CDE是等边三角形，
∴DE=CD，
∴C =CD+4，
△DBE
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD=2 ，
∴△BDE的最小周长=CD+4=2 +4，
故答案为2 +4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，熟练掌握旋转的性质是
解题的关键．
12．如图，在 中， ， ，直线 ，E是AD上的一个动点，连接EC，将
线段EC绕点C按逆时针方向旋转 得到FC，连接DF，则点E运动过程中，DF的最小值是．
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【答案】2
【分析】根据题意取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及
∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，
进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值．
【详解】取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
， ，
为等边三角形，且AD为 的对称轴，
， ，
，
．
在 和 中，
，
≌ ，
．
当 时，EG最小，
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点G为AC的中点，
此时 ．
故答案为2．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性
质找出 本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是
关键．
13．如图，等边△AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当点P
到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，
点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．在点P从O向A运动的过程中，当△PCA为直角三角形时t的值为.
【答案】2或
【详解】如图（1）过点P作PD⊥OB于点D，过C作CE⊥OA于E，∴∠PDO=∠PEC=90°，
∵∠O=60°，∴∠OPD=30°，∴OD= t，∴BD=4- t，PD= t，
∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，
∴∠BPC=60°，BP=2PC，∵∠OPD=30°，
∴∠BPD+∠CPE=90°，∴∠DBP=∠CPE，
∴△PCE∽△BPD，
∴ ，
∴ ，
∴CE= t，PE=2- t，OE=2+ t，
如图（2）当∠PCA=90度时，作CF⊥PA，∴△PCF∽△ACF，∴△PCF∽△ACF，∴ ，
∴CF2=PF•AF，
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∵PF=2- t，AF=4-OF=2- t， CF= t，
∴（ t）2=（2- t）（=2- t），
∴t=2，这时P是OA的中点；
如图（3）当∠CAP=90°时，此时OA=OE，
∴2+ t=4，∴t= ，
故答案为2或 .
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，
旋转的性质等，正确地添加辅助线，求出OE的长是解题的关键.
二、解答题
14．在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足 ，C、D两点分别是y
轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；
（1）如图1，若C（0，4），求△ABC的面积；
（2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标；
（3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两
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点之间的距离．
【答案】（1）△ABC的面积为12；（2）D点的坐标为（-2，0）；（3）A，E两点之间的距离为
【分析】（1）利用完全平方式和绝对值的性质求出a，b，然后确定A、B两点坐标，从而利用三角形面积
公式求解即可；
（2）根据题意判断出 ，从而得到 ，然后利用勾股定理求出 ，及可求出结论；
（3）首先根据“双等边”模型推出 ，得到 ，进一步推出 ，
从而确定随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，再根据点到直线的最短距离为垂
线段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
由非负性可知， ，解得： ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由（1）知 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
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∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）由（2）可知CB=CA，
∵∠CBA=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BCA=60°，∠DBC=120°，
∵△CDE为等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA，
∴∠DCB=∠ECA，
在△DCB和△ECA中，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
即：随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，
∵要使得OE最短，
∴如图所示，当OE⊥PQ时，满足OE最短，此时∠OEA=90°，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当OE最短时，A，E两点之间的距离为 ．
【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等边三角形的判定与性质等，理
解平面直角坐标系中点坐标的特征，掌握等腰或等边三角形的性质，熟练使用全等三角形的判定与性质是
解题关键．
15．在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且 ＝4，将B 绕点B逆时针旋转a°
得到BE（0°＜a＜180°）．
(1)如图1，当∠EBA＝90°时，求SBCE；
△
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(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．
①求线段BF的取值范围；
②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；
(3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直接
写出BN的最大值与最小值．
【答案】(1)SBCE=6；
△
(2)①1＜BF＜5；②证明见解答；
(3)BN的最小值为 - ，BN的最大值为2 ．
【分析】（1）如图1，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，根据题意求得∠EBF=180°-∠EBA-
∠ABC=180°-90°-60°=30°，再根据特殊直角三角形的性质进而求得BC上的高EF=2，代入面积公式算
出结果；
（2）①如图，在线段FG上截取FK=BF，连接EK、CK，可证得四边形BCKE是平行四边形，得出：BE=CK=
=4，BC=6，再运用三角形三边关系即可求得答案；
②可证△EKB≌△BGA（AAS），得出BK=AG，由AG=AD-DG，即可推出结论；
（3）连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，可证△ABE是等腰直角三角形，得出：
AE= AB=4 ，再由点P是AE的中点，可得：BP⊥AE，且BP=AP=EP=2 ，利用勾股定理得BQ= ，
当B、Q、N三点共线时，BN的最小值=BQ-NQ= - ，当点S与点E重合时，EM=0，PN=0，此时，BN的
最大值=BP=2 ．
【详解】（1）解：如图1，过点E作EH⊥BC交CB的延长线于点H，
∴∠EHC=90°，
∵∠ABC=60°，∠EBA=90°，
∴∠EBH=180°-∠EBA-∠ABC=180°-90°-60°=30°，
∵点 在BC边上且 =4，将B 绕点B逆时针旋转α°得到BE，
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∴BE=B =4，
∴EH= BE= ×4=2，
又∵BC=6，
∴SBCE= BC•EH= ×6×2=6；
△
（2）解：①如图，在线段FG上截取FK=BF，连接EK、CK，
∵EF=FC，BF=FK，
∴四边形BCKE是平行四边形，
∴BE=CK= =4，BC=6，
在△BCK中，BC-CK＜BK＜BC+CK，
∴6-4＜BK＜6+4，
即2＜2BF＜10，
∴1＜BF＜5；
②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC=60°，AB=4，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°，AD BC，AD=BC，BE=AB，
∵∠EBF=120°，即∠EBK=120°，
∴∠EBK=∠A，
∵EK BC，
∴EK AD，
∴∠EKB=∠BGA，
在△EKB和△BGA中， ，
∴△EKB≌△BGA（AAS），
∴BK=AG，
由①知：BK=2BF，
又∵AG=AD-DG，
∴2BF=BC-DG；
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（3）解：连接AE，取AE的中点P，PA的中点Q，连接BP、NP、NQ、BQ，
∵∠ABE=90°，AB=BE=4，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE= AB=4 ，
∵点P是AE的中点，
∴BP⊥AE，且BP=AP=EP=2 ，
∵N是AM的中点，P是AE的中点，
∴PN是△AEM的中位线，
∴PN EM，
∴∠ANP=∠AME=90°，
∵点Q是AP的中点，
∴QN=PQ= AP= ，
在Rt△BPQ中，BQ= ，
当B、Q、N三点共线时，BN的最小值=BQ-NQ= - ，
当点S与点E重合时，EM=0，PN=0，
此时，BN的最大值=BP=2 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题．
16．如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），在AB上方分别以AC、BC为边
作正△ACD和正△BCE，连接AE，交CD于M，连接BD，交CE于N，AE、BD交于H，连接CH.
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(1)求sin∠AHC；
(2)连接DE，设AD＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式；
(3)把正△BCE绕C顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H到△DCE的三个顶点距离和最小，即
HC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长.若AC＝2 ，旋转过程中某一时刻2AH＝3DH，此
刻△ADH内有一点P，求PA+PD+PH的最小值.
【答案】(1) ；
(2)y＝ （0＜x＜10）；
(3)2 ．
【分析】（1）过点C作CT⊥AE于点T，CR⊥BD于点R，先证△ACE≌△DCB得∠CAM＝∠HDM，由直角三角
函数可得 ，从而得CH平分∠AHB，进而求得∠AHC＝∠BHC＝60°
即可求解；
（2）如图2中，如图，过点D作DP⊥CE于点P，先由三角函数求得CP＝ CD＝ x，DP＝ x，又由AB
＝10cm，得CE＝CB＝（10﹣x）cm，进而得PE＝|10﹣x﹣ x|＝|10﹣ x|，最后由勾股定理即可求得y与
x之间的函数关系式；
（3）如图3中，以AD为边向外作等边△ADW，连接WH，由题意WH是PA+PD+PH．过点D作DS⊥AH于H，过
点W作WG⊥AD于点G，过点H作HK⊥AD于K，过点W作WQ⊥HK于点Q．假设AH＝3k，DH＝2k，由勾股定理
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得AH＝6，DH＝4，DS=2 ，进而利用面积公式求得HK＝ ，利用勾股定理得DK＝ ，于是可得WQ
＝KG＝ ，GW＝KW＝ ，从而有HQ＝ ，利用勾股定理即可求得WH的长即PA+PD+PH的最小值．
【详解】（1）解：过点C作CT⊥AE于点T，CR⊥BD于点R．
∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAM＝∠HDM，
∵CT⊥AE，CR⊥BD，
∴ ，
∴CH平分∠AHB，
∵∠AMC＝∠DMH，
∴∠AHM＝∠ACM＝60°，
∴∠AHC＝∠BHC＝60°，
∴sin∠AHC＝ ；
（2）解：如图2中，如图，过点D作DP⊥CE于点P．
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∵AC＝CD＝x（cm），∠DCE＝60°，
∴CP＝ CD＝ x，DP＝ x，
∵AB＝10cm，
∴BC＝AB﹣AC＝（10﹣x）cm，
∴CE＝CB＝（10﹣x）cm，
∴PE＝|10﹣x﹣ x|＝|10﹣ x|，
∴y＝DE＝ ＝ ＝ （0＜x＜10）；
（3）解：如图3中，以AD为边向外作等边△ADW，连接WH，由题意WH是PA+PD+PH．过点D作DS⊥AH于
H，过点W作WG⊥AD于点G，过点H作HK⊥AD于K，过点W作WQ⊥HK于点Q．
∵2AH＝3DH，
∴可以假设AH＝3k，DH＝2k，
∵∠DHS＝60°，DS⊥AH，
∴SH＝ DH＝k，DS＝ k，AM＝2k，
∵AD2＝AS2+DS2，
∴（2 ）2＝（2k）2+（ k）2，
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∴k＝2（负根已经舍弃），
∴AH＝6，DH＝4，DS=2 ，
∵ •AH•DS＝ •AD•HK，
∴HK＝ ，DK＝ ＝ ＝ ，
∵AG＝DG＝ ，四边形WQKG是矩形，
∴WQ＝KG＝ ﹣ ＝ ，GW＝KW＝ ，
∴HQ＝KH+KQ＝ ，
∴WH＝ ＝ ＝2 ．
∴PA+PD+PH的最小值为2 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，添加常用辅助
线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键．
17．在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．
（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点 在等边 的边 上，过点 画 的平行线 ，在 上取
，连接 ，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明： ；
（2）初步尝试：如图2，在 中， ，点 在 边上，且 ，将 沿某条直线翻
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折，使得 与 重合，点 与 边上点 重合，再将 沿 所在直线翻折，得到 ，则
在图2中会产生一对旋转图形．若 ， ，连接 ，求 的面积；
（3）深入探究：如图3，在 中， ， ， ，点 是边 上的任意一点，
连接 ，将线段 绕点 按逆时针方向旋转75°，得到线段 ，连接 ，求线段 长度的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）3 −3
【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，可得AB＝AC，∠BAC＝∠B＝60°，进而利用SAS可证明
△ABD≌△ACE．
（2）如图2，过点E作EH⊥AD于H，由翻折可得△ACE≌△ABD≌△ACF，可得AE＝AD＝6，EH＝3，再运用
SADE＝ ×AD×EH，即可求得答案．
△
（3）如图3中，在AB上截取AN＝AC，连接DN，作NH⊥BC于H，作AM⊥BC于M．利用SAS证明
△EAC≌△DAN，推出当DN的值最小时，EC的值最小，求出HN的值即可解决问题．
【详解】（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠B＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）如图2，过点E作EH⊥AD于H，
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∵由翻折可得：△ACF≌△ABD，△ACE≌△ACF，
∴△ACE≌△ABD≌△ACF，
∴AE＝AD＝6，∠CAE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∵EH⊥AD，
∴EH＝ AE＝3，
∴SADE＝ ×AD×EH＝ ×6×3＝9；
△
（3）如图3中，在AB上截取AN＝AC，连接DN，作NH⊥BC于H，作AM⊥BC于M．
∵∠CAB＝∠DAE，
∴∠EAC＝∠DAN，
∵AE＝AD，AC＝AN，
∴△EAC≌△DAN（SAS），
∴CE＝DN，
∴当DN的值最小时，EC的值最小，
在Rt△ACM中，
∵∠ACM＝60°，AC＝6，
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∴ ,
∴ ,
∴AM＝ ＝3 ，
∵∠MAB＝∠BAC−∠CAM＝75°−30°＝45°，
∴ 为等腰直角三角形，
∴AB＝ 3 ，
∴NB＝AB−AN＝3 −6，
在Rt△NHB中，∵∠B＝45°，
∴ 为等腰直角三角形，
∴NH＝ =3 −3 ，
根据垂线段最短可知，当点D与H重合时，DN的值最小，
∴CE的最小值为3 −3 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等
知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，
属于中考压轴题．
18．（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到
线段AQ，连接BQ；
【发现】如图1如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若
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不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【应用】如图3，在△DEF中，DE＝6，∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，P是线段EF上的任意一点连接DP，将
线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ请求出线段EQ长度的最小值．
【答案】【发现】BQ＝ PC；【探究】BQ＝ PC仍然成立，证明见解析；【应用】线段EQ长度的最小值为
3．
【分析】[发现]先判断出∠BAQ＝∠CAP，进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP，即可得出结论；
[探究]结论BQ＝PC仍然成立，理由同【发现】的方法；
[应用]在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，构造出△DEQ≌△DHP，得出EQ＝
HP，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，EQ最小，求HM即可．
【详解】[发现]由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP，
故答案为：BQ＝PC；
【探究】结论：BQ＝PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP，
【应用】如图3，在DF上取一点H，使DH＝DE，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，
由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠PDQ＝∠EDF，
∴∠EDQ＝∠HDP，
∴△DEQ≌△DHP（SAS），
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∴EQ＝HP，
求EQ最小，就是求HP最小，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，最小值为HM，
∵∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°，
∵DE＝6，
∴DF＝2DE＝12，
∵DH＝DE=6，
∴FH＝6，
∵∠F＝30°，
∴HM=3．
线段EQ长度的最小值为3．
．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三
角形的性质，恰当的作辅助线，把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是
解本题的关键．
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