文档内容
第 3 讲 分类讨论思想
思想概述 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标
准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题
的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．
方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的
定义、不等式的转化、等比数列{a}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．
n
例1 (1)(2022·滁州质检)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两
点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为( )
A．x＝0
B．15x－8y－8＝0
C．3x－4y＋4＝0或x＝0
D．3x＋4y－4＝0或x＝0
思路分析 设直线方程→k存在，l：y＝kx＋1→圆心到直线l的距离d＝1求解→斜率不存在，
l：x＝0.
答案 D
解析 因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，
所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，
因为|AB|＝2，
所以圆心到直线的距离为d＝1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心(－1,3)到直线的距离为1，满足条件；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1，
圆心到直线l的距离为d＝，
所以＝1，解得k＝－，
此时直线方程为3x＋4y－4＝0，
综上，所求直线方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.
(2)已知数列{a}满足a＝－2，a＝2，a －2a＝1－(－1)n，则下列选项不正确的是( )
n 1 2 n＋2 n
A．{a }是等比数列 B.(a ＋2)＝－10
2n－1 2i－1
C．{a }是等比数列 D.＝52
2n i
思路分析 a －2a＝1－－1n→n为奇，{a }为等比数列；n为偶，{a }为等比数列
n＋2 n 2n－1 2n
答案 B解析 对于A，当n是奇数时，a －2a＝2，
n＋2 n
所以a ＋2＝2(a＋2)，
n＋2 n
又因为a＝－2，所以a＋2＝0，
1 1
所以当n是奇数时，a＋2＝0，即a＝－2，
n n
即{a }是以首项为－2，公比为1的等比数列，
2n－1
即选项A正确；
对于B，由A知，当n是奇数时，a＋2＝0，
n
所以(a ＋2)＝0，即选项B错误；
2i－1
对于C，当n为偶数时，a －2a＝0，
n＋2 n
即a ＝2a，又因为a＝2，所以＝2，
n＋2 n 2
所以{a }是以首项为2，公比为2的等比数列，
2n
故选项C正确；
对于D，
＝(a＋a＋a＋a＋a)＋(a＋a＋a＋a＋a )＝－10＋＝52，即选项D正确．
i 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10
批注 涉及数列中(－1)n的问题，一般需分奇偶讨论，当n为奇数时，首项是a ，a 是第个
1 n
奇数项；当n为偶数时，首项是a，a 是第个偶数项．
2 n
规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线
方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n需分奇偶两种情况，要注意分类讨论
要有理有据、不重不漏．
方法二 由图形位置或形状引起的讨论
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用
于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．
例2 设F ，F 为椭圆＋＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F ，F 是一个直
1 2 1 2
角三角形的三个顶点，且|PF|>|PF|，则＝________.
1 2
思路分析 求→找|PF|，|PF|适合的条件→讨论Rt△PFF 的直角顶点
1 2 1 2
答案 或2
解析 若∠PFF＝90°，
2 1
则|PF|2＝|PF|2＋|FF|2，
1 2 1 2
又|PF|＋|PF|＝6，|FF|＝2，
1 2 1 2
解得|PF|＝，|PF|＝，∴＝.
1 2
若∠FPF＝90°，则|FF|2＝|PF|2＋|PF|2，
1 2 1 2 1 2
∴|PF|2＋(6－|PF|)2＝20，
1 1
又|PF|>|PF|，
1 2
∴|PF|＝4，|PF|＝2，
1 2∴＝2.
综上可知，＝或2.
批注 P，F ，F 是一个直角三角形的三个顶点，并没有说明哪个点是直角顶点，所以需分
1 2
类讨论，仔细审题，理解题意是关键．
规律方法 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置
变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．
方法三 由参数变化引起的分类讨论
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，
如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做
到不重不漏，结论整合要周全．
例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)＝x＋(x>0)，若的最大值为，则正实数 a＝
________.
思路分析 令fx＝t→＝＝→利用函数y＝t＋的单调性求最值.
答案 1
解析 令t＝x＋(x>0)，则t≥2，
则＝＝，
令y＝t＋(a>0，t≥2)，
当04时，t＋≥2(当且仅当t＝时，等号成立)，
则0<≤，即的最大值为，
则＝，解得a＝(舍)，综上，所求正实数a＝1.
规律方法 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨
论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循
分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量
避免分类，杜绝无原则的分类讨论．
