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2024 年高考数学摸底考试卷
高三数学 参考答案
1．B 2．C 3．A 4．C 5．A 6．D
7．D 8．C 9．ACD 10．ABD 11．BC 12．BD
13．
14．
15． （ 中任意一个皆可以）
16．
17．【详解】（1）由 ，可知
两式相减得 ，
即 ，
∵ ，∴ ，
∵当 时， ，∴ （舍）或 ，
则 是首项为 ，公差 的等差数列，
∴ 的通项公式 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴数列 的前 项和.
18．【详解】（1）由正弦定理得 ，
又 ， ，
则 ，
化简得 ，
又 ，所以 ，则 ，
因为 ，
所以 ；
（2）由正弦定理得： ，
∴ ， ，
∴ ，
；
为锐角三角形，
∴ ，
解得： ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即△ABC的取值范围为 .
19．【详解】（1）因为 底面 ， 平面 ，
所以 ．
因为 ， ，所以 ．
所以 ，所以 ．
又因为 ， 平面PBC， 平面PBC，
所以 平面PBC．
又 平面EAC，
所以平面 平面PBC．
（2）解法一：
以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， ， ．
设点E的坐标为 ，因为 ，所以 ，
即 ， ， ，所以 ．所以 ， ．
设平面ACE的一个法向量为 ，则 ．
所以 ，取 ，则 ， ．
所以平面ACE的一个法向量为 ．
又因为 平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为 ．
设平面PAC与平面ACE的夹角为 ，
则 ．
所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为 ．
解法二：
取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所
示
的空间直角坐标系，则 ， ， ， ．
设点E的坐标为 ，因为 ，所以 ，即 ， ， ，所以 ．
所以 ， ．
设平面ACE的一个法向量为 ，则 ．
所以 ，取 ，则 ， ．
所以，平面ACE的一个法向量为 ．
又因为 平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为 ．
设平面PAC与平面ACE的夹角为 ，
则 ．
所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为
20．【详解】（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则
．
（2）X的可能取值为2，3，4
，
，
，X的分布列为；
X 2 3 4
P
数学期望 ．
（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为 ；
记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则 ；
因为 ，故小宇进决赛的可能性更大，
所以应选择小宇去参加比赛．
21．【详解】（1）定义域为 ， ，
由题意知 ，
解得 ， ；
（2） ，
则 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
因为 ， ，所以存在唯一 ，
使得 ，即 ，可得 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，当 时， ，此时函数 单调递减．
所以当 时， ，
因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
又因 ，所以 ，
即 ，因为 ， ，
所以当 时， ，
因为当 时， 恒成立，
所有 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点在于把恒成立问题通过分离参数转化为新函数的最值问题，转
化后利用导数判断出其定义域上的单调性求出值域或最值问题就解决了.
22．【详解】（1）双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
不妨设 ，
因为三角形 的面积为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 .
（2）双曲线 的方程为 ： ，所以右焦点 的坐标为 ，
依题意，设直线 与 轴交于点 ，直线 的方程为 ，设 ， ，则 ，
联立 ，得 ，
且 ，
化简得 且 ，
所以 ， ，
因为直线 的斜率存在，所以直线 的斜率也存在，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，所以 经过 轴上的定点 .
