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限时跟踪检测(二十八) 正、余弦定理
一、单项选择题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A． B．
C． D．
2．在钝角三角形ABC中，已知AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积是( )
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝4，S ＝2，则＝
△ABC
( )
A． B．2
C．2 D．2
4．(2024·湖南衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos
B(acos C＋ccos A)＝b，lg sin C＝lg 3－lg 2，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．(2024·河北保定模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acos
C，bcos B，ccos A成等差数列，若△ABC外接圆的半径为1，则b＝( )
A． B．2
C． D．
6．(2024·江西赣州联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
2acos A＝bcos C＋ccos B，且b＋c＝4，则a的最小值为( )
A．2 B．2
C．3 D．2
7．(2024·安徽怀宁一中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A
＝，a＝2，若满足条件的三角形有且只有两个，则b的取值范围为( )
A．2<b<4 B．<b<2
C．2<b< D．b>2
8．(2023·全国甲卷)已知四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，
∠PCA＝45°，则△PBC的面积为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
二、多项选择题
9．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状可以是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．不能确定 D．等腰三角形
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以下条件中，使得△ABC无
解的是( )
A．a＝，b＝，A＝120°B．a＝，b＝，A＝45°
C．b＝2，cos A＝，B＝60°
D．c＝b，sin A＝sin B，C＝60°
三、填空题与解答题
11．(2024·广东深圳高三统一测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若(a＋b)(sin A－sin B)＝(a－c)sin C，b＝2，则△ABC外接圆的面积为________．
12．在△ABC中，AD为∠BAC的平分线且交BC于点D，AB＝5，AC＝3，cos∠ABC
＝，则BC＝________；若AB<BC，则AD＝________.
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b＋c＝6，且
△ABC的面积为，则△ABC的内切圆的半径为________．
14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AC·AB＝AB·BC＝BC·CA.
(1)求角A；
(2)若b＝2，求△ABC的面积．
高分推荐题
15．(2024·山西省实验中学模拟)设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，若(acos B＋bcos A)＝2csin C，则sin2A＋sin2B的取值范围为( )
A． B．
C． D．
解析版
一、单项选择题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A． B．
C． D．
解析：因为在△ABC中，
设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
所以由余弦定理得
cos∠BAC＝＝＝－，
因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.
答案：C
2．在钝角三角形ABC中，已知AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积是( )
A． B．
C． D．
解析：由正弦定理得＝，所以sin C＝.若C＝60°，则△ABC为直角三角形，不合题意，
所以C＝120°，则A＝180°－120°－30°＝30°，所以S ＝××1×sin 30°＝.
△ABC
答案：B
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝4，S ＝2，则＝
△ABC( )
A． B．2
C．2 D．2
解析：∵C＝，a＝4，S ＝2，S ＝absin ＝×4×b×＝2，解得b＝.由余弦定理可得
△ABC △ABC
c2＝b2＋a2－2bacos＝10，c＝.由正弦定理可得＝＝＝2，故选B．
答案：B
4．(2024·湖南衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos
B(acos C＋ccos A)＝b，lg sin C＝lg 3－lg 2，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵2cos B(acos C＋ccos A)＝b，
∴根据正弦定理，得2cos B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin B，
∴2cos Bsin(A＋C)＝sin B，
∴2cos Bsin(π－B)＝sin B，
即2cos Bsin B＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，
∴cos B＝，∴B＝.
∵lg sin C＝lg 3－lg 2，
∴lg sin C＝lg，∴sin C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝或，
∵B＝，∴C≠，∴C＝，
∴A＝B＝C＝，即△ABC为等边三角形．
答案：C
5．(2024·河北保定模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acos
C，bcos B，ccos A成等差数列，若△ABC外接圆的半径为1，则b＝( )
A． B．2
C． D．
解析：方法一：因为acos C，bcos B，ccos A成等差数列，所以2bcos B＝acos C＋
ccos A，由正弦定理，得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，又
sin B>0，所以cos B＝，则sin B＝.因为△ABC外接圆的半径为1，所以由正弦定理，得＝
2，所以b＝2sin B＝，故选C．
方法二：因为acos C，bcos B，ccos A成等差数列，所以 2bcos B＝acos C＋ccos
A，由余弦定理，得2b·＝a·＋c·＝b，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，又sin B>0，所
以sin B＝.因为△ABC外接圆的半径为1，所以由正弦定理，得＝2，所以b＝2sin B＝，故
选C．
答案：C
6．(2024·江西赣州联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
2acos A＝bcos C＋ccos B，且b＋c＝4，则a的最小值为( )
A．2 B．2C．3 D．2
解析：由题意及正弦定理，
得2sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B
＝sin(B＋C)＝sin A，又sin A≠0.故cos A＝，由余弦定理，得cos A＝＝＝，所以a2＝
16－3bc≥16－3×2＝4(当且仅当b＝c＝2时，等号成立)，所以a的最小值为2.故选A．
答案：A
7．(2024·安徽怀宁一中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A
＝，a＝2，若满足条件的三角形有且只有两个，则b的取值范围为( )
A．2<b<4 B．<b<2
C．2<b< D．b>2
解析： 如图，作CD⊥AD于D，AC＝b，∠CAD＝，CD＝b·sin ＝b.若有两解，则
b<2<b 2<b<，故选C．
⇒
答案：C
8．(2023·全国甲卷)已知四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，
∠PCA＝45°，则△PBC的面积为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析： 因为PC＝PD＝3，且底面为正方形，则易知△PBC≌△PAD，则PB＝PA．在
△PAC中，PC＝3，∠PCA＝45°，AC＝＝4，由余弦定理得，PA2＝PC2＋AC2－2PC·AC·cos
45°＝9＋32－2×3×4×＝17，则PA＝PB＝.
在△PBC中，由余弦定理得cos∠PCB＝＝＝，则sin∠PCB＝＝，所以△PBC的面积
S ＝PC·BC·sin∠PCB＝×3×4×＝4，故选C．
△PBC
答案：C
二、多项选择题
9．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状可以是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．不能确定 D．等腰三角形
解析：由正弦定理得＝，
因为sin A>0，sin B>0，所以化简可得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
因为A，B∈(0，π)，A＋B∈(0，π)，
所以A＝B或者A＋B＝，
所以△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，故选ABD．
答案：ABD
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以下条件中，使得△ABC无
解的是( )
A．a＝，b＝，A＝120°
B．a＝，b＝，A＝45°
C．b＝2，cos A＝，B＝60°
D．c＝b，sin A＝sin B，C＝60°
解析：对于A，由大边对大角，得B>A＝120°， 无解；
对于B，由正弦定理得sin B>1，无解；
对于C，由cos A＝可得sin A＝，由正弦定理求出a＝，再由bsin A<b<a可知有解；
对于D，由c＝b和a＝b，通过余弦定理可得cos C＝0，与C＝60°矛盾，无解．
故选ABD．
答案：ABD
三、填空题与解答题
11．(2024·广东深圳高三统一测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若(a＋b)(sin A－sin B)＝(a－c)sin C，b＝2，则△ABC外接圆的面积为________．
解析：利用正弦定理将已知等式转化为(a＋b)(a－b)＝(a－c)c，即a2＋c2－b2＝ac，所
以由余弦定理，得cos B＝＝，因为0°<B<180°，所以B＝60°.设△ABC外接圆的半径为
R，则由正弦定理知，2R＝＝，R＝，所以△ABC外接圆的面积S＝πR2＝π.
答案：π
12．在△ABC中，AD为∠BAC的平分线且交BC于点D，AB＝5，AC＝3，cos∠ABC
＝，则BC＝________；若AB<BC，则AD＝________.
解析：因为AB＝5，AC＝3，cos∠ABC＝，所以在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2＋
BC2－2AB·BC·cos∠ABC，得9＝25＋BC2－BC，即BC2－BC＋16＝0，解得BC＝7或BC＝.
若AB<BC，则BC＝7，因为AD为∠BAC的平分线，所以＝＝，所以BD＝×7＝，在
△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABC＝52＋2－2×5××＝，所以AD
＝.
答案：7或
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b＋c＝6，且
△ABC的面积为，则△ABC的内切圆的半径为________．
解析：由题意，得△ABC的面积S＝bcsin A＝bc＝，故bc＝4.因为A＝60°，b＋c＝6，
由余弦定理得，a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝24，所以a＝2，△ABC的周长为6＋2，设
△ABC的内切圆的半径为r，则(a＋b＋c)r＝×(6＋2)r＝，所以r＝－.
答案：－14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AC·AB＝AB·BC＝BC·CA.
(1)求角A；
(2)若b＝2，求△ABC的面积．
解：方法一：(1)在△ABC中有AC·AB＝AB·BC＝BC·CA，
即bc·cos A＝－ac·cos B＝－ab·cos
C．
因为bc·cos A＝－ac·cos B，所以由正弦定理可得sin Bcos A＝－sin Acos B，即tan
A＝－3tan B．①
同理可得tan C＝tan B．②
在△ABC中，有tan A＝tan(π－B－C)＝－tan(B＋C)＝，
将①②代入得tan B＝(舍负)，tan A＝－1，tan C＝.
由0<A<π，得A＝.
(2)△ABC的面积S＝bcsin A，
将A＝，b＝2代入，得S＝c.
由(1)知tan B＝，tan C＝，
所以sin B＝，sin C＝.
在△ABC中，由正弦定理＝，得c＝2.
所以S＝×2＝2.
方法二：(1)由题得，AC·AB＝|AC|·|AB|cos A＝bc·cos A＝bc·＝，
AB·BC＝|AB|·|BC|(－cos B)＝ca(－cos B)
＝－ca·＝－，
BC·CA＝|BC|·|CA|(－cos C)＝ab(－cos C)
＝－ab·＝－.
因为AC·AB＝AB·BC，
所以＝·，
得b2＋2c2＝a2.①
同理有＝·，
得a2＝3b2＋c2.②
①②联立，解得b＝c，b＝a.
由余弦定理得cos A＝＝＝－，
所以A＝.
(2)由b＝2结合(1)得，c＝2，a＝2，
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2×＝2.
高分推荐题
15．(2024·山西省实验中学模拟)设锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，若(acos B＋bcos A)＝2csin C，则sin2A＋sin2B的取值范围为( )
A． B．
C． D．
解析：由(acos B＋bcos A)＝2csin C及余弦定理，得＝2csin C，∴sin C＝，又△ABC为锐角三角形，∴C＝，于是2B＝－2A，则sin2A＋
sin2B＝＋＝1－(cos 2A＋cos 2B)＝1－＝1－＝1－cos.
∵△ABC为锐角三角形，0<－A<，
∴<A<，则<2A＋<，
∴－1≤cos<－，
∴<sin2A＋sin2B≤.故选D．
答案：D
