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限时跟踪检测(二十八) 正、余弦定理
一、单项选择题
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A． B．
C． D．
2．在钝角三角形ABC中，已知AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积是( )
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝4，S ＝2，则＝
△ABC
( )
A． B．2
C．2 D．2
4．(2024·湖南衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos
B(acos C＋ccos A)＝b，lg sin C＝lg 3－lg 2，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．(2024·河北保定模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acos
C，bcos B，ccos A成等差数列，若△ABC外接圆的半径为1，则b＝( )
A． B．2
C． D．
6．(2024·江西赣州联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
2acos A＝bcos C＋ccos B，且b＋c＝4，则a的最小值为( )
A．2 B．2
C．3 D．2
7．(2024·安徽怀宁一中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A
＝，a＝2，若满足条件的三角形有且只有两个，则b的取值范围为( )
A．22
8．(2023·全国甲卷)已知四棱锥PABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，
∠PCA＝45°，则△PBC的面积为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
二、多项选择题
9．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状可以是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．不能确定 D．等腰三角形
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以下条件中，使得△ABC无
解的是( )
A．a＝，b＝，A＝120°B．a＝，b＝，A＝45°
C．b＝2，cos A＝，B＝60°
D．c＝b，sin A＝sin B，C＝60°
三、填空题与解答题
11．(2024·广东深圳高三统一测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若(a＋b)(sin A－sin B)＝(a－c)sin C，b＝2，则△ABC外接圆的面积为________．
12．在△ABC中，AD为∠BAC的平分线且交BC于点D，AB＝5，AC＝3，cos∠ABC
＝，则BC＝________；若AB0，所以cos B＝，则sin B＝.因为△ABC外接圆的半径为1，所以由正弦定理，得＝
2，所以b＝2sin B＝，故选C．
方法二：因为acos C，bcos B，ccos A成等差数列，所以 2bcos B＝acos C＋ccos
A，由余弦定理，得2b·＝a·＋c·＝b，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝，又sin B>0，所
以sin B＝.因为△ABC外接圆的半径为1，所以由正弦定理，得＝2，所以b＝2sin B＝，故
选C．
答案：C
6．(2024·江西赣州联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
2acos A＝bcos C＋ccos B，且b＋c＝4，则a的最小值为( )
A．2 B．2C．3 D．2
解析：由题意及正弦定理，
得2sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B
＝sin(B＋C)＝sin A，又sin A≠0.故cos A＝，由余弦定理，得cos A＝＝＝，所以a2＝
16－3bc≥16－3×2＝4(当且仅当b＝c＝2时，等号成立)，所以a的最小值为2.故选A．
答案：A
7．(2024·安徽怀宁一中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A
＝，a＝2，若满足条件的三角形有且只有两个，则b的取值范围为( )
A．22
解析： 如图，作CD⊥AD于D，AC＝b，∠CAD＝，CD＝b·sin ＝b.若有两解，则
b<20，sin B>0，所以化简可得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
因为A，B∈(0，π)，A＋B∈(0，π)，
所以A＝B或者A＋B＝，
所以△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，故选ABD．
答案：ABD
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以下条件中，使得△ABC无
解的是( )
A．a＝，b＝，A＝120°
B．a＝，b＝，A＝45°
C．b＝2，cos A＝，B＝60°
D．c＝b，sin A＝sin B，C＝60°
解析：对于A，由大边对大角，得B>A＝120°， 无解；
对于B，由正弦定理得sin B>1，无解；
对于C，由cos A＝可得sin A＝，由正弦定理求出a＝，再由bsin A
