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第3讲第1课时 三角恒等变换
复习要点 1.经历推导两角差的余弦公式的过程，了解两角差的余弦公式的意义.2.能
从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、
正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和
差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：
(α－β)
cos(α－β)＝cos_ α cos _ β ＋ sin _ α sin _β；
(2)公式C ：
(α＋β)
cos(α＋β)＝cos_ α cos _ β － sin _ α sin _β；
(3)公式S ：
(α－β)
sin(α－β)＝sin_ α cos _ β － cos _ α sin _β；
(4)公式S ：
(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_ α cos _ β ＋ cos _ α sin _β；
(5)公式T ：tan(α－β)＝；
(α－β)
(6)公式T ：tan(α＋β)＝.
(α＋β)
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
二 二倍角的正弦、余弦和正切公式
公式名 公式
二倍角的正弦 sin 2α＝2sin_ α cos _α
cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α
二倍角的余弦
＝ 1 － 2sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1
二倍角的正切 tan 2α＝
三 半角公式(不要求记忆)
1．半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin＝±；
(2)cos＝±；
(3)tan＝±＝＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝ 2sin 2 ,1 ＋ cos α＝ 2cos 2 .( 升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝ ， cos 2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
常/用/结/论
1．公式的常用变式
tan α ±tan β ＝ tan( α ± β )(1 ∓ tan α tan β ) ； tan α ·
“变用，逆用”公式也是一种能力. 把tan α＋tan β和tan α·tan β联系在一起．
tan β＝1－＝－1.
2．常用拆角、拼角技巧
例如， 2 α ＝ ( α ＋ β ) ＋ ( α － β ) ； α ＝ ( α ＋ β ) － β ＝ ( α － β ) ＋ β ； β ＝ －＝ ( α ＋ 2 β ) － ( α ＋ β ) ； ( α －
β ) ＝ ( α － γ ) ＋ ( γ － β ) ； ＋ α ＝ － 等 ．
“千变万变都是角在变”，角形式的变化和角范围的变化是三角求值变形的重点. 高
考试题也常有考查．
3．半角正切公式的有理化
借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式，可以得到：tan ＝＝.
上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理形式．
4．万能公式
sin α ＝；
cos α ＝；
sin α＝2sincos＝；
cos α＝. 两式化切后，即为万能公式．
tan α＝.
由上可知，只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任意一个三角函数
值，因此以上公式称为万能公式．
1．判断下列结论是否正确．
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．()
(3)sin α＋cos α＝sin.()
(4)tan ＝＝.(√)
(5)设<θ<3π，且|cos θ|＝，那么sin 的值为.()
2．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( )
A． B．
C． D．
解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得3cos2α－4cos α－4＝0，所以cos α＝－或cos α＝
2(舍去)，因为α∈(0，π)，所以sin α＝，故选A．
答案：A
3．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________.
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
答案：4．(1)(2024·天津质检)tan 21°＋tan 39°＋tan 21°tan 39°＝________；
(2)sin 40°(－tan 10°)＝________.
解析：(1)原式＝tan(21°＋39°)·(1－tan 21°tan 39°)＋tan 21°tan 39°
＝tan 60°(1－tan 21°tan 39°)＋tan 21°·tan 39°
＝(1－tan 21°tan 39°)＋tan 21°tan 39°
＝－tan 21°tan 39°＋tan 21°tan 39°＝.
(2)原式＝sin 40°
＝
＝
＝
＝＝＝1.
答案：(1) (2)1
基本公式
题型 基本公式的简单应用
典例1(1)在△ABC中，C＝120°， tan A ＋ tan B ＝ ， 则 tan A tan B ＝( )
变用tan (A＋B)的公式，把tan A＋tan B和tan Atan B联系在一起．
A． B．
C． D．
(2)(2023·山西吕梁三模)已知sin 37°≈，则的近似值为( )
两个角都不是特殊角，应使代数式中出现的变量尽量少，故选择：8 °＝53 °－45 °的变
形．
A． B．
C． D．
(3)求值：
①(2024·湖北武汉模拟)sin 109°cos 296°＋cos 71°sin 64°；
②(2024·广西梧州模拟)；
③ sin － cos ； 熟练掌握系数比为1∶1或者1∶型的恒等变形．
④(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)；
⑤(2024·安徽怀远月考)sin 10°sin 50°sin 70°；
⑥tan 75°＋tan 15°；
⑦；
⑧.
(1)解析：∵C＝120°，∴tan C＝－.∵A＋B＝180°－C，∴tan(A＋B)＝－tan
C．
∴tan(A＋B)＝，tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)，又∵tan A＋tan B＝，
∴tan Atan B＝.故选B．(2)解析：因为sin 37°≈，所以cos 37°＝≈，
所以＝
＝
＝＝＝＝≈＝. 故选 B ． 【解后反思】根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个
公式或某个期待的目标，常用的方法有“常值代换”“逆用、变用公式”“通分约分”
“分解与组合”“配方与平方”等．
(3)解：① sin 109°cos 296° ＋ cos 71°sin 64° ＝ sin(180° － 71°)cos(360° － 64°) ＋ cos 71°sin
64° ＝ sin 71°cos 64° ＋ cos 71°sin 64° ＝ sin(71° ＋ 64°) ＝sin 135°＝.“减元”的思路，深刻体会
“角在变”．
②因为＝
＝tan
＝tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－.
③原式＝2＝2＝－2cos＝－2cos＝－.
④原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan
27°＝1＋1－tan 18°tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2.
⑤ sin 10°sin 50°sin 70° ＝ sin 10°cos 40°cos 20°
类似：cos ·cos ，cos ·cos ·cos 等的求值，体会构造倍角公式的过程．
＝＝＝.
⑥方法一：原式＝tan(45°＋30°)＋tan(45°－30°)＝＋＝＋＝(2＋)＋(2－)＝4.
方法二：原式＝＋＝＋
＝＝＝4.
⑦原式＝
＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝
＝＝2－.
⑧原式＝
分母是系数比为1∶的恒等变形．
＝
＝＝.
应用三角公式化简求值的策略
(1)熟记公式结构特征以及符号规律．
(2)注意与诱导公式、同角三角函数关系式相结合．
(3)注意配方法、因式分解、整体换元思想的运用．
对点练1(1)(2024·福建永安三中模拟)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的
值为( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)求值：①＝________；
②(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝________.
(3)(2024·四川泸州模拟)已知cos＝，则sin 2x＝________.
(4)(2024·河南洛阳模拟)已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________.
解析：(1)由两角差的余弦公式，得cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝
cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝，故选B．
(2)①原式＝
＝
＝＝.
②(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－
tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，
所以原式＝4.
(3)方法一：由cos＝，
得cos2＝＝＝，则sin 2x＝.
方法二：∵cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－，
∴sin 2x＝－cos＝.
方法三：cos＝cos xcos－sin xsin＝，
即cos x－sin x＝，两边平方得
1－2sin xcos x＝，∴sin 2x＝.
(4)由sin α＋cos α＝，平方得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α
＝，从而cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝.
答案：(1)B (2)① ②4 (3) (4)
题型 和差倍角公式的应用的多维研讨
维度1 辅助角公式的应用
典例2(1)(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝
________.
(2)化简：① 3cos x ＋ 3sin x ；
② cos x － sin x .
此两例恰为系数比为1∶1和1∶的类型，也属于高考的常见题型．
(3)求值： － .
sin 80 °化为cos 10 °是一种“减元”思想．
(1)解析：因为α＋β＝，所以β＝－α，
所以3sin α－sin β＝3sin α－sin＝ 3sin α － cos α ＝ sin( α － φ ) ＝，
这里正好遇到“a·sin α＋b·cos α＝”这种最值现象，此时cos φ＝，sin φ＝. 此特殊
情形需牢记！本例的过程，就是结论的证明过程．
其中sin φ＝，cos φ＝.
所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sin α＝sin
＝cos φ＝，k∈Z.
因为sin β＝3sin α－＝－，
所以cos 2β＝1－2sin2β＝1－＝.
故答案为 .
(2)解：①原式＝3
对于系数比为“1∶1”型，提取 ，构造的三角函数值．
＝3cos.
②原式＝2
仔细观察，提取系数后，使系数转化为，这两个特殊值．
＝2
＝2cos.
(3)解：原式＝
＝
＝
＝＝4.
asin x＋bcos x可化成sin(x＋φ)，这里辅助角φ所在的象限由a，b的符号确定，角φ
由tan φ＝确定，其推导过程如下：
asin x＋bcos x＝，
令cos φ＝，sin φ＝，
则原式＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝sin(x＋φ)．高考中经常考查利用该式将所给问题化
为只含一个角的三角函数的问题.
对点练2(1)若函数y＝(acos x＋bsin x)·cos x有最大值2，最小值－1，则a＋b2＝(
)
A．5 B．6
C．8 D．9
(2)(2022·北京卷)若函数 f(x)＝Asin x－cos x 的一个零点为，则 A＝________；f＝
________.
解析：(1)函数y＝(acos x＋bsin x)cos x＝acos2x＋bsin xcos x＝a·＋＝＋(acos 2x＋bsin
2x)＝＋·sin(2x＋θ)，则f(x)的最大值为＋，最小值为－，
由题意可得＋＝2，且－＝－1，
解得a＝1，b＝±2，则a＋b2＝1＋(±2)2＝9.
(2)依题意得f＝A×－×＝0，解得A＝1，所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin，所以f＝2sin＝
－.
答案：(1)D (2)1 －
维度2 升(降)幂公式的应用
典例3(1)(2024·山东淄博模拟)2＋＝( )
A．2cos 2 B．2sin 2C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
(2)若sin θ＝且 < θ <3 π ，求cos，
由此范围可知∈，这是解题关键，从而可确定cos的符号．
tan的值．
(1)解析：2＋
＝2
＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|，
∵ <2< ，
∴2是第二象限角，∴cos 2<0.
∵<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2＝sin>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.故选B．
(2)解：∵sin θ＝，<θ<3π，
∴cos θ＝－＝－.
∵cos θ＝2cos2－1，
∴cos2＝，又∵<<，
∴cos＝－＝－＝－，
tan＝＝＝＝＝2.
这里的“有理式”显得很简便，因此熟悉公式的各种变形也是基本功．
1．降幂公式：cos2x－sin2x＝cos 2x，sin2x＝，cos2x＝，sin xcos x＝sin 2x，sin2x＋
cos2x＝1.
2．tan＝＝＝＝.
对点练3(1)化简的结果是( )
A．－cos 1 B．cos 1
C．cos 1 D．－cos 1
(2)(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
解析：(1)＝＝＝＝cos 1.
(2)因为cos α＝1－2sin2，cos α＝，所以sin2＝.又因为α为锐角，所以为锐角，则sin
＝＝＝＝，故选D．
答案：(1)C (2)D
