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第4讲 三角函数的图象与性质
复习要点 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.
借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质(如单调性、最值、图象
与x轴的交点等)．
一 “五点法”作图
1．在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是(0,0)，， (π ， 0) ， ， (2π ，
0) ．
2．在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是(0,1)，， (π ，－ 1) ，，
(2π ， 1) ．
二 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
{x∣x∈R且x≠＋kπ，
定义域 x∈R x∈R
k∈Z}
值域 [ － 1,1] [ － 1,1] R
在 [(2 k － 1)π ， 2 k π]
在 ( k ∈ Z ) 上单调递增； ( k ∈ Z ) 上单调递增；
单调性 在 ( k ∈ Z ) 上递增
在 ( k ∈ Z ) 上单调递减 在 [2 k π ， (2 k ＋ 1)π]
( k ∈ Z ) 上单调递减
x＝ ＋ 2 k π( k ∈ Z ) 时，y ＝ x＝ 2 k π( k ∈ Z ) 时，y
max max
1； ＝1；
最值 无最值
x＝ －＋ 2 k π( k ∈ Z ) 时，y ＝ x＝ π ＋ 2 k π( k ∈ Z ) 时，
min
－1 y ＝－1
min
奇偶性 奇 偶 奇
对 对称中 ，
( k π ， 0) ， k ∈ Z ， k ∈ Z
称 心 k ∈ Z
性 对称轴 x ＝ k π ＋ ， k ∈ Z x ＝ k π ， k ∈ Z 无对称轴
最小正
2π 2π π
周期
常/用/结/论
1．若 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 为偶函数 ，则有 φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝
kπ(k∈Z)．
偶函数，则x＝0时，有最值. 奇函数，则x＝0时，函数值为零．2．若 y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ＋
(k∈Z)．
3．若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．()
(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()
(3)y＝sin|x|是偶函数．(√)
(4)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(√)
2．(2024·四川成都石室中学模拟)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数y
＝f(x)在区间上的最大值和最小值分别是( )
A．2和－2 B．2和0
C．2和－1 D．和－
解析：由题意，知T＝＝π，解得ω＝2，即函数y＝f(x)＝2sin，又x∈，∴2x－∈，即
sin∈，2sin∈[－1,2]，故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1.
答案：C
3．(多选)对于函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x，下列结论正确的是( )
A．最小正周期为π B．最小正周期为
C．是奇函数 D．是偶函数
解析：f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x＝2cos2xsin2x＝sin22x＝，则f(x)的最小正周期为T＝＝且为
偶函数．
答案：BD
4．(1)已知函数f(x)＝2sin(3x＋2φ)是奇函数，则φ＝________(写出一个值即可)．
(2)函数y＝tan的单调递增区间是________．
解析：(1)因为函数f(x)＝2sin(3x＋2φ)是奇函数，所以2φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝，k∈Z.
故φ可取(答案不唯一)．
(2)由kπ－0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω的取值范围是________．
解析：(1)对于A，f(x)＝＋sin 2x＝sin＋，
∴T＝π.
1
对于B，sin x≠0且cos x≠0，f(x)＝＝＝tan x，
∴T＝π.
2
对于C，f(x)＝cos x－sin x＋cos x＋sin x＝cos x，∴T＝2π.
3
对于D，f(x)＝sin＝sin，
∴T＝π.故选C．
4
(2)由f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象知一个周期内有一个最小值点，
若在[0,1]上至少存在50个最小值点，
则1≥49T＋＝＝·.
解得ω≥.
所以ω的取值范围是.答案：(1)C (2)
题型 三角函数奇偶性的判断
典例3判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝lg(sin x＋)．
解：(1)f(x)＝coscos(π＋x)
＝(－sin 2x)(－cos x)＝ cos x sin 2 x (x∈R)．
属于“偶×奇”＝奇函数．
∵f(－x)＝cos(－x)sin(－2x)＝－cos xsin 2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)由cos 2x≠0得2x≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，∴f(x)的定义域为x.
∴ f ( x ) 的定义域关于原点对称 ，
奇偶性判断的第一道门坎：定义域应关于原点对称．
且f(－x)＝
＝ ＝ f ( x ) ．
分子为偶函数，分母也是偶函数，由运算判断奇偶性．
∴f(x)是偶函数．
(3)f(x)的定义域为R，
f ( － x ) ＝ lg[sin( － x ) ＋ ]
此函数是奇函数，g(x)＝lg(x＋)构造而来的，本例设计精巧，好题！
＝lg(－sin x＋)，
∵f(x)＋f(－x)＝lg[(sin x＋)·(－sin x＋)]＝lg 1＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．∴函数f(x)是奇函数．
三角函数奇偶性的判断除了可以借助定义外，还可以借助其图象的性质，对 y＝
Asin(ωx＋φ)，代入x＝0，若y＝0，则为奇函数；若y为最大值或最小值，则为偶函数．
对点练3(1)(2024·北京房山模拟)已知函数f(x)＝2cos2(x＋θ)－1，则“θ＝＋kπ(k∈Z)”是
“f(x)为奇函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2024·苏州八校联盟检测)已知f(x)＝sin x＋cos x，若y＝f(x＋θ)是偶函数，则cos θ
＝________.
解析：因为f(x)＝2cos2(x＋θ)－1＝cos(2x＋2θ)，所以若函数f(x)为奇函数，则2θ＝＋
kπ(k∈Z)，解得θ＝＋(k∈Z)．因为{θ{θ，所以“θ＝＋kπ(k∈Z)”是“f(x)为奇函数”的充
分不必要条件．故选A．
(2)f(x)＝sin x＋cos x＝sin，由y＝f(x＋θ)是偶函数，得f(－x＋θ)＝f(x＋θ)，即sin＝sin.所以θ＋－x＝θ＋＋x＋2kπ，k∈Z恒成立或θ＋－x＋θ＋＋x＝π＋2kπ，k∈Z恒成立．显然
θ＋－x＝θ＋＋x＋2kπ，k∈Z不恒成立，故由θ＋－x＋θ＋＋x＝π＋2kπ，k∈Z，得θ＝＋
kπ，k∈Z，当k＝2n，n∈Z时，cos θ＝cos＝cos＝；当k＝2n＋1，n∈Z时，cos θ＝cos＝
cos＝－，所以cos θ＝±.
答案：(1)A (2)±
题型 三角函数的对称性问题
典例4(1)函数f(x)＝3sin＋1， φ ∈ (0 ， π) ，且 f ( x ) 为偶函数 ，则φ＝
利用奇偶性求参数φ的值．
________，f(x)图象的对称中心为________．
(2)设函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，求实数a的值．
(1)解析：若f(x)＝3sin＋1为偶函数，则 －＋ φ ＝ k π ＋， k∈Z，
整体赋值得到φ值的通项，当k＝0时，满足条件．
即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
∴f(x)＝3sin＋1＝3cos 2x＋1，
由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
∴ f ( x ) 图象的对称中心为， k∈Z.
不可将对称中心纵坐标误以为是0.
故答案为 ，k∈Z.
(2)解：方法一：因为y＝sin 2x＋acos 2x＝sin(2x＋θ)，其中tan θ＝a.又图象关于直线x
＝－对称，
故在 x ＝－处，函数应取得最大或最小值 ．
asin x＋bcos x的最值为±，由此列出方程，求a值. 对称轴处三角函数取最值，这才
是解题、列方程的关键．
所以当x＝－时，y＝sin＋acos＝－＋a＝±，解得a＝－.
方法二：因为函数y＝f(x)＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，所以f(x)的图
象上到x＝－的距离相等的x值对应的函数值相等，即f＝f对定义域内任何值都成立．
令x＝，得 f (0) ＝ f .
代入对称的两个特殊点，由特殊值作为解题的突破口．
所以0＋a＝sin＋acos.
解得a＝－.
方法三：因为函数图象关于直线x＝－对称，
所以 －为函数的极值点，又 y ′ ＝ 2cos 2 x － 2 a sin 2 x ， 导数思想的应用，另辟蹊径，打
开思路，从而有f′＝0，解方程求a.
所以当x＝－时，y′＝0，
所以cos－asin＝0.所以a＝－.
求函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题(1)y＝sin x图象的对称中心是(kπ，0)，k∈Z，对于y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称中心，
由方程ωx＋φ＝kπ，k∈Z解出x即可．
(2)y＝sin x图象的对称轴是直线x＝kπ＋，k∈Z，对于y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴，
由方程ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z解出x即可．
(3)注意y＝tan x图象的对称中心为(k∈Z)．
对点练4(1)(2023·全国乙卷，理)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝
和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
(2)(2024·河南六市名校高三摸底)曲线f(x)＝(cos x≠0)的一个对称中心为________．
解析：(1)由题意，得－＝，f＝－1，所以T＝π，即|ω|＝＝2，则ω＝2或－2.而f＝－
1，即sin＝－1或sin＝－1，所以2×＋φ＝－＋2kπ或－2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－
＋2kπ或－＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin或f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝sin＝或f＝sin＝，故
选D．
(2)f(x)的定义域为{x，
当cos x≠0，即x≠＋kπ，k∈Z时，
f(x)＝－＝－tan，
当x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)＝1，适合上式，所以f(x)＝－tan，由x＋＝，k∈Z，解得x
＝－＋，k∈Z，所以f(x)的对称中心为，k∈Z，当k＝0时，x＝－，故其中一个对称中心
为.
答案：(1)D (2)(答案不唯一)
题型 三角函数的单调性的多维研讨
维度1 求三角函数的单调区间
典例5求函数 y ＝ cos 的单调递减区间． 属于复合函数：外层函数 y ＝ cos u，内层函
数：u＝－2x＋，因此将－2x＋代入cos u的单调递增区间，求x. 本例的解析过程，则是
利用诱导公式，将x的系数化为正值后，再求解．
解：y＝cos＝cos，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
即所求的单调递减区间为(k∈Z)．
求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx＋φ)整体当作一
个角，利用基本三角函数(y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x)的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间．
提醒：要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先
借助诱导公式将ω化为正数，同时切莫忘记考虑函数自身的定义域．
对点练5(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )A．f(x)在上单调递减
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)在上单调递增
解析：依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x.
对于A选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递增，所以A选项不正
确；
对于B选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以B选项不正确；
对于C选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上单调递减，所以C选项正确；
对于D选项，因为x∈，所以2x∈，函数f(x)＝cos 2x在上不单调，所以D选项不正确．
故选C．
答案：C
维度2 根据三角函数的单调性求参数
典例6(1)(2024·安徽示范高中皖北协作区模拟)已知f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间
上单调递增，则ω的取值范围是( )
转化为是单调递增区间的子集．
A．
B．∪
C．∪
D．∪
(2)(2018·全国Ⅱ卷，理)若 f ( x ) ＝ cos x － sin x 在 [ － a ， a ] 是减函数 ，则a的最大值是(
)
先求其含0的单调递减区间为，再转化为[－a，a] ，从而求参. 本例的关键隐含信息
是此区间包含0.
⊆
A． B．
C． D．π
解析：(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ω>0)，
由2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，
得≤x≤，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
∵f(x)在区间上单调递增，
∴即
即 12 k － 5≤ ω ≤8 k ＋， k∈Z.
对k赋值，使得ω有解即可. 高考近几年常会出现此类对k赋值求参的题目．
∵ω>0，∴当k＝0时，－5≤ω≤，即0<ω≤；
当k＝1时，7≤ω≤；
当k＝2时，19≤ω≤，此时不成立．
综上，ω的取值范围是∪，故选B．(2)方法一：f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由
0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得00)，则使f(x)在上单调递增
的ω的值可以为________．(写出一个值即可)
(2)若函数f(x)＝2x＋ncos x在定义域R上不单调，则正整数n的最小值是________．
解析：(1)
k∈Z，即k∈Z，
令－4k＝＋4k，得k＝∉Z.
当k≤0，k∈Z时，－4k>＋4k，则ω≤＋4k≤.
当k≥1，k∈Z时，＋4k>－4k，则ω≤－4k≤－.
∵ω>0，∴0<ω≤.
(2)当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝2x±n，不满足题意．当x≠kπ(k∈Z)时，由题意，得f′(x)＝2
－nsin x．令f′(x)＝0，得n＝.因为sin x∈[－1,0)∪(0,1]，且n∈N*，所以n≥2.当n＝2时，
f′(x)＝2－2sin x≥0，则f(x)单调递增．当n＞2时，由f′(x)＝2－nsin x>0，得sin x<，由f′(x)
＝2－nsin x<0，得sin x>，此时f(x)不单调．所以正整数n的最小值是3.
答案：(1) (2)3
