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空间向量和立体几何高考复习专题五
知识点一 证明线面垂直,锥体体积的有关计算,求二面角,面面角的向量求法
典例1、已知平行四边形 ， ， ，点 是 的中点.沿
把 进行翻折，使得平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）点 是 的中点，棱 上一点 使得 ，求二面角 的余弦值.
随堂练习：如图，斜三棱柱 中， 为正三角形， 为棱 上的一点，
平面 ，
平面 .
（1）证明： 平面 ；（2）已知平面 平面 ，求二面角 的
正弦值.典例2、如图， 中 ，且 ，将 沿中位线EF折起，使得
，连结AB，
AC，M为AC的中点.
（1）证明： 平面ABC； （2）求二面角 的余弦值.随堂练习：如图，在四棱柱 中，四边形 和四边形 都是矩形，
，四
边形 是一个边长为4的菱形， .
（1）求证： 平面 ；（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
典例3、如图，在多面体 中， ， ， ，四边形
是矩形，平面 平面 ， .
（1）证明： 平面 ；（2）若二面角 的正弦值为 ，求 的值.随堂练习：如图，多面体 中， ， ， 为 的中点，四边形
为矩形.
（1）证明： ；
（2）若 ， ，当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的
余弦值.
知识点二 线面角的向量求法,线面平行的性质
典例4、如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， 平面， 为棱 的中点.
（1）求证： 平面 ； （2）再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，
求：直线 与平面 所成角的正弦值，以及点 到平面 的距离.
条件①： ； 条件②： 平面 ； 条件③： .
随堂练习：如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面
， ，
M，N分别为 ，AC的中点．
（1）求证： 平面 ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①： ； 条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．典例5、如图，在三棱柱 中， ，D为 中点，四边形
为正方形．
（1）求证： 平面 ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已
知，求直线 与平面 所成角的正弦值． 条件①： ； 条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．随堂练习：如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ，
， 为
的中点， 为 上一点， 平面 .
（1）求证： 为 的中点；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已
知，求直线 与平面 所成角的正弦值. 条件①： ； 条件②：
.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
典例6、如图，在三棱柱 中，侧面 是边长为2的正方形， ，
， 分别是 ，
的中点.
（1）证明： 平面 ；（2）若 ，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，求直线 与平面 所成角 的正弦值. 条件①：异面直线 与 所
成的角为45°；
条件②： 是等腰三角形.
随堂练习：如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4的正方形.再从条
件①､条件②､
条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.
（1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）设 是 的中点，棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求线
段 的长；若不存在，说明理由. 条件①： ；条件②： ；条
件③：平面 平面 .
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.空间向量和立体几何高考复习专题五答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在 中， ， ， ，由余弦定理知 ，
，∴ ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）设 是 的中点，因为 ， ，则 为正三角形，
则 ， ，且 ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，∴ .
由题可知 ， ，∴ 为正三角形，∴ .
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ，设 ，则 ，
， ，
∵ ，∴ ，即 ，解得 .
∴当点 为棱 的中点时满足题意，即 ，
设平面 的一个法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，得 ， 又平面 的一个法向
量为 ，
∴ ， 由图可知，二面角 为锐角，∴二面角
的余弦值是 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）设 ，则 为 的中点.连结 ，则平面 平面 .
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 = ，所以
，
从而 为 的中点，因此 .
因为 平面 ，所以 .因为 ，所以 平面 .（2）解法1： 以 为坐标原点， 为 轴正方向， 为单位长，
建立如图所示的建立空间直角坐标系 ，设 .
则 ，
，故 ，
.
设 为平面 的法向量则 即 可取
设 为平面 的法向量，则 即
可取 . 由 可得 ，所以 .
设 为平面 的法向量，则 ，即 可取
.
因为 ，所以二面角 的正弦值为 .
解法2：在平面 内过点 作 ，垂足为 ，因为平面 平面 ，
所以 平面 ，故 .由（1）及题设 平面 ，
所以 ，又 ，因此 平面 ，所以 ， 因此
.
以 为坐标原点， 为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的建立空间直角
坐标系 ，
可知 ，可得
设 为平面 的法向量，则 即{ 可取
设 为平面 的法向量，则 ， 即 可取
因为 ，于是二面角 的正弦值 .所以二面角 的正弦值 .
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）设 ，则
， ， 平面 平面 ，
连接 ， ， ，
，
，即
又 ， 平面ABC
（2） ， 以点 为坐标原点，建立如下图所示的空间直
角坐标系
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为，令 ，则
同理可得 ，
又二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1）由矩形 得 ，由矩形 得 .又 ，
∴ 平面 .又 平面 ，∴ .
又∵四边形 为菱形，∴ ，而 ，∴ 平面 .
（2）在菱形ABCD中， ， ，
由余弦定理可得 ，则 ，
于是 均为正三角形，取 的中点M，易得 ，且 .
以D为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为x轴､y轴､z轴建立如图
所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ，
，
则 ， ， .设平面 的法向量为 ， 则 取 ，得
.
设平面 的法向量为 ，则 取 ，得
.
设平面 与平面 的夹角为 ，则 .
典例3、答案：(1)证明见解析. (2) 或 .
解: (1)取 的中点 ,连接 . 由 ， ， .
则 为正方形.所以 . 又平面 平面 ，且平面 平面
.
平面 ,所以 平面 . 又 平面 .则 .
又四边形 是矩形，则 ,且 . ∴ 平面 .
(2)由题目条件和（1）可知 两两垂直.
故以点 为原点，以 分别为 轴，建立空间直角坐标系.如图.设 ，则 . 所以 ， , , ,
.
则 , , .
设平面 的一个法向量为 . 所以 ，即
取
设平面 的一个法向量为 .所以 ，即
取
二面角 的正弦值为 ，则余弦值为 .
即 ，解得： 或 所以 或 .随堂练习：答案： （1）证明见解析； （2） .
解：（1） 四边形 为矩形， ，又 ， 为 中点， ；
平面 ， ， 平面 ，
， 平面 ，又 平面 ， ，
， ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， .
（2） ， ， ， ；
由（1）知： 平面 ，
（当且仅当
时取等号），
即 时，三棱锥 的体积最大， 又 为 中点， ；
则以 为坐标原点， 为 轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ， ，由（1）知： 平面 ， 平面 的一个法向量为 ；
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ，
由图形可知：二面角 为钝二面角， 二面角 的余弦值为 .
典例4、答案： （1）证明见解析 （2）答案见解析
解：（1）连接 ，交 于 ，连接 ，
底面 是正方形，故 是 的中点，又 为棱 的中点，
所以，在△ 中 ，而 面 ， 面 ， 所以 平面
.
（2）选①：若 分别是 中点，连接 ，
由 为棱 的中点且底面 是正方形，易知：，
又 共线且 ，故 ，
所以 为平行四边形，故 ，而 ，则 ，
在△ 中， 垂直平分 ，故 ，即 ，
由 ，故 ，
又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ，
以 为原点， 为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则 ，故
，
令 为面 的一个法向量，则 ，令 ，
，
所以 ，即直线 与平面 所成角的正弦
值为 ，
所以点 到平面 的距离 .选②： 平面 ， 平面 ，则 ， 为棱 的中点，
在△ 中， 垂直平分 ，故 ，
又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ，
以 为原点， 为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则 ，故
，
令 为面 的一个法向量，则 ，令 ，
，
所以 ，即直线 与平面 所成角的正弦
值为 ，
所以点 到平面 的距离 .
选③：由 平面 ， 平面 ，则 ，又 ，
由 ， 面 ，故 面 ， 面 ， 所以
，
在 中， ，则 ，故 ，又 平面 ，则 ，在 中， ，即 ，
又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ，
以 为原点， 为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则 ，故
，
令 为面 的一个法向量，则 ，令 ，
，
所以 ，即直线 与平面 所成角的正弦
值为 ，
所以点 到平面 的距离 .
随堂练习：答案： （1）见解析 （2）见解析
解：（1）取 的中点为 ，连接 ， 由三棱柱 可得四边形 为
平行四边形，
而 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
而 ，则 ，同理可得 平面 ，而 平面 ，
故平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，
因为侧面 为正方形，故 ， 而 平面 ，平面 平
面 ，
平面 平面 ，故 平面 ，
因为 ，故 平面 ， 因为 平面 ，故 ，
（2）若选①，则 ，而 ， ，
故 平面 ，而 平面 ，故 ，
所以 ，而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，从而 ，取 ，
则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 .
若选②，因为 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 ，而 ，故 ，
而 ， ，故 ， 所以 ，故
，而 ， ，故 平面 ，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，从而 ，取 ，
则 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 .
典例5、答案： （1）证明见解析； （2）
解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
在三棱柱 中，因为 是 的中点，所以 ， ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得
平面 ，
又由 且 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .
（2）若选条件①：
因为 ， ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
以 为原点，以 分别为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐标系，
如图所示：因为 且四边形 为正方形， 可得
，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
若选条件②：因为四边形 为正方形且 ，可得 ，
又因为 ，所以 ， 由 ，所以 ，
以 为原点，以 分别为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐标系，
如图所示：因为 且四边形 为正方形，可得
，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，可得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）取 的中点 ，易知 .
因为 平面 , 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面
.
因为 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，且平面 平面 ，所以 .
因为 为 的中点，所以 为 的中点.（2）选择条件①： ，
因为底面 是边长为2的正方形，所以 .
因为 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ，
所以 .
因为 ，所以 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， 所以 ，
设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ，得
，
设直线 与平面 所成角为 ， 则 .
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
选择条件②： ，
因为 ， ,所以 .因为 ， ,所以 , 所以 ，即 .
因为底面 是边长为2的正方形，所以 .
因为 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ，
所以 .
因为 ，所以 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， 所以
，
设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ，得
，
设直线 与平面 所成角为 ， 则 .
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
典例6、答案： （1）证明见解析 （2）答案见解析
解：（1）取 的中点为 ，连接 ， ，因为 是 的中点，所以 且 ， 又因为 且 ， 所以
且 ，
所以四边形 是平行四边形， 即 ， 平面
而 平面 ，所以 平面 .
因为 ， ，且 ， 平面 ， 所以 ，
（2）又因为 ，所以分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴建立空
间直角坐标系.
选择条件①，因为 为异面直线 与 所成的角，即 ，
所以 ， ，
设 ，则 ， 解得 ， 所以 ， ，
， ， 所以 ， ， ，
设平面 的法向量 ，则
令 ，则 ， ，即 ，所以.
选择条件②，设 ，则 ， ， ，
因为 是等腰三角形，所以上式中只能 ，即 ，
所以 ， ， ， ， 所以 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则
令 ，则 ， ，即 ， 所以
.
随堂练习：答案： （1）证明见详解 （2） （3）存在点 ；
解：（1）因所求问题包括线面角大小，需要求出 边长，故①必选，
选②缺垂直条件，因为 ，又四边形 是边长为4的正方形，所以
， ， 平面 平面 所以 平面
又 平面
所以 ，选①②无法证明 平面 ；
故只能选择①③，理由如下：因为平面 平面 ，平面 平面 ，
四边形 是边长为4的正方形，所以 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ， 平面 ， ，所以
平面 ；
（2）由（1）知 两两垂直，故以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为
轴，
建立空间直角坐标系，则 ，故 ，
，设平面 的方向量为 ，则 ，即
，令 ，得 ，故 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（3）假设存在设点 ，使得 平面 ，则 ，因为 平面 ，
所以 ， ，所以 ， ，解得 ，故
， ，
所以存在点 ， 为 中点，使得 平面 ，此时 .
