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空间向量和立体几何高考复习专题六
知识点一 锥体体积的有关计算,证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,已知面面角求其
他量
典例1、如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，且
， ，
．
（1）证明： ；（2）在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的余
弦值为 ，若存在， 求 与 所成角的余弦值；若不存在，请说明理由．
随堂练习：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为
PA的中点，
过C，D，E三点的平面与PB交于点F，且PA=PD=AB=2.
（1）证明： ；
（2）若四棱锥 的体积为 ，则在线段 上是否存在点G，使得二面角的余弦值为 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
典例2、如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， ，
，且 ．
（1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值；
（3）棱 上是否存在一点 ，使直线 与平面 所成的角是 ？若存在，求 的
长；若不存在，请说明理由．随堂练习：请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为 ，③∠ABC ．
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，
PD的中点为F．
（1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF 平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置
并给以证明；若不存在，请说明理由； （2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余
弦值．
典例3、如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形，
，且 为 的中点.
（1）求证： ；（2）求二面角 的余弦值；
（3）在线段 上是否存在点 使得 平面 ？若存在，请指明点 的位置；若
不存在，请说明理由.随堂练习：如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点 ， 别是边BC，CD
的中点，
， ．沿MN将 翻折到 的位置，连接PA、
PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．
（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
（2）当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平
面PMN夹角的余弦值为 ？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．知识点二 证明线面平行,面面角的向量求法
典例4、如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 平面
， 为 的中点.
（1）证明: 平面 ; （2）在① ，② 这两个条件中任一个，
补充在下面的横线上，并作答.若________，求 与平面 所成的角.
注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
随堂练习：从①直线 与平面ABCD所成的角为60°；② 为锐角三角形且三棱锥
的体
积为2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形， 平面ABCD，E，F分别为
AB，SC的中点．
（1）求证：直线 平面 ；
（2）若 ， ，______，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．典例5、如图，PO是三棱锥 的高，点D是PB的中点， .
（1）从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，证明另一个条件成立；
条件①： 平面 ；条件②： .注：若条件①和条件②分别解答，按第
一个解答计分.
（2）若 ，OB平分 ， ， ，在（1）的条件下，求平面PAB
与平面PAC夹角的余弦值.
随堂练习：如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 为 的中点.（1）证明： 平面 ；
（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
① ；② ；③ 与平面 所成的角为 .
若 平面 ， ，且______________，求二面角 的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
典例6、如图，在四棱锥 中，四边形 是平行四边形，点F为 的中点．
（1）已知点G为线段 的中点，求证：CF∥平面 ；
（2）若 ，直线 与平面 所成的角为 ，再从条件①、条件②、条件
③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥 唯一确定，求：
（ⅰ）直线 到平面 的距离； （ⅱ）二面角 的余弦值．
条件①： 平面 ； 条件②： ； 条件③：平面 平面 ．随堂练习：如图，在三棱柱 中，底面 是边长为2的正三角形，侧面
是菱形，平
面 平面 ， ， 分别是棱 ， 的中点， 是棱 上一点，且
．
（1）证明： 平面 ；
（2）从①三棱锥 的体积为1；② 与底面 所成的角为60°；③异面直线
与 所成的角为30°这三个条件中选择-一个作为已知，求二面角 的
余弦值．空间向量和立体几何高考复习专题六答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）存在，且 与 所成角的余弦值为
解：证明：连接 ，设 ，
因为 ，则 ，且 为等腰直角三角形，
因为 ，则 ，
因为 ，由余弦定理可得 ，
所以， ，则 ， 平面 ， 平面 ，
，
， 平面 ， 平面 ， .
（2）因为 平面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间
直角坐标系，
设 ，则 、 、 、 、
，设 ，其中 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，可得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，由题意可得
，
因为 ，解得 ，此时， ，
， ，
所以， ，
因此，在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ，
且 与 所成角的余弦值为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2）存在， .
解:（1）证明：由题意得，AB//CD， 又AB⊂平面PAB，CD 平面PAB，∴CD//平面PAB.
又CD⊂平面CDEF，平面CDEF∩平面PAB＝EF， ∴CD//EF，又CD⊥AD，∴EF⊥AD.
（2）取AD的中点为O，连接PO， PA=PD， PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面
ABCD，
∴V = AB·AD·PO= ，则AD·PO=4， 又PO2+ =4，∴PO= ，AD=2
P－ABCD
.
取BC的中点为H，以OA，OH，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所
示的空间直角坐标系，则P(0，0， )，B( ，2，0)，D(－ ，0，0)，
C(－ ，2，0)，
∴ =( ，2，－ )， =(0，－2，0).
假设存在点G，设 ，∴ ，则
，
∴ =( (1+λ)，2λ， (1－λ))，
设平面GCD的法向量为 ，
，可取 ，又平面 的一个法向量 ，二面角G－CD－B为锐角，
∴ ，解得λ= 或λ=3（舍）.
存在点G，使得二面角G－CD－B的余弦值为 ，此时 .
典例2、答案： （1）证明见解析 （2） （3）存在， ，理由见解
析.
解：（1）在正方形 中， ，又因为 ， ，
所以 面 ，因为 面 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 ， 因为 ，所以 平面 ；
（2）由已知可得 ， ， 两两垂直，以 为原点，分别以 ， ， 所
在的直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，连接 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
由 ，令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的一个法向量 ，由 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
（3）因为二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 .
存在，理由如下：
假设在棱 上是否存在一点 满足条件，设 ， ，
则 ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
所以
解得： ， ，
所以在棱 上是否存在一点 ，使直线 与平面 所成的角是 且 的长
为 .
随堂练习：答案： （1）存在，G是线段AB的中点，证明见解析；（2）详见解析
解:(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．
证明如下：如图所示：设PC的中点为H，连结FH， 因为 ， ， ，
，
所以 所以四边形AGHF为平行四边形， 则AF∥GH，
又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC， ∴AF∥平面PGC．
(2)选择①AB⊥BC： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空
间直角坐标系，
∵PA＝AB＝2， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴ (0，1，1)， (﹣2，﹣
1，1)，
设平面FAC的一个法向量为 (x，y，z) ∴ ，
取y＝1，得 (﹣1，1，﹣1)， 平面ACD的一个法向量为 (0，0，1)，设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ ， ∴二面角F﹣AC﹣D
的余弦值为 ．
选择②FC与平面ABCD所成的角为 ：
∵PA⊥平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，
则FM∥PA，且FM＝1，∴FM⊥平面ABCD， FC与平面ABCD所成角为∠FCM，∴
，
在Rt△FCM中，CM ， 又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，
∴AE，AD，AP彼此两两垂直， 以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间
直角坐标系，
∵PA＝AB＝2， ∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C( ，1，0)， D(0，
2，0)，
E( ，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴ (0，1，1)， (
，0，1)，
设平面EAC的一个法向量为 (x，y，z) 则 ，取x ，得 ( ，﹣3，3)，
平面ACD的一个法向量为： (0，0，1)，
设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，
则cosθ ． ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为 ．
选择③∠ABC ： ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，
∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，
∵E是BC的中点，∴BC⊥AE， ∴AE，AD，AP彼此两两垂直，
以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA＝AB＝2，∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C( ，1，0)， D(0，2，
0)，
E( ，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴ (0，1，1)， (
，0，1)，
设平面EAC的一个法向量为 (x，y，z)，则 ，
取x ，得 ( ，﹣3，3)，
平面ACD的法向量 (0，0，1)，设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ， θ则cosθ ．
∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为 ．
典例3、答案： （1）证明见详解； （2） ； （3）存在， 为 中点.
解：（1） 平面 ， 平面 ,
又 又 平面 ，
又 平面 , 得证.
（2） 为 中点，过 作 于 ，连 ， 在 中， 为中点
又 平面 ， 平面 , 为二面角 的平面角，
在直角梯形 中，
又 在 中，二面角 的余弦值为 .
（3） 的中点为 为 的中位线， ，
为平行四边形， 又 平面 , 平面
平面 .
随堂练习：答案： （1）在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG，证明见解析
（2）符合题意的点 存在且 为线段 的中点．
解：（1）证明如下：∵点 ， 分别是边 ， 的中点，
又 ，∴ ，且 是等边三角形， ∵ 是 的中点，∴
，
∵菱形 的对角线互相垂直，∴ ，∴ ，
∵ ， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，∴
平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）由题意知，四边形 为等腰梯形， 且 ， ， ，
所以等腰梯形 的面积 ，
要使得四棱锥 体积最大，只要点 到平面 的距离最大即可，
∴当 平面 时，点 到平面 的距离的最大值为 .
假设符合题意的点 存在．以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，又 ，
又 ，且 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，故平面 的一个法向量为 ，
设 （ ）， ∵ ， ，故
，
∴ ， ，
平面 的一个法向量为 ， 则 ， ，
即
令 ，所以 ，
则平面 的一个法向量 ， 设二面角 的平面角为 ，
则 ，即 ，解得： ，
故符合题意的点 存在且 为线段 的中点．典例4、答案：（1）证明见解析；（2）
解: （1）连接 ，交 于 ，连接 ，
底面 是菱形， 为 中点， 为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）选①：
以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴建立如图空间
直角坐标系，
底面 是菱形， ， ，
，
则 ，
设平面 的法向量为 ， 则 ，取 可得
，设 与平面 所成的角为 ， 则 ，
所以 与平面 所成的角为 ；
选②：
以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴建立如图空间
直角坐标系，
取 中点 ，连接 ，
底面 是菱形， ， ， 平面 ， 为 的中点，
， 平面 ， ， ，
则
，
设平面 的法向量为 ， 则 ，取 可得
，
设 与平面 所成的角为 ， 则 ，所以 与平面 所成的角为 ；
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）如图所示，取 的中点为 ，连接 ， ，
为 中点，所以 ，
所以 且 ，
因为 为 中点，四边形 为菱形，所以 且 ，
所以 且 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
选择条件①：
因为 平面 ，所以直线 与平面 所成角为 ．
因为 ， ，所以 ，所以 为正三角形．
取 中点为 ，连接 ，以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为
轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示
则 ， ， ， ， ，， ， ．
设平面 的一个法向量
则 ，即 ，令 ，则 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
选条件②：由 ，
解得 ， 因为 ，所以 ．则其对角 ,
取 中点为 ，连接 ，以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为
轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，以下步骤与选①一致.
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）选择条件①： 平面PAC，证明条件②： 成立. 延长BO交AC于点Q，连结PQ，
因为 平面PAC， 平面 ，平面PAC 平面 ，则 ，
∵ 是PB的中点，∴ ，
连结OA，∵ ，∴ ，
∵ 是三棱锥 的高，∴ 平面ABC， 、 平面ABC，
∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ；
选择条件②： ，证明条件①： 平面 成立.
取AB的中点E，连结OE、PE、DE，则 ， ∵PO是三棱锥 的高，
∴ 平面ABC， 平面ABC，∴ ，
又 ， 平面POE，， ∴ 平面POE， 平面POE，∴
，
∵ ，∴ ，又 平面PAC， 平面PAC，∴ 平面PAC，
又∵D是PB的中点，又 平面PAC， 平面PAC，∴ 平面PAC，
∵ ， 平面 ， ∴平面 平面PAC， 平面 ，
∴ 平面PAC；
（2）选择条件①：由（1）得 ，取AB的中点E，连结OE，则 ，
∵ ， ，∴ ， ，
以点O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴，z轴，过 和 平行的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得 ， ， ， ， ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
∴ ，令 ，则 ，∴ ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
∴ ，令 ，则 ，∴ ，
∴ ，由图，平面 与平面 夹角为锐二面角，
∴平面 与平面 夹角的余弦值为 .
选择条件②：由（1）得 ，∵ ， ，∴ ，
以点O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴，z轴，过 和 平行的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得 ， ， ， ， ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
∴ ，令 ，则 ，∴ ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，
∴ 令 ，则 ，∴ ，
∴ ，平面 与平面 夹角为锐二面角，
∴平面PAB与平面PAC夹角的余弦值为 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）设AC,BD交于点O，因为 是菱形，所以O为BD的中点.
连结OF.因为 为 的中点，所以 为 的中位线，所以 .
因为 面 ， 面 ， 所以 平面 .（2）过O作 .以O为原点， 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐
标系.
选条件①： .
在菱形 中， .因为 ，所以 ,
.所以 , , , , ,
, .
所以 , .
设 为面ACF的一个法向量，则： ，不妨令x=2，
则 .显然 为面ACD 的一个法向量. 设二面角 的平面角为 ，由图示，
为锐角，
所以 .
选条件② .
在菱形 中， ，所以 ,所以 .因为
，
所以 , .
所以 , , , , , , .
所以 , .
设 为面ACF的一个法向量，则： ，
不妨令x=2，则 . 显然 为面ACD 的一个法向量.
设二面角 的平面角为 ，由图示， 为锐角，
所以 .
选条件③： 与平面 所成的角为 .
因为 平面 ，所以 为 与平面 所成的角，即 .在直角三角形 中，由 可得： .所以 ,
.
所以 , , , , , , .
所以 , .
设 为面ACF的一个法向量，则： ，
不妨令x=2，则 . 显然 为面ACD的一个法向量.
设二面角 的平面角为 ，由图示， 为锐角，
所以 .
典例6、答案：（1）证明过程见详解 （2）（ⅰ） ；（ⅱ） .
解：（1）取 的中点 ，连接 ， ， ， ；
因为 分别为 的中点，所以 ， 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
又因为 分别为 的中点，四边形 为平行四边形，
所以 且 ，则四边形 为平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ，所以平面 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 .
（2）选择条件①和③
（ⅰ）因为 平面 ，所以 即为直线 与平面 所成的角，
由题意可知： ，又 ，所以 .
因为平面 平面 ，且平面 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ,
则四边形 为矩形，因为 ，所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，由 平面 可知： ，
在 中， ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离也就是直线 到平面 的距离.
因为 ，即 ，
也即 ，所以 故直线 到平面 的距离为 .（ⅱ）由（ⅰ）可知： ， ， 两两垂直，分别以 ， ， 所在直线
为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ，
， ，则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
则有 ，也即 ，令 ，则 ；
则有 ，也即 ，令 ，则 ，
则 ，
由图可知：二面角 为锐二面角， 所以二面角 的余弦值为
.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，因为 ， 分别是棱 ， 的中
点，则 ， ， 四边形 为平行四边形，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（2）在平面ACC中过点 作 于 ，连接 ，
1
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
选择条件①：
三棱锥 的体积 ， ，
在 中， ， 点 为 的中点， ，
故以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ，
， ，
，平面 平面 ， 平面 ， 平面
，
平面 即平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ， ，
，
显然二面角 为锐二面角，故二面角 的余弦值为 ．
选择条件②：
与底面所成的角为 ， ， ， 点 为 的中点，
，
故以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ， ，
，
，平面 平面 ， 平面 ， 平面
，
平面 即平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ， ，
，
显然二面角 为锐二面角，故二面角 的余弦值为 ．
选择条件③：
， 即为异面直线 与 所成的角，即 ，
， ， ，即 ， ，
故以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ， ，
，
，平面 平面 ， 平面 ， 平面
，
平面 即平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ， ，
，
显然二面角 为锐二面角，故二面角 的余弦值为 ．
