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空间向量和立体几何高考复习专题十一
知识点一 求点面距离,线面角的向量求法,点到平面距离的向量求法
典例1、如图，在直三棱柱 中，E，F，G分别为线段 及 的中点，
P为线段 上的点， ，三棱柱 的体积为
240．
（1）求点F到平面 的距离；
（2）试确定动点P的位置，使直线 与平面 所成角的正弦值最大．
随堂练习：如图，在直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点，已知
， ．
（1）证明： 平面 ； （2）求 与平面 所成角的正弦值；
（3）求 到平面 的距离．典例2、如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， 是矩形，
已知
，动点 在棱 上，点 在棱 上，且
.
（1）求证： ;
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值;
（3）在满足（2）的条件下，求点 到平面 的距离.随堂练习：如图所示的几何体中，四边形 为矩形， 平面 ，
，
点 为棱 的中点．
（1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
典例3、已知 是锐角三角形，分别以 为直径作三个球.这三个球交于一
点 .
（1）若 ，求 到平面 的距离；
（2）记直线 与平面 的夹角为 ，直线 与平面 的夹角为 ，直线 与平
面 的夹角为 ，证明： 为定值.随堂练习：如图所示，在三棱柱 中， ， ，
，平面
平面 ，点 是线段 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
（3）若点 在线段 上，且 平面 ，求点 到平面 的距离.
知识点二 证明线面垂直,求点面距离,证明面面垂直典例4、如图，四棱锥 的底面 是梯形， 为 延长线上
一点， 平面 是 中点.
（1）证明： ；
（2）若 ，三棱锥 的体积为 ，求点 到平面 的距离.
随堂练习：边长为1的正方形 中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将 ，
分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥
.
（1）证明：平面 平面 ； （2）求四棱锥 的体积.典例5、如图,在四棱锥 中,已知棱 两两垂直且长度分别1,1,2,
, ．
（1）若 中点为 ,证明: 平面 ; （2）求点 到平面 的距离．
随堂练习：在边长为2的正方形 外作等边 （如图1），将 沿 折起到
的位置，使得 （如图2）.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若F，M分别为线段 的中点，求点P到平面 的距离.典例6、如图，在四棱锥 中， 底面ABCD，梯形ABCD中， ，
，E是PD的中点.
（1）求证：平面 平面PBC； （2）若 ，求P到平面AEC的距离.随堂练习：如图，D，O是圆柱底面的圆心， 是底面圆的内接正三角形， 为圆
柱的一条母线，
P为 的中点，Q为 的中点，
（1）若 ，证明： 平面 ；
（2）设 ，圆柱的侧面积为 ，求点B到平面 的距离.
空间向量和立体几何高考复习专题十一答案
典例1、答案：（1） （2）P为 中点
解：（1）在 中， ， 为 的中点， ，即 ，
1
86BB
由直三棱柱 的体积 ，则2 1=240解得 ，
以 为原点，并分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
由 为 的中点，则 ，由 为 的中点，则 ，
在平面 中，取 ， ，设该平面的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
故平面 的一个法向量为 ，
取 ，由点面距公式，可得 到平面 的距离
.
（2）由（1）可知： ， ， ， ， ，
由 ， 平面 ，则设 ， ，
设 ，即 ， ，
在平面 内，取 ， ，设其法向量 ，则 ，即 ，令 ，则 ，
故平面 的一个法向量 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
则
当 时，P与B重合， 当 时， ，
令 ，
当 时，即 ，P为 中点时，
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）证明：连接 ， ，连接 ，
在直三棱柱 中 为矩形，则 为 的中点，又 为 的中点，
所以 ，
平面 ， 平面 ． 平面 ．（2） ， ， ， ， ．
由直三棱柱 中， 底面 ， 底面 ， ，
．
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
，
所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ；（3）设 到平面 的距离为 ，则 ；
典例2、答案：（1）证明见解析； （2） ； （3）点 到平面 的距
离为 .
解：（1）因为四边形 是矩形，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
（2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ， 所以 平面 ，又 ，
所以 两两相互垂直，
以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ,
设 ，则 ， 所以 ， ，
设平面 的法向量为 ， ， 则 ， ，
取 ，可得 ，
设直线 与平面 的夹角为 ， 则，
所以 ， 化简可得 ，又 ， 所以 ，
所以 ；
（3）由(2) 平面 的法向量为 ， ，又 ，
设点 到平面 的距离为 ， 则 .
所以点 到平面 的距离为 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2） （3）1
解：（1）连接BD，交AC于点O， 又P，O分别为DF和DB的中点， 所以
BF//PO，因为PO⊂平面APC，BF⊄平面APC， 所以BF//平面APC；
（2）直线AF⊥平面 ，AB⊂平面ABCD， 所以AF⊥AB，
由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB， 所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，
y，z轴，
建立空间直角坐标系， ，
所以 ， ， ，
设平面BCF的法向量 ，则 ，
令 ，则
设直线DE与平面BCF所成角的正弦值θ，所以
，
所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值 ；
（3）由（2） ，
设平面APC的法向量为 ，则 ， 令 ，则
所以平面APC的法向量 ，则点E到平面APC的距离 ， 所以E到平面APC
的距离1．
典例3、答案：（1） ； （2）证明见解析.
解：（1）依题意得 ，故可以 为 轴， 为 轴，
为 轴建立空间直角坐标系.
而 ，故 ，故 ，则
，
设平面 的法向量为 则 ，故
，设 到平面 的距离为d，则 .
（2）按（1）方式建系，设 ，
则 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，
同（1）可得： ，
，
，
故 故 为
定值.
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2） （3）
解：（1）取线段 的中点 ，连结 ，
因为平面 平面 ， ，所以 平面 ，所以 平面
，
因为 ， ，所以 是正三角形，又点 是线段 的中点，所以 .可以建立以 为原点，
分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴正方向的空间直角坐标系（如
图），
可得 ， ， ， ， ， ，
， ，
证明： ， ，设 为平面 的法向量，
则 ，即 ， 不妨令 ，可得 ，
又 ，故 ， 因此 平面 .
（2）依意， ，由（I）知 为平面 的法向量.
因此 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为
.
（3）依题意，设 ， ，
所以 ，因此
，设 为平面 的法向量， 则 ，即
，
不妨令 ，可得 ，
，因为 平面 ，所以 ，解得 ， 所以
，
设点 到平面 的距离为 ， ，
则 ， 所以点 到平面 的距离为 .
典例4、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）连接 ，
平面 平面 ，同理 ， ，
，
.
又 平面 , 平面 . 平面 .
取 的中点 ，连接 为 的中点， ， .， ，
为 的中点， .
又 平面 ， 平面 . 平面
.
（2） .
，且 四边形 为矩形，即 ，
又由（1） ， 平面 ， ， 平面 .
∴ .
连接 ， 中 ， 中 .
为 中点， 点 到平面 的距离 中，
.
由（1）知 面 ， 在 中， ，
中， ∴ ，.
设点 到平面 的距离为 ，则 即 ，
解得 .所以点 到平面 的距离为 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）证明：在正方形 中有 ， ， ，
，又因为 ，所以 平面 ，而 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）连接MN,由题意可得 ， ，
，由 ，所以 为直角三角形，即
，
设点 到平面 的距离为 ，由 得，
，即 ，得 ，即四棱锥 的体积为
典例5、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）证明:取 中点为 ,连接 ,如图所示:
分别为 中点, ,且 ,
, , ,
故四边形 为平行四边形, 故 ,
不含于平面 , 平面 , 故 平面 ;
（2）连接 , 两两垂直且长度分别为1,1,2, 且 , ,
,
将底面拿出考虑如下:, , ,
, , ,
记 到平面 的距离为 , 则 ,
解得: , 故 到平面 的距离为 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）由于 ，所以 ，
由于四边形 是正方形，所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ， 所以平面 平面 .
（2）连接 ，由于三角形 是等边三角形，所以 ，
由于平面 平面 且交线为 ， 平面 ， 所以 平面
.
由于 是 的中点，所以 到平面 的距离是 ，
且 到平面 的距离等于 到平面 的距离，设这个距离为 .
由于 平面 ，所以 ，
所以 ， ，在三角形 中，由余弦定理得 ，
所以 ， ，
在三角形 中， ，
则 为锐角， ， 所以
，
， 由 得 ，
解得 ， 所以点P到平面 的距离为 .
典例6、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）∵PC⊥平面ABCD， 平面ABCD，∴ .
取AB的中点M，连接CM， ∵ ， ，∴ ，
，
∴四边形ADCM为平行四边形.∵ ，∴ 为菱形，∴ .
∵ ， ∴四边形BMDC为平行四边形, ∴ ,
∴ .又有 ， 平面PBC,
∴AC⊥平面PBC. 平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.
（2）∵ ， ， ，∴ ，
又有 ， ， ，∴ .
，E为PD的中点， ， ∴在 中，
.
由 , 得 , 求得
.
在 中， ，则 ，∴ 的面积 .
设P到平面AEC的距离为d，又 ，解得 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析 （2）解：（1）∵D，O为圆柱底面的圆心， ∴ 平面 .
而 为圆柱的一条母线， ∴ .
又∵P为 的中点，Q为 的中点，
∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ .
又∵P在 上，而 平面 ， ∴O为P在 内的投影，
且 是圆内接正三角形. ∴三棱锥 为正三棱锥.
∴ ， ∴ ，
即 . ∵ ， 平面 . ∴ 平面
，
∵ ， ∴ 平面 .
（2）设点B到面 的距离为h，设圆柱底面半径为r，
由母线 及圆柱的侧面积为 ， 得 ，解得 ， 则
.
在 中， ， 则 ，
， 又 ，且 ， ∴ ，解得 .
故点B到平面 的距离为 .
