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2024年高考导数复习专题八
知识点一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究不等式恒成立问题,由导
数求函数的最
典例1、已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的单调递减区间； （2）若 ，求函数 在区间
上的最大值；
（3）若 在区间 上恒成立，求 的最大值.
随堂练习：已知 ．
（1）若 有最值，求实数a的取值范围；
（2）若当 时， ，求实数a的取值范围．典例2、已知函数 且 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
随堂练习：已知 ．
（1）已知函数 在点 的切线与圆 相切，求实数a的值；
（2）当 时， ，求实数a的取值范围．典例3、已知函数 .
（1）若 ，求 在 处的切线方程； （2）求 的最值；
（3）若 时， ，求a的取值范围.
随堂练习：设函数 ，记 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程； （2）求函数 的单调区间；
（3）若函数 的图象恒在 的图象的下方，求实数a的取值范围．知识点二 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,用导数判断或证明已知函数的单调
性,
利用导数证明不等式
典例4、设函数 .
（1）若 ，求 在点 处的切线方程； （2）求 的单调递减区间；
（3）求证：不等式 恒成立.随堂练习：已知函数 .
（1）当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若方程 有两个不相等的实数根 ，求证：
.
典例5、已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求 的单调区间；
（3）若关于x的方程 有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 ，求证：随堂练习：已知函数 为常数， 是自然对数的底数），曲线
在点 , 处的切线与 轴平行．
（1）求 的值； （2）求 的单调区间；
（3）设 ，其中 为 的导函数．证明：对任意 ，
．
典例6、已知直线 是函数 图象的切线，也是曲线 的切线．
（1）求 ， 的值； （2）证明：当 , , 时， ；
（3）当 时，讨论函数 的单调性．随堂练习：已知函数 ， 为 的导函数．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（3）当 时，求证：对任意的 ， ，且 ，有
．2024年高考导数复习专题八答案
典例1、答案：（1） （2）答案见详解 （3） 1
解：（1）当 时， ，则 ，
令 ．因为 ，则 所以函数 的单调递减区间是
（2） ． 令 ，由 ，解得 ， （舍去）．
当 ，即 时，在区间 上 ，函数 在 上是减函数．
所以函数 在区间 上的最大值为 ；
当 ，即 时， 在 上变化时， 的变化情况如下表
x
+ + -
↗ ↘
所以函数 在区间 上的最大值为 ．
（3）综上所述：当 时，函数 在区间 上的最大值为 ；
当 时，函数 在区间 上的最大值为 ．
当 时，则 在 上恒成立 ∴函数 在 上是减函数，则
∴ 成立当 时，由（2）可知：
①当 时， 在区间 上恒成立，则 成立；
②当 时，由于 在区间 上是增函数，
所以 ，即在区间 上存在 使得 ， 不成立
综上所述： 的取值范围为 ，即 的最大值为 ．
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， 在 上恒成立，则 在 上单调递增，无最值，不
合题意，舍去
当 时，令 ，则 ，令 ，则
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，则 在 处取到最小值
所以 ，即实数a的取值范围为 ．
（2）因为 ， ，所以 ， 因为 ，所以 成立．
令 ，则 令 ，则 当
时恒成立
∴ 在 上单调递增，则 则 当 时恒成立
所以函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，即实数a的取值范围为 ．
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）当 时，因为 ， 所以 ， ，
又因为 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 即
；
（2）因为 且 ， 所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，取 ，则 ，
不符合题意，
当 时，令 ，解得 或 （舍），
当 时， ，所以 在区间 上单调递减，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，
若 恒成立，只需 ，解得 ， 综上可知， 的取值范围是
．
随堂练习：答案：（1） 或 ；（2） .详解:（1）由题知， ， ． 在点 的切线斜率为
，
在点 的切线方程为 ， 即 ，
由题意知， ，解得 或 ．
（2）设 ，
设 ， ， 当 时， ， ，
，
即 在 上是增函数， ，
当 时， ， 则当 时， ， 函数 在
上是增函数，
当 时， ，满足题意，
当 时， ， 在 上是增函数，
，
存在 上，使 ，当 时， ， 函数 在
是减函数
当 时， ，不满足题意．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
典例3、答案：（1） ； （2）答案见解析； （3） .解：（1）当 时， ， 则 ，故 ，又 ，
所以在 处的切线方程为 ，即
（2） ， .
①当 时， ， 则 在R上单调递增，所以 无最值；
②当 时，令 ，得 .
当 时， ; 当 时， ,
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得最小值为 无最大值.
综上，当 时， 无最值；当 时， 有 最小值为 ，无最大值.
（3）由题意得 对于任意的 恒成立， 且当x=0时，
等号成立.
令 则 ，
①若 ，则 . 令 , 则 ，显然 在
[0，+∞)上恒成立，
在[0，十∞)上单调递增，即 在[0，十∞)上单调递增.
当 ，即 时， . 又 , 易证 ，
, ，使 ，
时， ,即 在 上单调递减， 对 ，
不符合题意;
当 ,即 时， , 在 上单调递增，， ，符合题意，所以 ;
②当 时，只需证明当 时， 即可.
令 ， 则
， 易得 即 在 上单调递
增，
故 时， ， ， ，即 在 上
单调递增，
所以 ，即当 时， 在 上恒成立，
综上所述， 的取值范围是 .
随堂练习：答案：（1） ； （2）单调区间见解析； （3）
解：（1） ，所以 ， ，则切线方程为 .
（2） ， ，
当 时， ，则 在 上为增函数；当 时， ，即 ，则 在 上为增函数， 上为减
函数.
综上所述，当 时，则 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时，则 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）函数 的图象恒在 的图象的下方，即
恒成立；
由(2)知，当 时，则 在 上为增函数，此时 无最大值，
事实上 ，不合题意；
当 时， 在 上为增函数， 上为减函数.
所以 ，故 ； 即实数a的取值范围是
典例4、答案：（1） （2） （3）证明见解析
解：（1）当 时， ， ， ，又 ，
在点 处的切线方程为： ，即 .
（2）由题意得： 定义域为 ， ； 令 ，
解得： ，当 时， ；当 时， ； 的单调递减区间为
.
（3）设 ，则 ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，又 ， ，
，使得 ，则 ， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
（当且仅当 时取等号），
又 ， ， ，即 恒成立.
随堂练习：答案：（1） ；（2）当 时， 在 上是减
函数；当 时， 在 上是增函数；（3）证明见解析.
解:（1）当 时， ，
所以 ， ，
所以函数 的图象在 处的切线方程为 ，即 ；（2）由已知得 ， ，令
，得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数；
（3）当 时， ， ，由（2）得 在 上单调递减，在
单调递增，
所以 ，且 时， ，当 时， ， ，
所以当方程 有两个不相等的实数根 ，不妨设 ，且有 ，
，
构造函数 ，则 ，
当 时， 所以 ，
在 上单调递减，且 ， ，
由 ，在 上单调递增，
.
所以 .
典例5、答案：（1） ；（2）当 时， 在 上单调递增；当 时
在 上单调递减，在 上单调递增；（3）证明见解析.
解:（1） ， ， ， ，
所以在点 处的切线方程为 ， 整理得： ，
（2）函数 定义域为 ，
当 时， ，此时 在 上单调递增； 当 时，令 ，得
，
此时在 上 ， 单调递减， 在 上 ， 单调递增，
综上： 时， 在 上单调递增， 时， 在 上单调递减，在
上单调递增；
（3）证明：由（2）可知，当 时， 才有两个不相等的实根，且
，
则要证 ，即证 ，即证 ， 而 ，则 ，否则方程不成立），
所以即证 ，化简得 ，
令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增， 所以 （1） ，而 ，
所以 ， 所以 ，得证．
随堂练习：答案：（1） ； （2） 在 递增，在 递减； （3）证
明见解析.
解：（1）由题设， ， ，
又 在 , 处的切线与 轴平行，即 ， .
（2）由（1）得： ， ， 令 ， ，
当 时， ，当 时， ，又 ，
时， ， 时， ， 在 递增，在 递减；
由 ，即 ， ， ，
，
（3）由（2），对于 ， ， ， ，
时 ， 递增， , 时 ， 递减，
，即 ， 设 ，则，
时 ， 递增，即 ，则 ，
综上， ，故 ， ，得证．
典例6、答案：（1） ， ； （2）证明见解析；
（3） 在 上单调递增，在 上单调递减.
解：（1）设 与 和 的切点分别为 , 、 , ；
， ， ， ，可得 ，
切线方程分别为 即 ，
或 即 ，
，解得 ， ， ；
（2）令 ， , , ，则 ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 递增，在 递减，则 ，故 , , 时 ，
即 ；
，则 ，故 ，
在 上单调递减，而 ， ，（3）由（2）中 的单调性，可得： ， 由（2）及 可得：
，
使得 ，即 时 ， 时 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减．
随堂练习：：答案： （1） ；（2）函数 的单调递减区间为 ，单调递
增区间为 ； 的极小值为 ，无极大值 ；（3）证明见
解析 ．
解： （1）当 时， ， ．可得 ， ，所以曲
线 在点 处的切线方程为 ， 即 ．
（2）依题意， ．
从而可得 ，整理可得： ， 令 ，解得
．
当x变化时， 的变化情况如下表：
x
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
的极小值为 ，无极大值．（3）证明：由 ，得 ．对任意的 ， ，且 ，
令 ，则：
． ①
令 ， ． 当 时， ，
由此可得 在 单调递增， 所以当 时， ，即 ．
因为 ， ， ，
所以 ． ②
由（2）可知，当 时， ，即 ， 故
③
由①②③可得 ．
所以，当 时，任意的 ，且 ，有 ．
