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2024年高考导数复习专题四
知识点一 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究函数的零点
典例1、已知函数f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R．
（1）若k＝0，求曲线y＝f(x)在x＝0处切线的方程；
（2）讨论函数f(x)在[0，＋∞)上零点的个数．
随堂练习：已知函数 ．
（1）求函数 的图象在 处的切线方程；（2）判断函数 的零点个数，
并说明理由.典例2、已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论 在区间 上的零点个数.
随堂练习：已知函数 .
（1）若 ，求曲线 的斜率等于3的切线方程；
（2）若 在区间 上恰有两个零点，求a的取值范围.典例3、已知函数 ，其中 为常数.
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若函数 在区间 上只有一个零点，求 的取值范围.
随堂练习：已知函数 ，其中 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 内只有一个零点，求 的取值范围.知识点二 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）,利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的零点
典例4、已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 .
（1）求 的值； （2）函数 在区间 上存在零点，求 的值；
（3）记函数 ，设 （ ）是函数 的两个极值点，若
，
且 恒成立，求实数 的最大值.
随堂练习：已知函数（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，且 在区间 上恒成立，求 的取值范围；
（3）若 ，判断函数 的零点的个数.
典例5、已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）函数 在区间 上有零点，求k的值；
（3）记函数 ，设 是函数 的两个极值点，若
，
且 恒成立，求实数k的取值范围.随堂练习：已知函数 ，设 ．
（1）若 ，求 的最小值
（2）若函数 有两个零点，求实数m的取值范围；
（3）若直线 是曲线 的一条切线，求证： ，都有
．
典例6、已知函数 ，（ ）.
（1）求函数 在点（e，e）处的切线方程；
（2）已知 ，求函数 极值点的个数；
（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.随堂练习：已知函数 ．
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求a的取值范围；
（3）当a=3时，设函数 ，证明：对于任意的k<1，函数 有且只有
一个零点．
2024年高考导数复习专题四答案
典例1、答案：（1） （2）当 时， 有且仅有1个零点；当 时，有有2个零点.
解：（1）当 时， ， ，
则曲线 在 处切线的斜率为 ，
又 ，故切点为 ，因此切线方程为 .
（2）首先证明：当 时， . 证明：设 ， ，则 ，
单调递增，
于是 ，即原不等式得证. ，
，
当 时， ， 故 在 上单
调递增.
若 ，则当 时， ， 单调递增，
又 ，故此时 有且仅有1个零点. 若 ，则 ，
又 ，
所以 在 上存在唯一的零点 ， ，当 ， ，当
， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
且 ， ，因此 在 上有2个零点.
综上，当 时， 有且仅有1个零点；当 时， 有有2个零点.随堂练习：答案：（1） （2） 在区间 上有且仅有一个零点，理由
见解析
解：（1） ， 所以函数 的图象在 处的切线
方程为 ，
即 .
（2）设 ，则 ，
①当 时， ，所以 单调递减；且 ，
，
由零点存在定理可知，在区间 存在唯一的 ，使
又当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，
且 ， ，所以 在
上有唯一零点；
当 时， 单调递减，且 ，所以 在 上没有
零点.②当 时， 单调递增， ， ，
所以 在区间 有唯一零点，设为 ，
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
在区间 上 ，此时 单调递减，
且 ，故有 ，此时 单调递减，且 ，
由 ，得 ， 所以
.
当 时， ，所以 单调递增，
又 ，故 ，
， ，所以存在 ，使 ，即 ，故 为 的极小值点.
此时 . 所以 在 上没有零
点.
③当 时， ，
所以 ，所以 在区间 上没有零点.
综上 在区间 上有且仅有一个零点.
典例2、答案：（1） （2）见解析
解：（1）当 时， ，即切点的坐标为
切线的斜率
切线的方程为： 即
（2）
令 ，解得 ， 在 上递增 同理可得， 在 上递增
上递减
讨论函数 零点情况如下：（Ⅰ）当 ，即 时，函数 无零点，在 上无零点
（Ⅱ） 当 ，即 时，函数 在 上有唯一零点 ，而
，
在 上有一个零点
（Ⅲ）当 ，即 时，由于 ，
当 时，即 时， ，
由函数的单调性可知，函数 在 上有唯一零点 ，在 上有唯一零点
，
在 有两个零点
当 ，即 时， ，而且 ，
由函数单调性可知，函数 在 上有唯一零点，
在 上没有零点，从而 在 有一个零点
综上所述，当 时，函数 在 有无零点当 或 时，函数 在 有一个零点
当 时，函数 在 有两个零点
随堂练习：答案： （1） ； （2） ．
解: 由已知函数 定义域是 ，
（1） ， ， 由 解得 （
舍去），
又 ，所以切线方程为 ，即 ；
（2） ， 易知 只有一个极值点 ，要使得
有两个零点
则 ，即 ，此时在 上 ， 递减，
在 上 ， 递增， 在 时取得极小值 ，所以 解得 ． 综上 的范围是 ．
典例3、 （1） ； （2） .
解: （1）当 时， ，
对函数 求导可得 ，
所以 ， 又 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由（1）知 ，
因为 ，所以 ， 所以 ，所以
，
所以 ， 故函数 在区间 上单调递增.
因为函数 在区间 上只有一个零点，
结合零点存在定理可得 ， 解得 ，即 的取值范围是 .
随堂练习：答案：（1） ； （2） .解：（1） , ，
则 ， 故所求切线方程为 ；
（2） ， 当 时， 对 恒成立 ，
则 在 上单调递增，从而 ，则 ，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
当 时， 对 恒成立，则 在 上单调递减，
在（1，2）内没有零点 ， 综上，a的取值范围为（0，1）.
典例4、答案： （1） （2） 或 （3）
解：（1）因为曲线 在 处的切线方程为 ，所以切点为 ，
所以 ，得
（2）由（1）得 ，则 ，当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上递减， 上递增， 所以当 时， 取得极小值
，
因为 ， 所以 在区间 上存在一个零点 ，此时
，
因为 ，
所以 在区间 上存在一个零点 ，此时 ， 综上 或
（3） ， 则，
由 ，得 ， 因为 （ ）是函数 的两个极值点，
所以方程 有两个不相等的正实根 ， 所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 或 ， 因为 ，所以
，
所以
令 ，则 ，所以 在
上单调递减，
所以当 时， 取得最小值，即 ，
所以 ， 所以实数 的最大值为
随堂练习：答案： （1） ；（2） ；（3）当 时，函数 恰有1个零点．
解：（1）若 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以切线方程为
（2）依题意，在区间 上 因为 ， ．
令 得， 或 ． 若 ，则由 得， ；由 得，．
所以 ，满足条件；
若 ，则由 得， 或 ；由 得，
，
依题意 ，即 ，所以 ．
若 ，则 ． 所以 在区间 上单调递增， ，不满足条件；
综上， ．
（3） ， ．
所以 ．设 ， ．
令 得 ． 当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．所以 的最小值为
．
因为 ，所以 ．所以 的最小值
．
从而， 在区间 上单调递增． 又 ，
设 ． 则 ．令 得 ．由 ，得
；由 ，得 ．所以 在 上单调递减，在 上单调递增．所以
．
所以 恒成立．所以 ， ．
所以 ．
又 ，所以当 时，函数 恰有1个零点．
典例5、答案： （1） （2） 或 （3）
解：（1）因为 ，所以 ， 切线斜率为 ，
又 ，切点为 ，所以切线方程为 ；
（2） ， ， 当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增， 所以 的极小值为 ，
，
在区间 上存在一个零点 ，此时 ；
又 ， ，
在区间 上存在一个零点 ，此时 ． 综上， 的值为0或3；
（3）函数 ， ，所以
，
由 得 ，依题意方程 有两不相等的正实根 、
，， ， ， 又 ， ， ，解得
，
，
构造函数 ， ， 所以 ， 在
上单调递减；
所以当 时， ， 所以 ．
随堂练习：答案： （1）0 （2） （3）证明见解析
解：（1）当 时， ， 令
．
列表如下：
单调递减 极小值0 单调递增
所以 的最小值为0
（2） ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
， 要使 有两个零点，首先必有
当 时，注意到 ，在 和 上各有一个零点，符合题意， 综上： 取值范围为 ．
（3）由题得， ，设 与 切于 ，
， ，
要证： ，需证：
即证： ，即证： ．
令 ，需要证明： ， ．
构造 ， ， 在 上单调递增， ，
证毕．
典例6、 答案：（1） （2）答案见解析 （3）
解：（1）由已知 ，所以 ，所以 ，切线斜
率 ，
所以函数 在，点 处的切线方程为 ，即 .
（2） ， 令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
由 得 ，
所以当 时，由 ，函数 有两个变号零点，函数 有两个极值点.
当 时，函数 有一个变号零点，函数 有一个极值点.
当 时，函数 没有变号零点，函数 没有极值点.
（3）不等式 等价于 .
令 ，
则 在 上恒成立，所以必须有 ，
所以 . 又 ，
显然当 时， ，则函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 . 综上可知， 的取值范围为 .
随堂练习：答案：（1） ； （2） ； （3）证明见解析.
解：（1）由 求导得： ，则 ，而 ，
所以函数 在 处的切线方程为： ，即 .
（2） ， ，令 ，
求导得： ，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时，
，
则有 ，所以a的取值范围是 .
（3）当a=3时， ，由k<1得 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，而
， ，即函数 在 上有唯一零点，因此，函数 在 上有唯一零点，
当 时，令 ，则 ，
，
当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在
上单调递增，
， ，因此，函数 在 上没有零点，
综上得，函数 在R上有唯一零点，
所以对于任意的k<1，函数 有且只有一个零点．
