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人教A版数学--概率专题十三
知识点一频率分布直方图的实际应用,由频率分布直方图估计平均数,利用对立事件的概
率公式求概率
典例1、如图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的茎叶图（图中仅列出 、
的数据）和频率分布直方图.
（1）求全班人数以及频率分布直方图中的 、 ；
（2）估计学生竞赛成绩的平均数和中位数（保留两位小数）.
（3）从得分在 和 中学生中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少有一人
的得分在区间 的概率是多少？
随堂练习：为了选择奥赛培训对象，今年 月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同
学中，选取 名同学将其成绩分成六组：第 组 ，第 组 ，第 组 ，
第 组 ，第 组 ，第 组 ，得到频率分布直方图（如图），观察图
形中的信息，回答下列问题：（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（2）从频率分布直方图中，估计第 百分位数是多少；
（3）已知学生成绩评定等级有优秀､良好､一般三个等级，其中成绩不小于 分时为优
秀等级，若从第 组和第 组两组学生中，随机抽取 人，求所抽取的 人中至少 人
成绩优秀的概率.
典例2、某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的
语文成绩作为样本，得到以
分组的样本频率分布直方图如图．
（1）求直方图中 的值；
（2）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；
（3）样本内语文分数在 的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学
生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在
中的概率．随堂练习：某校为检测高一年级学生疫情期间网课的听课效果，从年级随机抽取 名
学生期初考试数学成绩（单位：分），画出频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区
间是 、 、 、 、 .
（1）求图中 的值，并根据频率分布直方图估计这 名学生数学成绩的平均分；
（2）从 和 分数段内采用分层抽样的方法抽取 名学生，再从这 名学生中
随机抽取 名学生进行座谈，求这 名学生中有两名成绩在 的概率；
（2）已知（2）问中抽取的 名同学中含有甲、乙两人，甲已经被抽出座谈，求乙也参
与座谈的概率.
典例3、为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我
校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的 名同学
的初赛成绩 满分： 分 作统计，得到如图所示的频率分布直方图 有数据缺失 ．请大家完成下面的问题：
（1）根据直方图求以下表格中 、 的值；
成绩
频数
（2）求参赛同学初赛成绩的平均数 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ；
（3）若从这 名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为 的样
本，再在该样本中成绩不低于 分的同学里任选 人继续参加教育局组织的校际比
赛，求抽到的 人中恰好 人的分数低于 分且 人的分数不低于 分的概率．（写
出求解步骤）
随堂练习：《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，
某市大约10万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写
测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按
如下方式分成六组：第1组 ，第2组 ，…，第6组 ，如图是按
上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6
组的概率；
（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；
（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传
统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．
知识点二 观察茎叶图比较数据的特征,独立性检验解决实际问题
典例4、某商场为提高服务质量，随机调查了20名男顾客和20名女顾客，根据每位顾
客对该商场服务质量的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图.
（1）根据茎叶图判断男、女顾客中，哪类顾客对该商场的服务质量更认可？并说明理
由；
（2）将这40名顾客的评分的中位数记为 ，并将评分超过 和不超过 的顾客数填入
下面的列联表；
超过 不超过
男顾客
女顾客
（3）根据（2）中的列联表，能否有90％的把握认为顾客对该商场服务质量的评分与
性别有关？
附： .
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828随堂练习：根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录数据绘制了如下
茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪位运动员的成绩更好？并说明理由；
（2）求24个得分的中位数m，并将所得分超过m和不超过m的得分数填入下面的 列联
表，并根据该列联表，判断能否有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有
差异？
超过m 不超过m
甲
乙
附：
0.15 0.10 0.05
2.072 2.706 3.841典例5、为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教
学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个
班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于70
分为“成绩优良”.
（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05
的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?
甲班 乙班 总计
成绩优良
成绩不优良
总计
（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人，
记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数，求ξ的分布列及数学期望.附:K2= (n=a+b+c+d)，
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010
0
k 2.706 3.841 5.024 6.635
0
随堂练习：某单位随机抽取了15名男职工和15名女职工，对他们的饮食习惯进行了一
次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数.（说明：图中饮食指数低于70的
人，喜食蔬菜；饮食指数高于70的人，喜食肉类.）
喜食蔬菜 喜食肉类 总计
男
女
合计
（1）通过观察茎叶图，对男､女职工的饮食指数进行比较，请直接写出两条统计结论；（2）完成 列联表，并判断是否有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与性别有关.
参考公式及附表： .
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
典例6、为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：
患病 未患病 总计
没服用药 20 30 50
服用药 x y 50
总计 M N 100
设从没服用药的动物中任取2只，未患病数为 ：从服用药物的动物中任取2只，未患
病数为 ，工作人员曾计算过
（1）求出列联表中数据 ，y，M，N的值：（2）求 与 的均值（期望）并比较大小，请解释所得结论的实际含义：
（3）能够以99%的把握认为药物有效吗？
（参考公式 ，其中
P（K2≥k） 0.10 0.05 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
随堂练习：某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地
随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型
病的人数占男性病人的 ，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的 ．
（1）完成下面的2×2列联表．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾
病类型”与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计男
女
合计
（2）某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队
各至多安排2个接种周期进行试验，每人每次接种花费 元．甲团队研发的
药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为
；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成
3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入
第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若 ，
从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？
人教A版数学--概率专题十三答案
典例1、答案：（1）25（人）， ， （2）平均数为71.4，中位数约为
；（3） .解：（1）分数在 的频率为 ，
由茎叶图知，分数在 之间的频数为 ，∴全班人数为 （人），
（2）分数在 之间的频数为 ，则 ，
由 解得 ；
平均数为 ，
∵ ，∴中位数在 内，
设中位数为 ，则 ，解得 ， ∴中位数约为
；
（3）得分在 内的人数为 人，记为 、 、 ，
得分在 内的人数为 人，记为 、 ，
从这 人中随机抽取两人的所有基本事件为：
、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个，
其中所抽取的两人都在 的基本事件为： 、 、 共 个，
则所抽取的两人中至少有一人的得分在区间 的概率为 .
随堂练习：答案：（1） （2） （3）
解：（1）由频率分布直方图可知平均数
（2） 成绩在 的频率为 ，
成绩在 的频率为 ，
第 百分位数位于 ，设其为 ，
则 ，解得： ， 第 百分位数为 .
（3）第 组的人数为： 人，可记为 ；
第 组的人数为： 人，可记为 ；
则从中任取 人，有 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共 种情况；其中至少 人成绩优秀的情况有： ， ， ， ， ， ，
， ，
， ， ， ， ， ， ，共 种情况；
至少 人成绩优秀的概率 .
典例2、答案： （1）0.01； （2）中位数是 ，平均数是 ； （3） .
解：（1）由频率分布直方图得： .
（2）由频率分布直方图知，分数在区间 、 的频率分别为0.34，
0.62，
因此，该校语文成绩的中位数 ，则 ，解得
，
语文成绩的平均数为
，
所以该校语文成绩的中位数是 ，语文成绩的平均数是 .
（3）由频率分布直方图知，分数在 内分别有8人和2人，
因此抽取的5人中，分数在 内有 人，在 内有1人，
记 内的4人为a，b，c，d，在 内的1人为F，
从5人中任取2人的结果有： ，共10个不同结果，
它们等可能，
选出的2人中恰有一人成绩在 中的结果是： ，
所以选出的两名学生中恰有一人成绩在 中的概率是 .
随堂练习：答案： （1） ，平均分为 （分） （2） （3）
解：（1）依题意得 ，解得 ，
这 名学生的数学平均分为
（分）.
（2）由（1）可知，成绩在 和 中的学生人数比为 ，
所以用分层抽样方法抽取成绩在 和 中的学生人数分别为 人和人，
设成绩在 中的三人为 、 、 ，成绩在 中的二人为 、 ，
从这 人中任取三人的所有可能情况为： 、 、 、 、 、
、
、 、 、 ，共 种，
而有两名成绩在 中的有 、 、 、 、 、 ，共 种，故所
求概率为 .
（3）由题可知，乙也参加座谈属于条件概率， 设（2）中 人分别为：甲、乙、
、 、 ，
甲被抽出的情况为：甲乙 、甲乙 、甲乙 、甲 、甲 、甲 ，共6种，
在甲参加的条件下乙也参加的情况有：甲乙 、甲乙 、甲乙 ，共 种，
故甲已经被抽出座谈，乙也参与座谈的概率为 .
典例3、答案： （1） ， ； （2） （3）
解：（1）因为个体在区间 内的频率是 ， 所以频数
在 内的频率是 ， 所以频数
（2）平均数为 ；
（3）由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为 的样本，则抽样比例为
，
在区间 和 内抽取的人数各为 和 ，
分别记这 人为 、 、 、 、 和 、 ，
则事件的总体是 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，共有 个基本事
件，
记所求的事件为 ，则 中包含的基本事件为：
， ， ， ， ， ， ， ，， ，共 个基本事件， 所以 .
随堂练习：答案： （1） （2）平均数 ；中位数 （3）
解：（1）由频率分布直方图可知：被采访人恰好在第2组或第6组的概率
（2）设平均数为 ,则
（3）设中位数为 ，则 ∴中位数
共 人，其中男生3人，设为 ， ， ，女生三人，设为 ， ， ，
则任选2人，基本事件有 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， 共15种，
其中两个全是男生的有 ， ， 共3种情况， 设事件 ：至少有1
名女性，
则至少有1名女性市民的概率
典例4、答案： （1）男顾客，理由见解析 （2）列联表见解析 （3）没有
解：（1）男顾客对该商场的服务质量更认可.
理由如下：由茎叶图可知，男顾客的评分更多集中在 ，女顾客的评分更多集
中在 ，
故男顾客对该商场的服务质量更认可.（考生如果给出其他合理理由也可得分）
（2）由茎叶图可知， .
列联表如下：
超过 不超过
男顾客 11 9
女顾客 7 13（3）
故没有90％的把握认为对该商场服务质量的评分与性别有关.
随堂练习：答案： （1）乙运动员的成绩更好，答案见解析 （2）表格见解析，没
有
解：（1）乙运动员的成绩更好，理由如下：
（ⅰ）由茎叶图可知：乙运动员的得分基本上是对称的，叶的分布是“单峰”的，
有 的叶集中在茎3，4上；甲运动员的得分基本上也是对称的，
只有 的叶集中在茎3，4上．所以乙运动员的成绩更好．
（ⅱ）由茎叶图可知：乙运动员得分的中位数是36；
甲运动员得分的中位数是27．所以乙运动员的成绩更好．
（ⅲ）从叶在茎上的分布看，乙运动员的得分更集中于单峰值附近，
这说明乙运动员的发挥更稳定．
以上给出3种理由，学生答出其中一种或其他合理理由均可得分．
（2）由茎叶图可知 ，列联表如下：
超过m 不超过m
甲 5 7
乙 7 5
由于 ，
所以没有90%的把握认为甲、乙两名运动员的每场比赛得分有差异．典例5、答案：（1）表格见解析，能 （2）分布列见解析，
根据茎叶图中的数据作出 列联表如表所示：
甲班 乙班 总计
成绩优良 10 16 26
成绩不优良 10 4 14
总计 20 20 40
解：（1）根据 列联表中的数据，得 的观测值为
，
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.
（2）样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人，乙班有2人，
所以 的所有可能取值为 ，
则 = ， ， = ，
则随机变量 的分布列为：
0 1 2
P
则数学期望 .
随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2）列联表答案见解析，有95%的把握认为该
单位员工的饮食习惯与性别有关
解：（1）①男性职工饮食指数的平均值大于女性职工饮食指数的平均值；
②男性职工饮食指数的方差大于女性职工饮食指数的方差.（2） 列联表如下：
喜食蔬菜 喜食肉类 总计
男 7 8 15
女 13 2 15
合计 20 10 30
由表中数据得 ，
故有95%的把握认为该单位员工的饮食习惯与性别有关.
典例6、答案： （1） （2） ，即说明药物
有效
（3）不能够有99%的把握认为药物有效.
解：（1） ， ， ， ， ，
；
即 ， ， ， ；
（2） 取值为0、1、2，
，
0 1 2
P
∴ 取值为0、1、2，
， ，0 1 2
P
∴ ∴ ，即说明药物有效.
（3）∵ ， ∵4.76<6.635，∴不能够有99%的把握认为药物有
效
随堂练习：答案： （1）列联表见解析，男性患者至少有6人 （2）答案见解析
解：（1）2×2列联表如下：
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男 z
女 2z
合计 3z
要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有
关，
则 ，解得： ．
因为 ， ，所以z的最小整数值为6．所以男性患者至少有6人．
（2）设甲研发团队试验总花费为X元， ；
设乙研发团队试验总花费为Y元，则Y的可能取值为3m，6m，
所以 ， ，所以 ；
因为 ，所以
．
①当 时， ，因为 ，所以 ，
所以 ，乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发；
②当 时， ，因为 ，所以 ，
所以 ，甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发；
③当 时， ，
所以 ，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均花费相同，
从两个团队试验的平均花费考虑，该公司选择甲团队或乙团队进行研发均可．
