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西南名校联盟 2025 届“3+3+3”高考备考诊断性联考
（一）
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C C B A A B
【解析】
1． ，向量 对应的复数为 ，故选D．
2．对A，由 得 ，反之，当 时，不能
推出 ，故 是 成立的充分不必要条件；对B，当 时，
不成立，故 不是 成立的充分条件，反之，当 时， 成立，
故 是 成立的必要不充分条件；对C， 是 的既不充分也不必要条件；
对D， 是 的充要条件，故选D．
3．第3项的二项式系数为 ，故选C．
4．由题意数列 满足 ，由 ，得
，由此可知数列 的周期为4，故 ，故选C．
5．由两直线垂直得 ，解得 ，故选B．
6．设圆锥的顶点为 ，记点 是底面圆周上的一点，作出圆锥侧面展开图如图1所示：又因
为质点运动最短距离为 ，故 ，又因为
，所以 ，所以 ．设圆
图
数学参考答案·第1页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司锥底面半径为 ，高为 ，则 ，解得 ，所以 ，所以圆锥
的体积 ，故选A．
7 ． ， 因 为 有 两 个 极 值 点 为 ， 所 以
在 上有两个不同的零点. 此时方程 在 上
有两个不同的实根.则 ，且 ，解得 若不等式
恒成立，则 恒成立.因为
，则
，设 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，所以 ，即实数 的取值
范围为 ，故选A．
8．由题可得 ，
故选B．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
数学参考答案·第2页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ACD AC AD
【解析】
9．对A，若 可以作为基底，则 不共线，当 共线时， 故
可 以 作 为 基 底 时 ， ， 故 A 正 确 ； 对 B ，
，故B错误；对C，若 ，则 ，故C正确；
对D， ， ，故D正确，故
选ACD．
10．由幂函数 知， ，解得 ，故A正确； 的定
义域为 ，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确；由 知函数在
上单调递增，所以由 可得 ，解得 ，
故D错误，故选AC．
11．由题意，当 时， ，解得 ，当 时， ，
解得 ，故 A正确；当 时， ，解得
， ，所以B错误；假设数
列 为等比数列，则 ， ，矛盾，故C错误；因为
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学科网（北京）股份有限公司，所以 ，所以 ，
所以数列 是递增数列，所以 ，假设对任意的 ， ，则
，取 ，则 ，矛盾，所以
中存在大于100的数，故D正确，故选AD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案
【解析】
12．当 时，双曲线E的渐近线方程为 ，双曲线E的离心率为 ．
13． ，令 或
14．若两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色；若第一次取球均取到红球，
其概率为 ，第一次取球后甲袋中有4个红球和2个白球，乙袋有1个红球和4
个白球，第二次取到同色球概率为 ；此时乙袋中恰有4个小球的概率是
；若第一次取球均取到白球，其概率为 ，第一次取球后甲袋中有3
个红球和 3 个白球，乙袋有 2 个红球和 3 个白球，第二次取到同色球概率为
；此时乙袋中恰有4个小球的概率是 ；所以乙袋中恰有4个
小球的概率是 ，故答案为： ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）由题意得 ，解得 ， …………………………………（3分）
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学科网（北京）股份有限公司抛物线方程为 ． …………………………………（5分）
（2）直线l的方程为 ， …………………………………（6分）
联立 ，得 ， …………………………………（8
分）
若 满足要求， …………………………………（10分）
若 ，则需满足 ，解得 ，
综上： ． …………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）由题可得
…………………………………（4分）
当 时， ，
． ……………………………（7分）
（2）
， 折线段赛道MNP的长度为 千米.
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学科网（北京）股份有限公司……………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
（1）证明：如图2，取 中点 ，连接 ，
因为侧面 为菱形， ，
所以 ，……………………（2分）
又因为平面 平面 ，平面
图2
平面 ，
所以 平面 ， …………………………………（4分）
又因为 为 的中点，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ．
…………………………………（6分）
（2）解：连接 ，因为 为等边三角形，
则 ，所以 两两垂直，则
以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图3所
示：
令三棱柱的棱长为2，所以 ，故
图3
又 ，所以 ， …………………………………（8分）
设 ， ，
则 ，
即 ；
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
则 则 取 ，则 ；
故平面 的法向量可为 ；
…………………………………（11分）
又 设直线 与平面 所成角为 ，
由题可得 ，即 ，
整理得： ，解得 ，
故当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
……………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1） ， …………………………………（2分）
， ， …………………………………（4分）
在 处的切线方程为 ． …………………………………（5分）
（2）因为 ，
令 ， ， …………………………（7分）
因为 在 上单调递增， ， ，
所以 ，使得 ， …………………………………（9分）
数学参考答案·第7页（共9页）
学科网（北京）股份有限公司当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增， …………………………………（11分）
， ，
所以 ，使得 ， …………………………………（13分）
当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增， …………………………………（15分）
， ，所以 ，故 ．
……………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
解：（1）由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为 ，
设一升水中大肠杆菌个数为 ，则 ， ………………………（2分）
故一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786．
…………………………（5分）
（2）①因为 ， ， ………………………（6分）
所以 ， ，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司， ………………………（9分）
；
…………………………………（11分）
②因为 …
则出现上述情况的概率为
………………………（13分）
令 ，取对数得 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ， ………………………（14分）
当 时， 单调递增，
时， 单调递减，所以 .
因为 ，所以
，
故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%．
…………………………………（17分）
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