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3.6 零点定理（精练）（提升版）
题组一 零点的区间
1．（2022·甘肃·天水市第一中学）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增.
当 时， ，
， ，
.
由零点存在定理可得：函数 的零点所在的区间是 .
故选：C
2（2022·江苏扬州）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 , 是单调递增函数，
当 时， ， ，
故 故函数的零点所在的区间为 ，故选：B
3．（2022·天津红桥·一模）函数 的零点所在的区间是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 是 上的连续增函数,
,可得 ,所以函数 的零点所在的区间是 .
故选：C
4．（2022·广东中山）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 在 上递增， ，
，所以 的零点在区间 .故选：A
5．（2022·北京师大附中）函数 的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1） B．(1，2) C．(2，3) D．（3，4）
【答案】B
【解析】因为函数 均为 上的单调递减函数，所以函数 在 上单调递
减，因为 ， ，所以函数 的零点所在的区间是 .故选：B
6．（2022·云南玉溪·高一期末）函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由解析式知：在 上 恒成立，在 上 单调递减，且 ，
，综上，零点所在的区间为 .故选：B7．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知 为增函数，又 ，
，故零点所在的区间是 .故选：B.
8．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知， 的定义域为 ，
令 ，则 ，由 在 上单调递减，
在定义域内单调递增，
所以 在 单调递减.
所以函数 在 上单调递减.
所以
故 ，根据零点的存在性定理，可得函数 的零点所在区间为 .
故选：B.
9．（2022·海南·嘉积中学高一期末） 零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知： 在 上连续且单调递增；
对于A， ， ， 内不存在零点，A错误；
对于B， ， ， 内不存在零点，B错误；
对于C， ， ，则 ， 内存在零点，C正确；
对于D， ， ， 内不存在零点，D错误.故选：C.
10．（2022·四川·德阳五中）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 在R上单调递增，而 ， ，
由零点存在性定理知，函数 的唯一零点在区间 内.故选：B
11．（2022·安徽·池州市第一中学）函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
且 是单调递减函数，故函数 的零点所在的一个区间是 ，故选：B
12．（2022·广东汕尾）函数 的零点所在区间为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵f(x)定义域为R，且f(x)在R上单调递增，
又∵f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0，∴f(x)在(1，2)上存在唯一零点.故选：B.
题组二 零点的个数
1．（2022·四川省泸县第二中学）函数 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由于函数 在 上是增函数，且 ，
故函数在 上有唯一零点，也即在 上有唯一零点.故选：B.
2．（2022·重庆）函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】函数 ，x＞0，
则 ，令 ，解得x∈（0，3），此时函数是增函数，
x∈（3，＋∞）时， ，f（x）是减函数，
所以x＝3时，函数取得最大值，
又f（3）＝ln3－1＞0， ， ，
所以函数 的零点个数为2，
故选：B.3．（2022·重庆·三模）已知函数 则函数 的零点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】当 时， ，因为 ，所以舍去；
当 时， 或 ，满足 .所以 或 .
函数 的零点个数为2个.故选：C
4．（2022·新疆·三模（理））函数 的零点个数为___________.
【答案】2
【解析】当 时，令 ，解得 ， ，此时有1个零点；当 时，
，显然 单调递增，又 ，由零点存在定理知此时有1
个零点；综上共有2个零点.故答案为：2.
5．（2022·新疆）函数 的零点个数为_________．
【答案】1
【解析】当 时， 有一个零点 ；
当 时， ，无零点，
故函数 的零点个数为1个故答案为：1题组三 比较零点的大小
1．（2022·山西·二模（理））已知 是 的一个零点， 是 的一个
零点， ，则（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数，在 上是减函数，
因为 ，所以 仅有1个零点，
因为 ，所以 ，
因为 是增函数，且 ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 .故选：A．
2．（2022·湖南·益阳市箴言中学）已知三个函数 的零
点依次为 ，则 的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函数 为增函数，又 ，∴ ，
由 ，得 ，即 ，
∵ 在 单调递增，又 ，∴ ，∴ .故选：D.
3．（2022·陕西·长安一中模拟预测）已知函数 ， ， 的零点分别
为 、 、 ，则 、 、 的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 为 上的增函数，
因为 ， ，所以， ，
因为函数 、 在 上均为增函数，故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，所以， ，
由 可得 ，因此， .故选：A.
4．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（文））已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设函数 ，易知 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，由零点存在定理可知， ；
设函数 ，易知 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，由零点存在定理可知， ；设函数 ，易知 在 上递减，
因为 ， ，所以 ，由函数单调性可知， ，
所以 ，故选： .
5．（2022·河南河南·三模）若实数 ， ， 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，对于函数 ，
在 上递增， ，
所以 存在唯一零点 ， ，使 ，所以对于 ，有 ，
所以 .故选：A
题组四 已知零点求参数
1．（2022·湖北宜昌）函数 ，若函数 有两个零点，则实数 的取值范围
是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数 的图象，令 ，可得 ，
画出直线 ，可得当 时，直线 和函数 的图象有两个交点，
则 有两个零点．故选：B．
2．（2022·首都师范大学附属中学）已知函数 ，若 有三个不同的零点，则实
数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，
故当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
故 ，且 时， ，
当 时， ，
由此作出函数的大致图象如图：由 有三个不同的零点，即函数 的图象与 有三个不同的交点，
结合图象，可得 ，故选：C
3．（2022·河北唐山）已知函数 ，若 有3个零点，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
令 ，令 ，
所以函数 在 单调递增，在 单调递减.
所以 .
令 有三个零点.作出函数 和 的图象如图所示，
所以a的取值范围为 .
故选：B4．（2022·安徽）已知函数 在（0，+∞）上有3个
不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法一：因为函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，
所以 ，和 的图像在（0，+∞）上有3个交点，代入 ，不合
题意，排除A、C，又k取+∞显然不合题意，排除B；
解法二：因为函数 在 上有3个不同的零点，
所以 |和 的图像在 上有3个交点，
画出函数g（x）的图像，如图.
的图像恒过点（0，2），且当 时与x轴的交点为（ ，0），
当 时， 与g（x）的图像在 上有3个不同的交点，如图.当 ，即 时，
与g（x）的图像在 上仅有2个不同的交点，如图.
当 ，即 时， 与g（x）的图像在（0， ）上有1个交点，在（ ，∞）上有2个
交点，如图.当 ，即 时， 与g（x）的图像在（0， ）上有3个交点，在 上有0个交点，
如图，
当 ，即 时， 与g（x）的图像在（0，+∞）上有2个交点，如图.当 时， 的左支与g（x）的图像无交点，
当直线 与 相切时，联立方程得
令 ，得 舍去），
所以
当 ，即 时， 与g（x）的图像在 上有3个交点.综上，可得k的取值范围为
故选：D.
5．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的奇函数 满足 ，已知当 时，
，若 恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 是定义在R上的奇函数，所以 .
所以当 时， .
因为 ，则 关于 对称，
因为 关于 对称， 有6个不相同的根，
∴ 在 有三个不同的根，
表示过定点 的直线系，
.
作出 在 上的图象,如图所示，时， ，又 ,
则 ；
时， ;
时，显然不满足题意.
∴m的取值范围 .
故选：D．
6．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））已知函数 有唯一零
点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
记 ，则 ，令 则 ，所以
是偶函数，图象关于 轴对称，因为 只有唯一的零点，所以零点只能是 于是故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）已知 是以2为周期的偶函数，当 时， ，那么在区间
内，关于x的方程 （ 且 ）有4个根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】本题考查函数性质的综合应用及数形结合的数学思想．由函数性质作图如下：令
其图像为通过定点 斜率为k的直线，要使 有四解，即 和 有四个交点，由图知
当 在 与 之间转动时满足题意．易得 的斜率为0， 的斜率为 .所以 .
故选：C．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
则实数m取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得： ，则 ，
问题转化为y＝m和 有2个交点，而 ，
在 和 上 ， 递增，在 上 ， 递减，
当x趋于正无穷大时， 无限接近于0，且 ， ， ，作出函数 的图
象，如图所示：
观察图象得：函数 和 的图象有2个不同的交点时，
实数 .
故选：D．
9．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数 ，若函数 恰
有两个零点则实数 的取值范围是( )A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
令 ，
则 ，
作出h(x)的图象：
如图y=h(x)与y=a的图象有两个交点时， ，
故选：A．
10．（2022·天津南开·二模）已知定义在 上的函数 若函数
恰有2个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】 ，故 ，
则函数 恰有2个零点等价于 有两个不同的解，
故 的图象有两个不同的交点，
设
又 的图象如图所示，
由图象可得两个函数的图象均过原点，
若 ，此时两个函数的图象有两个不同的交点，
当 时，
考虑直线 与 的图象相切，
则由 可得 即 ，考虑直线 与 的图象相切，
由 可得 ，则 即 .
考虑直线 与 的图象相切，
由 可得 即 ，
结合图象可得当 或 时，两个函数的图象有两个不同的交点，
综上， 或 或 ，
故选：B.
11．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数 在 上有且只有5个
零点，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
令 ，即 ，
所以， 在 上有且只有5个零点，
因为 ，所以 ，
所以，如图，由正弦函数图像，要使 在 上有且只有5个零点，
则 ，即 ，所以实数 的范围是 .
故选：C
12．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知函数 （ 是自然对数的底数）在定义
域 上有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时，令 ，解得： ；
当 时，令 ，解得： ，
令 ，则 ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ；
在定义域 上有三个零点， 为 一个零点且 有两个解，
，解得： ，即实数 的取值范围是 .故选：B.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上既有极大值又有极小值，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 ，导函数 .
因为 在 上既有极大值又有极小值，所以 在 内应有两个不同的异号实数根．
，解得： ，实数a的取值范围 .
故选：C．
14．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 至多有2个不同的零点，则实数a的最大值
为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】C
【解析】令 ，得到 ，
函数 至多有2个不同的零点，等价于 至多有两个不同的根，
即函数 与 至多有2个不同的交点
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 或 时， ， 单调递减，
所以 与 为函数 的极值点，且 ，
且 在R上恒成立，
画出 的图象如下：
有图可知： 或 时，符合题意，
其中 ，解得：
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 可得： ，所以 ，
综上：实数a的最大值为2
故选：C
15（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）设 ，函数 ．若在 上单调递增，且函数 与 的图象有三个交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
又因函数 与 的图象有三个交点，
所以在 上函数 与 的图象有两个交点，
即方程 在 上有两个不同的实数根，
即方程 在 上有两个不同的实数根，
所以 ，解得 ，
当 时，当 时，令 ，
由 ，
当 时， ，
此时， ，
结合图象，所以 时，函数 与 的图象只有一个交点，
综上所述， .
故选：B.
16．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））已知函数 ，若 在 存在零点，
则实数 值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，令 ，所以 ，
令 ， ，
则函数 在 上存在零点等价于 与 的图像有交点．，
令 ， ，
则 ，故 在 上单调递增，
因为 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ，
即 ，即 ， ，
所以当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
所以 ，
又 时， ，故 ， ，所以 .
故选：D．
题组五 零点的综合运用
1．（2022·江西师大附中三模）定义在R上的函数 满足 ，且当
时， .则函数 的所有零点之和为（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
【答案】B
【解析】依题意， 是奇函数.又由 知， 的图像关于 对称.
，所以 是周期为4的周期函数.
，
所以 关于点 对称.
由于
从而函数 的所有零点之和即为函数 与 的图像的交点的横坐标之和.
而函数 的图像也关于点 对称.
画出 ， 的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数 所有零
点和为 .
故选：B
2．（2022·四川成都·三模（理））若函数 的零点为 ，则 （ ）．
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由题设 ，由 得： ，
若 ，可得 ，
若 ，可得 ，综上， ，故 .
故选：B
3．（2022·江苏江苏·三模）（多选）已知函数 的零点为 ， 的零点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】 分别为直线 与 和 的交点的横坐标，
因为函数 与函数 互为反函数，
所们这两个函数的图象关于直线 ，
而直线 、 的交点是坐标原点，
故 ， ， ， ，
，
，故
故选：BCD.
4．（2022·辽宁葫芦岛·二模）（多选）设函数 ，若关于 的方程
有四个实数解 ，且 ，则 的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．99 D．100
【答案】BC
【解析】如图所示：因为关于 的方程 有四个实数解 ，且 ，
所以 .
的对称轴为 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 ， .
因为 ，所以 .
所以 ，
因为 ， 为减函数，
所以 .
故选：BC
5．（2022·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知函数 的零点为 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】ABD
【解析】对AB，由题 ，故 为增函数.又 ，
，故 ，故AB正确；
对C，因为 ，所以 ，但 ，故C错误；
对D，构造函数 ，则 ，故 为增函数.故
，因为 ，故
，故 ，即 ，故 ，故 ，D正确；
故选：ABD
