文档内容
9.4 抛物线（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 抛物线定义及应用
【例1-1】（2022·广西梧州）已知抛物线 上的点 到该抛物线焦点 的距离为 ，则
（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由题意，抛物线 的准线方程为 ，
根据抛物线的定义，可得点 到焦点 的距离等于到准线 的距离，
可得 ，解得 故选：D.
【例1-2】（江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期第一次考试数学试题） 在平面直角坐标系 中，
设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点，过点 作 ，交准线 于点 ，若直线
的倾斜角为 ，则点 的纵坐标为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
【答案】A
【解析】设准线与 轴交于 点，则 ， ，∴ ，连接 ，则 ，又 ，所以 是正三角形，
∴ ，准线 的方程是 ，∴ 点纵坐标为3.故选：A
【一隅三反】
1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知点 为抛物线 上的动点，设点 到
的距离为 ，到直线 的距离为 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线 为抛物线 的准线，点 到准线的距离等于点 到焦点 的距离，过焦点 作
直线 的垂线，
如下图所示，此时 最小，为点 到直线 的距离.，则 ．
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 焦点的坐标为 ，P为抛物线上的任意一点，
，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【解析】因为抛物线 焦点的坐标为 ，所以 ，解得 ．
记抛物线的准线为l，作 于 ，作 于 ，则由抛物线的定义得
，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.
3．（2021·江西南昌·高三阶段练习）若抛物线 上的点 到焦点的距离比到直线
的距离小1，则 =（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【解析】由题可知抛物线的准线方程为 ，所以 ，即 ，所以 ，∴ ，所以
.
故选：D.
考点二 直线与抛物线的位置关系
【例2-1】（2022·广东）已知抛物线的方程为 ，若过点 的直线 与抛物线有公共点，则直
线 的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
代入抛物线方程，消去 并整理，得 ．
当 时（当直线斜率存在时，需要讨论斜率是否为 ），显然满足题意；
当 时， ，
解得 或 ．综上， ，故选：A．
【例2-2】（2022·肥城市）设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线于 两点，过 的中点 作 轴的垂线与抛物线交于点 ，若 ，则直线 的方程为___________.
【答案】
【解析】因为抛物线方程为 ，所以焦点 ，准线 .
设 ，直线 方程为 ，
代入抛物线方程消去 ，得 ，
所以 .
又过 的中点 作准线的垂线与抛物线交于点 ，
设 ，可得 ，
因为 ，
所以 ，
得到 ，所以 .
因为 ，所以 ，解之得 ，
所以 ，直线方程为 ，即 .
故答案为： .
【一隅三反】
1．（2022·云南）过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线交于 、 两点，若
，则这样的直线的条数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若直线 与 轴重合，则该直线与抛物线 只有一个交点，不合乎题意.
所以直线 不与 轴重合，易知抛物线 的焦点为 ，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，则 ，
所以， ，解得 .
故满足条件的直线有且只有一条．
故选：B．
2（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知圆的方程为 ，抛物线的方程为 ，则两曲线的公共
切线的其中一条方程为_____________．
【答案】
【解析】设切线方程为： ，分别联立方程得到 和 ，
得 和 ，
得 和 ，
解得 和 ，解得 或 ，
所以，两曲线的公共切线的其中一条方程可为：故答案为：
3．（2022·广东高三开学考试）过点 的两条直线与抛物线C： 分别相切于A，B两点，则
三角形PAB的面积为（ ）
A． B．3 C．27 D．
【答案】A
【解析】抛物线 ，即 ，故 ，
设 两点的坐标为 ，则有 ，整理得 ，
同理
故直线 的方程为 ，
由 得 ，
故 ，
因为点 到直线 的距离为 ，
故三角形 的面积为 故选： .
考点三 弦长
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线 的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C
于A，B两点，则 （ ）
A． B．8 C．12 D．【答案】B
【解析】依题意可知抛物线 焦点为 ，直线AB的方程为 ，
代入抛物线方程得 ，可得 ，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为 ．
故选：B．
【例3-2】（2022·广东·高三阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两
点，且A，B中点的横坐标为2，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】设 ，由A，B中点的横坐标为2，可得 ，
所以 ．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·河南·高三开学考试（文））已知倾斜角为 的直线 过抛物线 的焦点 ，
且与 交于 两点（点 在第一象限），若 ，则 ______．
【答案】
【解析】如图，分别过点 作准线的垂线，垂足为 ，
过点 作 的垂线，垂足为 ，
设 ，易得 ，则 ，
由抛物线的性质可得 ， ，
所以， ，解得 ，故 ．
故答案为：2．（2022·山西·太原市外国语学校高三开学考试）已知 为抛物线 的焦点，过 且斜
率为1的直线交 于 两点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题意知 的方程为 ，代入 的方程，得 ，设
，则 ；因为 ，且 ，所以
32，整理得 ，所以 ，结合 ，解得
.
故选：D.
3（2021·福建高三月考）过抛物线 ： 的焦点的直线 交 于 ， 两点，若 ，则线段
中点的横坐标为______．
【答案】【解析】如图，抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
分别过 ， 作准线的垂线，垂足为 ， ，
则有 ．
过 的中点 作准线的垂线，垂足为 ，
则 为直角梯形 中位线，
则 ，即 ，解得 .
所以 的横坐标为 ．故答案为： ．
考点四 综合运用
【例4】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 ，
直线 过点 且与抛物线交于 ， 两点，若 是线段 的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线 的方程为 D．
【答案】ACD
【解析】因为焦点 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知 ，故A正确
故抛物线的方程为 ，焦点 ，故B错误则 ， ．
又 是 的中点，则 ，所以 ，
即 ，所以直线 的方程为 ．故C正确
由 ，
得 ．故D正确故选：ACD．
【一隅三反】1．（2022·广东江门）（多选）设抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，以
为圆心， 为半径的圆交 于 ， 两点，若 ，且 的面积为 ，则（ ）
A． B． 是等边三角形
C．点 到准线的距离为3 D．抛物线 的方程为
【答案】BC
【解析】根据题意，作出示意图,
因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交 于B，D两点，∠ABD＝90°，
由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，
所以 是等边三角形，故B正确；
所以∠FBD＝30°.
因为 的面积为 |BF|2＝9 ，
所以|BF|＝6.故A错误；
又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，故C正确；
则该抛物线的方程为y2＝6x.故D错误.
故选：BC.
2．（2022·辽宁朝阳）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 交于 两点，分别为 在 上的射影，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线 的倾斜角为 ，则
B．若 ，则直线 的斜率为
C．若 为坐标原点，则 三点共线
D．
【答案】ACD
【解析】若直线 的倾斜角为 ，则 ，
令 ，由 消 可得 ，
所以 ，故 正确；
设 1，令 ，由 ，
消 可得
， ，所以 ，
所以 ，
所以 或
所以 .即 ，故 错误；
设 ，令 ， ，消 可得
，
所以 ，即 三点共线，故C正确；
设 ，令 ，由
消 可得
， ，
所以 ，
即 ，故 正确.
故选：ACD.
3．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学 ）（多选）已知直线 过抛物线 的焦点 ，且斜率为 ，
与抛物线交于 两点（ 在第一象限），以 为直径的圆分别与 轴相切于 两点，则下列结
论正确的是（ ）
A．
B．
C．若 为抛物线 上的动点， ，则
D．若 为抛物线 上的点，则
【答案】ABC【解析】设直线PQ的方程为：y （x﹣2），与 联立整理可得：
3x2﹣20x+12=0，解得：x 或6，则P（6，4 ），Q（ ， ）；
所以|PQ|=6 4 ，选项A正确；
因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2 ），（ ， ），
所以A（0， ），B（0， ），所以|AB|=2 ，
选项B正确；
如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，
所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，
|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；
对于选项D，若 为抛物线 上的点，则 ，又 ，
所以 ，选项D错误.
故选：ABC.
