文档内容
9.5 构造函数常见的方法（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 直接型
【例1】（2023·全国·高三专题练习）设函数 是奇函数 （x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞
0时， ，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【答案】D
【解析】由题意设 ，则
∵当x＞0时，有 ，∴当x＞0时， ，∴函数 在（0，+∞）上为增函
数，
∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
g（x）在（﹣∞，0）上递减，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，
∵不等式f（x）＞0 x•g（x）＞0，∴ 或 ，即有x＞1或﹣1＜x＜0，
⇔
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D．
【一隅三反】1．（2022·陕西西安 ）已知函数 的图像关于直线 对称，且当 时，
成立，若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 的图像关于直线 对称，可知函数 的图像关于直线 对称，即
为偶函数，构造 ，
当 ， ，故 在 上单调递减，
且易知 为奇函数，故 在 上单调递减，由 ，
所以 .
故选：B.
2．（2022·河北·石家庄二中 ）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得 关于 成中心对称．
令 ，可得
当 时 ，则 在 上单调递增.
由 关于 成中心对称且 ，故 在 上单调递增由 ，则 ，或
解得 ，或 ，故
故选：A
3．（2022·四川遂宁 ）已知定义在R上的函数 满足：函数 为奇函数，且当 时，
成立（ 为 的导函数），若 ， ， ，则
a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
因为当 时， 成立，所以 ， 为递增函数，
又因为函数 为奇函数，可得 ，
则 ，所以函数 为偶函数，
所以函数 在 为单调递减函数，
由 ， ， ，
因为 ，所以 ，即 .故选：B
考点二 加乘型
【例 2】（2022·江苏）已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ，当 时，
，且 ，则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，
所以当 时， ，
令 ，则当 时， ，
故 在 时，单调递减，
又因为 在在R上为偶函数，
所以 在R上为奇函数，
故 在R上单调递减，
因为 ，所以 ，
当 时， 可变形为 ，
即 ，
因为 在R上单调递减，
所以 ，解得： ，
与 取交集，结果为 ；
当 时， 可变形为 ，
即 ，因为 在R上单调递减，
所以 ，解得： ，
与 取交集，结果为 ；
综上：不等式 的解集为 .故选：A
【一隅三反】
1．（2022·辽宁锦州）已知定义在 上的函数 的导函数 ，且 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】构造函数 ，因为 ，
所以 ，因此函数 是增函数，
于是有 ，
构造函数 ，因为 ，
所以 ，因此 是单调递减函数，
于是有 ，
故选：D
2（2022·陕西师大附中） 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 ，且满足
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】构造 ，则 ，
因为定义域为 ，且 ，
所以
所以函数 在 上单调递增，
不等式 可化为： ，
即 ，所以有 ，
解得： .
即不等式的解集为： .
故选：D
3．（2021·江西·金溪一中 ）设 是定义在 上的函数，其导函数为 ，若 ，
，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】构造函数 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ， 在 上单调递增，因为 ，所以 ，
不等式 ，可整理为 ，即 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 .故选：D.
考点三 减除型
【例3】（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R上的函数 的导函数 为，且满
足 ，则 与 的大小关系为（ ）
A． ＜ B． =
C． ＞ D．不能确定
【答案】C
【解析】设 ，则有 ，
又因为 ，所以 在R上恒成立，
则函数 在R上单调递增，
则 ，即 ，
即 ＞ .故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）设定义在 上的函数 恒成立，其导函数为 ，若
，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由题意，在 上的函数 恒成立，
构造函数 ，则 ，
∵ 上 ，即 ，
∴ 在 上单调递减，而 ，故
∴ ，可得 .
故选：B
2．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设 是定义在R上的连续的函数 的导函数，
（e为自然对数的底数），且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
∵ ，∴ ，函数 在R上单调递增，
又 ，∴ ,
由 ，可得 ，即 ，又函数 在R上单调递增，
所以 ，即不等式 的解集为 .故选：C．3．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数 的定义域为 的导函数是
，且 .给出下列不等式：① ；② ；③
，其中不等式恒成立的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】令 ，则 .
因为 ，所以 ，函数 在 上单调递增.
对于①，因为 ，即 ，整理得 ，①恒成立；
对于②，因为 ，所以 ，即 ，整理得 ，②恒成
立；
对于③，因为 ，所以 ，即 ，整理得
，③错误.所以恒成立的不等式有①和②，共2个.故选：C.
考点四 三角函数型
【例4】（2022·吉林）（多选）已知函数 是偶函数，对于任意的 满足
（其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】ABD
【解析】构造函数 ，其中 ，则 ，
∵对于任意的 满足 ，
∴ 当 时， ，则函数 在 上单调递增，
又函数 是偶函数， ，∴ ，
∴ 在 上为偶函数，
∴函数 在 上单调递减．
∵ ，则 ，即 ，即 ，化简得 ，A正确；
同理可知 ，即 ，即 ，化简得
，B正确；
，且 即 ，即 ，化简得
，C错误；，且 ，即 ，即 ，化简得
，D正确．故选：ABD.
【一隅三反】
1．（2021·山东·高三开学考试）（多选）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，
，则下列判断中正确的是（ ）
A． < B． >0
C． > D． >
【答案】CD
【解析】令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上恒成立，因此函数
在 上单调递减，故 ，即 ，即 ，故A错；
又 ，所以 ，所以 在 上恒成立，
因为 ，所以 ，故B错；又 ，所以 ，即 ，故C正确；
又 ，所以 ，即 ，故D正确.
故选：CD
2．（2022·安徽蚌埠·一模）已知函数 的定义域是 ，若对于任意的 都有
，则当 时，不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则 在 上是减函数.
，
所以
得 ，又 ，所以 .
故选：A.
3．（2022·全国·专题练习）函数 定义域为 ，其导函数是 ，当 时，有，则关于 的不等式 的解集为__________．
【答案】
【解析】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 在 上为减函数，
由 ，得 ，
所以 ，
因为 在 上为减函数，
所以 ，
所以不等式 的解集为 ，
故答案为：
考点五 题意型
【例5】（2022·江西·金溪一中）已知a，b，c∈（0，1），且a2－2lna＋1＝e，b2－2lnb＋2＝e2，c2－2lnc
＋3＝e3则 （ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】A
【解析】设 ，则 ，
又 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理）） ， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】构造 ， ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上递减，
所以 ，所以 ，
所以 在 上递减，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
令 （ ），则 ，所以 在 上递增，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即
故 .
故选：A
2．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知 ， ， ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ，
令 ，
则 ，令 ，则 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ；
令 ，
∴ ，令 ，则 ，
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴ ，即 ，∴ ，即 ，
综上可知： ．
故选：A．
3．（2022·云南大理·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知 ，由 ，得 ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递增，因 ，
当且仅当 时取等号，故 ，
又 ，所以 ，故 ，
∴ ，则 ，即有 ，故 .
故选:C．
