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第 47 讲 库仑力作用下的平衡问题和变速运动问题
1．（2022•上海）水平面上有一带电量为Q的均匀带电圆环，圆心为O。其中央轴线上距离O点为
Qq
d的位置处有一带电量为q的点电荷。若点电荷受到的电场力为F，则F k （k为静电
d2
力恒量）（选填“＞”、“＜”或“＝”）。静电力恒量k的单位可表示为 （用“SI单
位制”中的基本单位表示）。
2．（2021•海南）如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为
＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂α
直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（ ）
√3 1 √3 √3
A． B． C． D．
6 2 2 3
3．（2020•浙江）如图所示，在倾角为 的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度
系数为k 的绝缘轻质弹簧，弹簧另一α端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，q ＝q ＞
0 A 0
0，q ＝﹣q ，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（ ）
B 0
4
A．q = q
c 7 0Mgsinα
B．弹簧伸长量为
k
0
C．A球受到的库仑力大小为2Mg
√ 3k
D．相邻两小球间距为q
0 7Mg
一.知识回顾
（一）库仑力作用下的平衡问题
1.解题思路及步骤
涉及库仑力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了
库仑力。注意库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向。
2.求解带电体平衡问题的方法
分析带电体平衡问题的方法与力学中分析物体受力平衡问题的方法相同。
(1)当两个力在同一直线上使带电体处于平衡状态时，根据二力平衡的条件求解；
(2)在三个力作用下带电体处于平衡状态时，一般运用勾股定理、三角函数关系以及矢量三角
形等知识求解；
(3)在三个以上的力作用下带电体处于平衡状态时，一般用正交分解法求解。
3．三个自由点电荷平衡模型、平衡条件及规律
（1）模型特点
①三个点电荷共线。
②三个点电荷彼此间仅靠电场力作用达到平衡，不受其他外力。
③任意一个点电荷受到其他两个点电荷的电场力大小相等，方向相反，为一对平衡力。
(2)平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零，或每个点电荷处于另外两个点电荷
产生的电场中合场强为零的位置。
（3）三电荷平衡模型的规律
①“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上。
②“两同夹异”——正负电荷相互间隔。
③“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小。
④“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
图示如下：（4）解决三电荷平衡问题应注意的两点
①此类题目易误认为只要三个点电荷达到平衡就是“三电荷平衡模型”，而没有分析是否满足模型
成立的条件。如果三个点电荷已达到平衡，但若其中某个点电荷受到了外力作用，仍不是“三电荷
平衡模型”。
②原则上对于三个点电荷中的任意两个进行受力分析，列平衡方程，即可使问题得到求解，但选取
的两个点电荷不同，往往求解难度不同，要根据不同的题目进行选取。
（二）变速问题
当点电荷受到的合力不为零时，应用牛顿第二定律进行运动分析和计算。
二.例题精析
题型一：同一直线上的三个自由点电荷的平衡
例1．如图所示，光滑水平面上有三个带电小球a、b、c（均可视为质点），它们所带电荷量的绝
对值分别为q 、q 、q ，且q 为正电荷，在它们之间的静电力相互作用下均处于平衡状态，则（
1 2 3 1
）
A．q 带正电
2
B．a对b库仑力方向水平向右
C．一定存在
√q q +√q q =√q q
1 2 2 3 1 3
D．q ＞q
1 3
题型二：非自由点电荷的平衡
例2．如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在
水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则（ ）A．P和Q都带正电荷 B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷 D．P带负电荷，Q带正电荷
题型三：变速问题
例3．质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝
缘的水平面上，A球的电荷量为+q，在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起
向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线反向延长线与A、B间的丝线相交于丝
线的中点。如图所示，已知静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．B球的电荷量可能为+2q
B．C球的电荷量为-√2q
C．三个小球一起运动的加速度为√3kq2
ml2
D．恒力F的大小为2√3kq2
l2
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，A、B、C三个带电小球用柔软绝缘细线悬挂于天花板上，平衡时细线竖
直，三小球处于同一水平面且间距相等，以下关于小球质量、带电情况的说法正确的是
（ ）A．A、C两球质量一定相等
B．A、C两球一定带等量同种电荷
C．A、B两球可能带等量异种电荷
D．A、B、C三球可能带同种电荷
2. 如图，带电金属小球A套在倾角 ＝30°的光滑绝缘杆上，与O点等高的位置固定另
一带电小球B。A处于静止状态时，A、B连α 线与杆的夹角 ＝30°。A受杆的弹力大小为F ，
N
A、B间的库仑力大小为F库 ，则（ ） β
A．F
N
与F库 相等
B．A、B两球可能带异种电荷
C．将A球移至O点，A球仍能保持静止状态
D．将A球移至O点的过程中，A、B间的电势能减小
3. 如图所示，光滑绝缘杆弯成直角，直角处固定在水平地面上，质量为 m、带电荷量
+Q小圆环A穿在右边杆上，质量为3m、带电荷量+3Q小圆环B穿在左边杆上，静止时两圆环
的连线与地面平行，右边杆与水平面夹角为 。重力加速度为g。则（ ）
α
1
A．右边杆对A环支持力大小为 mg
4
B．左边杆对B环支持力大小为mg
C．A环对B环库仑力大小为3mg
D．A环对B环库仑力大小为√3mg4. 如图所示，质量分别为m 、m 的两个带同种电荷的小球A、B，分别用长为L的绝缘
1 2
细线悬挂在同一点O，两细线与竖直方向各成一定的角度 、 ，两小球用一绝缘轻质弹簧相
接，A、B球连线与过O点竖直线交于C点，初始时刻弹簧α处在β压缩状态，现增加A球的电荷
量，下列说法中正确的是（ ）
A．两细线的拉力之比变大 B．两细线的夹角不变
C．AC与BC的长度之比不变 D．OC长度一定变大
5. 如图所示，质量m ＝2kg的小物块b置于倾角为 ＝30°的斜面体c上，通过绝缘细绳
b
跨过光滑的定滑轮与带正电荷Q ＝1×10﹣6C的小球M连接θ，左侧细绳与斜面平行，带负电荷
M
√3
Q =- ×10﹣6C的小球N用绝缘细绳悬挂于P点，两小球的质量相等。初始时刻，连接小球
N
2
M的一段细绳与竖直方向的夹角 ＝60°且两小球之间的距离d＝3cm。设两带电小球在缓慢漏
电的过程中，两球心始终处于同一α 水平面，且b、c都静止，放电结束后滑块b恰好没滑动，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力。静电力常量k＝9.0×109N⋅m2/C2。下列说法正确的是（ ）
A．初始状态，地面对斜面体c的摩擦力大小为5√3N
B．放电过程中，小物块b对斜面体c的摩擦力不一定变大
C．地面对斜面体c的支持力先变小后变大
√3
D．小物块b和斜面体c之间的动摩擦因数为
3
6. 如图所示，在水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一
带正电的点电荷，不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连，开始时
系统在图示位置静止，OB⊥BC。若B球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），在B球到达O
点正下方前，下列说法正确的是（ ）A．A球的质量等于B球的质量
B．此过程中，A球始终保持静止状态
C．此过程中，点电荷对B球的库仑力不变
D．此过程中，滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小
7. 如图，圆环被竖直固定，两个质量均为m的带电小球A、B套在圆环上处于静止状态。
A球带正电、位于圆环圆心O的正下方，B球光滑，两球连线与竖直方向成30°角。设A受到
的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（ ）
A．圆环对B球的弹力方向由O指向B
√3
B．A球与圆环间的动摩擦因数不小于
4
√3
C．圆环对B球弹力的大小为 mg
2
D．圆环对A球弹力的大小为2.5mg
8. 如图甲所示，光滑绝缘的水平面上有一坐标轴 x，且M、N两点为坐标轴上的点，现
将某点电荷Q固定在x轴上，并在M、N两点分别放置一正的点电荷，两点电荷所受Q的库仑
力与电荷量的关系如图乙所示，取x轴的正方向为正，则下列说法正确的是（ ）A．点电荷Q带正电，位于M、N之间
B．M、N两点的电场强度大小之比为√3：1
C．如果点电荷Q不固定，三个点电荷不可能静止
D．点电荷Q到M、N两点的距离之比为1：√3
9. “顿牟缀芥”是东汉王充在《论衡•乱龙篇》中记载的摩擦起电现象，意指摩擦后的
带电琥珀能吸引轻小物体。现做如下简化：在某处固定一个电荷量为Q的带正电的点电荷，在
其正下方h处有一个原子。在点电荷的电场的作用下原子的负电荷中心与正电荷中心会分开很
小的距离l。点电荷与原子之间产生作用力F。你可能不会求解F，但是你可以通过物理分析进
行判断，关于F的表达式，可能正确的是（式中k为静电力常量）（ ）
kQq 2kQq 2kQql
A．F＝0 B． C．F= D．
l2 h2 h3
10. （多选）如图所示，绝缘光滑细杆与水平方向夹角为 53°角，空间某点固定点电荷
Q，点电荷Q到细杆最近点为B点，且BQ＝6m，将一带电圆环q套在细杆上，从与Q等高A
处无初速度释放，C点是细杆上与A点关于B点的对称点，D点在Q点的正下方且是细杆的末
端。已知点电荷与圆环带有同种性质的电荷，圆环刚释放时加速度大小为 6.4m/s2，重力加速
度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确是（ ）A．圆环到达C点的加速度大小为9.6m/s2
B．圆环到达C点的速度大小为10m/s
C．圆环刚离开细杆时加速度大小为11.5m/s2
D．圆环离开细杆后做匀变速运动
11. （多选）如图所示，带电量为Q的小球A固定在倾角为 的绝缘光滑的固定斜面底部，
在斜面上距A球为l的P点放置一质量为m的带电小球B，小球Bθ恰好处于静止状态，若将另
一质量也为m的不带电小球C紧贴着小球B由静止释放，两小球一起运动到 M点时速度为
v；若将小球C从距P点为d处的N点由静止释放，小球C运动到P点时与小球B粘在一起。
已知各小球均可视为质点，重力加速度为g，静电力常量为k，运动过程中小球A、B的电量不
变，下列说法正确的是（ ）
mgl2sinθ
A．小球B的带电量为
kQ
B．小球C从N点运动到P点与小球B碰前瞬间的速度为√gdsinθ
C．小球C从N点运动到M点时的速度为
√v2+gdsinθ
√ 1
D．小球C从N点运动到M点时的速度为 v2+ gdsinθ
2
12. 电场对放入其中的电荷有力的作用。如图所示，带电球 C置于铁架台旁，把系在丝线
上的带电小球A挂在铁架台的P点。小球A静止时与带电球C处于同一水平线上，丝线与竖
直方向的偏角为 。已知A球的质量为m，电荷量为+q，重力加速度为g，静电力常量为k，
两球可视为点电荷α。
（1）画出小球A静止时的受力图，并求带电球C对小球A的静电力F的大小；
（2）写出电场强度的定义式，并据此求出带电球C在小球A所在处产生的电场的场强E 的大
A小和方向；
（3）若已知小球A静止时与带电球C的距离为r，求带电球C所带的电荷量Q。
