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第01课 集合 （分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023·天津·三模）已知 为全集 的两个不相等的非空子集，若 ，则下列结论正确
的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南安阳·高一汤阴县第一中学校考阶段练习）已知集合 只有一
个元素，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，若 中只有一个元素，则实数 的值为
（ ）
A．0 B．0或 C．0或2 D．2
4．（2013·全国·高考真题）设集合 ， ， ，则M中元素的个数
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·高一课时练习）若 ，则 的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
7．（2012·全国·高考真题）已知集合 ,则 中所含元素的个
数为
A． B． C． D．8．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知集合 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）定义集合 的一种运算： ，若
， ，则 中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则 有（ ）
个真子集.
A．3 B．16 C．15 D．4
11．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）集合 ，则集合
的子集的个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
12．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）若集合 ， ， 满足 ，则下面选项中一定成立
的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2021秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）若集合 ， ，且 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．0或1
14．（2022·高一单元测试）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1） ， ；
（2）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题
15．（2023·全国·高三专题练习）若非空集合 满足： ，则（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022秋·安徽·高一安徽省怀宁县新安中学校联考期末）已知集合 ，
，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 时，则 或
17．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 ，则
18．（2023·全国·高三专题练习）集合 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为 .若集合
， ， 则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则实数 的取值范围为
B．存在 ，使
C．无论 取何值，都有
D． 的最大值为
19．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知集合 ， 是两个非空整数集，若 ，则
下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
20．（2021秋·高一课时练习）已知全集 ，集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． 的真子集个数是7
三、填空题
21．（2020·江苏南通·海安高级中学校考模拟预测）已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}，
则A∩B中元素的个数为 ．
22．（2020春·江苏南京·高三南京师范大学附属扬子中学校考开学考试）已知集合 ， ，
若 ，则 ．
23．（2010·重庆·高考真题）设集合 ，集合 ，若 ，则实数
_____.
24．（2015·湖南·高考真题）已知集合U= ，A= ,B= ,则A （ ）= .
25．（2020·江苏·校联考一模）若 ， ，则下图中阴影表示的集合为 .
26．（2023·江苏·高一假期作业）若X是一个集合， 是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X
属于 ， 属于 ；② 中任意多个元素的并集属于 ；③ 中任意多个元素的交集属于 .则称 是集合X
上的一个拓扑.已知集合 ，对于下面给出的四个集合 ：
① ；② ；
③ ；
④ .
其中是集合X上的拓扑的集合 的序号是 .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2014·上海·高考真题）已知互异的复数 满足 ，集合 ={ , },则 =
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）以下四个写法中：① ；② ；③
；④ ，正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（2010·福建·高考真题）设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l= ，则
其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2019秋·黑龙江绥化·高一阶段练习）已知集合 只有一个元素，则a
的值为 （ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．—1
5．（2023春·河南·高二信阳高中校考阶段练习）已知集合 ， ， ，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．6．（2023·河北·统考模拟预测）已知集合 ，则 的元素个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，
则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
8．（2023·江苏徐州·江苏省沛县中学校考模拟预测）已知集合 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2008·江西·高考真题）定义集合运算: .设 , ,则集合
的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
10．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则A中元素的个数为
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
11．（2023春·江苏南通·高二海安高级中学校考阶段练习）从集合 的非空子集中随机选择两个不
同的集合A，B，则 的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）设集合 ， ，
则 的子集个数为
A．4 B．8 C．16 D．3213．（2023春·江苏徐州·高二校考期末）已知集合 , ，则
A． B． C． D．
14．（2022秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知集合 且
，定义集合 ，若 ，给出下列说法：①
；② ；③ ；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
15．（2023·山东·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
16．（2023·全国·高三专题练习）设 表示不大于 的最大整数，已知集合 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·高一课时练习）若集合 ， ，则正确的结论有（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则（ ）A． B．
C． D． 或
19．（2023·全国·高一假期作业）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
20．（2020·江苏·高三专题练习）已知集合 ， ，且 ，
则实数 的取值范围是 ．
21．（2011·河北石家庄·统考一模）已知 ，则A B(用 填空)．
22．（2023·上海金山·统考一模）若集合 ，
，且 ，则实数 的取值范围是 .
23．（2001·全国·高考真题）设集合 ， ，则 的
元素个数为 个．
24．（2021秋·江苏·高一专题练习）已知集合 ， ， ，则
实数 的取值范围是 .
25．（2020·北京丰台·统考一模）如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们
称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所
以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换：①对 ，变换：求集合A的补集；
②对任意 ，变换：求z的共轭复数；
③对任意 ，变换： （k，b均为非零实数）.
其中是“回归”变换的是 .
【三层练能力】
一、单选题
1．（2022秋·福建福州·高三校考阶段练习）若函数 满足对 都有 ，且
为R上的奇函数，当 时， ，则集合
中的元素个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．（2011·福建·高考真题）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即
[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：
①2011∈[1]；
②﹣3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
3．（2022·江苏·高一期中）设集合 ，则对任意的整数 ，形如
的数中，是集合 中的元素的有
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）两个集合 和 之间若存在一一对应关系，则称 和 等势，记为 ．
例如：若 为正整数集， 为正偶数集，则 ，因为可构造一一映射 ．下列说法中正确的是
（ ）A．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同
B．对三个无限集合 、 、 ，若 ， ，则
C．正整数集与正实数集等势
D．在空间直角坐标系中，若 表示球面： 上所有点的集合， 表示平面 上所有点
的集合，则
三、填空题
5．（2020秋·上海奉贤·高一校考阶段练习）已知集合 ，若 则实数 的
取值范围是 ．
6．（2010·湖南·高考真题）若规定E= 的子集 为E的第k个子集，其中k=
，则
（1） 是E的第____个子集；
（2）E的第211个子集是_______
【一层练基础】参考答案
1．D
【分析】根据 ， 为 的两个不相等的非空子集，且 ，知 ，再判断选项中的命题是
否正确．
【详解】解： ， ，
， ， ， ，
故选： ．
2．D
【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.
【详解】解：①当 时， ，此时满足条件；
②当 时， 中只有一个元素的话， ，解得 ，综上， 的取值集合为 ， ．
故选：D．
3．C
【分析】根据题意转化为抛物线 与 轴只有一个交点，只需 即可求解.
【详解】若 中只有一个元素，则只有一个实数满足 ，
即抛物线 与 轴只有一个交点，
∴ ，∴ 或2.
故选：C
【点睛】本题考查了集合元素的个数求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于基础题.
4．B
【详解】由题意知 ， ，
则x的可能取值为5,6,7,8.
因此集合M共有4个元素，故选B.
【考点定位】集合的概念
5．D
【分析】根据 求解 即可
【详解】由题，当 时 最小为 ，最大为 ，且可得
，故集合
故选：D
6．C
【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断 的可能取值.
【详解】 ，则 ，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则 ，符合题设；∴ 或 均可以.
故选：C
7．D
【详解】列举法得出集合 ，共含 个元素．
故答案选
8．A
【分析】先求出集合A,B,然后取交集即可.
【详解】 ,
则 ,
故选：A
9．C
【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
故集合 中的元素个数为3，
故选：C.
10．A
【分析】计算 ，得到真子集个数.
【详解】 ， ，则 ，
真子集个数为 .
故选：A
11．B
【分析】解分式不等式化简集合A，根据集合A元素个数确定其子集个数.
【详解】由 ，可得 ，且 解得 又 ,可得∴集合A的子集的个数为
【点睛】本题考查分式不等式、集合子集等概念，计算集合A元素个数时，要注意 这一条件的应用.
12．D
【分析】根据交集的结果可知 ，结合韦恩图即可判断各选项的正误.
【详解】由 知： ，即A错误，
∴ ，即B错误；仅当 时 ，即C错误； ，即D正确.
故选：D.
13．A
【分析】根据集合相等，结合集合元素的互异性，即可求得参数值.
【详解】 ， ， 或1，
显然 ， .
故选：A.
【点睛】本题考查由集合相等求参数值，涉及集合的互异性，属基础题.
14．B
【分析】根据集合中元素个数分类讨论．
【详解】 中元素个数不能为0，否则 有4个元素，不合题意，
中元素个数不能为2，否则 中有一个含有元素2，且集合中元素个数为2，不合题意，
中元素个数只能是1或3，因此有 或 ．共2对．
故选：B．
15．BC【分析】根据题意可得： ，然后根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由 可得： ，由 ，可得 ，则推不出 ，故选项 错误；
由 可得 ，故选项 正确；
因为 且 ，所以 ，则 ，故选项 正确；
由 可得： 不一定为空集，故选项 错误；
故选： .
16．ABC
【分析】求出集合 ，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】 ，若 ，则 ，且 ，故A正确.
时， ，故D不正确.
若 ，则 且 ，解得 ，故B正确.
当 时， ，解得 或 ，故C正确.
故选：ABC．
17．ABC
【分析】解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断
A、B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求 判断正误即可.
【详解】由已知得： ，令
A：若 ，即 是方程 的两个根，则 ，得 ，正确；
B：若 ，则 ，解得 ，正确；
C：当 时， ，解得 或 ，正确；
D：当 时，有 ，所以 ，错误；
故选：ABC.
18．ACD【分析】对于A，要使 ，只要原点到直线的距离小于等于5即可，从而可求出 的取值范围；
对于B，C，由于直线 过定点 ，而点 在圆 内，从而可得 ；对于
D，设原点到直线 的距离为 ，则 ，分母有理化后可求出其最大
值，从而可判断D
【详解】对于A，因为 ，所以 ，解得 ，故A正确.
对于B和C，直线 过定点 ，因为 ，故C正确，B错误.
对于D，设原点到直线 的距离为 ，则 ，
所以 的最大值，即 的最大值，于是 的最大值为 ，故D正确.
故选：ACD
19．BC
【分析】根据题意,作出Venn图，结合图形即可得答案.
【详解】依题意，作出Venn图如图所示，
由图知， ， ， ， .
故选：BC.20．ACD
【分析】求出集合 ，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】 ， ，
，故A正确；
，故B错误；
，所以 ，故C正确；
由 ，则 的真子集个数是 ，故D正确.
故选：ACD
21．1
【解析】按照交集的概念直接运算可得A∩B＝{﹣1}，即可得解.
【详解】∵A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}，
∴A∩B＝{﹣1}，
∴A∩B中元素的个数为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
22．{4}
【详解】试题分析：a=3，则B={3，4}，所以 ；
考点：1．集合的运算；
23．-3
【详解】因为集合 ， ， A={0,3}，故m= -3.
24．{1，2，3}.
【详解】由题 ={2}，所以A （ ）={1，2，3}.
考点：集合的运算【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集
合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或不属于集合B的元素的集合. 本题需注意检
验集合的元素是否满足互异性，否则容易出错．
25．
【分析】根据韦恩图表示的是 ，再利用交集的定义计算即可.
【详解】解：韦恩图表示的是 ，由 ， ，则 .
故答案为：
【点睛】本题考查交集的运算，韦恩图的应用，属于基础题.
26．②④.
【分析】根据集合X上的拓扑的集合 的定义，逐个验证即可：① ，③
，因此①③都不是；②④满足：①X属于 ， 属于 ；② 中任意多个元素的
并集属于 ；③ 中任意多个元素的交集属于 ，因此②④是，从而得到答案.
【详解】① ；而 ，故①不是集合X上的拓扑的集合 ；
② ，满足：①X属于 ， 属于 ；② 中任意多个元素的并集属于 ；③
中任意多个元素的交集属于 ，因此②是集合X上的拓扑的集合 ；
③ ；而 ，故③不是集合X上的拓扑的集合 ；
④ .满足：①X属于 ， 属于 ；② 中任意多个元素的并集属于 ；③
中任意多个元素的交集属于 ，因此④是集合X上的拓扑的集合 ；
故答案为②④.
【点睛】本题主要考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意.本题是开放型的问题，
要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高，此题是基础题.
【二层练综合】参考答案1．D
【详解】由题意 或 ，因为 ， ， ，因此 ．
选D.
【考点】集合的相等，解复数方程．
2．C
【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系，空集，交集的概念做出判断.
【详解】对于①， 正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以 正确；对于③，
根据集合的互异性可知 正确；对于④， ，所以 不正确；四个写
法中正确的个数有 个，
故选:C.
3．D
【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断．
【详解】非空集合S={x|m x l}满足：当x∈S时,有 ∈S.
⩽ ⩽
对于①，若m=1,可得 ，则 ，则 ，∴①对；
对于②，若m= ,满足 ∈S时,有 ，∴ ≤ l ≤ 1，②对；
对于③，若l= ，可得 ，则 .∴③对
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于
难题.4．C
【详解】因为集合 只有一个元素，
所以 或 或 ，选C.
5．A
【分析】由题设知 ，讨论 、 求a值，结合集合的性质确定a值即可.
【详解】由 知： ，
当 ，即 ，则 ，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当 ，即 或 ，
若 ，则 ，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若 ，则 ， ，满足要求.
综上， .
故选：A
6．B
【分析】先化简集合 ,求出 即得解.
【详解】解：
所以 ，所以 的元素个数为2.
故选：B.
7．B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】依题意，等差数列 中， ，
显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B
8．C
【分析】化简集合A，根据集合B中元素的性质求出集合B.
【详解】 ， ，
,
故选：C
9．D
【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元
素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元
素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．
考点：元素的互异
点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍
10．C
【分析】由椭圆的性质得 ，再列举出集合的元素即得解.
【详解】解：由椭圆的性质得 ，
又 ,
所以集合
共有11个元素.
故选：C
11．A【分析】写出集合 的非空子集，求出总选法，再根据 ，列举出集合 的所有情况，
再根据古典概型公式即可得解.
【详解】解：集合 的非空子集有 共7个，
从7个中选两个不同的集合A，B，共有 种选法，
因为 ，
当 时，则 可为 共3种，
当 时， 共1种，
同理当 时，则 可为 共3种，
当 时， 共1种，
则符合 的共有 种，
所以 的概率为 .
故选：A.
12．C
【详解】分析：求出集合A,B，得到 ，可求 的子集个数
详解： ，
的子集个数为
故选C.
点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.
13．C
【分析】由绝对值和指数函数的性质求出集合M，N，再判断．
【详解】由题意 ，∴ ， ，∴ ．
故选C．【点睛】本题考查集合间的关系，掌握指数函数与绝对值的性质是解题关键．注意指数函数的值域．
14．D
【分析】由集合的新定义结合 ，可得 ，由此即可求解
【详解】因为集合 且 ，
若 ，
则 中也包含四个元素，即 ，
剩下的 ，
对于①：由 得 ，故①正确；
对于②：由 得 ，故②正确；
对于③：由 得 ，故③正确；
故选：D
15．D
【分析】由题意知 ，分别讨论 和 两种情况，即可得出结果.
【详解】由 ，知 ，因为 ， ，
若 ，则方程 无解，所以 满足题意；
若 ，则 ，
因为 ，所以 ，则满足题意 ；
故实数 取值的集合为 .
故选：D.
16．ABD
【分析】由对数运算可知 ， ，由 的定义可知AC正误；解不等式求得集合 ，由交集和并集定义可知BD正误.
【详解】对于A， ， ， ，A正确；
对于C， ， ，C错误；
对于BD， ， ，
， ，BD正确.
故选：ABD.
17．AB
【分析】根据正弦函数可得集合 ，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.
【详解】由 ，
又 ，
显然集合
所以 ，
则 成立，所以选项A正确.
成立，所以选项B正确，选项D不正确.
，所以选项C不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.
18．AB
【解析】化简集合A,B，即得解.
【详解】 ， ，
所以 ， ， 或 ，
故选:AB
【点睛】易错点睛：化简集合A时，容易漏掉函数的定义域，导致得到 ，导致后面运算出错，所以函数的问题必须要注意定义域优先的原则.
19．AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素 ，分析 与集合 、 、 的关系，利用集合的运算关系，逐
个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素 ，则 或 ，所以阴影部分所表示的集合
为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为 ，
所以选项AD正确，选项CD不正确，
故选：AD.
20． .
【分析】首先求得 ，然后利用集合之间的包含关系得到关于m的不等式，求解不等式即可确定m的取
值范围.
【详解】由题意可得： ，
据此结合题意可得： ，即 ，
即实数 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，由集合间的关系求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转
化能力和计算求解能力.
21．
【分析】由题意首先确定集合B，注意到集合B中的元素 都是集合A的子集，然后确定集合B，从而确
定最终答案.
【详解】由题意可得：集合B中的元素都是集合形式，即集合B是集合的集合，
题中集合B中的元素 都是集合A的子集，
又因为 ，
所以 的子集有 4个，所以用列举法表示集合 ，
所以集合 是集合 中的一个元素,
故答案为：∈.
22．
【分析】化简集合 ，其表示两平行线线上及其中间部分的点(如阴影部分所示)，集
合 表示以 为圆心， 为半径的圆及其圆内的点，而 ，即表示该圆与阴影部
分有交点，可利用直线与圆的位置关系来解决此题.
【详解】因为 ，
所以集合 是被两条平行直线 夹在其中的区域，如图所示，
，
其中 由 ，解得 或 ，
当 时，B表示点 或 ，
当 时， 表示以 为圆心， 为半径的圆及其内部的点，
其圆心在直线 上，
依题意 ，即表示圆 应与阴影部分相切或者相交，
当 时，显然满足题意，当 时，不满足题意，
当 时，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ；
当 时，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，无解；
综上，头数 的取值范围足 .
故答案为：
23．1
【分析】解对数方程确定集合 ，由余弦函数性质确定集合 ，求出 后可得．
【详解】∵ ，∴ ，解得 或 ，∴ ，
，
∴ ，其中元素个数为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查求集合交集中元素个数，求出交集是基本方法，还考查了对数方程，余弦函数的性质，
属于中档题．
24．
【分析】根据 知， ,即可分 与 两种情况求解.
【详解】因为 ，
所以 ，当 时，即 ，解得 .
当 时，则 ，解得 .
综上 ，即实数 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了并集，子集的概念，涉及分类讨论的思想，属于中档题.
25．①②
【解析】由集合的运算性质，复数的性质结合题意，进行判断即可.
【详解】对①，集合 的补集为集合 ，集合 的补集为集合 ，故①为“回归”变换
对②，设 ， ，复数 的共轭复数为 ，复数 的共轭复数为 ，
故②为“回归”变换
对③，当 时， ， ，由于k，b均为非零实数，则 不一定为 ，则③不
是“回归”变换
故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了集合的运算以及共轭复数的定义，属于中档题.
【三层练能力】参考答案
1．C
【分析】根据已知可推出函数 周期性，单调性以及函数值情况，由此可作出函数的图象，将问题转化
为函数图象的交点问题解决.
【详解】由 为R上的奇函数,
①，
又 ②，
由②－① 为周期为2的周期函数,
而又 ，当 时 当 时, ．
又当 时， 单调递增，且 ．
故可作出函数 的大致图象如图：
而集合A中的元素个数为函数 与 图象交点的个数，
由以上分析结合函数 性质可知，3为集合A中的一个元素，
且y=f（x）与 在（1，3），（3，5），...，（23，25）中各有一个交点，
∴集合 中的元素个数为13．
故选：C．
2．C
【详解】试题分析：根据题中“类”的理解，在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个
“类”，
对于各个结论进行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵﹣3÷5=0…2，③整数集中的数被5除的数可以且只可
以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可．
解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对；
②∵﹣3=5×（﹣1）+2，∴对﹣3∉[3]；故②错；
③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成
立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④对．
∴正确结论的个数是3．故选C．
点评：本题主要考查了选修3同余的性质，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属于创新题．
3．ABD
【分析】将 分别表示成两个数的平方差，故都是集合 中的元素，再用反证法证明
.
【详解】∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
若 ，则存在 使得 ，
则 和 的奇偶性相同.
若 和 都是奇数，则 为奇数，而 是偶数，不成立；
若 和 都是偶数，则 能被4整除，而 不能被4整除，不成立，∴ .
故选ABD.
【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质 ，考查平方差公式及反证法的灵活运
用，对逻辑思维能力要求较高.
4．ABD
【分析】利用对应关系结合充分必要条件的定义可判断A选项的正误；利用等势的定义可判断B选项的正
误；利用反证法可判断C选项的正误；数形结合可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，设有限集合 ， ，
充分性：若 ，则两个集合 和 之间若存在一一对应关系，
则对任意的 ，存在 ，使得 与 对应，故 ，充分性成立.
必要性：若 ，即集合 、 的元素个数相等，
可构造映射 ，使得 ，故 ，必要性成立，A对；
对于B选项，对三个无限集合 、 、 ，若 ，对任意的 ，存在唯一的 ，使得 与 对应，
又因为 ，则存在唯一的 ，使得 与 对应，
故对任意的 ，存在唯一的 ，使得 与 对应，故 ，B对；
对于C选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：
假设正整数集 与正实数集 等势，则存在 与 的一个一一对应 ，将与 中 对应的元素 记
为 ，
则 中的元素可以排成一列： 、 、 、 、 ，显然 中至少有一个单位长度的区间不包含 ，
不妨设此区间为 ，将 三等分，则 、 中至少有一个区间不含 ，以 表示此区间，
将 三等分，其左、右两个区间至少有一个不含 ，记为 ，
依此类推，可得一列闭区间 满足：
（i） ，且 的长度趋于 ；
（ii） ， 、 、 、 .
所以， ，但对任意的 ， ，换言之， 不在 中，这是不可能的，
这一矛盾说明， 与 不等势，C错；
对于D选项，如下图所示：球面方程为 ，球面与 轴的正半轴交于点 ，
对于球面上任意一点 （不与点 重合），设直线 交平面 于点 ，
则球面上的点 （不与点 重合）与平面 内的点 能建立一一对应关系，
假定在平面 上有一理想的点称之为无穷远点，它与点 对应，这样 ，D对.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义，充分理解等势的定义，结合代数式法以及数形结合找到
对应关系是解题的关键，在判断选项错误时，可充分利用反证法来进行推理.
5．
【详解】试题分析：由 ,又因为 ,则由
数轴得 ,即 .
考点：1.对数不等式;2.集合运算
6．5，
【详解】（1）由题意新定义知， 中 ， ， ，故第一空应填5；（2）因为 ，所以E的第211个子集包含 ，此时211-128=83；
又因为 ， ，所以E的第211个子集包含 ，此时83-64=19；
又因为 ， ，所以E的第211个子集包含 ，此时19-16=3；
又因为 ， ，所以E的第211个子集包含 ，
此时3-2=1；因为 ，所以E的第211个子集包含 ；
故E的第211个子集是 ．故第二空应填 ．
