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第14 课 导数与函数的极值、最值（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023春·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知 ，且函数 恰
有两个极大值点在 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用整体思想法，求得 的范围，再运用正弦函数图象分析即可.
【详解】∵ ， ，
∴ ，
又∵ 在 恰有2个极大值点，
∴由正弦函数图象可知， ，解得： .
故选：B.
2．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考三模）已知函数 和 有相同的极
大值，则 （ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】利用导数，先求得 的极大值，然后根据 与 有相同的极大值求得 .
【详解】求导 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，∴ 在 处取得极大值 ，
，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 在 处取得极大值 ，
依据题意， 和 有相同的极大值，故 ，解得 .
故选：A
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）当 时，函数 取得最小值 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出导函数，由题意 ，解得 ，即可计算 .
【详解】当 时，函数 取得最小值 ，
所以 ，所以 ，得 ，
又 ，根据函数在 处取得最值，
所以 即 得 ，
所以 ， .
故选：C.
4．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数 存在最大值0，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B【分析】讨论 与0的大小关系确定 的单调性，求出 的最大值.
【详解】因为 ， ，
所以当 时， 恒成立，故函数 单调递增，不存在最大值；
当 时，令 ，得出 ，
所以当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
所以 ，解得： .
故选：B.
二、多选题
5．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）关于函数 ，下列判断正确的是
（ ）
A．函数 的图像在点 处的切线方程为
B． 是函数 的一个极值点
C．当 时，
D．当 时，不等式 的解集为
【答案】ACD
【分析】先对函数求导，得到 ，求出函数 的图像在点 处的切线方程，即判断A；
根据 时， 恒成立，得到函数单调，无极值点，可判断B；根据导数的方法求出
时， 的最小值，即可判断C；根据导数的方法判断 时函数的单调性，根据单调性列出不等式组
求解，即可得出结果.【详解】因为 ，所以 ， ，
所以 ，
因此函数 的图像在点 处的切线方程为 ，
即 ，故A正确；
当 时， 在 上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；
当 时， ，由 得 ；由 得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
因此 ，即 ；故C正确；
当 时， 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递减；
由 可得 ，解得： ，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查求曲线在某一点处的切线方程，以及导数的方法研究函数的单调性、极值最值等，
属于常考题型.
6．（2023·全国·高三专题练习）对于函数 ，则（ ）
A． 有极大值，没有极小值
B． 有极小值，没有极大值
C．函数 与 的图象有两个交点
D．函数 有两个零点
【答案】AD【分析】对函数 求导，通过求导判断函数的单调性从而可知函数是否有极值；画出函数 与
的图象从而可判断交点个数；函数 有两个零点价于函数 与 图像
有两个交点，数形结合即可判断.
【详解】 ，则 ，
因为 在 恒成立.
所以当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
所以 在 处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；
根据 的单调性，画出函数 图像，以及 的图象，如图：
由此可知，函数 与 的图象只有一个交点，故C错误；
函数 有两个零点等价于函数 与 图像有两个交点，如下图所示：由此可知，函数 与 图像有两个交点，即函数 有两个零点；故D正确.
故选：AD.
三、填空题
7．（2023·湖南岳阳·湖南省岳阳县第一中学校考二模）已知函数 有2个极值点 ， ，则
．
【答案】0
【分析】由 得 ，然后根据函数解析式结合条件即得.
【详解】因为函数 有两个极值点 与
由 ，则 的两根为 与 ，
所以 ，即 ，
由 ，可得 ，
所以 .
故答案为：0.
8．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）函数 的极小值点为 ．
【答案】2
【分析】利用 求解函数 的极值点，再根据函数的单调性，判断极小值点与极大值点即可.
【详解】因为函数 ，所以 ，得 ，令 可得函数 增区间
为 ， 可得函数 的减区间为 ，所以 在 处取得极小值为
，所以函数 的极小值点为2.
故答案为：2.9．（2023·全国·高三专题练习）若 是函数 的极小值点，则函数 在区间
上的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】求导，根据极值点可得 ，进而解得 或 ，代入验证极值点可确定 ，进而根
据极大值以及端点处的函数值进行比较即可求解.
【详解】由 ，得 ，
因为 是函数 的极小值点，所以 ，即 ，
即 ，解得 或 ．
当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以， 在区间 ， 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 是函数 的极大值点，不符合题意；
当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在区间 ， 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点，故
又因为 ， ，
所以函数 在 的最大值为 ．故答案为： ．
10．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）若函数 在区间 上的最小值为 ，
则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据导数判断单调性与最值情况.
【详解】由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
所以 ，
即 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： .
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）已知函数 的图象上存在点 ，函数
的图象上存在点 ，且 ， 关于 轴对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【详解】因为函数 与函数 的图象关于x轴对称，
根据已知得函数 的图象与函数 的图象有交点，
即方程 在 上有解，
即 在 上有解．
令 ， ，
则 ，
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， ，
由于 ， ，且 ，
所以 ．
故选：A．
2．（2023秋·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）若函数 有两个极值点 ，
且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由极值点定义确定 的关系，化简 ，由此求 的范围.
【详解】因为函数 有两个极值点 ，
又函数 的定义域为 ，导函数为 ，所以方程 由两个不同的正根，且 为其根，
所以 ， ， ，
所以 ，
则
，
又 ，即 ，可得 ，
所以 或 （舍去），
故选：C.
二、多选题
3．（2023春·湖南郴州·高二校考阶段练习）设函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 没有零点 B．当 时， 的图象位于 轴下方
C． 存在单调递增区间 D． 有且仅有两个极值点
【答案】BC
【分析】根据 ，求得 的符号，即可判断B；利用导数求出函数的单调区间，即可判断
C；再结合零点的存在性定理即可判断A；再根据极值点的定义即可判断D.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
令 ，则 ，
所以函数 在 上递减，
又 ，所以存在 上，使得 ，即函数 有唯一零点 ，且 ，
当 时， ，即 ，函数 递增，故C正确；
当 时， ，即 ，函数 递减，
所以 为函数 的极大值点，无极小值点，
即 有且仅有一个极值点，故D错误；
所以 ，
又 ，所以函数 在 上存在一个零点，故A错误；
当 时， ，所以 ，
即当 时， 的图象位于 轴下方，故B正确.
故选：BC.
三、填空题
4．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）函数 ，若
关于x的不等式 的解集为 ，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分 和 两种情况讨论，当 时，根据二次函数的图象得到 ，当 时，分
和 两种情况讨论， 时，将 转化为 ，然后借助函数的单调性和最值解不等式即
可.
【详解】由题意知，当 时， ；当 时， ；当 时， ．
当 时， ，
结合图象知 ；当 时， ，当 时，显然成立；
当 时， ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，所以 ．
综上，实数a的取值范围为 ．
故答案为： ．
【三层练能力】
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，则（ ）
A． ，使得 在 上递减
B． ，使得直线 为曲线 的切线
C． ，使得 既为 的极大值也为 的极小值
D． ，使得 在 上有两个零点 ，且
【答案】BCD
【分析】根据函数单调由 即可求解A，根据切点为 的切线，即可求解B,求导，利用
导数的正负确定单调性即可确定极小值，结合对称性即可确定极大值，举例求解D.【详解】A．若 ，使得 在 上递减，则 ，代入得
，解得 且 ，故 不存在，因此不存在 ，使得 在
上递减，故A错；
B．当 时， ，当切点为 时，则只需
，故B对；
C．注意到 ，令 ，
另一方面， 时， ，
当 时， ，
当 时，
此时 时， 取极小值，此时 为极小值，
由 ，所以函数 的图象关于 对称，由对称性可知：
为 的极大值， 此时 也为极大值．故C对；
对于D，令 ， ，函数在 上有两个零点 ，
，所以 ，
故D正确；
故选：BCD【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2．（2023·高二单元测试）函数 （e为自然对数的底数），则下列选项正确的有（ ）
A．函数 的极大值为1
B．函数 的图象在点 处的切线方程为
C．当 时，方程 恰有2个不等实根
D．当 时，方程 恰有3个不等实根
【答案】BD
【分析】求出函数 的导数，利用导数探讨极大值判断A；利用导数的几何意义求出切线方程判断B；
分析函数性质并结合函数图象判断CD作答.
【详解】对于A： ，
在区间 ， 上， ， 单调递增，在区间 上， ， 单调递减，
所以 的极大值为 ，A错误；
对于B： ， ，则函数 图象在点 处的切线方程为 ，即
，B正确；
对于C、D：因为 在 上递增，在 上递减， ， ，
在 上递增，且 在 上的取值集合为 ， 在 上的取值集合为，
因此函数 在 上的取值集合为 ， 的极大值为 ， 的极小值为
，
作出函数 的部分图象，如图，
观察图象知，当 或 时， 有1个实数根；当 或 时 有2个实数根；
当 时，有3个实数根，C错误，D正确.
故选：BD
【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形
结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
