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阶段复习(二) 力与曲线运动
知识网络规范训练 (2023·浙江绍兴市一模)过山车这一游乐项目，深受游客喜爱，而如图甲所示的断轨过山车，令大多数游客望而却步。为了探究断轨过山车的工作原理，小明同学设计了如
图乙所示的简化装置，该装置由竖直光滑圆弧轨道AB、水平粗糙直轨道BC和半径为R＝
2.0 m的竖直断轨光滑圆弧轨道CDEF平滑连接而成，圆弧轨道的圆心为O，断轨处的D点
和E点高度相等，OD连线与竖直方向的夹角为θ，质量m＝1.0 kg的滑块从离地一定高度处
由静止释放。已知直轨道BC的长度L＝4.0 m，滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.5，不
计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)若滑块释放的高度h＝4.0 m，求滑块经过圆弧轨道的C点时对轨道的压力；
1
(2)若夹角θ＝37°，使滑块能顺利通过整个竖直圆弧轨道，求滑块释放的高度h；
1 2
(3)若0≤θ<90°，使滑块能顺利通过整个竖直圆弧轨道，请写出滑块由D到E过程中离地面
最高点的高度H与夹角θ的函数关系，并讨论H的极值。
解题指导
关键表述 关键表述解读
求滑块经过圆弧轨道的C点时对轨道 由F －mg＝m知，需要先求出滑块过C点的速
N
的压力 度
在D点飞出，在E点切入轨道，从D到E为斜
若夹角θ＝37°，使滑块能顺利通过
1
抛运动，利用斜抛规律可求出滑块过D点速
整个竖直圆弧轨道
度，从而求出滑块释放的高度h
2
若0≤θ<90°，使滑块能顺利通过整 θ改变，v 也改变，滑块在D点的速度v 与θ满
D D
个竖直圆弧轨道 足一一对应关系
写出滑块由D到E过程中离地面最 滑块在D点的速度v 与θ满足一一对应关系，
D
高点的高度H与夹角θ的函数关系 函数关系中仅有变量θ，再利用数学知识求极值
答案 (1)30 N，方向向下 (2)6.85 m
(3)H＝R＋R(cos θ＋) 4 m
解析 (1)设滑块经过C点的速度为v ，由动能定理可得mgh －μmgL＝mv 2
C 1 C
设滑块在C点所受的支持力为F ，
N
由牛顿第二定律得F －mg＝m
N
代入数据得F ＝30 N
N
由牛顿第三定律可知，滑块经过C点时对轨道压力大小为30 N，方向向下。
(2)滑块从D到E做斜抛运动，设滑块在D点速度为v ，从D至最高点时间为t，
D
则有水平方向(v cos θ)t＝Rsin θ
D 1 1
竖直方向v sin θ＝gt
D 1联立解得v ＝＝5.0 m/s
D
滑块自释放运动到D点的过程中，由动能定理可得mgh －μmgL－mgR(1＋cos θ)＝mv 2－0
2 1 D
代入数据得h＝6.85 m。
2
(3)设滑块离开D点后上升的最大高度为h′，离地最大高度为H，则h′＝，
又因为v ＝，解得h′＝
D
因为H＝R(1＋cos θ)＋h′，则滑块在DE间运动时离地面高度H与夹角θ的函数关系式
H＝R＋R(cos θ＋)，
当θ＝0时，H有最小值，即H ＝2R＝4 m。
min阶段复习练(二)
1．(2023·全国甲卷·14)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运
动过程中( )
A．机械能一直增加 B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变 D．被推出后瞬间动能最大
答案 B
解析 铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A错误；铅球的加速度恒为重力加速度，
保持不变，B正确；铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做初速度为零的匀加速
直线运动，根据运动的合成可知铅球速度变大，则动能越来越大，C、D错误。
2．甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向成45°角，乙同
学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示。设乒乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直，
且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速
度大小v 与乒乓球击打乙的球拍的速度大小v 的比值为( )
1 2
A. B. C. D.
答案 C
解析 将乒乓球击打球拍的速度沿水平方向和竖直方向分解，则两次击打球拍水平方向分速
度相等，即vsin 45°＝vsin 30°，解得＝，选项C正确。
1 2
3.(2024·浙江温州市检测)如图所示，甲同学在地面上将排球以速度v 击出，排球沿轨迹①运
1
动；经过最高点后，乙同学跳起将排球以水平速度v 击回，排球沿轨迹②运动，恰好落回
2
出发点。忽略空气阻力， 则排球( )
A．沿轨迹②运动的最大速度可能为v
1
B．沿轨迹①运动的最小速度为v
2
C．沿轨迹①和轨迹②运动过程的速度变化量大小相同
D．沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小可能相同
答案 A
解析 根据题图可知，轨迹①最高点大于轨迹②最高点，分析在最高点左边的运动，根据平
抛规律可知h＝gt2，v＝，轨迹①运动时间长，但水平位移小，所以轨迹①水平分速度小，
x竖直分速度v2＝2gh，轨迹①的竖直分速度大，所以沿轨迹②运动的最大速度可能为v ，沿
y 1
轨迹①运动的最小速度即水平速度小于v，故A正确，B错误；因为运动时间不同，故沿轨
2
迹①和轨迹②运动过程的速度变化量Δv＝gΔt不同，故C错误；因为两轨迹位移大小相同，
但时间不同，故沿轨迹①和轨迹②运动过程的平均速度大小不同，故D错误。
4．(2024·四川成都市第七中学期中)2023年9月21日，“天宫课堂”第四课开讲，航天员景
海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站内，为广大青少年带来了一场别出心裁的太空科普课。
已知地球的半径为R，空间站距离地球表面的高度为h，不考虑地球的自转，地球表面的重
力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．空间站的周期T＝
B．空间站的加速度比同步卫星的加速度小
C．空间站运行的线速度介于7.9 km/s和11.2 km/s之间
D．根据题中信息可以求出空间站的质量
答案 A
解析 根据G＝m(R＋h)，G＝mg，得T＝，A正确；根据G＝ma，得a＝，空间站的运动半
径小于同步卫星的运动半径，则空间站的加速度比同步卫星的加速度大，B错误；空间站运
行的线速度一定小于第一宇宙速度7.9 km/s，C错误；空间站为环绕天体，无法求出其质量，
D错误。
5．(多选)(2024·湖南省联考)2023年7月 10 日，经国际天文学联合会小行星命名委员会批
准，中国科学院紫金山天文台发现的、国际编号为 381323号的小行星被命名为“樊锦诗
星”。如图所示，“樊锦诗星”绕日运行椭圆轨道面与地球圆轨道面间的夹角为20.11度，
轨道半长轴为3.18 天文单位(日地距离为1天文单位)，远日点到太阳中心距离为4.86天文
单位。下列说法正确的是( )
A．“樊锦诗星”绕太阳一圈大约需要2.15年
B．“樊锦诗星”在远日点的速度小于地球的公转速度
C．“樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为
D．“樊锦诗星”在远、近日点的速度大小之比为
答案 BD
解析 根据开普勒第三定律有＝，解得T ＝5.67年，故A错误；“樊锦诗星”在远日点将
樊
做近心运动，其速度v 小于以该位置到太阳距离为半径圆周运动的速度v ，根据万有引力
1 2
提供向心力有G＝m，得v＝，轨道半径越大，卫星的线速度越小，可知v 小于地球公转速
2
度v ，所以“樊锦诗星”在远日点的速度小于地球的公转速度，故B正确；根据牛顿第二
3
定律可知G＝ma，a＝，“樊锦诗星”在远日点的加速度与地球的加速度大小之比为＝，故
C错误；轨道半长轴为3.18天文单位，远日点到太阳中心距离r 为4.86天文单位，则近日
1点到太阳中心距离r 为1.5天文单位，对于“樊锦诗星”在远日点和近日点附近很小一段时
2
间Δt内的运动，根据开普勒第二定律有vrΔt＝vrΔt，解得＝＝，故D正确。
1 1 4 2
6.(2024·辽宁大连市金州高级中学期中)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶
端以速率v 水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v
0 0
水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，小球A、B
在空中运动的时间之比为( )
A．2tan2θ∶1 B．tan2θ∶1
C．1∶2tan2θ D．1∶tan2θ
答案 A
解析 设小球A在空中运动的时间为t ，小球B在空中运动的时间为t ，对小球A，由平抛
1 2
运动的规律可得tan θ＝＝，对小球B，结合几何知识，由平抛运动的规律可得tan θ＝＝，
联立可得＝，故选A。
7.(多选)如图，两端开口的圆筒与水平地面成一定角度倾斜放置。OO′是圆筒的中轴线，
M、N是筒壁上的两个点，且MN∥OO′。一个可视为质点的小球自M点正上方足够高处
自由释放，由M点无碰撞进入圆筒后一直沿筒壁运动，a、b、c是小球运动轨迹依次与MN
的交点。小球从M到a用时t ，从a到b用时t ，从b到c用时t ，小球经过a、b、c时对筒
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壁压力大小分别为F 、F 、F，l 、l 、l 表示M、a、b、c相邻两点间的距离，不计一切
a b c Ma ab bc
摩擦和空气阻力。下列说法正确的是( )
A．t＝t＝t B．F＝F＝F
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C．F
