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热点 06 全等三角形与特殊三角形
中考数学中《全等三角形与特殊三角形》部分主要考向分为五类：
一、三角形的重要定理（每年1~2道，3~7分）
二、全等三角形（每年1道，4~8分）
三、等腰三角形（每年1~2题，3~7分）
四、直角三角形（每年1~2题，3~7分）
五、三角形的综合（每年1~2题，3~9分）
全等三角形与特殊三角形的基础知识是学习后续很多几何问题的基础，也可以在很多综合压轴问题中
起到较强的辅助作用，所以，中考复习，掌握好全等三角形和特殊三角形的性质和判定至关重要。首先，
全等三角形是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系，所以在中考中，考察的几率也是比较大，
小题、简单题均有可能出现。而特殊三角形的考察，则更灵活多样，单独考察时，难度一般不大，准确掌
握对应知识技巧后一半都能拿下。而综合问题中，就需要大家更加注意各问题间的关联性，在合适的步骤
用其性质或判定解决压轴题中重要的一步。
考向一：三角形的重要定理
【题型1 三角形的三边关系】
满分技巧
1、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；实际操作时，只需要两较小边长之和大于最长
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边即可；
2、在等腰三角形中考三边关系时，只需满足--两腰长之和大于底边长即可；
3、做题时，注意看题目中是让求第三边的长还是求三角形的周长，不要因此失分。
1．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
2．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
3．（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为
（写出一个即可）．
【题型2 三角形的内角和定理与外角的性质】
满分技巧
1、三角形三个内角的和=180°，三角形的一个外角=与之不相邻2个内角的和；
2、三角形有关角的这两个定理通常可以交换着用，有时可用内角和又可用外角的题，可能外角用着更
方便；
3、等腰三角形顶角的外角=底角的2倍；
4、在求角度的问题中，内角和定理和外角的性质是常用的等量关系，也是求任何角度都要首选的等量
关系，这个思想要根深蒂固！
1．（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB
的度数为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．95°
2．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．
意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝ 矩，1欘＝1 宣（其中，1
矩＝90°）．
问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B
＝1欘，则∠C＝ 度．
3．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC
＝ ．
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【题型3 三角形中的“三线”】
满分技巧
三角形中“三线”的常见作用及其辅助线：
1、中线
常见“用途”：平分线段、平分面积；
辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；
2、高线
常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；
辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；
3、角平分线
常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；
辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长
出等腰；
4、中垂线
常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；
5、辅助线类型：连接两点
由△的三线组成的几个“心”：
△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；
△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；
△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；
1．（2023•巴中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD
相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
2．（2023•路北区二模）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A． B．
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C． D．
3．（2022•长宁区模拟）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做
半高三角形．已知直角三角形 ABC 是半高三角形，且斜边 AB＝10，则它的周长等于
．
考向二：全等三角形
【题型4 全等三角形的性质与判定】
满分技巧
1、全等三角形的对应边相等，对应角相等；
2、全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS＋Rt△的HL
3、证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。
4、有关三角形全等问题应用的三个方向：
①证边相等就证它们所在的三角形全等；
②证角相等就证它们所在的三角形全等；
③全等三角形可以提供相等线段、相等角
1．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝
5，则CF的长为 ．
2．（2023•凉山州）如图，点 E、点 F 在 BC 上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明
△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
3．（2023•衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
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【题型5 角平分线的性质】
满分技巧
1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
2、判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
1．（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，
DF＝5，则点E到直线AD的距离为 ．
2．（2023秋•高安市期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为
P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长
度是 ．
3．（2023•河曲县一模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，
若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【题型6 线段垂直平分线性质定理】
满分技巧
1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
2、判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上；
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1．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是
．
2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若
AB＝4，则DC的长是 ．
3．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为 度．
考向三：等腰三角形
【题型7 等腰三角形的性质与判定】
满分技巧
1、等腰三角形的性质：①等腰三角形有轴对称性，对称轴有1或3条；②等边对等角；③“三线合一”
2、等腰三角形的判定：①定义法；②等角对等边；③角平分线与高线、中线与高线重合时，利用全等
证等腰；
3、等边三角形的性质：三边相等、三个角都等于60°、三边均存在“三线合一”；
4、等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
1．在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（
）
A．30° B．n°
C．n°或180°﹣n° D．30°或150°
2．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
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A．70° B．100° C．110° D．140°
3．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+ +|c﹣3 |＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2023•荆州）如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于
E，连接DE．求证：CD＝CE．
【题型8 等腰三角形的常见模型】
满分技巧
手拉手全等：
条件：两个顶角相等的等腰三角形有一个公共的顶角顶点
结论：有SAS类三角形全等；
双平等腰：
条件：①AD为角平分线；②DE∥AB；③AE=ED
若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成
立。即：三条件满足“知2得1”
1．（2023•潍坊）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点E，过点E作EF∥BC，交AC
于点F，G为BC的中点，连接FG．求证：FG＝ AB．
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考向四：直角三角形
【题型9 直角三角形的性质与判定】
满分技巧
1、直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互余
②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半
③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半
2、直角三角形的判定：
①有一个角是90°的三角形时直角三角形
②有两个角互余的三角形是直角三角形
③勾股定理的逆定理
1．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交
AC于点E，则∠EBC＝ ．
2．（2023•扬州）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是
（ ）
A．1 B．2 C．6 D．8
3．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝
90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm
4．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化
为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（ ）
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A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO
【题型10 勾股定理】
满分技巧
勾股定理及其逆定理
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾股定理逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三
角形
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数
勾股数 常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；
8,15,17及其倍数
☆：勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三
角形勾股定理方向去想。
1．（2023•德阳）如图，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，点F是AB边的中
点，则DF＝（ ）
A． B． C．2 D．1
2．（2023•宁夏）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及
它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜
边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（ ）
A．2﹣ B．2 ﹣2 C．2 D．2
3．已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方
形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S ，均重叠部分的面积为S ，则（
1 2
）
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A．S ＞S B．S ＜S
1 2 1 2
C．S ＝S D．S ，S 大小无法确定
1 2 1 2
4．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的
角平分线，则AD＝ ．
5．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数 a，b，c的计算公式：
a＝ （m2﹣n2），b＝mn，c＝ （m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，
不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
6．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦
图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边
长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 ．
7．（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不
知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：
今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，
竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别
是
尺．
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考向五：三角形综合题
【题型11 全等三角形与特殊三角形的综合应用】
1．（2023•大庆）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋转 至AB′，将AC绕点A逆时针旋转 至
AC′（0°＜ ＜180°，0°＜ ＜180°），得到△AB′C′，使∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称
α β
△AB′C′是△ABC的“旋补三角形“，△AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做
α β
“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①△ABC与△AB′C′面积相同；
②BC＝2AD；
③若AB＝AC，连接BB′和CC′，则∠B′BC+∠CC′B′＝180°；
④若AB＝AC，AB＝4，BC＝6，则B′C′＝10．
2．（2023•兰州）综合与实践：
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第 1卷命题9“平分一个已知
角，”即：作一个已知角的平分线，如图 2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在
OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是
∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据： ；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，
他查阅资料；我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取
OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB
的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口
A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路
灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带
刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
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3．（2023•扬州）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三
角板分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB＝∠A′D′C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′D′C绕着点A按顺时针方向旋转，
旋转角为 （0°≤ ≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
（1）当 α＝60°时α，BC＝ ；当BC＝2 时， ＝ °；
（2）当 ＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
α α
（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C′绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为 ．
α
（建议用时：40分钟）
1．（2023•盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（
）
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A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
2．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的
长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
3．（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝
，则AB＝（ ）
A． B．6 C．8 D．
4．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的
是（ ）
A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD
5．（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70° B．45° C．35° D．50°
6．（2023•丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶
点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
7．（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延
长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
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A． B．7 C． D．8
8．（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把
线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形
CFDE的周长和面积分别是（ ）
A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
9．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 的长为半径作弧（弧所在圆的
半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD
＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠ ＝60°，点B，C表示
的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm．
α
11．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B
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作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为
．
12．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处
有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从
外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）
13．（2023•通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B
匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，
当点D落在BC边上时，点P需移动 s．
14．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．
15．（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求
证：AB＝AD．
16．（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至
点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
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17．（2023•南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝
OC．
求证：∠1＝∠2．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．
∵∠DOB＝∠EOC，
∴∠B＝∠C．……第一步
又OA＝OA，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO．……第二步
∴∠1＝∠2．……第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
18．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝
∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点
D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，
DE＝2m，求建筑物AB的高度；
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，
将镜子移动至E 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE ＝2m；再将镜子移动至E 处，恰
1 1 2
好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE ＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝
2
10m，求这个广告牌AG的高度；
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如
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图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子
（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝
17m；④测出坡比为8：15（即 ）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔 AB的高度
（结果保留整数）．
19．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．
（1）写出AB与BD的数量关系．
（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．
（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．
（建议用时：45分钟）
1．（2024•长沙模拟）以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，6
2．（2023•梁山县二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的
是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝ ∠ACB
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C．AE＝BE D．CD⊥BE
3．（2023•沈丘县一模）如图，在△ABC中，中线AD、CE相交于点G，AG＝6，则AD的长为（ ）
A．18 B．9 C．8 D．3
4．（2023•雁塔区校级模拟）如图，将一副直角三角板按如图所示叠放，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E
＝30°，则∠BFD的大小是（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
5．（2023•拱墅区校级三模）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为
圆心，AC 为半径画弧交 BC 于点 E，连接 AE，AD．设∠EAD＝ ，∠ACB＝ ，则∠B 的度数为
（ ）
α β
A． ﹣ B．2 ﹣ C． + D．3 ﹣
6．（2023•泗洪县二模）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A＝28°，∠CGF＝88°，则∠E
α α β α α β
的度数是（ ）
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A．32° B．34° C．40° D．44°
7．（2023•三门峡一模）如图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D在同一条直线上，AC∥DF，AC＝
DF，只添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AE＝DB B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．∠ABC＝∠DEF
8．（2023•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC
于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．（2023•泉山区校级三模）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是（ ）
A．22 B．19 C．17 D．17或22
10．（2023•香洲区一模）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数
等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
11．（2023•广西模拟）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若
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BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2023•大连一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿
线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝28°，则∠CBD＝（ ）
A．15° B．16° C．18° D．20°
13．（2023•莲湖区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，点D为BC的中点，
AE⊥BC于点E，则DE的长是（ ）
A．1 B． C．3 D．6
14．（2024•雁塔区校级一模）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格
点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023•红花岗区校级一模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的
骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直
角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b．若ab＝8，大正方形的面积为 25，则EF的长为
（ ）
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A．9 B．9 C．3 D．3
16．（2023•襄城区校级二模）如图，若AB＝AC，BG＝BH，AK＝KG，则∠BAC＝ ．
17．（2023•琼山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，2），
如果△ABC与△ABD全等，那么点D的坐标可以是 （写出一个即可）．
18．（2023•东明县一模）如图，AB＝18m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝6m，点P从B向A运动
每秒钟走1m，Q点从B向D运动，每秒钟走2m，点P，Q同时出发，运动 秒后，△CAP与
△PQB全等．
19．（2024•碑林区校级一模）如图所示，已知△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D和点E分别是AB和
AC边上的动点，满足AD＝CE，连接DE，点F是DE的中点，则 的最大值为 ．
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20．（2024•吐鲁番市一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画
弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，
作射线BP交AC于点D，则S△CBD ：S△ABD ＝ ．
21．（2023•东平县校级一模）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点
O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为 ．
22．（2024•深圳模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC
与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝ ．
23．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为
“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图 1．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶
口边界时，就可以保证要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意
图．如图3， O为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在 O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交
O于点C．若AB＝30mm，CD＝5mm，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为 mm．
⊙ ⊙
⊙
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24．（2023•武汉模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为三角形内一点，若∠BAC＝30°，∠ADB＝
135°，∠BDC＝105°，BD＝2，则AD的长为 ．
25．（2023秋•渠县期末）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使
得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．
26．（2023•西湖区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC交AC于
点F．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．
27．（2023•拱墅区二模）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，CA上的点，且BD＝CE，
连结AD，BE交于点P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）连接CP，若CP⊥AP时，
①求AE：CE的值；
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②设△ABC的面积为S ，四边形CDPE的面积为S ，求 的值．
1 2
28．（2023•灯塔市一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于
点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，
MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线
于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
29．（2023秋•上蔡县期末）（1）问题发现：如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC的延
长线上，连接CE，求证：△ABD≌△ACE．
（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D点在边BC
的延长线上，连接CE．请判断：
①∠ACE的度数为 ．
②线段BC，CD，CE之间的数量关系是 ．
（3）问题解决：在（2）中，如果AB＝AC＝ ，CD＝1，求线段DE的长．
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