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热点 07 相似三角形
中考数学中《相似三角形》部分主要考向分为三类：
一、黄金分割及平行线分线段成比例（每年1道，3分）
二、相似三角形的判定与性质（每年1~2道，3~12分）
三、相似三角形的应用（每年1~2题，3~14分）
相似三角形在中考数学中的地位永远都是无法撼动的第一，不管是对相似三角形性质、判定、亦或是
应用的考察，都有出题类型多变，出题形式随意的特点，并且，因为其高度的融合性，不管是在选择题、
填空题、解答题的压轴题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途
径。基于以上特征，相似三角的考察难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。
考向一：平行线分线段成比例
【题型1 比例与比例线段】
1、比例的性质：
a:b=c:d⇔ad=bc
；
a:c=c:b⇔c2 =a⋅b
2、比例中项： ，此时，c为a、b的比例中项；
a,b,c,d a和b c和d
3、比例线段：在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线
a,b,c,d
段 叫做成比例线段简称比例线段；
1．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，R 为待测电阻，R 为可调电阻，R，R ，R 为已知电
y x 1 2
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阻，E为直流电压源，A为电流表，调节R 的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有
x
R R
y = 2 ，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过R 的电阻求得
R R x
1 x
R 的电阻，现已知R =2Ω，R =8Ω．当R =4Ω时电流表读数为0，那么此时将R 减小3Ω，则R 需
y 1 2 x y x
要如何变，电流表示数才能为0？
A．增大12Ω B．增大8Ω C．减小3Ω D．减小1Ω
【答案】A
R R
【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据 y = 2 ，R =2Ω，R =8Ω，R =4Ω，求出
R R 1 2 x
1 x
R R
R =4Ω，因为将R 减小3Ω，故把R =1Ω代入 y = 2 算出调整后的R =16Ω，即可作答．
y y y R R x
1 x
R R
【详解】解：∵ y = 2 ，R =2Ω，R =8Ω，R =4Ω，
R R 1 2 x
1 x
R 8Ω
∴ y = ，
2Ω 4Ω
∴R =4Ω，
y
∵将R 减小3Ω，
y
∴调整后的R =1Ω，
y
∵电流表示数才能为0，
R R
∴ y = 2 ，
R R
1 x
∵R =2Ω，R =8Ω，R =1Ω，
1 2 y
1Ω 8Ω
=
则 ，
2Ω R
x
解得R =16Ω，
x
∴16Ω−4Ω=12Ω，
即R 增大12Ω，
x
故选：A．
2．（2025·广东深圳·一模）已知a，b，c，d成比例线段．若a=5cm，b=10cm，d=8cm，则c的长为
（ ）
A．2.5cm B．4cm C．10cm D．16cm
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【答案】B
a c
【分析】本题考查成比例线段，解题的关键是掌握：若四条线段a，b，c，d成比例，则 = （或
b d
a:b=c:d），是有顺序的，位置不能随意颠倒．据此列式解答即可．
【详解】解：∵a，b，c，d成比例线段，且a=5cm，b=10cm，d=8cm，
a c 5 c
∴ = ，即 = ，
b d 10 8
∴c=4(cm)．
故选：B．
3．（2025·上海黄浦·一模）已知线段a=2cm，b=3cm，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c
的长为（ ）
A．6cm B．√6cm C．−√6cm D．±√6cm
【答案】B
【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题．
本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中
考常考题型．
【详解】解：解：∵线段c是线段a和b的比例中项，
∴c2=ab，
∵a=2cm，b=3cm，c>0，
∴c=√2×3=√6cm，
故选：B．
4．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），
山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高
m
线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则 的值为 ．
n
【答案】2
【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出A、B两地的实际直线距离，B、C两地的实际直线距
离，然后求根据比例线段求值即可．
【详解】解：由题意，得A、B两地的实际直线距离为400−200=200，B、C两地的实际直线距离为
200−100=100，
∴m:n=200:100=2:1，
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m 2
即 = =2．
n 1
故答案为：2．
5．（2025·上海虹口·一模）已知线段a是线段b、c的比例中项，b=2cm，c=8cm，那么a= cm．
【答案】4
【分析】本题考查了比例线段，根据题意可得a2=bc，代入数值求解即可．
【详解】解：∵线段a是线段b,c的比例中项，b=2cm，c=8cm
∴a2=bc=2×8=16
∴a=4（负值舍去）
∴a=4cm
故答案为：4．
【题型2黄金分割】
黄金分割：把线段AB分成两条线段 AC,BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把
√5−1
线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点，其中
AC= AB
≈0.618 ．
AB C AB 2 AB
1．（2024·广东深圳·三模）黄金分割比被称之为比例之王，在艺术创作和建筑设计上有很多例子．不过，
事实上黄金分割符合的是西方美学，而东方美学更钟爱于白银分割．其中爱国品牌红旗汽车H9的设计
中应用了白银分割（图1)；福州华林寺大殿——现存最古老木构建筑物中也大量运用了白银比例．东
方人之所以喜欢白银分割比，因为在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的A4纸，
对折后得到两个全等的A5纸、A5纸折叠后得到两个全等的A6纸等等（图2)，A4纸，A5纸、A6纸
等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形．
如图3，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形，以白银菱形作为平面镶嵌图形从
而构造出具有对称美的图形，则这个矩形地毯的长宽比为( )
A．√2 B．√2+1 C．√5−1 D．√5
【答案】B
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【详解】解：由题意得，白银矩形四边形ABFE∽白银矩形四边形ADCB，
AB AE
∴ =
AD AB
，
即AB2=AD⋅AE，
∵AD=2AE，
1
∴AB2= AD2
，
2
AD2
∴ =2，
AB2
AD
∴ =√2（负值舍去）
AB
即白银矩形的长与宽的比为√2．
如下图，作EI⊥HG于点I,GJ⊥PQ于J，FK⊥QM于K，在QM上截取QS=QH,连接SH,
EH
由题可知： =√2,
EI
EI √2
∴sin∠EHG= = ,
EH 2
∴∠EHI=45°,
∵EF=FL,
∴EK=LK,FK=QH,
同理可得QH=HJ=JR=RP,QE=EK=KL=LM,
1
∴∠QHE=∠RHG= (180°−45°)=67.5°,
2
∴∠QEH=90°−67.5°=22.5°,
∵QH=QS,
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∴∠QHS=∠QSH=45°,
∴∠SHE=∠QEH=22.5°,
∴SH=SE,
设QH=QS=m,
∴PQ=4m,SH=√2m,
∴QE=(√2+1)m,
∴QM=4(√2+1)m,
QM 4(√2+1)m
∴ = =√2+1,
PQ 4m
故选：B．
【点睛】本题考查的时候相似多边形的性质、平面镶嵌（密铺）、菱形的判定与性质、翻折变换（折
叠问题）、比例的性质、黄金分割，解决本题的关键是理解白银矩形的定义．
√5−1 √5−1
2．（2025·江西·模拟预测）定义：若线段AB上有一点C满足AC= AB或BC= AB，则称点
2 2
C为线段AB的黄金分割点．在如图所示的五角星图案中，已知点M,N是线段AB的黄金分割点，若
AB=8，则线段MN的长为 ．
【答案】8√5−16/−16+8√5
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，熟记线段的黄金分割点有两个是解题的关键．根据黄金分割
√5−1
的定义可得AN=BM= AB=4√5−4，继而由AM=AB−BM求出AM，再由线段和差计算
2
即可求解．
√5−1
【详解】解：由题意得，AN=BM= AB=4√5−4，
2
∴AM=AB−BM=8−(4√5−4)=12−4√5，
∴MN=AN−AM=4√5−4−(12−4√5)=8√5−16，
故答案为：8√5−16．
3．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支
撑点C是靠近点B的黄金分割点，即AC2=AB⋅BC，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支
撑点C，D之间的距离 cm．（结果保留根号）
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【答案】(80√5−160)
【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设AC=xcm，
则BC=(80−x)cm，由AC2=BC⋅AB得x2=80(80−x)，解方程求出AC的长，同理求出AC的长，
进而可求出点C，D之间的距离．
【详解】解：设AC=xcm，则BC=(80−x)cm，
∵ AC2=BC⋅AB，
∴x2=80(80−x)，
解得x =40√5−40,x =−40√5−40（舍），
1 2
∴ AC=(40√5−40)cm，
同理可求， BD=(40√5−40)cm，
∴AD=AB−BD=80−(40√5−40)=(120−40√5)cm，
∴CD=AC−AD=(40√5−40)−(120−40√5)=(80√5−160)cm．
故答案为：(80√5−160)．
4．（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种
“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，
BE>AE．已知AB为2米，则线段BE的长为 米．
【答案】(√5−1)
√5−1
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为 进行求解即可．
2
【详解】解：∵E为边AB的黄金分割点，BE>AE，
√5−1
∴BE= AB=(√5−1)米，
2
故答案为：(√5−1)．
5．（2024·福建厦门·模拟预测）活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发
现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽MN为
2cm）
①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法
折出一个正方形，然后把纸片展平，则
NC=______cm；
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②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩
形，再把纸片展平，则AC=_______cm；
③折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到
图3中所示的AD处，则AD=AB=_______
cm；
④展平纸片，按照所得到的点D折出DE，
CD
则 = _______，我们将这个比值称为黄金
BC
比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄
金矩形，如图4矩形BCDE就是一个黄金矩
形．
活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形．
如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以2a为腰长的黄金三角形△A′B′C′．（要求：尺规作图，
保留作图痕迹，不写作法）
步骤一：作一条线段GH，使得GH的长度等于△A′B′C′的腰长；
步骤二：作一条线段PQ，使得PQ的长度等于△A′B′C′的底边长；
步骤三：作黄金三角形△A′B′C′．
√5−1
【答案】（1）活动一：①2；②1；③√5−1；④ ；
2
（2）见解析
【分析】活动一：利用折叠的性质和勾股定理解答即可；
活动二：利用作一条线段等于已知线段的方法，黄金分割的作法和SSS公理解答即可．
【详解】解：活动一：
①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则NC=MN=2cm；
1
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则AC=AN= NC=1cm；
2
③折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，则
AD=AB=√AC2+BC2=√12+22=√5cm；
④展平纸片，按照所得到的点D折出DE，DE=BC=2cm,CD=AD−AC=(√5−1)cm，则
CD √5−1
= ；
BC 2
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活动二：
步骤一：作一条线段GH，使得GH的长度为2a，
步骤二：1．过点H作HL⊥GH于点H，
2．在HL上截取HE=a，连接GE，
3．在EG上截取EK=a，
4．以点G为圆心，以GK为半径画弧交GH于点M， 则点M为GH的黄金分割点，GM的长度等于
√5−1
GH，则GM的长度等于△A′B′C′底边的长度，即GM=PQ，如图：
2
步骤三：作△A′B′C′，作线段B′C′=GM，分别以B′,C′为圆心，以GM为半径画弧，两弧交于点A′，
连接A′B′,A′C′，如图，
则△A′B′C′为黄金三角形．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，黄金分割的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，
基本作图，本题是操作性题 目，熟练掌握基本作图的知识和折叠的性质是解题的关键．
【题型3 平分线分线段成比例】
满分技巧
AC BD
=
如图：AB∥CD∥EF⇔CF DE
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1．（2025·河南·一模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC=50cm，
CE=30cm，BD=45cm，则BF的长为（ ）
A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键．
先根据平行线等分线段定理列比例式求得DF=27cm，再运用线段的和差求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
AC BD 50 45
∴ = ，即 = ，解得：DF=27cm．
CE DF 30 DF
∴BF=BD+DF=72cm．
故选C．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点
A、B、C和点D、E、F，若AB=2，BC=3，DE=3，则EF=（ ）
10 15 9
A． B． C．4 D．
3 2 2
【答案】D
【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理解答即可求解，掌握平行线等分
线段定理是解题的关键．
【详解】解：∵a∥b∥c，
AB DE
∴ = ，
BC EF
2 3
∴ = ，
3 EF
9
∴EF= ，
2
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故选：D．
3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，AB⊥BD,CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，
EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（ ）
AE BE AE AB
A． = B． =
EC ED DE CD
EF DF AD AE
C． = D． =
AB DB BD BF
【答案】A
【分析】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关
键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．
【详解】解： ∵AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD，
∴AB∥CD∥EF
∴△ABE∽△DCE，
AE AB BE
∴ = = ，故选项A错误，选项 B正确，
ED CD EC
∵EF∥AB，
∴△≝∽△DAB，
EF DF
∴ = ，故选项C正确；
AB DB
∵EF∥AB，
AD BD
∴ = ，
AE BF
AD AE
∴ = ，故选项D正确，
DB BF
故选：A．
4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，点G是重心，连接AG交BC于点D，BC=4，
2
cos∠ACB= ，F是边AC上一点，当FG⊥AD时，则CF的长为（ ）
5
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5 3
A．1 B． C． D．√3
3 2
【答案】B
【分析】本题考查了重心的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握相关知识是解题的
1 1 1
关键．根据重心和等腰三角形的性质可得：DG= AG= AD，CD= BC=2，∠ADC=90°，由
2 3 2
2 CF DG 1
cos∠ACB= 可得AC=5，结合FG⊥AD得到GF∥BC，推出 = = ，即可求解．
5 AC AD 3
【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，点G是重心，
1 1 1
∴ DG= AG= AD，CD= BC=2，∠ADC=90°，
2 3 2
2
∵ cos∠ACB= ，
5
CD 2 2
∴ cos∠ACB= = = ，
AC AC 5
∴ AC=5，
∵ FG⊥AD，AD⊥BC，
∴ GF∥BC，
CF DG 1 CF 1
∴ = = ，即 = ，
AC AD 3 5 3
5
∴ CF= ，
3
故选：B．
5．（2025·上海崇明·一模）如图，AB∥CD∥EF，AE:CE=3:2，BF=6，那么BD的长等于 ．
【答案】10
AE BF 3
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到 = = ，求
EC DF 2
2
出DF= BF=4，即可求出BD的长．
3
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【详解】解：∵AB∥CD∥EF，AE:CE=3:2，
AE BF 3
∴ = = ，
EC DF 2
∵BF=6，
2
∴DF= BF=4
3
∴BD=BF+DF=10，
故答案为：10．
6．（2025·上海长宁·一模）如图，AB∥CD∥EF，如果AD=2，DF=1.5，BC=2.4，那么BE的长是
．
【答案】4.2
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵ AB∥CD∥EF，
AD BC
∴ = ，
DF CE
∵ AD=2，DF=1.5，BC=2.4，
2 2.4
∴ = ，
1.5 CE
解得：CE=1.8，
∴BE=BC+CE=2.4+1.8=4.2．
故答案为：4.2．
7．（2023·安徽宿州·一模）如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交BC于点H，且
H是BC的中点．若AH=4，CG=6，则AB的长为 ．
15
【答案】
2
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾
股定理等知识，作HK∥CG交AB于点K，由平行线分线段成比例定理可证AG=KG=BK，根据勾
股定理求出AK的长，进而可求出AB的长．
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【详解】解：作HK∥CG交AB于点K，
BK BH AG AN
∴ = ， = ．
KG CH KG NH
∵H是BC的中点，
∴BH=CH，
∴BK=KG，
1
∴HK= CG．
2
∵AH⊥CG，
∴∠ANC=∠HNC=∠ANG=90°．
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACN=∠HCN．
∵CN=CN，
∴△ACN≌△HCN(ASA)，
∴AN=HN，
∴AG=KG，
∴AG=KG=BK，
∵HK∥CG，
∴∠KHA=∠ANG=90°，
∴AK=√AH2+H K2=5，
1 5
∴AG=KG=BK= AK= ，
2 2
15
∴AB=AG+KG+BK= ．
2
15
故答案为： ．
2
考向二：相似三角形判定与性质
【题型4 相似三角形的性质】
相似三角形的性质：对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=相
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似比的平方、对应周长之比=相似比。另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性质
的考察。
1．（2025·河南开封·一模）如果两个相似三角形的对应边之比是1:4．那么它们的面积之比是（ ）
A．1:4 B．1:6 C．1:8 D．1:16
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比、相似三角形的面
积的比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
∵两个相似三角形的相似比是1:4，
∴它们的面积的比是1:16，
故选：D．
2．（2025·重庆·模拟预测）如图，△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心，已知OA:OD=2:3，△ABC的
面积为8，则△≝¿的面积为（ ）
A．8 B．12 C．18 D．24
【答案】C
AB OA 2
【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得到△ABC∽△≝，AB∥DE，所以 = = ，
DE OD 3
然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△≝，AB∥DE，
AB OA 2
∴ = = ，
DE OD 3
∵△ABC∽△≝¿，
S
△ABC
∴ ( AB) 2 4 ，
S = = ¿
△≝¿ DE 9
S
∴ 9 9 ．
△≝¿= S = ×8=18¿
4 △ABC 4
故选：C．
3．（2025·河北邯郸·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知△ABC∽△≝¿．测得
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AC=3cm，DF=4cm，△≝¿的面积为16cm2，则△ABC的面积为（ ）
A．6cm2 B．9cm2 C．10cm2 D．12cm2
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△≝¿，
S
△ABC
∴ (AC) 2 ，
S = ¿
△≝¿ DF
∵AC=3cm，DF=4cm，△≝¿的面积为16cm2，
∴
S
△ABC =
(3) 2
，
16 4
∴△ABC的面积为9cm2．
故选：B．
4．（2025·重庆·模拟预测）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若A A′=3OA′，B′C′=5，
则BC的长为（ ）
A．15 B．20 C．10 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的对应边的比等于
相似比是解题的关键．
根据位似图形的性质可得△ABC∽△A′B′C′且相似比为2：1，然后由相似三角形对应边的比等于相
似比解答即可．
【详解】解：∵A A′=3OA′，
OA 1
=
∴ ．
OA′ 2
∵△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△A′B′C′且AC∥AC′，
BC AC OA
∴
= = =2，
BC′ AC′ OA′
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∵B′C′=5，
∴BC=2B′C′=10．
故选：C．
5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若
S 1 S
△BDE = ，则 △BDE 的值为（ ）
S 3 S
△CDE △BAC
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 9 16
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握等高不同底的三角形的面积的比等于底的比与三
角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
S 1 BE 1 BE 1
由 △BDE = ，得到 = ，于是得到 = ，根据DE∥AC，推出△BDE∽△ABC，根据相似
S 3 CE 3 BC 4
△CDE
三角形的性质即可得到结论．
S 1
【详解】解：∵ △BDE =
S 3
△CDE
BE 1
∴ =
CE 3
BE 1
∴ =
BC 4
∵DE∥AC
∴△BDE∽△ABC
DE BE 1
∴ = =
AC BC 4
∴
S
△BDE=
(1) 2
=
1
S 4 16
△BAC
故选：D．
【题型5 相似三角形的判定】
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重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型；
相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相等，对
应边成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特别是和
网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。
1．（2025·湖南长沙·一模）如图，下列条件不能判定△ABD∽△ACB的是（ ）
BC DC
A．∠ADB=∠ABC B．∠DBA=∠C C．AB2=AD⋅AC D． =
AC BC
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定的判定方法即可得出答案，掌握相似
三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB,∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，故选项不符合题意；
B、∵∠DBA=∠C,∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，故选项不符合题意；
C、∵AB2=AD⋅AC，
AB AD
∴ = ，
AC AB
又∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，故选项不符合题意；
D、对应边不成比例，不能判定△ABD∽△ACB，故选项符合题意．
故选：D．
2．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，
垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
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【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使
CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，
∠AED=60°，求CF的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3
【分析】（1）由矩形的性质可得∠ADE=∠DCF=90°，则∠CDF+∠DFC=90°，再由
AE⊥DF，可得∠DGE=90°，则∠CDF+∠AED=90°，根据等角的余角相等得
∠AED=∠DFC，即可得证；
（2）利用“HL”证明△ADE≌△DCF，可得DE=CF，由CH=DE，可得CF=CH，利用“SAS”
证明△DCF≌△DCH，则∠DHC=∠DFC，由正方形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质，
即可得证；
（3）延长BC到点G，使CG=DE=8，连接DG，由菱形的性质可得AD=DC，AD∥BC，则
∠ADE=∠DCG，推出△ADE≌△DCG(SAS)，由全等的性质可得∠DGC=∠AED=60°，
DG=AE，进而推出△DFG是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，
∴∠CDF+∠DFC=90°，
∵ AE⊥DF，
∴∠DGE=90°，
∴∠CDF+∠AED=90°，
∴∠AED=∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，AD∥BC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵AE=DF，
∴△ADE≌△DCF(HL)，
∴DE=CF，
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又∵ CH=DE，
∴ CF=CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴ ∠DCH=∠DCF=90°，
∵DC=DC，
∴△DCF≌△DCH(SAS)，
∴∠H=∠DFC，
∵ AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC=∠H；
（3）解：如图，延长BC到点G，使CG=DE=8，连接DG，
∵ ABCD
四边形 是菱形，
∴AD=DC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DCG，
∴△ADE≌△DCG(SAS)，
∴∠DGC=∠AED=60°，DG=AE，
∵AE=DF，
∴DG=DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG=FC+CG=DF=11，
∴FC=11−CG=11−8=3．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的
判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题
的关键．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，求证：
△ACD∽△CBD．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理
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是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD．
4．（2025·上海徐汇·一模）在矩形ABCD中连接AC，过点D作AC的垂线交AC于E，AB于F．
(1)证明：△ABC∽△DEA；
(2)若EF=1，ED=2，连接FC，求tan∠FCA的值．
【答案】(1)见解析
√2
(2)tan∠FCA=
4
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质．
（1）由矩形的性质得∠B=∠DAF=90°，再由垂直得∠AED=∠B=90°，由角的等量代换推出
∠CAB=∠ADE，即可得出结论；
AE EF AE EF 1
（2）先证明△ADE∽△FAE得 = ，进而得AE=√2，再由平行得 = = ，
DE AE EC DE 2
EF
EC=2AE=2√2，最后由tan∠FCA= 可得答案．
EC
【详解】（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠B=∠DAF=90°，
∵DF⊥AC于点E，
∴∠AED=∠B=90°，
∴∠DAF=∠DAE+∠EAF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠EAF=∠ADE，即∠CAB=∠ADE，
∴△ABC∽△DEA；
（2）解：如图，
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∵DF⊥AC，
∴∠AED=∠AEF=90°，
由（1）∠EAF=∠ADE，
∴△ADE∽△FAE，
AE EF
∴ = ，
DE AE
∴AE2=DE⋅EF，
∵EF=1，ED=2，
∴AE=√2（负值舍去），
∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
AE EF 1
∴ = = ，
EC DE 2
∴EC=2AE=2√2，
EF 1 √2
∴tan∠FCA= = = ．
EC 2√2 4
5．（2025·湖北·一模）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BH⊥AC于点H，求证：
△AHB∽△BHC；
AB 4 BE
（2）如图2，已知∠ABC=∠D=90°，E为BD上一点，且AE=AB，若 = ，求 的值；
BC 5 CD
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC，E为边CD上一点，且
DE
AE=AB，BE⊥CD，求 的值．
CE
8 3
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
5 2
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，
利用前面探索的结论和方法解决新问题是解题的关键．
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（1）利用同角的余角相等得∠ABH=∠C，即可证明结论；
BF AB
（2）过点A作AF⊥BE于点F，利用两个角相等证明△ABF∽△BCD，得 = ，从而得出答
CD BC
案；
（3）过点A作AH⊥BE于点H，延长BE，AD相交于点N，设BH=x(x>0)，则EH=x,BE=2x,
首先证明△AHB≌△BEC，得AH=BE=2x,BH=CE=x,再根据△AHB∽△NHA，得
NH=4x,NE=NH−EH=4x−x=3x,最后根据△NED∽△BEC进而解决问题．
【详解】解：（1）证明：∵BH⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠AHB=∠BHC=90°，∠A+∠C=90°，∠A+∠ABH=90°，
∴∠ABH=∠C，
∴△AHB∽△BHC；
（2）过点A作AF⊥BE于点F，则∠AFB=90°=∠D，
∵AE=AB，AF⊥BE，
1
∴BF=EF= BE．
2
∵∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABF+∠CBD=90°，∠C+∠CBD=90°，
∴∠ABF=∠C，
∴△ABF∽△BCD，
BF AB
∴ = ．
CD BC
AB 4
又∵ = ，
BC 5
1
BE
∴2 4，
=
CD 5
BE 8
∴ = ．
CD 5
（3）过点A作AH⊥BE于点H，延长BE，AD相交于点N．
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∵AE=AB，AH⊥BE，
1
∴BH=EH= BE．
2
设BH=x，则EH=x，BE=2x．
∵AH⊥BE，∠ABC=90°，BE⊥CD，
∴∠AHB=∠BEC=90°，∠ABH+∠CBE=90°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠ABH=∠C．
又∵AB=BC，
∴△AHB≌△BEC(AAS)，
∴AH=BE=2x，CE=BH=x．
∵AH⊥BE，∠DAB=90°，
∴∠AHB=∠NHA=90°，∠ABH+∠N=90°，∠N+∠NAH=90°，
∴∠ABH=∠NAH，
∴△AHB∽△NHA，
AH BH
∴ = ，
NH AH
2x x
∴ = ，
NH 2x
∴NH=4x，
∴NE=NH−EH=4x−x=3x．
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AN∥BC，
∴△NED∽△BEC，
DE NE 3x 3
∴ = = − ．
CE BE 2x 2
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考向三：相似三角形的应用
【题型6 相似三角形的应用】
相似三角形在实际生活中的应用：
（一）建模思想：建立相似三角形的模型
（二）常见题目类型：
1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解
2.测量底部可以到达的物体的高度
3.测量底部不可以到达的物体的高度
4.测量河的宽度
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯
光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是
（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为FH，连接AF并延长交BC于点
G，根据题意得到CE∥FH∥AB，证明△DCE∽△DBA,△GHF∽△GBA，得到
CE CD FH GH CD GH
= , = ，由CE=FH推出 = ，即可得出结论．
AB BD AB GB BD GB
【详解】解：设回过程中小杰身高为FH，连接AF并延长交BC于点G，
根据题意得到CE∥FH∥AB，
∴ △DCE∽△DBA,△GHF∽△GBA，
CE CD FH GH
∴ = , = ，
AB BD AB GB
∵ CE=FH
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CD GH
∴ = ，
BD GB
∵BD>GB，
∴CD>GH，
∵ CD=3米，
∴ GH<3，
∴返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，
故选：D．
2．（2025·山东东营·一模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像A′B′平行，已知玻
璃棒AB=12厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像A′B′的长是（ ）厘米
A．5 B．6 C．8 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的相似，根据相似三角形的性质计算答案即可；
【详解】解：由题易得：△ABO∽△A′B′O,
AB 15
∴ =相似三角形的对应高之比= =3，
A′B′ 5
又AB=12，
∴A′B′=4，
故选：D
3．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方
法．
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测
得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学
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测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m．求
旗杆高度；
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度
明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同
一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，
并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D′处，
采用同样方法，测得C′G′=1.2m，D′G′=2m．求雕塑高度（结果精确到1m）．
【答案】(1)11.3
(2)旗杆高度为12m；
(3)雕塑高度为29m．
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用．
（1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可；
（2）根据镜面反射性质，可求出∠ACB=∠ECD，得出△ACB∽△DCE，最后根据三角形相似的
性质，即可求出答案；
（3）BG=xm，由题意得：△DGC∽△DBA，△D′G′C′∽△D′BA，利用相似三角形的性质列出式
子，计算即可求解．
DE EF
【详解】（1）解：由题意得DE=EF，由题意得： = ，
AB BC
∴AB=BC=11.3m，
故答案为：11.3；
（2）解：如图，由题意得，DE=1.5m，EC=2m，BC=16m，
根据镜面反射可知：∠ACB=∠ECD，
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∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC=∠DEC=90°，
∴△ACB∽△DCE，
AB CB AB 16
∴ = ，即 = ，
DE CE 1.5 2
∴AB=12，
答：旗杆高度为12m；
（3）解：设BG=xm，
由题意得：△DGC∽△DBA，△D′G′C′∽△D′BA，
CG DG C′G′ D′G′
∴ = ， = ，
AB DG+x AB D′D+DG+x
1.8 1.5 1.2 2
即 = ， = ，
AB 1.5+x AB 24+1.5+x
1.8 1.5
AB 1.5+x
∴ = ，
1.2 2
AB 24+1.5+x
整理得3.6(1.5+x)=1.8(25.5+x)，
解得x=22.5，经检验符合他
∴AB=1.8×(1.5+22.5)÷1.5=28.8≈29(m)，
答：雕塑高度为29m．
4．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口
内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．
某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．
东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的
标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF
后退2m到D处（即ED=2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处
（即CG=4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线
上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
【答案】36m
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EF DE 1.5 2
【分析】设BD=xm，则BC=(x+48)m，通过证明△ABD∽△FED，得到 = ，即 = ，
AB BD AB x
1.5 4 2 4
同理得到 = ，则可建立方程 = ，解方程即可得到答案．
AB x+48 x x+48
【详解】解：设BD=xm，则BC=BD+DG+CG=(x+48)m
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
EF DE 1.5 2
∴ = ，即 = ，
AB BD AB x
同理可证△ABC∽△HGC，
GH CG 1.5 4
∴ = ，即 = ，
AB BC AB x+48
2 4
∴ = ，
x x+48
解得x=48，
经检验，x=48是原方程的解，
1.5 2
∴ = ，
AB 48
∴AB=36，
∴该古建筑AB的高度为36m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键．
5．（2025·陕西咸阳·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践
活动．
甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条
AB长0.4m，木条CD长0.6m，DB长0.2m（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处
悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪．
任务：测量校园内凉亭MN的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）．
工具：简易测高仪、卷尺．
实践活动
实 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的，点A经过点C望向凉亭顶端
践 M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂
操 线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示．
作
获 乙负责测量，得到点B到地面的垂直
示
取 距离BE=0.58m,BH=3.04m．
意
数
图
据
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解 利用得到的数据求出凉亭MN的高
决 度．
问
题
【答案】4.02m
AB BC
【分析】本题考查相似三角形的应用，先证明△ABC∽△AHM，得出 = ，求出
AH HM
HM=3.44m，进而可得出答案．
【详解】解：由题意知，四边形BENH是矩形，BC⊥AH，HM⊥AH，
∴HN=BE=0.58m,BC∥HM．
∴△ABC∽△AHM．
AB BC
∴ = ．
AH HM
∵AB=0.4m,CD=0.6m,DB=0.2m,BH=3.04m，
∴BC=0.4m,AH=3.44m．
0.4 0.4
∴ = ．
3.44 HM
∴HM=3.44m．
∴MN=HM+HN=4.02m．
∴这个凉亭MN的高度为4.02m
6．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段MN表示直立的灯杆，灯泡P在其上端
某处，线段AB表示一棵树，线段BC表示它在地面上的影子，线段EF表示小明．
(1)请确定灯泡P所在的位置，并画出小明站在EF处的影子；
(2)若小明的身高EF=1.5m，当小明离灯杆的距离NF=4m时，影子长为3m，求灯泡P离地面的高度．
【答案】(1)见解析
(2)灯泡P离地面的高度为3.5m
【分析】本题考查投影，相似三角形的应用．
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（1）连接CA并延长，与MN的交点即为点P，连接PE并延长交地面于点Q，FQ即为EF的影子；
（2）证明△QPN∽△QEF，根据对应边成比例列方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点P为灯泡，线段FQ为小明的影子．
（2）解：∵∠PQN=∠EQF,∠PNQ=∠EFQ，
∴△QPN∽△QEF，
EF QF 1.5 3
∴ = ，即 = ，
PN QN PN 3+4
∴PN=3.5，
∴灯泡P离地面的高度为3.5m．
7．（2025·陕西西安·一模）学习完锐角三角函数知识后，雷莹老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，
格格所 在小组的任务为测量校园里一棵树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达树的底部．于是，
格格所在 小组经过讨论后决定利用平面镜和测倾器进行实地测量，并完成了如下的测量报告：
课题 测量树的高度
测量 平面镜、测倾器和皮尺
工具
说明：
测量 ①D、C、B、F四点共线，DE、AB均
示意
垂直于DF；
图及
②平面镜放置于C处，且大小忽略；
说明
③测倾器放置于F处，且高度忽略．
测量 格格站在D处，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A，格格眼睛与地面高度
过程 DE=1.5米，格格到平面镜的距离CD=4.5米，平面镜到测倾器的距离为
及相 CF=34米，测得∠AFB=39°，
关数
据
参考 sin39°≈0.6,cos39°≈0.8,tan39°≈0.8
数据
请你根据以上测量报告，求树AB的高度．
【答案】8米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及
相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据垂直定义可得∠EDC=∠ABC=∠ABF=90°，然后设BF=x米，则CB=(34−x)米，在
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Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再根据题意可得：∠ACB=∠DCE，从而证
明△EDC∽△ABC，进而利用相似三角形的性质进行计算．
【详解】解：由题意可得ED⊥DF，AB⊥DF，∠ACB=∠DCE，
∴∠EDC=∠ABC=∠ABF=90°，
设BF=x米，
∵CF=34米，
∴CB=CF−BF=(34−x)米，
在Rt△ABF中，∠AFB=39°，
4
∴AB=BF⋅tan39°≈ x（米），
5
又∵∠ACB=∠DCE，
∴△EDC∽△ABC，
ED DC
∴ = ，
AB BC
1.5 4.5
=
∴4 34−x，
x
5
解得x=10，
经检验x=10是原分式方程的解，
4
∴AB= x=8（米）
5
∴树AB的高度约为8米．
8．（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的
高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度CD=2.8m，标杆与雕塑
的水平距离BD=20m，人的眼睛与地面的高度EF=1.8m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求醒
狮雕塑AB的高度．
【答案】12.8米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，
求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中EF=DG=BH=1.8m，剩下的问题就是求AH的
CG EG
长度，利用△CGE∽△AHE，得出 = ，把相关条件代入即可求得AH的长度即可．
AH EH
【详解】如图所示，设线段EH与线段CD交于点G．
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∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴∠CGE=∠AHE=90°，四边形EFBH、BDGH是矩形，
∴BD=GH=20m，EF=DG=BH=1.8m
∵∠CEG=∠CEG，
∴△CGE∽△AHE，
CG EG
∴ = ，
AH EH
∵CD=2.8m，DF=2m，
∴CG=CD−EF=1m，EH=FD+BD=2+20=22m，
1 2
∴ = ，
AH 22
∴AH=11m，
∴AB=AH+HB=AH+EF=11+1.8=12.8m
答：醒狮雕塑AB的高度为12.8m．
9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同
一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
【解决问题】阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿
祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造．如图2，小江和小海两位同学想利用学过
的知识来测量上天台AB的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，
无法到达上天台底部B．于是小江在地面上的点C处放置了一个平面镜，小海从C处出发沿着BC方
向移动，当移动到点E处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端A的像，此时，测得CE=2.4m，小
海眼睛到地面的距离DE为1.6 m；然后，小江沿CB方向移动到点G，用测角仪测得上天台顶端A的
仰角为45°，此时，测得CG=11.5m，测角仪的高度FG也为1.6 m．已知点B，G，C，E在同一水平
直线上，且AB,FG,DE均垂直于BE，求该上天台的高度AB．
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【答案】该上天台的高度AB为19.8米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，过点F作FH⊥AB于点H，解
Rt△AHF，得到AH=FH=BG，设BG=x，证明△DCE∽△ACB，列出比例式，求出x的值，进
一步求出AB的长即可．
【详解】解：如图，过点F作FH⊥AB于点H，
则FH=BG，FG=BH=1.6m，
AH
在△AHF中， =tan45°，
HF
∴AH=FH=BG．
设BG=x，
根据题意得，∠DCE=∠ACB，
∵∠ABC=∠DEC=90°，
∴△DCE∽△ACB，
CE DE
∴ = ，
BC AB
2.4 1.6
∴ = ，解得x=18.2，
x+11.5 x+1.6
∴AB=AH+BH=18.2+1.6=19.8m，
答：该上天台的高度AB为19.8米．
【题型7 位似变换】
位似图形满足的条件：
①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；
②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）
1．（2023·河南洛阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,4)，B(4,1)，以原点O为位似中心，
将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是（ ）
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(1 ) ( 1 )
A． ,1 B． − ,1
2 2
C．(8,16)或(−16,−8) D．(8,16)或(−8,−16)
【答案】D
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图
形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点A(2,4)，以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，
∴2×4=8,4×4=16，
∴点A的对应点的坐标在第一象限时，即点A的对应点的坐标是(8,16)
∴点A的对应点的坐标在第三象限时，即点A的对应点的坐标是(−8,−16)，
故选：D．
2．（2025·河南安阳·一模）如图，已知线段AB的两个端点坐标分别为A(1,1)，B(2,1)，以原点O为位似
中心在第一象限内画线段CD，若CD=2，则点D的坐标为（ ）
(3 ) ( 3)
A．(4,2) B． ,3 C．(2,4) D． 3,
2 2
【答案】A
【分析】本题考查了坐标平面内的位似变换，掌握在平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化
规律是解题的关键．
根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为k，那么位似图形对应点的坐标
的比等于k或−k即可解答．
【详解】解：∵A(1,1)，B(2,1)，
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∴AB=1，
∵CD=2，
∴CD:AB=2:1，
∵以原点O为位似中心，线段AB在第一象限内的位似图形为线段CD，
∴线段CD和线段AB的位似比为2:1，
∴D点坐标为(2×2,1×2)，即(4,2)，
故选：A．
3．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，A，B是⊙O上的点，A′，B′是⊙O外的点，△AOB和△A′OB′是
位似图形，位似中心为点O，点A，B对应点是点A′，B′，OB′交⊙O于点C，若OC=2B′C，
AB=2，则A′B′的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题考查位似图形的性质，圆的性质，熟练掌握位似图形的对应边成比例相等是解题的关键．
AB OB OB 2OB' 2
利用位似图形得出 = ，再结合OB=OC，OC=2B′C，得出 = = ，即可求解．
A′B′ OB′ OB' 3OB' 3
【详解】解：∵△AOB和△A′OB′是位似图形，位似中心为点O，
AB OB
=
∴ ，
A′B′ OB′
∵OB=OC，OC=2B′C，
∴OB=OC=2B′C，
OB 2B'C 2
∴ = = ，
OB' 3B'C 3
∵AB=2，
2 2
=
∴ ，
A'B' 3
解得：A'B'=3，
故选：A．
4．（2025·广西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．
若点A(−3,1)的对应点为A′(−6,2)，则点B(−2,4)的对应点B′的坐标为（ ）
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A．(−4,−8) B．(−4,8) C．(−8,4) D．(4,−8)
【答案】B
【分析】本题主要考查的是位似变换，根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计
算即可．
【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A(−3,1)的对应点为A′(−6,2)，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2，
∵点B的坐标为B(−2,4)，
∴点B的对应点B′的坐标为(−2×2,4×2)，即(−4,8)，
故选：B．
5．（2024·云南昆明·模拟预测）如图▱ABCD与▱AEFG关于点A 成位似图形，若他们的位似比为2:3，
则▱ABCD与▱AEFG的面积比为（ ）
A．4:9 B．1:9 C．2:3 D．1:3
【答案】A
【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的面积比等于相似
比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到▱ABCD与▱AEFG相似，根据相似多边形的性
质计算，得到答案．
【详解】解：∵▱ABCD与▱AEFG关于点A 成位似图形，他们的位似比为2:3，
∴▱ABCD与▱AEFG相似，他们的相似比为2:3，
(2) 2 4
∴▱ABCD与▱AEFG的面积比为 = =4:9，
3 9
故选：A．
6．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，原点O是△ABC和△A'B'C'的位似中心，点A(1,0)与点A'(−2,0)是对
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应点，△ABC的面积是3，则△A'B'C'的面积是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握面积比等于位似比的平方是解题的关键．根据题意，可得
OA 1
=
位数比为 ，再根据位数图形的面积比等于相似比的平方即可求解．
OA' 2
【详解】解：原点O是△ABC和△A'B'C'的位似中心，点A(1,0)与点A'(−2,0)，
∴OA=1,OA'=2，
OA 1
=
∴ ，
OA' 2
S △ABC = ( OA ) 2 = 1
∴ ，
S OA' 4
△A'B'C'
∴S =4S =12，
△A'B'C' △ABC
故答案为： 12．
7．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，A(0,−1)，B(2,0) ，以A为位似中心，把△ABC按
相似比1:3放大，放大后的图形记作△ADE，则点D的坐标为 ．
【答案】(6,2)
【分析】此题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似的性质和相似三角形
的判定与性质定理是解题的关键．过点D作DH⊥x轴于点H，由A(0,−1)，B(2,0)，可得OA=1，
1 1
OB=2，根据位似图形的性质得到AB= AD，推出AB= BD，证明△AOB∽△DHB，根据相似
3 2
三角形的性质可求出DH=2，BH=4，进而求出OH=6，即可求解．
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【详解】解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，
∵ A(0,−1)，B(2,0)，
∴ OA=1，OB=2，
∵以A为位似中心，把△ABC按相似比1:3放大，放大后的图形记作△ADE，
1
∴ AB= AD，
3
1
∴ AB= BD，
2
∵ ∠AOB=∠DHB=90°，∠ABO=∠DBH，
∴ △AOB∽△DHB，
OA OB AB 1
∴ = = = ，
DH BH BD 2
1 2 1
∴ = = ，
DH BH 2
∴ DH=2，BH=4，
∴ OH=OB+BH=2+4=6，
∴ D(6,2)，
故答案为：(6,2)．
8．（2024·吉林·模拟预测）如图，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′．已知△ABC的面
OA 1
积为3， = ，则△A′B′C′的面积为 ．
OA′ 3
【答案】27
【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出面积比与相似比的关系是解题关键．
直接利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，进而得出答案．
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OA 1
【详解】解：由题意，△ABC∽△A′B′C′， = ，
OA′ 3
S △ABC = ( OA ) 2 = 1
∴ ，
S OA′ 9
△A′B′C′
∵△ABC的面积为3，
∴△A′B′C′的面积为：27．
故答案为：27．
9．（2024·陕西西安·模拟预测）⊙O 与⊙O 的半径分别为R、r，如果在直线O O 取一点P，使
1 2 1 2
O P R
1 = =k，那么称⊙O 与⊙O 关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作⊙O 与⊙O 的位似比
O P r 1 2 1 2
2
（规定：同心圆关于圆心位似）．
(1)如图①，已知⊙O 和点P，画⊙O ，使⊙O 与⊙O 关于点P位似，且⊙O 与⊙O 的位似比为
1 2 2 1 2 1
1
；
2
(2)如图②，已知⊙O 和⊙O 关于点P位似，直线l经过点P且与⊙O 相切，切点为A，请判断直线
1 2 1
l与⊙O 的位置关系，并说明理由．
2
【答案】(1)见解析
(2)直线l是⊙O 的切线，理由见解析
2
【分析】本题主要考查了画位似图形，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定：
（1）根据题意可得O P=5，r=2，据此作图即可；
2
（2）连接AO ，作O C⊥l于点C，设⊙O 和⊙O 的半径分别为r ，r ．由切线的性质得到
1 2 1 2 1 2
PO AO
∠PAO =∠PCO =90°，则可证明△PAO ∽△PCO ，得到 1= 1 ，再由⊙O 和⊙O 的关
1 2 1 2 PO CO 1 2
2 2
PO r
于点P位似，得到 1= 1 ，则O C=r ，据此可证明直线l是⊙O 的切线．
PO r 2 2 2
2 2
【详解】（1）解：如图所示，⊙O 和⊙O ′即为所求；
2 2
O P R 1
由题意得， 1 = =k= ，
O P r 2
2
由O P=10，R=4得到O P=5，r=2；
1 2
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（2）解：直线l是⊙O 的切线，理由如下：
2
如图，连接AO ，作O C⊥l于点C，
1 2
设⊙O 和⊙O 的半径分别为r ，r ．
1 2 1 2
∵直线l是⊙O 的切线，
1
∴AO ⊥AC，O C⊥l，
1 2
∴∠PAO =∠PCO =90°，
1 2
∵∠APO =∠CPO ，
1 2
∴△PAO ∽△PCO ，
1 2
PO AO
∴
1= 1
，
PO CO
2 2
∵⊙O 和⊙O 的关于点P位似，
1 2
PO r
∴
1= 1
，
PO r
2 2
∴O C=r ，
2 2
∵O C⊥l，O C是⊙O 的半径，
2 2 2
∴直线l是⊙O 的切线．
2
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在▱ABCD中，点O是边CD上一点，连接AO并延长，交BC的延长线
于点E．若CO=2OD，BC=6，则BE的长为（ ）
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A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是
AD OD 1
解题关键．根据平行四边形的性质推出△AOD∽EOC，得到 = = ，求出CE的长，即可求
CE OC 2
解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，AD∥BE，
∴△AOD∽EOC，
AD OD
∴ = ，
CE OC
∵CO=2OD，
AD 1
∴ = ，
CE 2
∴CE=2AD=12，
∴BE=BC+CE=18，
故选：D．
2．（2025·山东·一模）如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E，交BC的延长线于点F，若
AD=3，AB=5，则CF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性
质，结合角平分线的定义，推出DE=AD，进而求出CE的长，证明△CEF∽△DEA，列出比例式进
行求解即可．
【详解】解：∵▱ABCD，
∴CD=AB=5,AD∥BC,AB∥CD，
∴∠DEA=∠BAE，
∵∠DAB的平分线交DC于点E，
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∴∠BAE=∠DAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD=3，
∴CE=CD−DE=2，
∵AD∥BF，
∴△CEF∽△DEA，
CF CE 2
∴ = = ，
AD DE 3
2
∴CF= AD=2；
3
故选：A．
3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上
的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△≝¿的面积为（ ）
A．5cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．40cm2
【答案】B
【分析】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继
而可得△ABC的面积，然后根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，三角形中位线定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟
练掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC BC=2DE=10(cm)
， ．
由折叠的性质可得：AF⊥DE，△≝≌△DEA，
∴AF⊥BC，
1 1
∴S = BC×AF= ×10×8=40(cm2)，
△ABC 2 2
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∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
S
△ADE=
(DE) 2
=
(1) 2
=
1
，
S BC 2 4
△ABC
∴S
△≝¿=S = 1 S =10(cm2)¿ ．
△ADE 4 △ABC
故选：B ．
4．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线
于点E，对角线BD交AG于点F．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题先判定
△AFB∽△GFD，再根据“相似三角形的对应边成比例”求得AF=4，从而得到AG=6，再判定
△AGD≌△EGC，根据“全等三角形的对应边相等”得到EG=6，最后求出结果即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BE，
∴∠FAB=∠FGD，∠FBA=∠FDG，
∴△AFB∽△GFD，
DG FG
∴ = ，
BA FA
∵G为CD边中点，
∴DG=CG，
DG 1
∴ = ，
CD 2
DG FG 1
∴ = = ，
BA FA 2
∵ FG=2，
∴AF=4，
∴AG=6，
∵AD∥BE，
∴∠DAG=∠E，
∵∠AGD=∠EGC，
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∴△AGD≌△EGC(AAS)，
∴AG=EG=6，
∴AE=12，
故选：D．
5．（2024·安徽亳州·模拟预测）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若
BD
BF=3EF，则 =（ ）
DC
4 6 3 2
A． B． C． D．
3 5 2 3
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
AE 1
过点E作EG∥DC交AD于G，先利用三角形的中线的定义得到 = ，再根据相似三角形的性质
AC 2
EF 1
得到DC=2≥¿，由BF=3FE得到 = ，最后由相似三角形的性质即可解答．
BF 3
【详解】解：如图：过点E作EG∥DC交AD于G，
∵BE是△ABC的中线，
AE 1
∴ = ，
AC 2
如图：过点E作EG∥DC交AD于G，
∴∠AGE=∠ADC，∠AEG=∠C，
∴△AGE∽△ADC，
EG AE 1
∴ = = ，
DC AC 2
∴DC=2≥¿．
∵BF=3FE，
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EF 1
∴ = ，
BF 3
∵GE∥BD，
∴∠GEF=∠FBD，∠EGF=∠BDF，
∴△GFE∽△DFB，
GE EF 1
∴ = = ，
DB BF 3
DC DC GE 2
∴ = × = ，
DB GE DB 3
BD 3
∴ = ．
DC 2
故选：C．
6．（2023·浙江杭州·三模）如图，在△ABC中，点D,E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一
DN 1 DN 2
点，连接AM交DE于点N，若 = , = ，则下列选项不成立的是（ ）
NE 3 BM 3
S 1 BM 1
A． △ADN = B． =
S 4 MC 3
△ADE
S 1
C．S <2S D． 四边形DBMN =
△ANE 四边形DBMN S 3
四边形NMCE
【答案】C
【分析】本题考查面积比，相似三角形判定及性质．根据题意证明
△ADN∽△ABM,△ANE∽△AMC，再利用性质逐一对选项进行判断即可得到本题答案．
DN 1
【详解】解：∵ = ，
NE 3
DN 1
∴ = ，
DE 4
S 1
∴ △ADN = ，即A成立，
S 4
△ADE
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C，
∴△ADN∽△ABM,△ANE∽△AMC，
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DN BM 1
∴ = = ，即B成立，
NE MC 3
DN 2
∵ = ，
BM 3
S 4
∴ △ADN = ，
S 9
△ABM
S 1
∵ △ADN = ，
S 4
△ADE
∴设S =4x，则S =5x，
△ADN 四边形DBMN
∴S =12x，
△ANE
∴S >2S ，即C不成立，
△ANE 四边形DBMN
S 4
∵ △ADN = ，
S 9
△ABM
∴设S =9x，则S =27x，S =12x
△ABM △AMC △ANE
∴S =15x，
四边形NMCE
S 5x 1
∴ 四边形DBMN = = ，即D成立，
S 15x 3
四边形NMCE
故选：C．
7．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，AD是△ABC的中线，∠B=90°,AB=3,CE⊥BC于点C,CE=5，
且∠ADE=90°，则AE的长为（ ）
A．13 B．11 C．8 D．6
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三
角形的性质求线段长是解答的关键．先证明△ADB∽△DCE求得CD=√15，则BC=2CD=2√15，
过A作AF⊥CE于F，证明四边形ABCF是矩形得到CF=AB=3，AF=BC=2√15，在Rt△AFE
中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵∠B=90°，∠ADE=90°，CE⊥BC，
∴∠B=∠DCE=90°，∠BAD=∠CDE=90°−∠ADB，
∴△ADB∽△DEC，
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AB BD
∴ = ，
CD CE
∵AB=3，CE=5，
3 CD
∴ = ，解得CD=√15，则BC=2CD=2√15，
CD 5
过A作AF⊥CE于F，则∠AFC=∠FCB=∠B=90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴CF=AB=3，AF=BC=2√15，
在Rt△AFE中，EF=CE−CF=5−3=2，
∴AE=√AF2+EF2=√(2√15) 2+22=8，
故选：C．
8．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，D为BC上一
点，且满足AD=CD，E为AC的中点，连接BE交AD于点F，则△ABF的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接DE，
先利用等腰三角形的性质证明点D为BC的中点，可得DE为△ABC的中位线，进而得DE∥AB，
1 DF DE 1 1
DE= AB，即得△≝∽△ABF，得到 = = ，再根据已知可得S = AB·AC=30，进而
2 AF AB 2 △ABC 2
1 DF 1 2
由中线性质得到S = S =15，再由 = 即可得到S = S =10，由△≝∽△ABF得
△ABD 2 △ABC AF 2 △ABF 3 △ABD
DF DE 1
到 = = 是解题的关键．
AF AB 2
【详解】解：连接DE，
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∵AD=CD，
∴∠C=∠DAC，
∴∠C+∠ABC=∠DAC+∠DAB=90°，
∴∠ABC=∠DAB，
∴BD=AD，
∴BD=CD，
∴点D为BC的中点
∵E为AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
1
∴DE∥AB，DE= AB，
2
∴△≝∽△ABF，
DF DE 1
∴ = = ，
AF AB 2
∵，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，
1 1
∴S = AB·AC= ×5×12=30，
△ABC 2 2
1
∴S = S =15，
△ABD 2 △ABC
DF 1
∵ = ，
AF 2
AF 2
∴ = ，
AD 3
2 2
∴S = S = ×15=10，
△ABF 3 △ABD 3
故选：C．
二、填空题
9．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像
投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′．设
AB=36cm，A′B′=24cm．小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 cm．
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【答案】20
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得AB∥A′B′，△AOB∽△A′OB′，过O作
OC⊥AB于点C，CO交A′B′于点C′，利用已知得出△AOB∽△A'OB'，进而利用相似三角形的性
质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得：AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A′OB′，
如图，过O作OC⊥AB于点C，CO交A′B′于点C′，
∴OC′⊥A′B′，OC=30cm，
A′B′ OC′ 24 OC′
∴ = ，即 = ，
AB OC 36 30
∴OC′=20（cm），
即小孔O到A′B′的距离为20cm，
故答案为：20．
10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.3米，
长臂端点升高 米．
【答案】4.8
AB OB
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据△AOB∽△COD得 = ，据此解答即可求解，掌
CD OD
握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
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【详解】解：如图，∵∠BAO=∠DCO=90°，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
AB OB
∴ = ，
CD OD
∵OB=1米，OD=16米，AB=0.3米，
0.3 1
∴ = ，
CD 16
∴CD=4.8米，
故答案为：4.8．
11．（2025·山西朔州·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于原点O位似，点B的坐
标为(3,1)，点B′的坐标为(6,2)，点A的坐标为(1,2)，则点A′的坐标为 ．
【答案】(2,4)
【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点B和点B′的坐标求出
位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得．
【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为(3,1)，点B′
的坐标为(6,2)，
∴△A′B′C′与△ABC的位似比为2÷1=2，
∵点A的坐标为(1,2)，
∴点A′的坐标为(1×2,2×2)，即为(2,4)．
故答案为：(2,4)
12．（2023·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知
OA 2
= ，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为 ．
A′ A 5
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【答案】28
【分析】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，
是解题的关键．根据位似的性质，得到AB∥A′B′，推出△OAB∽△OA′B′，进而求出四边形ABCD
与四边形A′B′C′D′的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可．
OA 2
=
【详解】解：∵ ，
A′ A 5
OA 2
=
∴ ，
OA′ 7
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
AB OA 2
= =
∴ ，
A′B′ OA′ 7
∴四边形ABCD的周长∶四边形A′B′C′D′的周长=2:7，
∵四边形ABCD的周长是8，
∴四边形A′B′C′D′的周长为28，
故答案为：28．
13．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是△ABC中BC上的中点，连接AD，BE是△ABD的中线，BE
S
的延长线与AC交于点F，则 △ADF = ．
S
△CDF
1
【答案】
2
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作
DH∥BF交AC于H，求出AF:FC=1:2即可得到答案．
【详解】解：作DH∥BF交AC于H，
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∵DH∥BF △ABC BC
，D是 中 上的中点，
∴CD=BD，
CH CD
∴ = ，
HF BD
∴CH=HF，
∵DH∥BF，BE是△ABD的中线，
∴AE=DE，
AE AF
且 = ，
DE FH
∴AF=FH，
∴AF=FH=HC，
∴AF:FC=1:2，
S 1
∴ △ADF = ，
S 2
△CDF
14．（2025·广东·模拟预测）小周要在一块三角形钢板ABC中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点D、
E在边BC上，顶点F，G分别在边AC、AB上，已知tanB=2，BC=10，S =40，则当矩形
△ABC
GD
DEFG的面积最大时， = ．
DE
4
【答案】
5
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点A
作AM⊥BC于点M，交GF于点N，求出AM=8，证明△AGF∽△ABC，得到
5
S =DG⋅DE= (8−DG)DG，当DG=4时，矩形面积最大，即可求出答案．
矩形DEFG 4
【详解】解：过点A作AM⊥BC于点M，交GF于点N，
∵ S =40，
△ABC
1
∴ BC⋅AM=40，
2
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1
即 ×10⋅AM=40，
2
解得AM=8，
∵四边形DEFG为矩形，
∴GF∥DE,DE=GF,∠GDE=∠DGF=90°，
∴AM⊥GN，
∵∠GDE=∠DGF=∠DMN=90°，
∴四边形DMNG为矩形，
∴DG=MN，
∴AN=AM−MN=AM−DG=8−DG，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
GF AN DE 8−DG
∴ = ，即 = ，
BC AM 10 8
5
∴DE= (8−DG)，
4
5 5
∴S =DG⋅DE= (8−DG)DG=− (DG−4) 2+20，
矩形DEFG 4 4
故当DG=4时，矩形面积最大，
5
DE= ×(8−4)=5，
4
GD 4
此时 = ，
DE 5
4
故答案为： ．
5
15．（2025·陕西咸阳·模拟预测）响铃塔位于陕西省榆林市境内，作为全国重点文物保护单位，对研究陕
北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．某校项目式学习小组开展了测量响铃
塔高度的项目活动，共拟定了如下表所示的两种测量方案：
方
方案① 方案②
案
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测
量
示
意
图
测量员在地面上的点C处测得塔顶 测量员在地面上的点C处测得塔顶A的仰角
A的仰角∠ACB的度数，在地面 ∠ACB的度数，在地面上的点D处放置一面
测
上竖立一根标杆DE，发现地面上 平面镜（大小不计），测量员站在地面上的
量
的点F、标杆顶端E和塔顶A在一 点E处，眼睛位于点F处时恰好在平面镜内看
说
条直线上，AB⊥BC、ED⊥BC 到塔顶A的像，AB⊥BE、FE⊥BE，点
明
，点B、D、F、C在一条直线 B、C、D、E在一条直线上，图中所有的
上，图中所有的点都在同一平面内 点都在同一平面内
测 ∠ACB=45∘，DE=3m， ∠ACB=45∘，CD=9m，DE=2m，
量 DF=2m，CF=9m EF=1.5m
结
果
请你选择上述两种方案中的一种，计算响铃塔的高度AB．
你选择的是方案_____．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；
方案①：根据AB⊥BC，∠ACB=45∘得到△ABC为等腰直角三角形，从而得到AB=AC，结合
ED⊥BC证明△ABF∽△EDF即可得到答案；方案②：根据AB⊥BC，∠ACB=45∘得到△ABC
为等腰直角三角形，从而得到AB=AC，结合FE⊥BE得到△ABD∽△FED即可得到答案；
【详解】解：方案①
∵AB⊥BC，∠ACB=45∘，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵ED⊥BC，
∴∠ABF=∠EDF=90°，
∵∠AFB=∠EFD，
∴△ABF∽△EDF，
AB BF AB AB−9
∴ = ，即 = ，
ED DF 3 2
解得AB=27，即响铃塔的高度AB为27m；
方案②
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∵AB⊥BC，∠ACB=45∘，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
又∵FE⊥BE，
∴∠ABD=∠FED=90°，
∵∠ADB=∠FDE，
∴△ABD∽△FED，
AB BD AB AB+9
∴ = ，即 = ，
FE ED 1.5 2
解得AB=27，即响铃塔的高度AB为27m．
16．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，点D在边BC上.
将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE、以CE为底边在其上
方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，连接AF．
【尝试探究】（1）如图1，当α=60°时，易知AF=BE；如图2，当α=45°时，则AF与BE的数量关
系为______；
（2）如图3，请判断∠EBC与∠FAC的数量关系，并说明理由；
1
【拓展应用】（3）如图4，当α=30°且点B，E、F三点共线时.若AF=2√3，BD= BC，请求出
5
CF的长．
【答案】（1）BE=√2AF；（2）∠EBC=∠FAC，理由见解析；（3）6
【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键：
（1）证明△ACF∽ △BCE，根据相似三角形的性质即可得出答案；
BC CE
（2）过点A作AH⊥BC于点H，得出 = ，证明△ACF∽ △BCE，可得出答案；
AC CF
（3）过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，先得出∴BM=EM，
再得出FE=2FH，设BM=x，则BE=2x，得出BH=5BM=5x，根据相似三角形的性质得出
BE BC
= =2cosα，得出BE=6，在求出x的值即可．
AF AC
【详解】解：（1）当α=45°时，△ABC和△FEC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠FCE=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
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CE BC
∵ = =√2，
CF AC
∴△ACF∽ △BCE，
BE CE
∴ = =√2，
AF CF
故答案为：BE=√2AF；
（2）∠EBC=∠FAC．
理由：如图1，
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，
1
∴BH=CH= BC，∠ABC=∠ACB=α，
2
1
BC
CH 2 ，
∴cosα= =
AC AC
BC
∴2cosα= ，
AC
CE
同理可得：2cosα= ，
CF
BC CE
∴ = ，
AC CF
∵∠FCE=∠ACB，
∴∠ACF=∠BCE，
∴△ACF∽ △BCE，
∴∠EBC=∠FAC；
（3）如图4，过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，
∴∠BMD=∠H=90°
．
∴DM∥CH．
∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，
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∴DB=DE．
∴BM=EM．
∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE=30°，
∴FE=FC，∠FEC=∠FCE=30°．
∴∠HFC=∠FEC+∠FCE=60°．
∴∠HCF=180°−∠H−∠HFC=30°．
∴FC=2FH．
∵FE=FC，
∴FE=2FH．
设BM=x，则BE=2x，
∵DM∥CH，
BM BD 1
∴ = = ，
BH BC 5
∴BH=5BM=5x．
∴EH=BH−BE=3x．
∵FE=2FH，
∴FE=FC=2x，
∵△ACF∽ △BCE，
BE BC
∴ = =2cosα，
AF AC
∴BE=2cosαAF，
√3
∴BE=2× ×2√3=6，
2
∴2x=6，
∴x=3，
∴CF=6．
17．（2025·贵州·一模）【阅读理解】“赵爽弦图”被誉为中国古代数学的图腾，如图①即“赵爽弦图”，
该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，巧妙地证明了勾股定理．根
据“赵爽弦图”的结构特点，可联想一些直角问题是否可以通过构造“弦图”结构得以解决．
【初步探究】
（1）如图②，M，N是正方形ABCD内的点，且△ABM≌△CDN，AM⊥BM，连接MN，则
∠CNM的度数为 ；（M，N不重合）
【问题解决】
（2）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为AC边上一个动点（不与点A，C重合），连接
BP，过点C作CD⊥BP于点D，E是BP上一点，且CD=DE，过点E作EF⊥DB交BC于点F，试
判断三条线段CD，PD，EF之间的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】
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EF 1
（3）在（2）的条件下，当 = ，BC=5时，求线段PD的长．
CD 2
√5
【答案】（1）45°或135°；（2）CD=EF+PD，理由见解析；（3）
2
【分析】（1）当M在N的下方时，如解图①，延长BM交CN于点O，证明△ABM≌△BCO，得出
BO=AM=CN，CO=BM，∠BOC=∠AMB=90°，从而可得∠MON=90°，证明OM=ON，
即可得出∠CNM=45°；同理，当M在N的上方时，∠CNM=135°，即可得解；
（2）过点F作FG⊥CD于点G，则四边形DEFG是矩形，得出DE=FG，DG=EF．再证明
△PCD≌△CFG，得出PD=CG，即可得解；
（3）设EF=x，则CD=2x，由（2）可知，CD=EF+PD，得出PD=CD−EF=x．证明
PD CD x 2x
△PCD∽△CBD，得出 = ，即 = ，解得BD=4x，再由勾股定理计算即可得解．
CD BD 2x BD
【详解】解：（1）当M在N的下方时，如解图①，延长BM交CN于点O，
图①
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=CD=AD．
∵AM⊥BM，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°．
又∵∠ABM+∠CBO=90°，
∴∠BAM=∠CBO，
同理得∠OCB=∠CDN．
∵△ABM≌△CDN，
∴∠ABM=∠CDN，CN=AM，
∴∠ABM=∠OCB，
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在△ABM和△BCO中，
¿，
∴△ABM≌△BCO，
∴BO=AM=CN，CO=BM，∠BOC=∠AMB=90°，
∴∠MON=90°，
∵MO=BO−BM，NO=CN−CO，
∴OM=ON，
∴∠CNM=45°；
同理，当M在N的上方时，∠CNM=135°．
（2）CD=EF+PD，理由如下：
如解图②，过点F作FG⊥CD于点G，
∵CD⊥BP，EF⊥BD，
∴∠GDE=∠≝=∠DGF=90°，
∴四边形DEFG是矩形，
∴DE=FG，DG=EF．
∵CD=DE，
∴CD=FG．
∵∠ACB=90°，
∴∠PCD+∠BCD=90°．
∵FG⊥CD，
∴∠BCD+∠CFG=90°，
∴∠PCD=∠CFG．
在△PCD和△CFG中，
¿，
∴△PCD≌△CFG，
∴PD=CG，
∴CD=DG+CG=EF+PD；
（3）如解图②，
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EF 1
∵ = ，
CD 2
∴设EF=x，则CD=2x，
由（2）可知，CD=EF+PD，
∴PD=CD−EF=x．
∵∠CDP=∠BDC=90°，∠PCD=∠CFG=∠CBD，
∴△PCD∽△CBD，
PD CD x 2x
∴ = ，即 = ，
CD BD 2x BD
∴BD=4x，
∴在Rt△BCD中，(2x) 2+(4x) 2=52，
√5
解得PD= （负值已舍去），
2
√5
∴PD= ．
2
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、
矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅
助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
61
