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难点 24 动量观点在电磁感应中的应用
一、动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度 v、电荷量
q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解．
（一）“单棒＋电阻”模型
水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体
棒初速度为v，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度
0
情景示例1 为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来
求电荷量q －BLΔt＝0－mv，q＝Δt，q＝
0
求位移x －Δt＝0－mv，x＝Δt＝
0
初、末速度已知的变加速运动，在动量定理列出的式子中q＝
应用技巧
Δt，x＝Δt；若已知q或x也可求末速度
间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质
量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷
量为q或下滑位移为x时，速度达到v
情景示例2
－BLΔt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，q＝Δt
求运动时间
－Δt＋mgsin θ·Δt＝mv－0，x＝Δt
用动量定理求时间需有其他恒力参与．若已知运动时间，也可
应用技巧
求q、x、v中的一个物理量
【例1】（多选）（2022·山西大同·高三阶段练习）如图所示，水平放置的平行金属导轨，相距 ，
左端接一电阻 ，磁感应强度 的匀强磁场方向垂直于导轨平面，导体棒垂直放在导轨上，
并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。在导体棒的中点施加一个垂直棒的水平拉
力 ，使其从静止开始运动，运动 速度达到了最大，则从开始运动到达到最大速度过程中（
）A．导体棒做匀加速直线运动 B．导体棒最大速度为
C．电路中的最大电流为 D．通过导体棒的电荷量为
【答案】BC
【详解】BC．速度最大时，感应电动势最大为
最大感应电流
此时安培力
安培力与拉力 相等
联立解得
故BC正确；
A．导体棒的加速度
随着速度增大，加速度逐渐减小，直到最后做匀速运动，故A错误；
D．通过导体棒的电荷量
代入数据解得
故D错误。
故选BC。（二）不等间距上的双棒模型
【例2】（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，宽为L的两固定光滑金属导轨水平放置，空间存
在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量均为m、电阻值均为r的两导体棒ab和cd静止置于导
轨上，其间距也为L，现给cd一向右的初速度v，对它们之后的运动过程说法正确的是（ ）
0
A．ab的加速度越来越大，cd的加速度越来越小
B．回路产生的焦耳热为 mv
C．通过ab的电荷量为
D．两导体棒间的距离最终变为L＋
【答案】BCD
【详解】A．由题知，ab、cd受到大小相等的安培力，且cd棒受到的安培力向左，其做减速运动，根据安
培力公式和牛顿第二定律得
解得
其中v为cd棒的速度，故所以两棒的加速度均减小，故A错误；
B．棒ab和cd在运动过程中始终受到等大反向的安培力，系统动量守恒，以向右的方向为正方向，当两者
共速时有
mv＝2mv
0 1
解得
v＝ v
1 0
由能量守恒定律得解得回路产生的焦耳热为
故B正确；
C．设整个过程中通过ab的电荷量为q，对ab棒，由动量定理得
又
所以
故C正确；
D．对cd棒，由动量定理得
解得
两导体棒间的距离最终变为 ，故D正确。
故选BCD。
（三）“电容器＋棒”模型
1．无外力充电式
基本模型
规律
(导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C)
电路特点 导体棒相当于电源，电容器充电
安培力为阻力，棒减速，E减小，有I＝，电容器充电U
C
电流特点
变大，当BLv＝U 时，I＝0，F ＝0，棒匀速运动
C 安
运动特点和最终特征 棒做加速度a减小的加速运动，最终做匀速运动，此时I＝0，但电容器带电荷量不为零
电容器充电荷量：q＝CU
最终电容器两端电压U＝BLv
最终速度 对棒应用动量定理：
mv－mv＝－BL·Δt＝－BLq
0
v＝.
v－t图像
2．无外力放电式
基本模型
规律
(电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C)
电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动
电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放
电流的特点
电，导致电流减小，直至电流为零，此时U ＝BLv
C m
运动特点及最终特征 做加速度a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0
电容器充电电荷量：Q＝CE
0
放电结束时电荷量：
Q＝CU＝CBLv
m
电容器放电电荷量：
最大速度v
m
ΔQ＝Q－Q＝CE－CBLv
0 m
对棒应用动量定理：
mv －0＝BL·Δt＝BLΔQ
m
v ＝
m
v－t图像
【例3】(多选)如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻
均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，与导轨垂直且接
触良好．整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现给杆ab一个初速度v，使杆向右
0
运动．则( )A．当杆ab刚具有初速度v 时，杆ab两端的电压U＝，且a点电势高于b点电势
0
B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大
C．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，同样给杆ab一个初速度v，使杆
0
向右运动，则杆ab稳定后的速度为v＝
D．在C选项中，杆稳定后a点电势高于b点电势
【答案】ACD
【详解】当杆ab刚具有初速度v 时，其切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv ，杆ab两端的电压U＝＝，
0 0
根据右手定则知，感应电流的方向为b到a，杆ab相当于电源，a相当于电源的正极，则a点电势高于b
点电势，A正确；通过电阻R的电流I＝，由于杆ab速度减小，则电流减小，所受安培力减小，所以杆ab
做加速度逐渐减小的减速运动，速度v随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，则通过电阻R的电流I随时间
t的变化率的绝对值逐渐减小，B错误；当杆ab以初速度v 开始切割磁感线时，电路开始给电容器充电，
0
有电流通过杆ab，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小，当电容
器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动，电容器两端的电压U＝
Blv，而q＝CU，对杆ab，根据动量定理得－Bl·Δt＝－Blq＝mv－mv，联立可得v＝，C正确；杆稳定后，
0
电容器不再充电，回路中没有电流，根据右手定则知，a点的电势高于b点电势，D正确．
【例4】(2017·天津卷·12)电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武
器和航天运载器．电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平面
内的光滑平行金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在
两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触．首先开关S接1，使电容器完全充电．然后将S接至2，导轨
间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动．当MN上
的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨．问：
(1)磁场的方向；
(2)MN刚开始运动时加速度a的大小；
(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少．
【答案】(1)垂直于导轨平面向下 (2) (3)
【详解】(1)将S接1时，电容器充电，上极板带正电，下极板带负电，当将S接2时，电容器放电，流经
MN的电流由M到N，又知MN向右运动，由左手定则可知磁场方向垂直于导轨平面向下．(2)电容器完全充电后，两极板间电压为E，当开关S接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为
I，有
I＝①
设MN受到的安培力为F，有F＝IlB②
由牛顿第二定律，有F＝ma③
联立①②③式得a＝④
(3)当电容器充电完毕时，设电容器上电荷量为Q，有
0
Q＝CE⑤
0
开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值v 时，设MN上的感应电动势为E′，有E′＝
max
Blv ⑥
max
依题意有E′＝⑦
设在此过程中流经MN的平均电流为，MN受到的平均安培力为，有＝lB⑧
由动量定理，有Δt＝mv －0⑨
max
又Δt＝Q－Q⑩
0
联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得Q＝.
二、动量守恒定律在电磁感应中的应用
1．在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不
受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便．
2．双棒模型(不计摩擦力)
双棒无外力 双棒有外力
示意图
F为恒力
导体棒1受安培力的作用做加速度 导体棒1做加速度逐渐减小
减小的减速运动，导体棒2受安培 的加速运动，导体棒2做加
动力学观点 力的作用做加速度减小的加速运 速度逐渐增大的加速运动，
动，最后两棒以相同的速度做匀速 最终两棒以相同的加速度做
直线运动 匀加速直线运动
动量观点 系统动量守恒 系统动量不守恒
棒1动能的减少量＝棒2动能的增 外力做的功＝棒1的动能＋
能量观点
加量＋焦耳热 棒2的动能＋焦耳热
【例5】(多选)(2019·全国卷Ⅲ·19)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的
平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上，t＝0时，棒ab以初速度v 向右滑动．运动过
0
程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v 、v 表示，回路中的电流用I表示．下列图
1 2
像中可能正确的是( )【答案】AC
【详解】棒ab以初速度v 向右滑动，切割磁感线产生感应电动势，使整个回路中产生感应电流，判断可
0
知棒ab受到与v 方向相反的安培力的作用而做变减速运动，棒cd受到与v 方向相同的安培力的作用而做
0 0
变加速运动，它们之间的速度差Δv＝v －v 逐渐减小，整个系统产生的感应电动势逐渐减小，回路中感应
1 2
电流逐渐减小，最后变为零，即最终棒ab和棒cd的速度相同，v ＝v ，这时两相同的光滑导体棒ab、cd
1 2
组成的系统在足够长的平行金属导轨上运动，水平方向上不受外力作用，由动量守恒定律有 mv ＝mv ＋
0 1
mv，解得v＝v＝，选项A、C正确，B、D错误．
2 1 2
【例6】(2021·重庆北碚西南大学附中高三月考) 如图所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内，垂
直磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导体棒 ab和cd，两
棒彼此平行且相距d，构成一矩形回路．导轨间距为L，导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽
略不计．设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v，求：
0
(1)当cd棒速度减为0.6v 时，ab棒的速度v及加速度a的大小；
0
(2)ab、cd棒间的距离从d增大到最大的过程中，通过回路的电荷量q及两棒间的最大距离x.
【答案】(1)0.4v (2) d＋
0
【详解】(1)两棒系统所受合外力为零，因此满足动量守恒定律，有
mv＝0.6mv＋mv
0 0
解得v＝0.4v
0
回路感应电动势E＝0.6BLv －0.4BLv
0 0
此时回路电流I＝
因此加速度a＝
整理得a＝(2)ab、cd棒间有最大距离时两棒速度相等，根据动量守恒定律可得mv＝2mv
0 共
对ab棒，根据动量定理有BLΔt＝mv
共
而q＝Δt
解得q＝
在这段时间内，平均感应电动势＝BLΔ
回路平均电流＝
因此流过某截面的电荷量q＝Δt＝Δt＝
解得最大距离x＝d＋.
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，质量相等的导体棒L 和L 静止
1 2
在导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知L 的电阻大于L 的，两棒间的距离为d，不计导轨电阻，忽略电
1 2
流产生的磁场。将开关S从1拨到2，两棒运动一段时间后达到稳定状态，则（ ）
A．S拨到2的瞬间，L 中的电流大于L 的
1 2
B．S拨到2的瞬间，L 的加速度大于L
1 2
C．运动稳定后，电容器C的电荷量为零
D．运动稳定后，两棒之间的距离大于d
【答案】D
【详解】A．电源给电容器充电，稳定后，S拨到2的瞬间，电容器相当于电源，和导体棒L 和L 组成闭
1 2
合电路，由于L 的电阻大于L，则L 中的电流小于L 中的电流，故A错误；
1 2 1 2
B．S拨到2的瞬间，L 中的电流小于L 中的电流，根据
1 2
F=BIL
可得，L 受到的安培力小于L 受到的安培力，根据牛顿第二定律，L 的加速度小于L 的加速度，故B错误；
1 2 1 2
C．S拨到2后，由于导体棒L 和L 受到安培力的作用，则导体棒运动，产生电动势，当产生的电动势等
1 2
于电容器两端的电压时，电路稳定，此时电容器C的电荷量不为零，故C错误；
D．S拨到2的瞬间，电容器放电，两棒均有向下的电流，导体棒会受到安培力作用，由以上分析可知，开
始时，a
