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专题 01 集合（八大题型+模拟精练）
目录：
01 集合的概念
02 元素与集合
03 集合中元素的特性
04 集合的方法、求集合（个数）
05 集合的基本关系
06 Venn图
07 集合的基本运算
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
01 集合的概念
1．（21-22高一上·广东广州·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．与定点A，B等距离的点不能构成集合
B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是 的三边长，则 不可能是等边三角形
D．高中学生中的游泳能手能构成集合
【答案】C
【分析】根据集合元素的特征判断可得；
【解析】解：对于A：与定点A，B等距离的点在线段 的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；
对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误；
对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故 不可能是等边三角形，即C正确；
对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；
故选：C
2．（21-22高一上·江苏常州·期中）下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①与0非常接近的全体实数能构成集合；② 表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为 即可得结果.
【解析】①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；
② ，正确；
③空集是任何非空集合的真子集，错误；
④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为 ，正确.
故选：C
3．（（21-22高一上·河南商城·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
① 与 表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为 或
③方程 的所有解的集合可表示为
④集合 可以用列举法表示
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对
【答案】C
【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．
【解析】解：对于①，由于“0”是元素，而“ ”表示含0元素的集合，而 不含任何元素，所以①不
正确；
对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.
综上可得只有②正确.
故选：C.4．（21-22高三上·河北保定·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.
【解析】对于A，两个集合都为点集， 与 是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；
对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；
对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；
对于D， ， ，故M、N为同一集合，故D正确.
故选：D.
5．（2020高三·全国·专题练习）设 ，集合 ，则 （ ）
A．1 B．－1
C．0 D．－2
【答案】C
【分析】根据集合相等即可得出答案.
【解析】因为 ， ，所以 .经检验满足题意
故选：C
【点睛】本题主要考查了由集合相等求参数的值，属于基础题.
02 元素与集合
6．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合 ，则 与集合 的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把集合A用列举法表示出来，利用元素和集合是属于或不属于的关系，就能判断选项.
【解析】故选：B
7．（2024·四川成都·三模）设全集 ，若集合 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.
【解析】全集 ，由 ，知 ，则 ，A错误，B正确；
不能判断 ，也不能判断 ，CD错误.
故选：B
8．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合 ， ，则 中元素的最
大值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．10
【答案】C
【分析】根据B中元素的特征，只需满足 即可得解.
【解析】由题意，
.
故选：C
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合 ，其中 且 ，则实数m的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.
【解析】由题意可得 ，解得 .故选：A.
10．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知集合 ， ，若 中
有且仅有两个元素，则实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合 中元素，代入集合 即可.
【解析】因为 中有且仅有两个元素，
则 ， ，
所以 ，解得 ，且 .
故选：D.
11．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合 有15个真子集，则实数m的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据真子集的定义可得集合A中有4个元素，得解.
【解析】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以 .
故选：A．
03 集合中元素的特性
12．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则满足 的实数a的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.
【解析】依题意， ，若 ，解得 （ 时不满足集合的互异性，舍去），
若 ，解得 （ 时不满足集合的互异性，舍去），综上所述， 或 .
故选：B
13．（2024·陕西榆林·二模）设集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
先求出集合 ，再求交集即可.
【解析】
依题意可得 ，
则 ，则 中元素的个数为 .
故选：B.
14．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若集合 ， ，则 的元
素的个数是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】结合解不等式以及对数函数的单调性，求得集合 ，根据集合的交集运算，即可得答案.
【解析】由题意得 ，
，
故 ，即 的元素的个数是1个，
故选：A
15．（23-24高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列 的公差为 ，集合 .则
（ ）
A． 不可能有无数个元素
B．当且仅当 时， 只有1个元素C．当 只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为
D．当 时， 最多有 个元素，且这 个元素的和为0
【答案】D
【分析】对于 ， 选项，可取特殊数列验证即可；对于 可假设成立，结合图象推出与已知矛盾；对于
，结合正弦函数的周期，即可判断.
【解析】选项 ，取 ，则 ，由 ，因为 是无穷等差数列，正弦函数是周期为 的函
数，所以 在每个周期上的值不相同，故 错误；
选项 ，取 ，即 ，则 ，只有一个元素，故 错误；
选项 ，假设 只有2个元素 ， ，这2个元素的乘积为 ，如图可知当 等于 或 时，显然 不是
等差数列，与已知矛盾，故 错误；
选项 ，当 时,
，
，
，
，
，
， ，所以 最多有 个元素，又因为正弦函数的周期为 ，数列 的公差为 ，
所以 把周期 平均分成 份，所以 个元素的和为0，故 正确.
故选: .
【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方法判断.
04 集合的方法、求集合（个数）
16．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合 ，若 ，则实数m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论 和 两种情况，求解 并检验集合的互异性，
可得到答案.
【解析】设集合 ，若 ，
， 或 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
所以 或 .
故选：C
17．（2024·山东聊城·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由交集的定义求解.
【解析】集合 ，则 .
故选：D18．（2024·山东济南·二模）已知集合 的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为
（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
【答案】D
【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出 的取值集合.
【解析】因为集合 的元素之和为1，
所以一元二次方程 有等根时，可得 ，即 ，
当方程有两不相等实根时， ，即 ，
综上，实数a 所有取值的集合为 .
故选：D
19．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合 的定义可得集合 .
【解析】因为集合 ， ，则 .
故选：A.
20．（2023·新疆·一模）已知集合 ，则集合 的元素个数为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【分析】将 的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合 ，即可得集合 的元素个数.
【解析】当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ，共三个元素.
故选：A.
05 集合的基本关系
21．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合空集的定义，即可判断各选项的正误.
【解析】 ， ， ， .
故选：D.
22．（2024·全国·模拟预测）设集合 ，则集合M的真子集个数为（ ）
A．8 B．7 C．32 D．31
【答案】B
【分析】根据不等式的解法，求得集合 ，结合集合真子集的求法，即可求解.
【解析】由不等式 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以集合M的真子集个数为 .
故选：B．
23．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）给出下列关系：①高三（22）班的所有高个子同学可以构成一个集合；② ；③ ，其中正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用集合的意义判断①；元素与集合、集合与集合的关系判断②③.
【解析】对于①，高个子同学的身高没有界定，即研究的对象不确定，①错误；
对于②， ，②正确；
对于③，集合 的元素是有序数对，而 的元素是两个单实数，③错误，
所以正确命题的个数为1.
故选：D
24．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则集合 的子集个数
为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根据题意，结合正弦函数的性质，分别 依次代入 ，确定 的取值，
结合交集的运算和子集的个数的计算方法，即可求解.
【解析】根据题意，将 依次代入 ，
可得 ，
所以只有 时，满足不等式 ，
所以 ，则集合 的子集个数为 .
故选：B.
25．（2024·四川德阳·三模）已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.
【解析】集合 ， ，又 ，则 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：B
26．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ．若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性求集合A，由题意可知 ，即可得结果.
【解析】由题意可得 ，
因为 ，则 ，所以 ．
故选：D．
06 Venn图
27．（2024·全国·模拟预测）已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分
表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据Venn图可知图中阴影部分表示的集合为 ，结合交集与补集运算的概念与运算即可求
解.
【解析】由题意，图中阴影部分表示的集合为 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以题图中阴影部分表示的集合为 .
故选：B．
28．（2024高三·全国·专题练习）已知全集 ，集合 ， ，则图中
阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为 ，再根据补集和交集的定义即可得解.
【解析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为 ，
因为 ， ， ，
所以 ，则 .
故选：A．
29．（2024·江苏·一模）已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.
【解析】
观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为 .
故选：A
30．（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）如图， 是全集， 是 的3个子集，则阴影部分所表示
的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据阴影部分的位置得答案.
【解析】图中阴影部分不在集合 中，在集合 中，
故阴影部分所表示的集合是 .
故选：C.
二、填空题
31．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 .
【答案】
【分析】根据题意解一元二次不等式可求得集合 ，再利用交集运算可得答案.【解析】由题知 ，
或 ，
于是 .
故答案为：
32．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则
．
【答案】
【分析】根据根号下大于等于0得到集合 ，再根据指数函数值域得到集合 ，再结合集合交并补运算即
可.
【解析】由题意可得 或 ，
，所以 ，所以 ．
故答案为： .
33．（2024·江苏南通·模拟预测）已知集合 ， ，则
.
【答案】
【分析】求出集合 中元素范围，然后求交集即可.
【解析】 ，
，
则 .
故答案为：34．（2024·全国·模拟预测）设集合 ，若 ，则实
数 的值为 ．
【答案】
【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，分别求得 和 ，再结合
，列出方程，即可求解.
【解析】由不等式 ，解得 ，所以 ，
又由 ，可得 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ．
故答案为： .
三、解答题
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
35．（2024·北京西城·二模）已知数列 ，从 中选取第 项、第 项、…、第 项
构成数列 ， 称为 的 项子列．记数列 的所有项的和为 ．当 时，若 满足：对
任意 ， ，则称 具有性质 ．规定： 的任意一项都是 的 项子列，且具有性质
．
(1)当 时，比较 的具有性质 的子列个数与不具有性质 的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列 ．
（ⅰ）给定正整数 ，对 的 项子列 ，求所有 的算术平均值；
（ⅱ）若 有 个不同的具有性质 的子列 ，满足： ， 与 都有公共项，且公
共项构成 的具有性质 的子列，求 的最大值．
【答案】(1) 的具有性质 的子列个数大于不具有性质 的子列个数；理由见解析(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）根据定义得出 时， 共有 个子列，结合性质 的内容即可判断；
（2）（ⅰ）根据 是 的 项子列， 也是 的 项子列，
可得 ，又 有 个 项子列，即可求出结果；
（ⅱ）设 的首项为 ，末项为 ，记 ，则可得对任意 ，都有
，故共有 种不同的情况，又 ，所以分 为奇数或者偶数两种情况进行
分析即可.
【解析】（1）当 时， 共有 个子列，
其中具有性质 的子列有 个，
故不具有性质 的子列有 个，
所以 的具有性质 的子列个数大于不具有性质 的子列个数．
（2）（ⅰ）若 是 的 项子列，
则 也是 的 项子列．
所以 ．
因为给定正整数 ， 有 个 项子列，
所以所有 的算术平均值为 ．
（ⅱ）设 的首项为 ，末项为 ，记 ．
若存在 ，使 ，则 与 没有公共项，与已知矛盾．
所以，对任意 ，都有 ．因为对于 ， ， ，
所以共有 种不同的情况．
因为 互不相同，
所以对于不同的子列 ， 与 中至多一个等式成立．
所以 ．
当 是奇数时，取 ， ，
共有 个满足条件的子列．
当 是偶数时，取 ， ，
共有 个满足条件的子列．
综上， 为奇数时， 的最大值为 ； 为偶数时， 的最大值为 ．
【点睛】方法点睛：（1）阅读理解能力考查；（2）分类讨论思想；（3）数列和集合概念的理解.
36．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一
的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合 ， （ ， ），且 ．设有序四元数集合
且 ， ．对于给定的集合B，定义映射
f：P→Q，记为 ，按映射f，若 （ ），则 ；若 （ ），则
．记 ．
(1)若 ， ，写出Y，并求 ；
(2)若 ， ，求所有 的总和；(3)对于给定的 ，记 ，求所有 的总和（用含m的式子表示）．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对1， ，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射f下得到的所有 的和，同理求出在映射f下得到的所有 （ ）的和，
即可求解.
【解析】（1）由题意知， ，
所以 ．
（2）对1， ，5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
不含1的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
不含5的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含 的B的个数为 ，此时在映射f下， ， ；
不含 的B的个数为 ，此时在映射f下， ， ；
所以所有y中 的总个数和 的总个数均为20．
综上，所有 的总和为 ．（3）对于给定的 ，考虑 在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有 的子集B共 个，
所以在映射f下 变为 ；
不含 的子集B共 个，在映射f下 变为 ；
所以在映射f下得到的所有 的和为 ．
同理，在映射f下得到的所有 （ ）的和 ．
所以所有 的总和为 ．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解
决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落
脚点仍然是集合的有关知识点.
一、单选题
1．（2024·北京海淀·一模）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．（2024·全国·二模）已知集合 ，集合 ，则满足 的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则满足 的实数a的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知全集 ，集合 ，则图中阴
影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7．（2024·青海·二模）已知 表示集合A中整数元素的个数，若集合 ，集合
，以下选项错误的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
8．（2023·全国·模拟预测）已知集合 和集合 满足： 有2个元素， 有6个元素，且集合 的
元素个数比集合 的元素个数多2个，则集合 的所有子集个数比集合 的所有子集个数多（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】C
二、多选题
9．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
10．（2024·甘肃定西·一模）设集合 ，则（ ）
A．
B． 的元素个数为16
C．
D． 的子集个数为64
【答案】BCD
11．（2024·全国·模拟预测）设 ， ， ， 为集合 的 个不同子集，为了表示这
些子集，作 行 列的数阵，规定第 行第 列的数为 ．则下列说法中正确的是（ ）
A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当
B．数阵中第 列的数全是1，当且仅当C．数阵中第 行的数字和表明集合 含有几个元素
D．数阵中所有的 个数字之和不超过
【答案】ABD
三、填空题
12．（2023·河南驻马店·一模）设全集 ，集合 ，则 .
【答案】
13．（2024·河北沧州·一模）已知全集 ，集合 ，集合 ，则
．
【答案】
14．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合 的子集 为 的第 个子集，其
中 ，则 的第211个子集是 ．
【答案】
四、解答题
15．（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合 ，定义：当 时，把集合
中所有的数从小到大排列成数列 ，数列 的前 项和为 .例如： 时，
，
.(1)写出 ，并求 ；
(2)判断88是否为数列 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若2024是数列 中的某一项 ，求 及 的值.
【答案】(1) ， ；
(2)88是数列 的第30项；
(3) ， ，
【分析】当 时，此时 ，由集合新定义中的规则代入计算即可；
根据集合新定义，由 ，再列举出比它小的项即可；
方法一：由 可得 ，再列举出比它小的项分别有以下7种情况，再求
和；方法二：由 可得 ，求得集合 中的元素个数和最大的一个，可
得 ，再求和可得 .
【解析】（1）因为 ，此时 ，
，
.
（2）当 时， ，
是数列 中的项，
比它小的项分别有 个，
有 个，有 个，
所以比88小的项共有 个，故88是数列 的第30项.
（3） 是数列 中的项，故 ，
则当 时， ，
方法一：比它小的项分别有以下7种情况：
① 个数字任取7个得 个，
② ，得 个，
③ ，得 个，
④ ，得 个，
⑤ ，得 个，
⑥ ，得 个，
⑦ ，得 个，
所以比2024小的项共有 个，
其中
故2024是数列 的第329项，即 .
方法二： 共有元素 个，最大的是 ，其次为 ，
所以2024是数列 的第 项，即 .
在总共 项中，含有 的项共有 个，同理 都各有 个，所以
，则
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于解读集合 的定义计算，并联想到 和
辅助思考.
