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第 08 讲 图形的几何变化
（限时120分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·安徽马鞍山·一模）下面四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西西安·一模）已知点A(−1,3)关于x轴的对称点A'和B(2,2)都在一次函数y=kx+b的图象上，
则k的值为（ ）
5 5 3
A． B．5 C． D．
3 2 5
3．（2025·山西长治·模拟预测）如图，将一张两边平行的纸条按如图所示的方式折叠，点A，D的对应点
分别为A',D',BC为折痕，CD'与BF交于点E，若∠D'EF=130°，则∠ABC的度数为（ ）
A．130° B．150° C．155° D．160°
4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°)，得到
△ADE，DE交AC于点F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
5．（2025·江西南昌·模拟预测）有一段长为18cm的铁丝，现计划将铁丝围成不同的几何图形，则图中
①~③符合条件的是（ ）
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A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
6．（2025·江苏宿迁·一模）如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上
的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△≝¿的面积为（ ）
A．5cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．40cm2
7．（2025·山东青岛·一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°,OA=2,OB=1，将Rt△AOB绕点O
顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O,E为圆心，
OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（ ）
7 π 5 π
A．π B．π+5 C． − D． −
2 4 2 4
8．（2025·江西·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=2√5，点D是边AC的中点，
沿BD翻折三角形ABD得到三角形EBD，使点A落在同一平面的点E处，若BE⊥AC，则AB的长度为
（ ）
A．5 B．5√2 C．5√3 D．√3
9．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在x轴的正半轴上，OA=4，
AB=3√2，∠ABO=45°，将△AOB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则旋转2026次后点A的对应
点A 的坐标是（ ）
2026
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A． B． C． D．
(−2√3,4) (2√3,−4) (−√7,−3) (√7,3)
10．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋
FG
转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则 的值为（ ）
CE
3√2 3√3
A．√2 B．√3 C． D．
2 2
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2025·上海黄浦·一模）如图，将矩形ABCD平移到矩形EFGH的位置（点A对应点E，点B对应点F，
点C对应点G），边EH与CD交于点M，边EF与BC交于点N，其中DM:MC=3:2，BN:CN=3:2，
如果M、N两点的距离为a，那么A、E两点的距离为 ．（用含a的代数式表示）
12．（2025·江西·模拟预测）如图，正方形ABCD中，将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段
AE，CE的延长线交正方形ABCD的对角线BD于点F，则∠AEF的度数为 ．
13．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，O为菱形ABCD的对称中心，
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过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F,M为CD上的一点，连接OM．若CM+CF=5，则四边形
OEDM的面积为 ．
14．（2024·辽宁抚顺·三模）如图，线段AB与y轴平行，点A的坐标为(−1,a)，将线段AB沿着x轴水平向
k
左平移到线段CD，点B的对应点D的坐标为(−3,a+6)，反比例函数y= (x<0)的图象同时经过点B与点
x
C．则k的值为 ．
15．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）四边形ABCO是矩形，已知抛物线y=−x2+2x+3经过点A，
B，与x轴交于点D，E，如图，抛物线对称轴与x轴交与点F．点P，Q分别为AB、BC边上一点，当四
边形OPQF周长最短时，则PO与QF的数量关系为 ．
16．（2025·广东·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=60°，点E为高AD上的一动点，
以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF= ，FB+FD的最小值为 ．
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三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2024·安徽·二模）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段AB的两个端点
均为格点（网格线的交点）．
(1)将线段AB先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到线段A B ，请画出线段A B
1 1 1 1
（其中A ,B 分别与A,B对应）．
1 1
(2)将线段AB绕点A 按顺时针方向旋转180°得到线段A B ，请画出线段A B （其中A ,B 分别与A,B对
1 2 2 2 2 2 2
应）．
(3)描出一个格点P，使得PA =PA ，请画出线段PA ．
1 2 2
18．（2024·四川广安·模拟预测）如图5×5方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点
叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上．
(1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；
(2)在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为20；
(3)在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10；
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(4)在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10．
k
19．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= (x>0)的图象和△ABC都
x
在第一象限内，BC∥x轴，且BC=8，点A的坐标为(6,10)，点B的坐标为(2,7)．
k
(1)若反比例函数y= (x>0)的图象经过点B，求此反比例函数的表达式；
x
(2)若将△ABC向下平移m(m>0)个单位长度得到△A'B'C'，A，C两点的对应点A'，C'恰好同时落在反
k
比例函数y= (x>0)的图象上，求m的值．
x
20．（2024·黑龙江绥化·一模）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D是平面内不与点A，C重合的任
意一点，连接CD，将线段DC绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接BE，AD．
(1)当α=60°时，如图①，线段BE，AD之间的数量关系是_________；
(2)当α=90°时，如图②，当α=120°时，如图③，线段BE，AD之间又有怎样的数量关系？写出你的猜
想，并对图②的情形进行证明．
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21．（2024·陕西榆林·三模）【问题提出】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=10，点D是AB的中点，点E在BC上，且
BE=7，点F是AC边上的一个动点，连接DF、EF，求DF+EF的最小值；
【问题解决】
（2）如图2，四边形ABCD是某市的一块绿地公园，已知该绿地公园的两个入口G、H分别在AD、AB
边上，∠A=∠D=90°，∠B=60°，AB=100m，AH=40m，AG=40√3m，GD>AH，现计划在边
BC上修建一个半径为10√3m的圆形休闲娱乐广场（即⊙O的圆心在BC上，且⊙O的半径为10√3m），
再沿直径EF设置一排休息长椅（宽度忽略不计，且EF⊥BC），在F处设置自助饮水设备，需要沿FH
和FG铺设地下水管，从节约成本的角度考虑，铺设地下水管的长度FH+FG要最小，请你求出FH+FG
的最小值．
22．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线． 与 轴交于 与 点，与
L:y=ax2−5ax+c(a≠0) x A(1，0) B
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y轴交于点C(0，4)，抛物线L'与L关于原点中心对称，且A的对应点为A'，B的对应点为B'，C的对应
点为C'．
(1)求抛物线L的解析式并直接写出L'的解析式．
(2)在x轴上方的抛物线L上有一点M，点M在抛物线L'上的对应点为M'，
若四边形MAM' A'的面积为20，请求出M的点坐标．
23．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连
接CD，交AP于点E，连接BE．
(1)依题意补全如图；
(2)若∠PAB=20°，求∠ACE；
(3)若0°<∠PAB<60°，用等式表示线段DE，EC，CA之间的数量关系并证明．
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24．（2024·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，点
A(5,0)，点B在第一象限，点P在边OA（点P不与点O，A重合），过点P作PQ⊥OA，交△OAB的
直角边于点Q，将线段QP绕点Q逆时针旋转90°得到线段QM，点P的对应点为M，连接PM．
(1)如图①，若点M落在AB上，点B的坐标是 ，点M的坐标是 ；
(2)设△PQM与△OAB重合部分面积为S，OP=t．
①如图②，若重合部分为四边形PQEF，与边AB交于点E，F，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取
值范围；
②当1≤t≤4时，求S的取值范围．（请直接写出结果即可）
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25．（2024·四川雅安·模拟预测）将一长方形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，
OA=9，OC=15．
(1)如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使点O落在AB边上的点D，求线段AE．
(2)如图2，在OA，OC边上选取适当的点M，F，将△MOF沿MF折叠，使点O落在AB边上的点D'处，
过点D，作D'G垂直于CO于点G，交MF于点T．
①求证：TG=AM；
②设T(x,y)，求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示．
(3)在（2）的条件下，当x=6时，点P在直线MF上，问：在坐标轴上是否存在点Q，使以M，D'，Q，P
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
10
