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专题 02 函数的单调性与最值
目录
题型一： 求单调区间...........................................................4
题型二： 判断函数的单调性.....................................................5
题型三： 函数单调性的应用——比较大小.........................................6
题型四： 函数单调性的应用——解不等式.........................................7
题型五： 函数单调性的应用——求参数...........................................8
题型六： 函数单调性的应用——求最值...........................................9
知识点总结
知识点一、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内某个区间I上的
任意两个自变量的值x，x
1 2
当x f ( x )，那么就
定义 就称函数f(x)在区间I上单调递增． 1 2 1 2
称函数f(x)在区间I上单调递减．
特别地，当函数f(x)在它的定义域
特别地，当函数f(x)在它的定义域上
上单调递增时，我们就称它是增函
单调递减时，我们就称它是减函数
数
图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严
格的)单调性， 区间 I 叫做y＝f(x)的单调区间．
知识点二、函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1)∀x∈D，都有 f ( x )≤ M ； (1)∀x∈D，都有 f ( x )≥ M ；
条件
(2)∃x∈D，使得 f ( x ) ＝ M (2)∃x∈D，使得 f ( x ) ＝ M
0 0 0 0
结论 M为最大值 M为最小值
【常用结论与知识拓展】
1．函数单调性的等价定义
设任意x ，x∈D(x≠x)，则(1) >0(或(x －x)[f(x)－f(x)]>0)⇔f(x)在D上单调
1 2 1 2 1 2 1 2
递增；
(2) <0(或(x－x)[f(x)－f(x)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
1 2 1 2
2．函数f(x)＝ax＋ 的单调性
若a>0，b<0，则函数在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，若a<0，b>0，则函数在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；若a>0，b>0，则函数在区间 ， 上是
减函数，在区间 ， 上是增函数．
特别地，“对勾函数”y＝x＋ (a>0)的单调递增区间为(－∞，－ )，( ，＋∞)；单
调递减区间是[－ ，0)，(0， ]．
3．与函数运算有关的单调性结论
(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与 具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都
恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减．
(6)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数
为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同
增异减”．
例题精讲题型一：求单调区间
【要点讲解】(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观
地写出它的单调区间.
【例1】函数 的单调递减区间为
A． B． C． D．
【变式训练1】函数 的递增区间是 ．
【变式训练2】函数 的增区间为 ．
【变式训练3】函数 的单调递减区间为 ．
【变式训练4】函数 的单调增区间是 ．
【变式训练5】函数 的单调减区间为 ．
【变式训练6】已知函数 ，则 的单调递增区间为
．
【例2】求下列函数的单调区间：
（1） ；
（2） ．【变式训练1】画出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：
（1） ； （2） ．
题型二：判断函数的单调性
【要点讲解】(1)定义法:一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确
定单调性.
(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间).
【例3】下列函数为增函数的是
A． B． C． D．
【变式训练1】下列函数中，在区间 上为增函数的是
A． B． C． D．
【变式训练2】下列函数为增函数的是
A． B． C． D．
【变式训练3】已知函数 同时满足性质：① ；②当 ， 时，
，则函数 可能为A． B． C． D．
【例4】已知函数 ．
（1）若 ，求 ；
（2）用定义法证明：函数 在区间 上单调递减．
【变式训练1】已知 ， ．
（1）解不等式 ；
（2）判断并证明函数 的单调性．
【变式训练2】已知函数 ，二次函数 满足 ，且不等式
的解集为 ．
（1）求 ， 的解析式；
（2）设 ，根据定义证明： 在 上为增函数．题型三：函数单调性的应用——比较大小
【要点讲解】将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决
【例5】设函数 定义在实数集上，它的图象关于直线 对称，且当 时，
，则有
A． B．
C． D．
【变式训练1】函数 ，若 ， ， ，则
A． B． C． D．
【变式训练2】若实数 ， 满足 ，则
A． B． C． D．
【变式训练3】已知 是定义在 上的增函数， ， ，
，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【变式训练4】已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 设， ， ，则 （a）， （b）， （c）的大小顺序是
．（用“ ”号连接）
题型四：函数单调性的应用——解不等式
【要点讲解】往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,
应特别注意函数的定义域
【例6】设 函 数 在 上 是 奇 函 数 ， 且 在 上 是 减 函 数 ， 若
，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【变式训练1】已知函数 在定义域 上是减函数，且 ，
则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式训练2】已知函数 是实数集 上的减函数，则不等式 的解
集为
A． B． C． D．
【变式训练3】已 知 函 数 关 于 直 线 对 称 ， 且 当 时 ，恒成立，则满足 的 的取值范围是
A． B．
C． D．
【变式训练4】已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单
调递减，则满足 的 的取值范围为
A． B．
C． D．
题型五：函数单调性的应用——求参数
【要点讲解】通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区
间,与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题,要注意上、下段端点值的大小
关系
【例7】已知函数 在 ， 上是增函数，则实数 的取值范
围是 ．
【变式训练1】已知 ，若函数 在区间 ， 上为减函数，则 的取
值范围是A． B． C． D．
【变式训练2】若函数 与函数 在区间 ， 上都是减函数，则
的取值范围是
A． ， ， B． ， ，
C． D． ，
【变式训练3】若函数 是 上的增函数，则 的取值范围为
A． B． C． ， D．
题型六：函数单调性的应用——求最值
【要点讲解】利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出
时
【例8】函数 在区间 ， 上的最小值是
A． B． C．1 D．
【变式训练1】已知函数 ，则 在区间 的最大值为
．【变式训练2】已知函数 是定义在 ， 上的奇函数，且当 ， 时，
，则 的最小值是
A． B． C．1 D．2
【变式训练3】已知函数 ，则函数 有
A．最小值1，无最大值 B．最大值 ，无最小值
C．最小值 ，无最大值 D．无最大值，无最小值
【变式训练4】 的最大值是
A． B．2 C． D．4
【变式训练5】已知函数
（1）若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围
（2）求函数 在区间 ， 上的最小值．
课后练习
一．选择题（共6小题）1．下列函数中，在 ， 内为增函数的是
A． B． C． D．
2．下列函数中是减函数的为
A． B． C． D．
3．下列函数中，在区间 上是减函数的是
A． B． C． D．
4．已知定义在 ， 上的函数 满足对于任意的 ， ， ，且 ，都有
，则不等式 的解集为
A． ， B． ， C． ， D． ，
5．已知函数 是 上的增函数，函数 是 上的减函数，则下列函数一定是增函数
的是
A． B． C． D．
6．下列函数中，在区间 上是增函数的是
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．已知 是定义在 ， 上的函数，根据下列条件，可以断定 是增函数的是
A．对任意 ，都有
B．对任意 ， ， ，且 ，都有C．对任意 ， ， ，且 ，都有
D．对任意 ， ， ，且 ，都有
8．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．函数 ， 过定点
C．定义在 上的函数 满足 ，且 （3） ，则不等式
的解集为
D．已知 在区间 上为减函数，则实数 的取值范围是 ，
三．填空题（共4小题）
9．已知函数 在 ， 上的最大值为3，则实数 的值为 ．
10．函数 的最小值是 ．
11．已知函数 ，则 的单调增区间为 ．
12．若函数 单调递增，则实数 的取值范围是 ．
四．解答题（共3小题）
13．设函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若函数 的最小值为16，求实数 的值．14．已知 ，函数 的最大值为4，
（1）求实数 的值；
（2）若实数 ， ， 满足 ，求 的最小值．
15．设 ．
（1）求不等式 的解集 ；
（2）若函数 在 上最小值为 ，求实数 的值；
（3）若对任意的正实数 ，存在 ，使得 ，求实数 的最大值．
