文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第 11 讲 一次函数的应用
目 录
题型01 分配问题
题型02 最大利润问题
题型03 行程问题.
题型04 几何问题
题型05 工程问题
题型06 分段计费
题型07 体积问题
题型08 调运问题
题型09 计时问题
题型10 现实生活问题
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型 01 分配问题
1．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、
B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人
每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共
30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)①w=−0.8m+60；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为
46.4万元．
【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后
根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为(30−m)台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易
得¿，然后可得15≤m≤17，进而根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，
由题意得：
540 600
= ，
x x+10
解得：x=90；
经检验：x=90是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为(30−m)台，
∴w=1.2m+2(30−m)=−0.8m+60；
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
②由题意得：¿，
解得：15≤m≤17，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为w=−0.8×17+60=46.4，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程
的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．
2．（2021·江苏连云港·统考中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒
液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
1
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的 ，请设计出最
3
省钱的购买方案，并求出最少费用．
【答案】（1）A种消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元；（2）购进A种消毒液67瓶，购进B
种23瓶，最少费用为676元
【分析】（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，由一次函数的增减性，即可确
定方案．
【详解】解：（1）设A种消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元．
2x+3 y=41 x=7
由题意得：{ ，解之得，{ ，
5x+2y=53 y=9
答：A种消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元．
（2）设购进A种消毒液a瓶，则购进B种(90−a)瓶，购买费用为W元．
则W =7a+9(90−a)=−2a+810，
∴W随着a的增大而减小，a最大时，W有最小值．
1
又90−a≥ a，∴a≤67.5．
3
由于a是整数，a最大值为67，
即当a=67时，最省钱，最少费用为810−2×67=676元．
此时，90−67=23．
最省钱的购买方案是购进A种消毒液67瓶，购进B种23瓶．
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的
关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．
3．（2018·湖南湘潭·统考中考真题）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内
安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价
是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，
请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【答案】（1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）答案见解析
【分析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；
（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．
【详解】（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，
根据题意得，2x+3×3x=550，
∴x=50，
经检验，符合题意，
∴3x=150元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，
根据题意得，意，¿
∴50≤ y≤52，
∵y为正整数，
∴y为50，51，52，共3中方案；
有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个，
②温馨提示牌51个，垃圾箱49个，
③温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
设总费用为w元
W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000，
∵k=-100<0，∴w随y的增大而减小
∴当y=52时，所需资金最少，最少是9800元．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键．
4．（2021·福建龙岩·统考一模）去年在我县创建“国家文明县城”行动中，某社区计划将面积为3600m2
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的一块空地进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能
完成绿化面积的1.8倍，如果两队各自独立完成面积为450m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．甲队
每天绿化费用是1.05万元，乙队每天绿化费用为0.5万元．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积（单位：m2）的绿化；
（2）由于场地原因，两个工程队不能同时进场绿化施工，现在先由甲工程队绿化若干天，剩下的绿化工
程由乙工程队完成，要求总工期不超过48天，问应如何安排甲、乙两个工程队的绿化天数才能使总绿化费
用最少，最少费用是多少万元？
【答案】（1）甲、乙两工程队每天各完成绿化的面积分别是90m2、50m2；（2）甲队先做30天，乙队再
做18天，总绿化费用最少，最少费用是40.5万元．
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意列出方程即可；
3600−90m
（2）设甲队绿化m天，则乙队绿化 天，根据题意列得不等式求得m≥30，再求得总绿化费用
50
为w=0.15m+36，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）设乙队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲队每天能完成绿化的面积是1.8xm2，
450 450
根据题意得： − =4，
x 1.8x
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×1.8=90（m2），
答：甲、乙两工程队每天各完成绿化的面积分别是90m2、50m2；
3600−90m
（2）设甲队绿化m天，则乙队绿化 天，
50
3600−90m
由题意得：m+ ≤48，解得m≥30，
50
3600−90m
总绿化费用为w=1.05m+0.5× =0.15m+36，
50
∵0.15>0，
∴w随m的增大而增大，要使费用最小，则m应取最小值，
当m=30时，w =0.15×30+36=40.5(万元)，
最小
3600−90×30
=18，
50
答：甲队先做30天，乙队再做18天，总绿化费用最少，最少费用是40.5万元．
【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式和一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
知数，找出合适的等量关系，列方程和函数关系式求解．
5．（2021·黑龙江·统考中考真题）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，
某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共
需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，
设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？
（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农
机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买
一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？
【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）有三种方案：方案
一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案三：
购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，最少资金是10万元；（3）节省的资金再
次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具
3件，乙种农机具7件
【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列出二元
一次方程组求解即可；
（2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m的一元一次不等式组，求解即可得到m的范围，从而根
据实际意义确定出m的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可；
（3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合
实际意义进行求解即可．
【详解】解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元．
根据题意，得¿，
解得：¿，
答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．
（2）根据题意，得¿，
解得：4.8≤m≤7，
∵m为整数，
∴m可取5、6、7，
∴有三种方案：
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；
方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；
方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．
设总资金为W万元，则W =1.5m+0.5(10−m)=m+5，
∵k=1>0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m=5时，W =5+5=10（万元），
最小
∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．
（3）由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小，
根据题意，此时，节省的费用为5×0.7+5×0.2=4.5（万元），
降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元，
设节省的资金可购买a台甲种，b台乙种，
则：0.8a+0.3b=4.5，
由题意，a，b均为非负整数，
∴满足条件的解为：¿或¿，
∴节省的资金再次购买农机具的方案有两种：
方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；
方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．
【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的实际应用，找准等量关系，理解一
次函数的性质是解题关键．
题型 02 最大利润问题
6．（2022·贵州毕节·统考中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙
扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别
A款钥匙扣 B款钥匙扣
价格
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润
是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查
发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售
利润为90元？
【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件
(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元
(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
【分析】(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二
元一次方程组即可求解；
(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列
出不等式30m+25(80−m)≤2200求出m≤40；设销售利润为w元，得到w=3m+960，w随着m的增大
而增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；
(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-
a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．
【详解】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知：¿ ，
解出：¿，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：30m+25(80−m)≤2200，
解出：m≤40，
设销售利润为w元，则w=(45−30)m+(37−25)(80−m)=3m+960，
∴w是关于m的一次函数，且3＞0，
∴w随着m的增大而增大，
当m=40时，销售利润最大，最大为3×40+960=1080元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利
润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a=3，a=7，
1 2
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二
次方程的应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．
7．（2022·湖北十堰·统考中考真题）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销
2x，00，
∴w随x的增大而增大
当x=20时，w取最大值
此时w=80×20=1600
②当202
3
11 11
∴当x= 时，y=60× +80=300千米，
3 3
即：当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为300千米
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键．
11．（2022·黑龙江·统考中考真题）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．
甲、乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸
载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕
后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变
量的取值范围）；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)100 60
(2)y=−100x+1200
(3)3，6.3，9.1
【分析】（1）根据图象分别得出甲车5h的路程为500km，乙车5h的路程为300km，即可确定各自的速度；
（2）设y=kx+b(k≠0)，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解
析式；
（3）乙出发的时间为t时，相距120km，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系
求解即可．
【详解】（1）解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km，
∴甲的速度为：500÷5=100km/h；
乙车5h的路程为300km，
∴乙的速度为：300÷5=60km/h；
故答案为：100；60；
（2）设y=kx+b(k≠0)，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，
代入得¿，
解得¿
∴y与x的函数解析式为y=−100x+1200；
（3）解：设乙出发的时间为t时，相距120km，
根据图象可得，
当01.6时，货车货车甲离开A地的距离没有变化
货车甲离开A地的时间/小 0. 1.
0.8 3
时 1 6
货车甲离开A地的距离/千
5 40 80 80
米
故答案为：40，80；
（2）①根据函数图象可知，事故地点距离A地80千米
则事故地点到B地的距离为200-80=120千米；
故答案为：120
②根据图象可知80÷(2.6−1.6)=80千米/小时
货车乙出发时的速度是80千米/小时；
故答案为：80
③11，6；④12，54
③货车乙赶往事故地所需时间为：（200−80）÷80＝1.5小时，
2.6＋1.5＝3.1小时，
所以货车乙赶到事故地点时，为11时6分；
故答案为：11，6
18
④货车乙开始返回的时间为：3.1＋ ＝3.4小时，
60
18
货车乙返回到达B地的时间：3.1＋ ＋1.5＝4.9小时，
60
货车乙从事故地点返回B地时间为12时54分．
故答案为：12，54
（3）货车乙赶往事故地所需时间为：（200−80）÷80＝1.5小时，
【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2.6＋1.5＝3.1小时，
18
货车乙开始返回的时间为：3.1＋ ＝3.4小时，
60
18
货车乙返回到达B地的时间：3.1＋ ＋1.5＝4.9小时，
60
当1.6≤x≤3.1时，设函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx＋b，得
¿，
解得：
¿，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x−128（1.6≤x≤3.1）；
y＝120（3.1＜x≤3.4）；
当3.4＜x≤4.9时，设函数表达式为y＝mx＋n（m≠0），
把（3.4，120），（4.9，0）代入y＝mx＋n，得
¿，
解得：¿，
∴y关于x的函数表达式为y＝−80x＋392（3.4＜x≤4.9）；
综上所述，y=¿．
【点睛】本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以
及相应的时间是解决本题的关键．
题型 04 几何问题
17．（2023·重庆江北·校考一模）如图1，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，动点P以每秒1个单位的
1
速度，从点A出发，按A→B→C→D的顺序在边上运动．与点P同时出发的动点Q以每秒 个单位的
2
速度，从点D出发，在射线DC上运动．当动点P运动到点D时，动点P、Q都停止运动．在运动路径上，
设点P的运动时间为t秒，此时点P、点B之间的路径距离与点P、点C之间的路径距离之和为y ，动点Q
1
的运动路程为y ．
2
【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)分别求出y ，y 与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
1 2
(2)在如图2的平面直角坐标系中，画出y ，y 的函数图象，并根据图象写出函数y 的一条性质：
1 2 1
_________________________；
(3)根据图象直接写出当y +1≥ y 时，t的取值范围____________．
2 1
1
【答案】(1)y =¿，y = t(0≤t≤14)
1 2 2
(2)图见解析，当0≤t≤5时，y 随t的增大而减小；当54时，自变量的取值范围写出即可．
9
【详解】（1）解：当0≤x≤4时，
1 1 3
y= PC⋅AB= x×3= x，
2 2 2
当44时，自变量的取值为：2.71，
∴12，
综上，20，
∴ w随a的增大而增大．
∴当a=6时，w取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点
是解题的关键．
25．（2023·吉林长春·统考一模）为推进乡村振兴发展，某区决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由
甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队
再开始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．
下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信
息解答下列问题：
(1)乙工程队每天修公路_________米．
(2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式．
(3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？
【答案】(1)180
(2)甲：y=90x(0≤x≤10)；乙：y=180x−360(2≤x≤6)
(3)6天
【分析】（1）根据函数图像可得乙工程队在4天内修了720米的公路，由此即可得；
（2）先求出两个函数图像的交点坐标为(4,360)，再利用待定系数法求解即可得；
（3）设若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需t天完成，求出甲工程队每天修公路的长度和公路
的总长度，建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：乙工程队每天修公路720÷(6−2)=180（米），
故答案为：180．
【45淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
720
（2）解：∵ =180,180×(4−2)=360，
6−2
∴两个函数图像的交点坐标为(4,360)，
设甲工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式为y=kx，
将(4,360)代入得：4k=360，解得k=90，
则甲工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式为y=90x(0≤x≤10)，
设乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式为y=mx+n，
将点(2,0)，(4,360)代入得：¿，解得¿，
则乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式为y=180x−360(2≤x≤6)．
（3）解：设若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需t天完成，
甲工程队每天修公路360÷4=90（米），
公路的总长度为90×10+720=1620（米），
由题意得：90t+180t=1620，
解得t=6，
答：若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需6天完成．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，从函数图像中正确获取信息是解题关键．
26．（2020·山东济宁·统考二模）某县为贯彻落实《中华人民共和国河道管理条例》，对辖区内河道阻水
障碍物进行清理．甲、乙两个工程队共同承包此项清理工程，甲队单独施工完成此项工程比乙队单独施工
完成此项工程多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若由甲队先施工m天，再由甲、乙两队共同施工n天，正好完成该工程，请直接写出n与m之间的函
数关系式；
（3）在（2）的条件下，若每天需支付甲队费用1000元，每天需支付乙队费用2000元，且完成工作总天
数不超过24天，则如何安排甲队先施工天数，使总施工费用最少，并求出最少费用．
2
【答案】（1）甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需20天；（2）n=− m+12；
5
（3）当m=20时，w =32000元
最小
【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需a天，根据工作量相同列方程求解即可；
（2）利用甲，乙完成的工作量之和为1，列关系式，整理可得答案；
（3）利用（2）的结论，根据甲，乙完成的工作时间列出函数解析式，再求解自变量m的范围，利用一次
函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设乙队单独完成此项工程需a天，则甲队单独完成此项工程需(a+10)天．根据题意，
【46淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
得
45 30
= ．
a+10 a
解这个方程，得a=20．
经检验：a=20是所列方程的解．
所以a+10=30．
答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需20天．
1 ( 1 1 )
（2）由题意得： m+ + n=1,
30 30 20
∴2m+5n=60,
2
∴ n=− m+12．
5
（3）设总施工费用w元．根据题意，得
( 2 )
w=1000(m+n)+2000n=1000m+3000n =1000m+3000 − m+12 =−200m+36000．
5
2
∵m+n≤24，∴m− m+12≤24．解得：m≤20．
5
∵−200<0，∴w随m增大而减小．
∴当m=20时，w =−200×20+36000=32000（元）
最小
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用及利用一次函数求费用
的最小值问题，掌握以上知识是解题的关键．
题型 06 分段计费
27．（2021·湖南益阳·统考三模）为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．门
票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）的团
队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设某旅游团
人数为x人，非节假日购票款为y（元），节假日购票款为y（元）．y 与y 之间的函数图象如图所示．
1 2 1 2
（1）观察图象可知：a＝ ；b＝ ；m＝ ；
（2）求出y，y 与x之间的函数关系式．
1 2
【47淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）6，8，10；（2）y＝30x；y＝¿
1 2
【分析】（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购
票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值，由图可求m的值；
（2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y，分0≤x≤10与x＞10，利用待定系数法求一次函数解析
1
式求出y 与x的函数关系式即可；
2
300
【详解】解：（1）∵ ＝0.6，
50×10
∴非节假日打6折，a＝6，
900−500
∵ ＝0.8，
50×(20−10)
∴节假日打8折，b＝8，
由图可知，10人以上开始打折，
所以，m＝10；
故答案为：6,8,10；
（2）设y＝kx，
1 1
∵函数图象经过点（10，300），
∴10k＝300，
1
∴k＝30，
1
∴y＝30x；
1
0≤x≤10时，设y＝kx，
2 2
∵函数图象经过点（10，500），
∴10k＝500，
1
∴k＝50，
1
∴y＝50x，
1
x＞10时，设y＝kx+b，
2
【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵函数图象经过点（10，500）和（20，900），
∴¿，
∴¿，
∴y＝40x+100；
2
∴y＝¿．
2
【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信
息并理解打折的意义是解题的关键
28．（2022·福建泉州·统考模拟预测）为实现环境可持续发展，资源可持续利用，建设“节约型社会”．
某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如表：
档次 月用电量x（度） 电价（元/度）
1档 x≤200 0.49
2档 20098，
∴x>200，
∴当20020时，y与x的函数表达式．
（2）小明家第二季度缴纳水费的情况 如下：
五月
月份 四月份 六月份
份
56.4
交费金额 40元 45元
元
小明家第二季度共用水多少立方米？
【答案】（1）当0≤x≤20时y =2.5x，当x＞20时y =3.2x−14；（2）56立方米
1 2
【分析】（1）根据题意写出收费和用水量的函数关系式；
（2）根据每月用水量20m³时收费50元，然后根据四、五月份收费小于50元和六月份大于50元分别代入
y=2.5x 和y=3.2x-14中求出x，再相加即可．
【详解】（1）当0≤x≤20时，y =2.5x；
1
当x>20时，y =2.5×20+3.2(x−20)=3.2x−14；
2
(2)当x=20时，y =50
1
∵40<50,45<50,56.4>50
∴四、五月份的月用水量比20m3少，六月份的月用水量比20m3多
令y =40，得x=16
1
令y =45，得x=18
1
令y =56.4，得x=22
2
16+18+22=56（立方米）
∴第二季度共用水56立方米
【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是根据题意题意写出y与x的函数关系式．
30．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民
【50淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
节约用电，某地采取表1的计费方式已知嘉淇家7月份用电量为280度，缴纳电费为164元．
表1 某地居民用电计费方式
第一档电量 第二档电量 第三档电量
月用电量180度（含180 月用电量180度至300度（含300度） 月用电量300度以上的部分，
度），以下每度价格0.55元 的部分，每度比第一档提价a元 每度比第一档提价0.30元
(1)求出表1中a的值；
(2)设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；
(3)嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户
家庭缴纳电费的中位数和众数．
表2 20户家庭7月份用电量统计表
12
用电量（度） 160 200 260 320
0
户数 2 3 6 7 2
【答案】(1)a的值为0.1
(2)y=¿
(3)中位数和众数分别是112元、151元
【分析】（1）根据梯度计费方式计算7月份电费可得到和a相关的方程，解方程即可；
（2）根据梯度计费方式分别列出三个档位电费的等量关系即可；
（3）先根据中位数计算方法算出中位数，然后根据数值代入对应函数关系式计算即可．
【详解】（1）由题意得，180×0.55+(280−180)×(0.55+a)=164，解得a=0.1，
即a的值为0.1；
（2）当0≤x≤180，y=0.55x；
当180300 y=180×0.55+(300−180)×(0.55+0.1)+(x−300)×(0.55+0.3)=0.85x−78，
综上，y与x的函数关系式为y=¿；
（3）根据表2可知，将20户家庭用电量由小到大排序，最中间两个数均为200度，
所以这20户家庭用电量的中位数为200度，
应缴纳电费为0.65×200−18=112（元）；
20户家庭用电量的众数应为260度，所以应缴纳电费0.65×260−18=151（元）．
【点睛】本题主要考查一次函数实际应用，根据表格计费方式列出等量关系式解题的关键．
31．（2023·浙江温州·校联考二模）某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，x表示每月上网流量
【51淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（单位：GB），y表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的y关于x的关系如图所示：
A套 B套 C套
餐 餐 餐
每月基本流量服务费
30 50 80
（元）
包月流量（GB） 5 10 20
超出后每GB收费（元） 10 10 5
x>5 A y
A
(1)当 时，求 套餐费用 的函数表达式．
(2)当每月消耗流量在哪个范围内时，选择C套餐较为划算．
(3)小红爸妈各选一种套餐，计划2人每月流量总费用控制在150元以内（包括150元），请为他们设计一种
方案使总流量达到最并完成下表，
小红爸爸： 套 小红妈妈： 套
餐 餐
总流量
（填A、B、C （填A、B、C
） ）
消耗流量 GB GB GB
【答案】(1)y =10x −20(x >5)
A A A
(2)x>13GB
(3)C，24；B，10；34
【分析】（1）根据三种套餐对应的y关于x的关系图，列出A套餐的函数关系式即可；
（2）根据三种套餐对应的y关于x的关系图，列出B套餐的函数关系式，根据图可知，基本费用超过80元
时，C套餐的费用划算，代入B套餐的函数关系式，即可求出相应的流量；
【52淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）假设基本费用刚好是150元，要是流量最多，要有一人选择C套餐，并且超出基本费用的钱要购买C
套餐中的流量最合适，再分情况讨论第二种套餐种类，通过对比选择合适的套餐即可．
【详解】（1）解：由三种套餐对应的y关于x的关系图可知，
y =30+(x −5)×10=10x −20(x >5)，
A A A A
当x>5时，A套餐费用y 的函数表达式y =10x −20(x >5)；
A A A A
（2）由三种套餐对应的y关于x的关系图可知，
y =50+(x −10)×10=10x −50(x>10)，
B B B
y =80+(x −20)×5=5x −20(x>20)，
C C C
由图可知，当月基本费用超过80元时，选择C套餐合适，
∴80=10x −50，解得：x =13GB，
B B
∴当x>13GB时，选择C套餐较为划算；
（3）假设基本费用刚好是150元，要是流量最多，要有一人选择C套餐，并且超出基本费用的钱要购买C
套餐中的流量最合适，
假设，小红爸爸选择C套餐20GB，妈妈选择A套餐流量为5GB，两人的基本费用为80+30=110元，超出
的40元在C套餐中购买流量可以买的更多，即40÷5=8GB，
则费用为150元，小红爸爸选择C套餐20+8=28GB，花费120元，小红妈妈选择A套餐流量为5GB，花费
30元，总流量为28+5=33GB；
假设，小红爸爸选择C套餐20GB，妈妈选择B套餐流量为10GB，基本费用为80+50=130元，超出的20
元在C套餐中购买流量可以买的更多，即20÷5=4GB，
则费用为150元，小红爸爸选择C套餐20+4=24GB，花费100元，小红妈妈选择B套餐流量为10GB，花
费50元，总流量为24+10=34GB；
∴小红爸爸选择C套餐，消耗流量24GB，小红妈妈选择B套餐消耗流量10GB，总流量为34GB．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是结合关系图，明确题意，分情况讨论，利用数形
结合的思想．
32．（2023·山西忻州·统考模拟预测）近几年，我国快递市场跟随电商经历了爆发式增长，快递已成为人
们生活的一部分．越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？以
此为驱动问题，某校八年级开展了项目学习．以下是李华同学帮家人选择更优惠的快递公司的活动报告
（不完整），请仔细阅读并完成相应任务．
【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
为家人选择更优惠的快递公司活动报告
一、收集信息
经了解我家附近有甲、乙两个不同的快递公司代办点，服务质量同等，爸爸妈妈邮寄快递通常是随机去其
中的一个代办点．他们邮寄的快递都是省外且在10kg以内，体积一般较小．快递费通常是由首重费和续
重费组成，以1kg为单位计费，不足1kg按1kg计费．取实际重量和体积重量（长×宽×高/6000，单位cm
）中两者较大值作为物品重量计费．
甲、乙两个代办点省外邮寄费用标准如下：
甲：首重1kg收费8元，续重5元7kg；（即所寄物品重量不超过1kg时收费8元，重量超过1kg时超过部
分按每千克加收5元计费）
乙：首重1kg收费10元，续重4元/kg．
二、建立模型
１．发现所寄物品的快递费用y（元）与物品重量x(kg)之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：
y =¿ y =¿
甲 乙
在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象（如图，不完整），两图象交于点A．
三、解决问题
我们可以根据图象推断哪个快递公司更优惠．结论如下：
……
任务：
(1)请将函数图像补充完整（在图中画出y 的函数图象），直接写出点A的坐标，并根据图象推断哪个快
乙
递公司更优惠．
(2)同一个问题可以有不同的解决策略，李华借助一次函数的图象解决了这个问题，请你想想，此问题还可
以借助哪些知识解决．
(3)同一策略可以帮助我们解决生活中的许多共性问题，例如以上策略还可以解决哪款手机套餐资费更划算
的问题，请你再举出一个利用以上策略解决的实际问题．
【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)图见解析，A(3，18)，理由见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】对于（1），根据题意补全统计图，再结合图像分析即可；
对于（2），可以结合一元一次方程和不等式解决，再解答；
对于（3），根据实际解答即可．
【详解】（1）补全函数图象如图所示：
点A的坐标为(3,18)．
从节省费用的角度考虑，当所寄物品重量小于3kg时，选择甲代办点更合适；当所寄物品重量大于3kg时，
选择乙代办点更合适；当所寄物品重量为3kg时，两个代办点的收费一样；
（2）此问题还可以借助一元一次不等式、一元一次方程的知识来解决；
当5x+3＞4x+6时，x＞3，所以当所寄物品重量大于3kg时，选择乙代办点更合适；
当5x+3＜4x+6时，x＜3，当所寄物品重量小于3kg时，选择甲代办点更合适；
当5x+3=4x+6时，x=3，当所寄物品重量等于3kg时，选择甲，乙代办点都可以.
（3）答案不唯一，如选用哪款旅游套餐更划算，选用哪款共享单车更划算等，合理即可．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意并正确解题是解决问题的关键．
33．（2022·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）在综合与实践活动中，活动小组了解到银川某家快递
公司的省内邮寄的费用标准：首重2kg收费15元，续重6元/kg（不足1kg按1kg计费）．为了方便对问题
的研究，活动小组将快递计费重量设为m ，将快递总费用定义为w ，如下表：
n n
快递重量n
02，m =[n]，[n]为不小于n的最小整数，如：m =3．
n 2.4
(1)通过观察上表，猜想出m 与快递重量n之间的关系式，w 与快递重量n之间的关系式．
n n
(2)用含m 的代数式表示w ，计算当计费重量为8kg时，快递重量的范围．
n n
(3)若快递重量为12.8kg，那么快递费为多少元？
【答案】(1)m =¿；w =¿；
n n
(2)快递重量的范围72时，m =[n]，（[n]为不小于n的最小整数），W =15+6([n]−2)=6[n]+3；
n n
∴m 与快递重量n之间的关系式为m =¿；
n n
w 与快递重量n之间的关系式为w =¿；
n n
（2）解：∵m =[n]，
n
∴w =¿，
n
当[n]=8kg时，快递重量的范围71623，
∴该同学家2020年度天然气总使用量超过了520立方米，
(1665−1623)÷4.2+520=530（立方米），
答：该同学家2020年度天然气使用总量为530立方米．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解收费标准，列出函数关系式是解题的关键．
题型 07 体积问题
35．（2021·浙江绍兴·统考一模）将一块a×b×c(a0，
∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小，
60−x≥0；70−x≥0；x−30≥0
∴30≤x≤60．
∴当x=30时，y有最小值910．
∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元．
（3）解：y=(7+m)x+10(60−x)+10(70−x)+(15−2m)(x−30)
=(2−m)x+850+60m．
当m=2时，无论怎么安排，运费都是9万7千元；
当10，y随x的增加而增加，当x=30时，运费最低=910+30m（百元）；
当20，
【63淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴W随x的增大而增大，
∵1≤x≤14，
∴当x=1时，调运总费用W最小，最小值为1000×1+255000=256000（元），
∴调运总费用W的最小值为256000元。
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。正确把调运总费用表示成x的函数是解题
的关键．
40．（2022·山东青岛·校考一模）某农副产品经销商以30元/千克的价格收购农户们的一批农副产品进行销
售，经过市场调查发现一部分数据如下：
销售价格x（元/千克） 40 50 60
480
月销售量p(千克) 6000 3600
0
其中，月销售量是关于销售价格的一次函数．
(1)请直接写出p与x之间的一次函数关系
(2)该农副产品经销商应如何确定这批农副产品的销售价格，才能使得月销售利润最大？
(3)在（2）的条件下，该农副产品经销商打算把这一批农副产品运往A，B两个销售网点进行销售，根据市
场要求，A销售网点的销量应不低于B销售网点的一半且不高于总销量的一半，运使往A、B两个销售网点
的运费分别为a元/千克（其中a>0），3元/千克，请直接写出最优的调运方案．
【答案】(1)p=−120x+10800
(2)这批农产品的销售价格定为60元/千克时月销售利润有最大，这个最大月销售利润为108000元；
(3)①a>3时，运往A地1200kg，运往B地2400kg，
②a<3时，运往A地1800kg，运往B地1800kg．③a=3时，在1200⩽m⩽1800范围内的所有方案都可
以．
【分析】（1）射出函数关系式，用待定系数法即可求解；
（2）设月销售利润为w元，则w=p(x−30)=(−120x+10800)(x−30)，再把求出抛物线对称轴，利用
函数的性质求出函数的最大值；
（3）设运往A网点m kg，则运往B网点(3600−m)kg，根据题意求出m的取值范围，再根据总运费等于
运往A、B两地的运费之和列出函数解析式，再根据a的取值求函数的最值，从而得出最优方案．
【详解】（1）解：∵p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
可选择x=40，y=6000和x=50，y=4800代入，
则：¿，
解得：¿，
【64淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴所求的函数关系为p=−120x+10800；
（2）解：设月销售利润为w元，
∴w=p(x−30)=(−120x+10800)(x−30)，
即w=−120x2+14400x−324000，
14400
∴当x=− =60时，w有最大值，w =−120×(60) 2+14400×60−324000=108000（元)
2×(−120) max
答：这批农产品的销售价格定为60元/千克时月销售利润有最大，这个最大月销售利润为108000元；
（3）解：根据（2）得月销量为：p=−120×60+10800=3600(kg)，
设运往A网点m kg，则运往B网点(3600−m)kg，
1 1
由题意得： (3600−m)⩽m⩽ ×3600，
2 2
解得：1200⩽m⩽1800，
总运费M=am+3(3600−m)=10800+(a−3)m，
①当a>3时，m取最小值1200时M最小，
此时，运往A地1200kg，运往B地3600−1200=2400kg，
②当03时，运往A地1200kg，运往B地2400kg，
②a<3时，运往A地1800kg，运往B地1800kg．③a=3时，在1200⩽m⩽1800范围内的所有方案都可
以．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解
答，我们关键要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
41．（2021·山东德州·中考真题）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本
y（万元）与产品数量x（件)之间具有函数关系y=x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60万元．
(1)当A城生产多少件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
(2)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的
费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A，
B两城运费的和最小？
【答案】(1)A城生产20件，最小值是5700万元；
(2)从A城把该产品运往C地的产品数量为20件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为0件；从B城把
该产品运往C地的产品数量为70件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为10件时，可使A，B两城运
【65淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
费的和最小．
【分析】（1）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W（万元），则W等于A城生产产品的总成本加
上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得
答案；
（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D地
的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组
求得n的取值范围，然后用含n的式子表示出A，B两城总运费之和P，根据一次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W（万元），
则W =x2+20x+100+60(100−x)
=x2−40x+6100
=(x−20) 2+5700，
∴当x=20时，W取得最小值，最小值为5700万元，
∴城生产20件，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；
（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为(20−n)件，
从B城把该产品运往C地的产品数量为(90−n)件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为(10−20+n)
件，运费的和为P（万元），
20−n⩾0
由题意得：{ ，
10−20+n⩾0
解得10⩽n⩽20，
P=n+3(20−n)+(90−n)+2(10−20+n)
=n+60−3n+90−n+2n−20
=n−2n+130
=−n+130，
根据一次函数的性质可得：
P随n增大而减小，
∴当n=20时，P取得最小值，最小值为110，
∴从A城把该产品运往C地的产品数量为20件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为0件；
从B城把该产品运往C地的产品数量为70件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为10件时，可使A、
B两城运费的和最小．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并熟练
【66淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
掌握一次函数和二次函数的性质．
题型 09 计时问题
42．（2023·江苏镇江·校联考一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就
已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏
刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是李明记录的部分数据，其
中有一个h的值记录错误，错误的h值为（ ）
t（min） … 2 3 5 6 …
2.
h（cm） … 2.0 3.0 3.6 …
4
A．2.0 B．2.4 C．3.0 D．
3.6
【答案】C
【分析】不妨设过点(2,2.0)和点(3,2.4)的函数解析式为y=kx+b，然后求出函数解析式，再将x=5和
x=6代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题．
【详解】设过点(2,2.0)和点(3,2.4)的函数解析式为y=kx+b，
则¿，
解得¿，
即y=0.4x+1.2，
当x=5时，y=0.4×5+1.2=3.2，
当x=6时，y=0.4×6+1.2=3.6，
由上可得，点(5,3.0)不在该函数图象上，与题目中有一个h的值记录错误相符合，
故选：C．
【67淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
43．（2021·山东济南·统考中考真题）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出
现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻
计时工具模型，研究中发现水位h(cm)是时间t(min)的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一
个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8cm时，对应的时间t为 min．
t(min) … 1 2 3 5 …
2.
h(cm) … 2.4 3.4 4 …
8
【答案】15
【分析】由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位h(cm)与时间t(min)的函
数解析式为h=kt+b，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．
【详解】解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位
就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4，
设水位h(cm)与时间t(min)的函数解析式为h=kt+b，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：
¿，解得：¿，
∴水位h(cm)与时间t(min)的函数解析式为h=0.4t+2，
∴当h=8时，则有8=0.4t+2，解得：t=15，
故答案为15．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
44．（2022·广东深圳·校联考二模）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图
【68淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢
匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该
实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，
得到表1．
表1
沉沙时间x(h) 0 2 4 6 8
电子秤读数y（克） 6 18 30 42 54
探索发现：
(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的
数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数
模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：
(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
【答案】(1)作图见解析
(2)在同一直线上．函数表达式为：y=6x+6
(3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克
(4)下午6:30
【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．
（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，
利用待定系数法求解函数表达式．
（3）根据（2）中的表达式可求出当x=9时，精密电子秤的读数．
【69淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（4）根据（2）中的表达式可求出当y=72时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间．
【详解】（1）解：如图所示
（2）
解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像．
设一次函数表达式为：y=kx+b
将点(0,6)，(2,18)代入解析式中可得¿
解得¿
∴函数表达式为：y=6x+6
（3）解：由（2）可知函数表达式为：y=6x+6
∴当x=9时，y=60
∴漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．
（4）解：由（2）可知函数表达式为：y=6x+6
∴当y=72时，x=11
∵起始时间是上午7:30
【70淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴经过11小时的漏沙时间为下午6:30．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自
变量或函数值是解决本题的关键．
题型 10 现实生活问题
45．（2022·河北保定·统考二模）共享科技深入人心，也方便了百姓的生活，共享洗车是共享科技下的一
种洗车方式，如图是普通洗车收费y 和共享洗车收费y 与洗车时间x的函数图像，请根据图像回答相关问
1 2
题．
(1)共享洗车方式BC段单价为______元/min，洗车时间为______min时，两种洗车方式收费相同．
(2)求CD段y 关于x的函数表达式．
2
(3)当两种洗车方式收费差距在2元（包含2元）内时，求共享洗车时间的取值范围．
【答案】(1)1，25
(2)CD段函数表达式为y =0.2x+10
2
(3)共享洗车时间的取值范围是15≤x≤35
【分析】（1）利用45°角得到BE=CE，求出BC段的单价，根据交点得到洗车费用相同时的时间；
（2）利用待定系数法求出函数解析式；
（3）分别令y=13和17，求出对应x的值，得出结果．
2
【详解】（1）∵∠CBE=45°，
∴EB=EC，
CE
BC段的单价为 =1 ，
BE
根据图像知，当x=25时，y 和y 相交，
1 2
故当洗车时间为25分时，两种方式的洗车费用相同；
【71淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为1，25．
（2）∵∠CBE=45°，则可得点C坐标为(15,13)．
设CD段函数表达式为y =kx+b，
2
将(15,13)和(25,15)代入y ，
2
得¿，
解得¿，
∴CD段函数表达式为y =0.2x+10．
2
（3）∵两种洗车方式收费差距在2元内，
∴共享洗车费用在13到17元之间．
将y =13代入y =0.2x+10中，得x=15，
2 2
将y =17代入y =0.2x+10中，得x=35，
2 2
∴共享洗车时间的取值范围是15≤x≤35．
【点睛】本题考查利用函数图像解决问题，解决问题的关键是根据图像获得信息，注意分清横坐标和纵坐
标所代表的实际含义．
46．（2022·河南鹤壁·统考一模）核酸检测是直接找到病毒存在的证据，它作为诊断新冠肺炎的一个重要
标准，具有非常重要的意义．开展全员核酸检测既有利于精准防控，保护人民群众健康，又有助于区域内
人员的合理流动，推动社会经济和生活秩序的全面恢复．某市从疫情防控大局出发，降低核酸检测价格，
提高核酸检测的普及率．价格调整情况如下表：
1:1单样检 10:1混样检 20:1混样检
测 测 测
调价前（元/次） 50 15 12
调价后（元/次） 30 10 8
(1)该市某单位第一次核酸检测时（调价前），共计200人进行检测，选择的是1:1单样检测和10:1混样检
测两种方式，共花费3700元，求1:1单样检测和10:1混祥检测各有多少人．
(2)该单位为节省经费，这200人进行第二次核酸检测时（调价后），拟安排一部分人员进行10:1混样检测，
其余人员全部进行20:1混样检测，且进行20:1混样检测的人员不超过10:1混样检测人员的2倍，请问该
单位如何安排可使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)1:1单样检测的有20人，10:1混样检测的有180人
(2)安排67人进行10:1单样检测，133人进行20:1混样检测费用最低，最低费用为1734元
【分析】（1）设1:1单样检测的有x人，10:1混样检测的有y人，根据总人数为200人，总费用为3700
【72淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设10:1单样检测的有m人，20:1混样检测的有（200−m）人，检测费用为w元，根据题目中的不
等关系列出m的不等式，求出m的取值范围，写出w关于m的一次函数关系式，结合m的取值范围，求
出w的最小值即可．
【详解】（1）解：设1:1单样检测的有x人，10:1混样检测的有y人，
由题意，得¿，
解得¿，
答：1:1单样检测的有20人，10:1混样检测的有180人．
（2）设10:1单样检测的有m人，20:1混样检测的有（200−m）人，
由题意，得：200−m≤2m，
200 2
解得：m≥ =66 ，
3 3
设检测费用为w元，则w=10m+8×(200−m)=2m+1600，
∵w是m的一次函数，且2>0，
∴w随m的增大而增大，
当m=67时，检测费用最低，最低费用为2×67+1600=1734（元），此时200−m=133（人），
答：安排67人进行10:1单样检测，133人进行20:1混样检测费用最低，最低费用为1734元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，找出题目中的等量关系式和不等关系
式是解题的关键．
47．（2020·浙江绍兴·统考中考真题）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可
以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为
x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米） 1 2 4 7 11 12
1.0
y（斤） 0.75 1.50 2.75 3.25 3.50
0
（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是
错误的？
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？
【73淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）x＝7，y＝2.75这组数据错误；（2）秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂
物重是4.5斤．
【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断．
（2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可.
【详解】解：（1）观察图象可知：x＝7，y＝2.75这组数据错误．
（2）设y＝kx+b，把x＝1，y＝0.75，x＝2，y＝1代入可得¿，
解得¿，
1 1
∴y= x+ ，
4 2
当x＝16时，y＝4.5，
答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤.
【点睛】此题考查画一次函数的图象的方法，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正
确计算是解此题的关键.
48．（2023下·河南新乡·八年级校考期中）我国传统的计重工具--秤的应用，方便了人们的生活，如图1，
可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离
为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，右表中为若干次称重时所记录的一些数
【74淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
据．
x（厘米） 1 2 3 4 5 6
y（斤） 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.8
(1)在上表x，y的数据中，发现有一
对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
(2)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y的具体变化是_____斤；
(3)根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题．
①y与x的函数关系式；
②当秤钩所挂物重是6.9斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？
【答案】(1)x=6，x=4.8这组数据错误
(2)0.7
(3)①y=0.7x−0.1；②10厘米
【分析】（1）根据数据描点即可判断；
（2）根据表中数据当x=1时，y=0.6，当x=2时，y=1.3，由此即可求解；
（3）①设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据表中数据有当x=1时，y=0.6，当x=2时，y=1.3，代
入即可得到二元一次方程组，求解即可得到函数解析式；
②把y=6.9代入函数解析式，求解x的值即可解答．
【详解】（1）把表中数据描点如下：
观察图象可知：由于y是x的一次函数，(6,4.8)没有位于直线上，所以x=6，y=4.8这组数据错误．
【75淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）根据表中数据当x=1时，y=0.6，当x=2时，y=1.3，由此可得：
当x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y增加了1.3−0.6=0.7（斤）．
故答案为：0.7
（3）①∵y是x的一次函数，
∴设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据表中数据有当x=1时，y=0.6，当x=2时，y=1.3，
∴¿，
解得¿，
∴y与x的函数关系式为y=0.7x−0.1．
②当y=6.9时，6.9=0.7x−0.1，
解得x=10．
答：秤钩所挂物重是6.9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据数据正确求出函数解析式是解题的关键．
1．（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购
买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买
2
A,B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的 ，则在购买方案中最少费用是 元．
5
【答案】330
【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个B种奖品共需
100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购
2
买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的 ，即可得
5
出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：¿，
解得：¿
【76淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20−m) 个，根据题意得到不等式：
2 40
m≥ (20-m)，解得：m≥ ，
5 7
40
∴ ≤m≤20，
7
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．
2．（2020·上海·统考中考真题）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明
从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校
步行15分钟时，到学校还需步行 米．
【答案】350．
【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，
从而得出答案．
【详解】解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，
将(8，960)、(20，1800)代入，得：
8k+b=960
{ ，
20k+b=1800
k=70
解得：{ ，
b=400
【77淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴s=70t+400；
当t=15时，s=1450，
1800﹣1450=350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．
故答案为：350．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，
并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．
3．（2019·重庆·统考中考真题）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发
现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后
5
以原速的 快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之
4
间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到
学校的路程为 米．
【答案】2080
【分析】设小明原速度为x米/分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为
11x+(23−11)×1.25x=26x．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得：¿，解得：x=80，
y=176．据此即可解答．
【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为
11x+(23−11)×1.25x=26x．
设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：¿．
解得：x=80，y=176．
∴小明家到学校的路程为：80×26=2080（米）．
故答案为2080
【点睛】本题考查一次函数的应用、速度、路程、时间之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题，属于中考常考题型．
【78淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，
计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学
生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，
学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种
大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
甲型客车 乙型客车
载客量/（人/辆） 45 30
租金/（元/辆） 400 280
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名
(2)6
(3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元
【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老
师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可；
（2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要
234+6
保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于 ≈6辆，即可解答；
45
（3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车(6−a)辆，列出不等式组，解得4≤a≤5.1，设租车费用为y元，
得出y=120a+1680，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答．
【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名，
38x+6=40x−6，
解得：x=6，
∴38x+6=38×6+6=234，
答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；
（2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，
∴汽车总数不超过6辆，
∵要保证所有师生都有车坐，
【79淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
234+6 16
∴汽车总数不少于 = （辆），则汽车总数最少为6辆，
45 3
∴共需租车6辆，
故答案为：6．
（3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车(6−a)辆，
¿，
解得：4≤a≤5.1，
∵a为整数，
∴a=4或a=5，
方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；
方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；
设租车费用为y元，
y=400a+280(6−a)=120a+1680，
∵120>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=4时，y最小，y=120×4+1680=2160，
综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，
解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式．
5．（2023·山东济南·统考中考真题）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器
人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200
元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，
且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?
最少花费是多少元?
【答案】(1)A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元
(2)购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元
【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是(x−200)元，根据：用2000
元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并
检验后即可求解；
【80淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，根据题意可求出m的
范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【详解】（1）解：设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是(x−200)元．
2000 1200
根据题意，得 =
x x−200
解这个方程，得x=500
经检验，x=500是原方程的根．
x−200=300
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型(40−m)台，购买A型和B型编程机器人
模型共花费w元，
由题意得：40−m≤3m，解得m≥10．
∴w=500×0.8⋅m+300×0.8⋅(40−m)
即w=160m+9600，
∵160>0，
∴w随m的增大而增大．
∴当m=10时，w取得最小值11200，此时40−m=30；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相
等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
6．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种
型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元．若5辆A型和2辆B型车坐满
后共载客310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人．
【81淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的地．该校
有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
(3)在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目
的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地．
下图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲
乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25千米．
【答案】(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客40人、55人
(2)共有4种租车方案，租8辆A型车，2辆B型车最省钱
11
(3)在甲乙两车第一次相遇后，当t=3小时或 小时时，两车相距25千米
3
【分析】（1）设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、y人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即
可求解；
（2）设租用A型车m辆，则租用B型车(10−m)辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数
解即可得出m的值，设总租金为w元，根据一次函数的性质即可求解；
（3）设s =kt，s =k t+b，由题意可知，甲车的函数图像经过(4,300)；乙车的函数图像经过(0.5,0)，
甲 乙 1
(3.5,300)两点．求出函数解析式，进而即可求解．
【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、y人，由题意得
¿
解得¿
答：每辆A型车、B型车坐满后各载客40人、55人．
（2）设租用A型车m辆，则租用B型车(10−m)辆，由题意得
【82淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2
¿ 解得：5≤m≤8
3
∵m取正整数，
∴ m=5，6，7，8
∴共有4种租车方案
设总租金为w元，则w=500m+600(10−m)=−100m+6000
∵ −100<0
∴w随着m的增大而减小
∴ m=8时，w最小
∴租8辆A型车，2辆B型车最省钱．
（3）设s =kt，s =k t+b．
甲 乙 1
由题意可知，甲车的函数图象经过(4,300)；乙车的函数图象经过(0.5,0)，(3.5,300)两点．
∴s =75t，s =100t−50
甲 乙
s −s =25，即100t−50−75t=25
乙 甲
解得t=3
或300−75t=25
11
解得t=
3
11
所以，在甲乙两车第一次相遇后，当t=3小时或 小时时，两车相距25千米．
3
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等
量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键．
7．（2023·浙江金华·统考中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥
步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离
学校的路程s（米）与哥哥离开学校的时间t（分）的函数关系．
【83淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧．
①求图中a的值；
②妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄
妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．
【答案】(1)v=100
(2)①a=6；②能追上，理由见解析
【分析】（1）结合图表可得A(8,800)，根据速度等于路程除以时间，即可解答；
（2）①根据时间=路程÷速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可；
②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将BC和FG的解析式求出，求两个函数的交点即可．
【详解】（1）解：由图可得A(8,800)，
800
∴v= =100（米/分），
8
∴哥哥步行速度为100米/分．
（2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，
∴妹妹所用时间t为：800÷200=4（min）．
∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧，
∴a=8+2−4=6．
②能追上．
如图，根据哥哥的速度没变，可得BC,OA的解析式的k值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，
将妹妹的行程图象补充完整，
【84淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设BC所在直线为s=100t+b ，将B(17,800)代入，得800=100×17+b ，
1 1
解得b =−900，
1
∴s=100t−900．
∵妺妺的速度是160米/分．
设FG所在直线为s=160t+b ，将F(20,800)代入，得800=160×20+b ，
2 2
解得b =−2400，
2
∴s=160t−2400．
联立方程¿，
解得¿，
∴1900−1600=300米，即追上时兄妺俩离家300米远．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题的关键．
8．（2023·浙江宁波·统考中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐
军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，
上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，
然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t
（h）的函数关系如图2所示．
(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【答案】(1)s=40t+20，a=2
【85淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
(2) h
3
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将s=100，代入解析式求出a的值即可；
（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两
段时间即可得解．
【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s=kt+b，由图象可知，直线过点
(0,20)，(1,60)，
∴¿，解得：¿，
∴s=40t+20；
当s=100时：100=40t+20，解得：t=2，
∴a=2；
（2）由图象可知，军车的速度为：60÷1=60km/h，
4
∴军车到达仓库所用时间为：80÷60= h，
3
1
从仓库到达基地所用时间为：(100−80)÷60= h，
3
4 1 1
∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为2− − = h．
3 3 3
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题
的关键．
9．（2022·广东深圳·统考中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本
的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一
样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用
是多少?
【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元
(2)最低费用为1101元
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为(x+1)元．列出方程即可解答；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答
即可．
【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为(x+1)元．
【86淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
110 120
由题意得： =
x x+1
解得：x=11
经检验x=11是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本单价为：11+1=12（元）．
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元．
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了(100−a)件．
由题意得：¿．
∴25≤a<100．
w=11a+12(100−a)=11a+1200−12a=−a+1200．
∵−10<0，
∴当a越大时w越小．
∴当a=99时，w最小，最小值为−1×99+1200=1101（元）．
答：最低费用为1101元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用
是解题的关键．
10．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、
乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y 元，去乙商店购买实付y 元，其函数图象
甲 乙
如图所示.
(1)分别求y ，y 关于x的函数关系式；
甲 乙
(2)两图象交于点A，求点A坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【答案】(1)y =0.85x；y 与x的函数关系式为y =¿
甲 乙 乙
【87淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)（600，510）
(3)当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更
合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；
（3）由点A的意义并结合图象解答即可．
【详解】（1）由题意可得，y =0.85x；
甲
乙商店：当0≤x≤300时，y 与x的函数关系式为y =x；
乙 乙
当x＞300时，y =300+（x-300）×0.7=0.7x+90，
乙
由上可得，y 与x的函数关系式为y =¿
乙 乙
（2）由¿，解得¿，
点A的坐标为（600，510）；
（3）由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，
结合图象可知，
当x＜600时，选择甲商店更合算；
当x=600时，两家商店所需费用相同；
当x＞600时，选择乙商店更合算．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函
数的性质解答．
11．（2022·黑龙江·统考中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根
A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，
则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元
(2)有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21
根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根
(3)方案三需要费用最少，最少费用是550元
【分析】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，可列方程组¿，解方程组即可求得
结果；
【88淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）根据题意可列出不等式组¿，解不等式组得到解集再结合m为正整数即可确定方案；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=−5m+675，结合函数的性质，可知w随m的增大
而减小，由此即可求得答案．
【详解】（1）解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得¿，
解得¿，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
（2）根据题意，得¿，
解得23≤m≤25.4，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=10m+15(45−m)=−5m+675
∵−5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=25时，w有最小值，即w=−5×25+675=550（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
【点睛】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出
对应的方程是解题的关键．
12．（2021·青海西宁·统考中考真题）城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，
西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”．现需租
用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和租金信息如下表：
型
载客量（人/辆） 租金单价（元/辆）A
号
A 16 900
B 22 1200
若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．
（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；
（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？
（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．
【89淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）y=−300x+12000；（2）1辆；（3）租车方案有3种：方案一：A型客车租1辆，B型客
车租9辆；方案二：A型客车租2辆，B型客车租8辆；方案三：A型客车租3辆，B型客车租7辆；最省
钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆
【分析】（1）根据租车总费用＝每辆A型号客车的租金单价×租车辆数＋每辆B型号客车的租金单价×租
车辆数，即可得出y与x之间的函数解析式，再由全校共200名师生需要坐车及x≤10可求出x的取值范围；
（2）由租车总费用不超过11800元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取
其中的整数即可找出各租车方程，再利用一次函数的性质即可找出最省钱的租车方案；
（3）由题意得出16x+22(10−x)≥200，求出x的取值范围，分析得出即可．
【详解】解：（1）y=900x+1200(10−x)=−300x+12000，
∴y=−300x+12000；
（2）根据题意，得：−300x+12000≤11800，
2
解得x≥ ，
3
∵x应为正整数，
∴x≥1
∴A型客车至少需租1辆；
（3）根据题意，得16x+22(10−x)≥200，
10
解得x⩽ ，
3
2 10
结合（2）的条件， ⩽x⩽ ，
3 3
∵x应为正整数，∴x取1，2，3，
∴租车方案有3种：
方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；
方案二：A型客车租2辆，B型客车租8辆；
方案三：A型客车租3辆，B型客车租7辆．
∵y=−300x+12000，k<0
∴y随x的增大而减小，
∴当x=3时，函数值y最小，
∴最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函
数的性质解决最值问题．
【90淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
13．（2021·天津·统考中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，
匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，
然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中
李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表
离开学校的时间/
0.1 0.5 0.8 1 3
h
离学校的距离/km 2 12
（Ⅱ）填空：
①书店到陈列馆的距离为________km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为_______h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______km/h；
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为_______h．
（Ⅲ）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
1 31
【答案】（Ⅰ）10，12，20；（Ⅱ）①8；②3；③28；④ 或 ；（Ⅲ）当0≤x≤0.6时，y=20x；当
5 6
0.6
