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专题 02 等比数列必备知识点与考点突破
【必备知识点】
◆ 知识点 1 : 等比数列
1.等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,
这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 表示 .
2.等比数列的判定
(1) (定义法); (2) (中项法)
(3) (通项法)； (4) (和式法).
3.等比数列通项公式
或
例:已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 是公差为 的等差数列
B．数列 是公差为2的等差数列
C．数列 是公比为 的等比数列
D．数列 是公比为2的等比数列
例:已知等比数列{ }中，满足 ， ，则（ ）
A．数列{ }是等比数列 B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列 D．数列{ }中， 仍成等比数列◆ 知识点 2 : 等比数列的性质
设 为等比数列,公比为 ,则
(1)若 ,则 .
(2)若 成等差数列,则 成等比数列.
(3)数列 ( 为不等于零的常数)仍是公比为 的等比数列;
数列 是公比为 的等比数列;
数列 是公比为|q|的等比数列;
若数列 是公比为 的等比数列,则数列 是公比为 的等比数列.
(4)在数列 中,每隔 项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为 .
(5)在数列 中,连续相邻 项的和(或积)构成公比为 (或 )的等比数列.
(6)若数列 是各项都为正数的等比数列,则数列 且 是公差为 的等差数列.
(7)等比数列 的连续 项的积构成的数列: ,仍为等比数列.
例:在正项等比数列 中， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例:已知等比数列 满足 ， ，则（ ）
A．数列 是等差等列 B．数列 是等差数列
C．数列 是递减数列 D．数列 是递增数列
◆ 知识点 3 : 等 比 数列前 n 项和
1.等比数列前 项和公式当 时,
当 时,
2.等比数列前 项和公式与指数函数的关系
(1)当 时, 是关于 的正比例函数,点 是直线 上的一群孤立的点.
(2)当 时, .记 ,则 是一个指数式与一个常数
的和.当 且 时, 是指数函数,此时,点 是指数型函数 图象上的一群孤立
的点.
如等比数列 的前 项和为 ,点 是函数 图象上的一群孤立的点.
例:已知正项等比数列 首项为1，且 成等差数列，则 前6项和为（ ）
A．31 B． C． D．63
例:已知等比数列 的前n项和 ，则实数t的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
◆ 知识点 4 : 等 比 数列前 n 项和的性质
已知等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,则有如下性质:
(1) .
证明:
.
(2)若 均不为0 ,则 成等比数列,且公比为 .
(3)若 共有 项,则 ;
若 共有 项,则 .例:等比数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
例:已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．90 B．100
C．120 D．130
例:已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个数列的项数
为（ ）
A． B． C． D．
【核心考点】
◆ 考点 1 : 等比中项
1．在等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则 的通项公式为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．已知 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则公比为（ ）
A． B． C． D．1
4．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则公比为（ ）
A． B． C． D．1
◆ 考点 2 : 等比数列的证明1．已知数列 的前n项和公式为 ，则数列 （ ）
A．是公差为4的等差数列 B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
2．数列 中， ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列 的通项公式为
B．数列 为等比数列
C．数列 为等比数列
D．数列 为等差数列
3．设数列 满足 ，且 ，则（ ）
A． 为等比数列 B． 为等比数列
C． 为等比数列 D． 为等比数列
4．若数列 的 项和为 且 ， ，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．数列 是等比数列 D．数列 是等比数列
◆ 考点 3 : 等比数列的性质
1．设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A．12 B．2 C．30 D．32
2．如果数列 是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．3．已知 是等比数列，则（ ）
A．数列 是等差数列 B．数列 是等比数列
C．数列 是等差数列 D．数列 是等比数列
4．如果数列 是等比数列，且 ， ，则数列 是（ ）
A．等比数列 B．等差数列
C．不是等差也不是等比数列 D．不能确定是等差或等比数列
5．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列 ，则
数列 的前n项的和是（ ）
A． B．Sqn－1
C．Sq1－n D．
6．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．4
◆ 考点 4 : 等比数列的函数特征
1．设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 为递增数列的充要条件是（ ）
A． ， B． ，
C． D．
2．已知无穷等比数列 满足 ，其前 项和为 ，则（ ）A．数列 为递增数列 B．数列 为递减数列
C．数列 有最小项 D．数列 有最大项
3．等比数列 是递增数列，若 ， ，则公比 为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，
，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列 存在最大值 D． 是数列 中的最大值
◆ 考点 5 : 等比数列前 n 项和的概念与计算
1．已知数列 是递增的等比数列，且 ， ，若 的前n项和 满足
，则正整数k等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知等比数列 的前n项和 ，则（ ）
A．首项 的值不确定B．公比 C． D．
3．若数列 的前10项和等于数列 的前6项和，则常数 （ ）
A． B． C． D．
4．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，则 （ ）A． B． C．3 D．4
◆ 考点 6:Sn 与 an 的关系
1．已知等比数列 的前n项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知公比为 的等比数列 的前 项和 ， ，且 ，则 （ ）
A．48 B．32 C．16 D．8
3．(多选)已知数列 的前 项和为 ， ，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．数列 是等比数列
D．数列 的前 项和为
4．已知等比数列 的前n项和为 ，若 ，则k的值为______．
◆ 考点 7 : 等比数列前 n 项和的性质
1．已知数列 是各项为正的等比数列，其前n项和为 ，若 ，则 =（ ）
A． B． C．72 D．90
2．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）.
A． B． C． D．
3．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．4．已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则下列命题中错误的是（ ）
A．
B．
C． ， ， 成等比数列
D．“ ”是“ ， ， 成等差数列”的充要条件
5．已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的 倍，前 项之积为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
◆ 考点 8 : 等比数列的奇数项和偶数项性质与应用
1．已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则其偶数项 为（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
2．已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则
（ ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
3．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数
列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．在等比数列 中，若公比 ，且 ，则数列 的前100项的和为
A．100 B．90
C．120 D．30
5．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比
和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比
为（ ）
A．8 B．2 C．4 D．2
【过关检测】
一、单选题
1．设 是公比为 的等比数列，且 .则 （ ）
A． B． C．8 D．11
2．若数列{ }的前n项和为 ＝ ， =（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列 的前 项和为 ，则实数 的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
4．已知数列 是等比数列，满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．记 为等比数列 的前n项和，若 ，则 的公比q=（ ）
A． B． C． D．2
6．数列 中， ， ，若 ，则 （ ）A．3 B．5 C．4 D．6
7．已知数列 的前n项和为 ，q为常数，则“数列 是等比数列”为“ ”的（ ）
条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
8．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，若 ，则称项 为“和谐项”，则数
列 的所有“和谐项”的平方和为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设 是等比数列，则下列四个命题正确的是（ ）
A． 是等比数列 B． 是等比数列C． 是等比数列 D． 是等比数列
10．已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则数列 的公比可能是（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
11．已知 是数列 的前 项和， ，则（ ）
A． 是等比数列 B．
C． D．
12．已知等比数列 各项均为正数，其前 项积为 ，若 ， ，则下列
结论正确的是（ ）
A．B．
C． 是 中最小的项
D．使 成立的 的最大值为18
三、填空题
13．设等比数列 的前n项和为 ，公比为q，若 ， ，则 ________．
14．设等比数列 的前n项和为 ，若 ，且 ，则λ＝________．
15．已知数列 的前n项和为 ， ， ，则 ___________.
16．在正项等比数列 中， ， ，记数列 的前n项积为 ， ，则n的最小值为
______
四、解答题
17．已知 是公差不为0的等差数列，且 ， 是 和 的等比中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 的最大值．
18．已知数列 是公差不为零的等差数列，其前 项和为 ，且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求正整数 的值.19．已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)证明： 为等比数列，并写出它的通项公式：
(2)若正整数m满足不等式 ，求m的最大值．
20．已知数列 满足 ， ；设等差数列 ､ 的前 项和分别为 和 ，
且 ， ， .
(1)求证数列 是等比数列；
(2)求常数 的值及 的通项公式；
(3)求 的值.
21．已知首项为 的等比数列 公比小于0，其前n项和为 ，且 ， ， 成等
差数列.(1)求数列 的通项公式；
(2)若实数a使得 对任意 恒成立，求a的取值范围.
