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专题 03 分段函数
一、单选题
1.（2024届肃省兰州市第五十中学高三上学期开学考试）函数 ，则 （ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
【答案】B
【解析】因为 ，所以 .故选B
2．（2024届辽宁省六校高三上学期期初考试）已知函数 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意 ，所以可能有以下两种情形：
情形一：若 ，则 ，所以 ，解得 (不符题意，舍去).
情形二：若 ，则 ，所以 ,解得 .
综上有 .故 .故选A.
3．（2024届湖南省株洲市第三中学高三上学期8月月考）已知 ，且 ，函数
在 上单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为函数 在 上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，
故 在R上单调递减，所以 ，解得 .故选D.
4．（2024届吉林省通化市辉南县高三上学期月考）已知函数 有最大值，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为当 时， ，要使 有最大值，则 时，函数值的范围不超过
可得 解得 .故选A
5．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研）设函数 则满足 的 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， ，则 不成立；
当 时， ，
由 ，得 ，得 ，与 矛盾，舍去，
当 时， ，
由 ，得 ，则 ，得 ．
综上，满足 的 的取值范围是 ．故选B．6．（2024届百师联盟高三上学期联考）已知函数 ，若关于 的方程
有5个不同的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
当 时， ，则 ，当 时， ， 单调递
增，当 时， ， 单调递减，做出 的图像，如图所示，
，
即 与 共5个不等实根，由图可知 时， 或 ，即 有两个根，若
使 与 共5个不等实根，只需满足 .故选D.
7．（2023届河南省开封市通许县高三冲刺）已知 若函数 有两个
零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】当 时， ,则 ,当 时， ，函数
单调递增；当 时， ，函数 单调递减.所以 时，
.当 时， ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减.
所以 时， .画出函数 的图象如图所示：
因为函数 有两个零点，所以 与 的图象有两个交点，
由图可知 或 .所以 的取值范围为 .故选C.
8．（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数 ，若关于x的
方程 有四个不同的根 （ ），则 的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图可知当且仅当 时，方程 有四个不同的根，
且 ，由题： ， ，
设 则
，令 ，
故 在 递增，在 递减， .故选A.
9．（2024届黑龙江省佳木斯市高三上学期第二次调研）已知函数 是定义域上
的单调减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得二次函数对称轴为 ，由于整个函数单调递减，则有
，解之得 .故选A
10．（2024届辽宁省沈阳市第二十中学高三上学期第一次模拟）函数 是定义在 上的奇函数，当时， ，则函数 在 上的所有零点之和为（ ）
A． B．32 C．16 D．8
【答案】D
【解析】∵函数 是定义在 上的奇函数，∴ .
又∵函数 ，
∴
∴函数 是偶函数，∴函数 的零点都是以相反数的形式成对出现的.
∴函数 在 上所有的零点的和为0，
∴函数 在 上所有的零点的和，即函数 在 上所有的零点之和.
即方程 在 上的所有实数解之和.
由 时， ，故有 ，
∴函数 在 上的值域为 ，当且仅当 时， .
又∵当 时， ，如图：∴函数 在 上的值域为 ；函数 在 上的值域为 ；
函数 在 上的值域为 ，当且仅当 时， ，
即方程 在 上的有一个实数解 ，即 有一个零点 ；
综上，函数 在 上的所有零点之和为8.故选D.
11.（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次验收）已知函数 的
最大值为1，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【解析】当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，依题意， ，即 ，当 时， ，
若 ，则当 时， ，解得 ，符合题意，若 ，则当 时，
，解得 ，矛盾，所以实数 的值为 .故选A
12.（2024届江西省宜春市宜丰中学高三上学期开学考试）已知函数 ，若方程
有四个不同的实根 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】对于 ，可知其对称轴为 ，令 ，解得 或
；
令 ，解得 或 ；作出函数 的图象，如图所示，
若方程 有四个不同的实根 ，
即 与 有四个不同的交点，交点横坐标依次为 ，
对于 ，则 ，可得 ，所以 ；
对于 ，则 ，可得 ；
所以 ，
由对勾函数可知 在 上单调递增，可得 ，
所以 的取值范围是 .故选B.
二、多选题
13．（2024届广东省潮州市潮安区凤塘中学高三上学期统测）已知函数 ，则下列结论中
正确的是（ ）
A．函数 有且仅有一个零点0 B．C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递减
【答案】BC
【解析】由函数 ，可得 有两个零点0、1，故A错误；由于 ，故B正
确；当 时 ，所以 在 上单调递增，故C正确；当 时 ，所
以 在 上单调递减， 上单调递增，故D错误．故选BC．
14．（2023届山西省三晋名校联盟高三下学期4月测试）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小值为
B． 在区间 上单调递增
C．若 在区间 上单调递增，则 的最大值为
D． 有三个零点
【答案】BD
【解析】当 时， 单调递增，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
，故 的最小值为 ， 的单调递增区间为 和 ，故A错误，B正
确；
若 在 上单调递增，根据分段函数不难判断出 ，故 的最大值为 ，故C错误；
根据题意，函数 在 上有一个零点，函数 在 上有两个零点 和 ，故D正确，故选BD.
15．（2024届福建省泉州市高三高中毕业班质量监测）已知函数 ，则下列结论正确的
是（ ）
A． B． 为增函数
C． 的值域为 D．方程 最多有两个解
【答案】ACD
【解析】对于A，显然 ， ，则 ，A正确；
对于B，显然 ， ，有 ，B错误；
对于C，当 时， ，当 时， ，因此 的值域为 ，C正确；
对于D，如图，当 时，方程 无解；当 时，方程 有两个解；
当 时，方程 有一个解，因此方程 最多有两个解，D正确.故选ACD
16．（2023届辽宁省凌源市高三下学期开学抽测）已知函数 则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．当 时，函数 值域为C．当 时，方程 恰有6个实根
D．若 恒成立，则 ．
【答案】ABD
【解析】依题意，根据分段函数 可得图象如图所示：
因为 ，故A正确；
由题知函数 在 上的值域为 ，在 上函数 值域为 ，
故当 时，函数 值域为 ，故B正确；
当 时有5个实数根，当 时有7个实数根，故C错误；
当 时，函数 的图象与 的图象交于 点，
结合图象 ，即 ，故D正确．故选ABD.
17.（2024届安徽省六校教育研究会高三上学期入学素质测试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基
者之一，享有“数学王子”的称号.设 ，用 表示不超过 的最大整数， 也被称为“高斯函
数”，例如： ， .已知函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A． 是周期函数B． 的值域是
C． 在 上是增函数
D．若方程 有3个不同实根，则
【答案】AB
【解析】由题意，列出部分定义域函数 ，
所以部分定义域的 ，
如图：
可得函数 是周期为1的函数，且值域为 ，在 上单调递减，
故选项A、B正确，C错误；
对于选项D，若方程 有3个不同实根，
则 的图象与直线 有3个交点，又直线 恒过点 ，结合图象知， 或 ，
故选项D错误.故选AB
三、填空题
18．（2024届宁夏银川一中高三上学期月考）已知 ，满足 ，则 的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】若 ，则 ，故 ，
由 可得 ，
当 ，则 ，故 ，
由 可得 ，
当 时，则 不符合要求，
综上可知： 的取值范围为
19．（2024届湖南省长沙市高三上学期入学考试）已知函数 ，若 有四个
解 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当 时， 在 上递减，函数值集合为 ，在 上递增，函数值集合为
，
当 时， 在 上递减，函数值集合为 ，在 上递增，函数值集合为
，显然函数 在 上的图象关于直线 对称，如图，
方程 的四个解 是直线 与曲线 的四个交点横坐标为 ，
显然 ，不妨令 ，则有 ， ，有 ，
因此 ，而对勾函数 在 上单调递增，则 ，即
，
所以 的取值范围是 .
20．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知 ，函数 ，若存在三个互
不相等的实数 ，使得 成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】若存在三个互不相等的实数 ，使得 成立，则方程
存在三个不相等的实根，当 时， 解得 ，所以当 时， 有两个不等的实根，
即 ，设 ， ，则 ， ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以函数 在区间 单调递增，在区间 单调递减，则 ，所以 .
21．（2023届四川省射洪中学校高三模拟预测）已知函数 ，则下列命题中正确
的有 ．
①函数 有两个极值点；
②若关于x的方程 恰有1个解，则 ；
③函数 的图像与直线 有且仅有一个交点；
④若 ，且 ，则 无最值．
【答案】①③
【解析】由函数 可得 ，
函数 的图像如下图所示：
对于①，由图可知， 和 是函数 的两个极值点，故①正确；
对于②，若函数 恰有1个零点，即函数 与 的图像仅有一个交点，可得 或 ，
故②不正确；
对于③，因为函数 ， 在点 处切线斜率 ，在点 处的切线为
，函数 ， 在 处的切线斜率为 ，在 处切线为 ，如图中虚线所示，
易知当 ，即 时， 的图像与直线 恰有一个交点；
当 ，即 时，令 ，得 ，
令 ，则 ， ，
由二次函数的图像及零点存在定理可知，方程 有且只有一个实数根；
当 ，即 时，令 ，设 ，
则 （仅当 时取等号），
即函数 在 上单调递增，由于 ，
设 单调递增，
单调递减， ，
，
所以函数 有且仅有一个实数根；故③正确；
对于④，由 ，
则 ， ， ，则 ，
设 ，则 ，
设 ，显然 在 上单调递增，
且 ， ，所以存在 ，使 ，
且当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以 存在最小值 ，故④不正确；故选①③．
22．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数 若方程 恰有
4个不等实根，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】当 时， ，当 时，方程可化为 ；当 时，方程可化为 ，
令 ，当 时， ，可知 ，故 在 上单
调递减；当 时， ，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，又 ，所以可画出 的图象，
如图所示，方程有4个不等实根，等价于 的图象与直线 有4个交点，
由图可知， .
