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专题 03 等式与不等式的性质
【考纲要求】
1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.
2、会利用不等式性质比较大小
【思维导图】
【考点总结】
【考点总结】
一、等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
二、不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等
关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
三、比较两个实数a、b大小的依据
文字语言 符号表示
如果a＞b，那么a－b是正数；
a>b a－b>0
如果a＜b，那么a－b是负数；
a<b a－b<0
⇔
如果a＝b，那么a－b等于0，
a＝b a－b＝0
⇔
反之亦然
⇔
[化解疑难]
1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．
2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是
实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
四、不等式的性质
(1)对称性：a>b b<a；
(2)传递性：a>b，b>c a>c；
⇔
(3)可加性：a>b a＋c>b＋c.
⇒
⇒推论(同向可加性)：⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：⇒ac>bc；⇒ac<bc；
推论(同向同正可乘性)：⇒ac>bd；
(5)正数乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0 >(n∈N*，n≥2)．
⇒
[化解疑难]
⇒
1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
【题型汇编】
题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小
题型二：作差法比较数（式）大小
题型三：利用不等式的性质证明不等式
【题型讲解】
题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小
一、单选题
1．（2022·浙江·三模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·北大附中三模）已知 ，下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江西萍乡·三模（理））设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京·二模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知 ，且 则下列不等式中恒成立的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且 ， ，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x、y都是实数，则“ 且 ”是“ 且 ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数 、 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设 ，若 为函数 的极小值点，
则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a，b满足 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 有最大值
B． 的最小值是9
C．若 ，则
D． 的最大值为0
二、多选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等关系中正确的是（ ）A． B． C． D．
2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足 ，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·重庆·二模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：作差法比较数（式）大小
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·重庆·二模）若非零实数a，b满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江西上饶·二模（理））设 ，其中e是自然对数的底数，
则（ ）
注：
A． B． C． D．
4．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数 、 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）A． B． C． D．
5．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山西太原·二模（文））已知 ， ，则下列结论正确的有（ ）
① ② ③ ④
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
7．（2022·河北衡水中学一模）已知 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·重庆·三模）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖南·雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房
间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位： ）分别为 ， ， ，且 ，三种颜色涂料
的粉刷费用（单位：元/ ）分别为 ， ， ，且 ．在不同的方案中，最低的总费用（单位：
元）是
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 ，劳累程度
，劳动动机 相关，并建立了数学模型 ，已知甲、乙为该公司的员
工，则下列结论正确的是（ ）
A．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
B．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低
C．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知 ， ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知 ，若 （ 为自然对数的底数），
则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数 的图象经过点 ，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数 的定义域为
B．函数 为非奇非偶函数
C．过点 且与 图象相切的直线方程为
D．若 ，则
5．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足 ，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·山东聊城·三模）已知实数m，n满足 ，则下列结论正确的是（ ）A． B．
C． D．
题型三：利用不等式的性质证明不等式
一、单选题
1．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若 均为实数，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2021·浙江·模拟预测）已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2021·上海长宁·二模）已知函数 满足：对任意 ，都有
．
命题 ：若 是增函数，则 不是减函数；
命题 ：若 有最大值和最小值，则 也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是（ ）
A． 和 都是真命题 B． 和 都是假命题
C． 是真命题， 是假命题 D． 是假命题， 是真命题
5．（2021·浙江·模拟预测）已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021·全国·模拟预测）已知 ， 在 上恒成立，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江·模拟预测）已知 ，给出下列命题：
①若 ，则 ； ②若 ，则 ；
③若 ，则 ； ④若 ，则 .
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知 且满足 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知 且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江·模拟预测）若实数x，y满足 ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2021·江苏·扬州中学模拟预测）已知两个不为零的实数 ， 满足 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·福建·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．设 ，则“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件
B． 是“ ”的充要条件
C．“ ”是“ ”成立的充要条件
D．设 ，则 “ ”是“ ”的充分而不必要条件
3．（2021·广东·石门中学模拟预测）设 为正实数，下列命题正确的有（ ）
A．若 ，则 ；
B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ；
D．若 ，则 .
4．（2021·江苏南京·二模）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
