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专题 04 构造法求数列通项的八种技巧(一)
【必备知识点】
◆构造一:待定系数之 型构造等比数列
求关于 (其中 均为常数, )类型的通项公式时,先把原递推公式转化
为 ,再利用待定系数法求出 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类
式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数 ,构造成等比数列.常数 的值并不需要背诵,我们可以
通过待定系数法推导出来.
【经典例题1】已知 满足 , 求数列 的通项公式.
【解析】
根据原式,设 ,整理得 ,题干中 ,根据对应项系数相等得
. ,令 , ,所以 是 为首项, 为公比的
等比数列.即 , .
【经典例题2】已知数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【解析】
设 ,整理得 ,题干中 ,根据对应项系数相等,解得 ,故
令 ,则 ,且 .所以 是 为首项, 为公
比的等比数列.所以 ,即
【经典例题3】已知数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【解析】
设 ,即 ,题干中 ,根据对应项系数相等,解得 ,故
令 ,则 ,且 .所以 是3为首项,3为公
比的等比数列.所以 ,即
【练习1】数列 中, ,设其前 项和为 ,则A. B. C. 15 D. 27
【答案】
【解析】
,可得 ,解得 ,同理可得:
变形为 . 数列 为等比数列,首项为 ,公比为2.
故选: .
【练习2】已知数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
数列 的前 项和为 , 解得 ,
得 , ,
是以 为首项,以 为公比的等比数列,
.故选: .
【练习3】在数列 中, ,则
_______.
【答案】47
【解析】
数列 中, ,变形为: , , 数列 为等比数列,
首项为3,公比为2, ,即 则 .故答案为:47.【练习4】已知数列 满足 ,则数列 的通项公式 =
______.
【答案】
【解析】
是以 为首项,2为公比的等比数列.
,故 .
【练习5】已知数列 的首项 ,且 ,则数列 的前10项的和为
______.
【答案】1023
【解析】数列 的首项 ,且 ,
则: ,
整理得: (常数) ,
所以：数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,
所以: ,
当 时,符合通项.
故： ,
所以:
所以： .
【练习6】已知数列 中, ,则
_______.
【答案】【解析】
因为 ,所以 ,因为 ,所以数列 是以2为首项,以3为公比的
等比数列,所以 ,故答案为: .
◆构造二:待定系数之 型构造等比数列
求关于 类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相
似,只不过等式中多了一项 ,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项 再构造等比数列就可以,
即令 ,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解 ,从而得到
是公比为 的等比数列.
【经典例题1】设数列 满足 , ,求数列 的通项公式.
【解析】
将递推公式转化为 ,化简后得 ,与原递推
式比较,对应项的系数相等,得 ,解得 ,令 ,则 ,又 ,故
, ,得 .
【经典例题2】已知: , 时, ,求 的通项公式.
【解析】
设 与题干原式比较,对应项系数相等得
,解得 ,首项 所以 是 为首项, 为公比的等比数列.
所以 ,即
【练习1】已知数列 是首项为 .
(1)求 通项公式;(2) 求数列 的前 项和 .
【解析】
因为 2 ),且 ,所以数列 是以1为首项, 为公比
的等比数列,则 ,即 .
【练习2】已知数列 和 的前 项和 ,对于任意的 是二次方程
的两根.
(1)求 和 通项公式;
(2) 的前 项和 .
【解析】
因为 是一元二次方程 的两个根,所以 ,由 得
,两式相减得 ,所以 ,令
,则 ,比较 以上两式的系数,得
,解得 .所以 .又 ,所以数
,
列 是以 为首项、 为公比的等比数列.所以
,所以
【练习3】设数列 是首项为 ,满足 .问是否存在 ,使得数列
成等比数列? 若存在,求出 的值,若不存在,说明理由;
【解析】依题意,令 所以
,即
解得 .所以数列 是以2为公比、 为首项等比数列.所以
,即存在 ,使得数列 成等比数列.
◆构造三:待定系数之 型构造数列
求关于 (其中 均为常数, )类型的通项公式时,共有3种方法.
方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为 ,根据对应项系数相等求出 的值,
再利用换元法转化为等比数列求解.
方法二:先在递推公式两边同除以 ,得 ,引入辅助数列 (其中 ),得
,再利用待定系数法解决；
方法二:也可以在原递推公式两边同除以 ,得 ,引入辅助数列 (其中
),得 ,再利用叠加法(逐差相加法)求解.
【经典例题1】已知数列 中 ,求 的通项公式.
【解析】
解法一:构造数列 ,化简成题干结构得 ,
对应项系数相等得 ,设 , ,所以数列 是以 为首项,为公比的等比数列, ,所以 .
解法二:将 两边分别除 ,也就是乘 ,为方便计算,我们等式两边同乘 ,得
令 ,则 ,这又回到了构造一的方法,根据待定系数法,得 ,所以
数列 是首项为 ,公比为 的等比数列.所以 即
.所以 .
解法三:将 两边分别除 ,也就是乘 ,得 令
,则 ,所以
将以上各式叠加,得 ,又
, 所 以 , 即
所以 .
【经典例题2】已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
【解析】
解法一 :设 ,待定系数法得 ,则数列 是首项为
,公比为 的等比数列,所以 ,即 .
解法二:(两边同除以 ) 两边同时除以 得: ,下面解法略.解法三:(两边同除以 )两边同时除以 得: ,下面解法略.
【练习1】已知数列 满足 .设 ,若对于 ,都有
恒成立,则 的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
【答案】A
【解析】
解法一：因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,因
为 ,所以 ,所以数列 是以 为首相以 为公比的等比数列,所以 ,
所以 ,故选A.
解法二:令 ,因为 ,对比系数得: ,所以数列 是
以3为首项,3为公比的等比数列,所以 ,所以 ,所以
,因为 ,所以 .所以
,所以 ,对于 ,都有 恒成立,所以 ,所以 的最大值为3,故选 A.
【练习2】已知数列 满足 .
(1)判断数列 是否为等差数列,并说明理由;
(2)记 为数列 的前 项和,求 .
【解析】
(1)数列 满足 ,所以 2. ,所以数
列 为等差数列,首项为0，公差为2.,可得: ,所以
(2)由(1)可得:
过关检测】
【
一、单选题
1．已知 为数列 的前n项和，若 ，则 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
令 可得 ，又 ，解得 ，又 ，
则 ， ，即 是以2为首项，2为公比的等比数列，则 ， .
故选：B.
2．已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
又 ， ，
所以数列 是首项为2，公比为2 的等比数列，所以 ，
故选：D.
3．已知数列 满足 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 ，所以 ，又 ，
所以 是等比数列，公比为5，首项是1，
所以 ， ，所以 ．
故选：B．
4．设数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当 时， ，解得 .
当 时， ，
所 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列，则 ，
从而 ，故 .故选：C
5．在数列 中， ，且 ，则 的通项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：∵ ，∴ ，
由 ，得 ，∴数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴ ，即
．
故选：A
6．数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
数列 中， ，
故 ，
故 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ，即 ，
故 ，故选：C.
7．数列 满足 ，且 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 ，等式两边同时乘以 可得 ，
所以， 且 ，
所以，数列 是等差数列，且首项和公差都为 ，则 ，所以， ，
因为 .
当 时， ；
当 时， ，即数列 从第二项开始单调递减，
因为 ， ，故当 时， ；当 时， .
所以， ，则 的最小值为 .
故选：B.
8．已知数列 中， ， （ 且 ），则数列 通项公式 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由已知得 ， 进而确定数列 的通项公式，即可求 .由 ， 知： 且 ( )，而 ， ，
∴ 是首项、公比都为3的等比数列，即 ，
故选：C
9．数列 满足 且 ，则此数列第5项是（ ）
A．15 B．255 C．16 D．63
【答案】B
【解析】
∵ ，
∴ ，
∴ 是以1为首项，4为公比的等比数列，
则 ．
∴ ，
∴ ．
故选：B．
10．在数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 ，
得 ，
故数列 为等比数列，首项为 ，公比为 ，所以 ， ，
故选：B.
11．在数列 中， ， ，若 ，则n的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】
因为 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以数列 是首项和公比都是2的等比数列，
则 ，即 ,
因为 ，所以数列 是递增数列,
因为 ， ，
所以满足 的n的最小值是10,
故选：C
12．设数列{an}中，a＝2，an ＝2an＋3，则通项an可能是（ ）
1 ＋1
A．5－3n B．3·2n－1－1
C．5－3n2 D．5·2n－1－3
【答案】D
【解析】
设 ，则 ，
因为an ＝2an＋3，所以 ，
＋1
所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，，所以
故选：D
13．在数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
令 ，则 ，
又 ，所以 是以3为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，得 ．
故选：C．
14．已知在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解:因为 ， ，所以 ，整理得 ，所以数
列 是以 为首项， 为公比的等比数列．所以 ，解得 ．
故选：A15．数列 满足 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由 可得 ，所以
所以 ，所以
所以 ，所以 ，所以
故选：D
二、填空题
16．设数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为 ___________.
【答案】 ##
【解析】
解：因为 ，
， ，
，则 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
，
所以 ，
故答案为：
17．已知数列 中， ， ，则 通项 ______；
【答案】【解析】
因为 ，
所以 ，
所以 是一个以 为首项，以2为公比的等比数列，
所以 .
故答案为：
18．数列{an}满足 a＝1，an ＝2an＋1. (n∈N*).数列{an}的通项公式为______．
1 ＋1
【答案】
【解析】
∵ ，∴ ，
又
∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴ ．
即
故答案为：
19．数列 满足 ，且 ，则 _________.
【答案】
【解析】
由题意知： ，又 ，故 是1为首项，4为公比的等比数列，
故 ，故 .
故答案为： .20．已知数列 满足 ，且 前8项和为761，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
解：数列 满足 ，整理得 ，若 ，则 ，显然不符合题意，所
以 ，则 （常数）；
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列；
所以 ，整理得 ；
由于前8项和为761，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
三、解答题
21．已知数列 满足 .
(1)证明 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)见解析
【解析】(1)证明：因为 ，
所以 ，
又 ，
所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列，
则 ，
所以 ；
(2)证明：由（1）得 ，
因为 ， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
因为 ，
所以 .
22．已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前n项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
(1) ， 即
数列 是以首相为 ，公比为 的等比数列，
(2)由（1）知
23．已知数列 的首项 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)∵ ，等式两边同时加1整理得
又∵ ，∴∴ 是首项为2，公比为2的等比数列．
∴ ， ∴
(2)∵ ， ∴ .
记 的前n项和为
则
所以
相减得
整理得 .
所以
24．在数列 中， ，且 .
(1)证明： 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
(1)解：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 是以4为首项，2为公比的等比数列.
故 ，即 .
(2)解：由（1）得 ，
则 ，
①当 时，
②当 时，
，
综上所述，
25．已知数列 的前n项和为 ， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
(1)解：因为 ， ，所以 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以 ；
(2)解：由（1）可知 ，所以 ①，所以
②；
① ②得
所以 ；
