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第七章图形的变化章节测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1.下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称
图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
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解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.如图，在 中， ，将 绕点C逆时针旋转得到 ，点
A，B的对应点分别为D，E，连接 ．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正
确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由旋转可知 ，即可求出 ，由于 ，则可
判断 ，即A选项错误；由旋转可知 ，由于 ，即推出
，即B选项错误；由三角形三边关系可知 ，即可推出
，即C选项错误；由旋转可知 ，再由 ，即可证明
为等边三角形，即推出 ．即可求出 ，即证
明
，即D选项正确；
【详解】
由旋转可知 ，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ 为钝角，
∴ ，
∴ ，故B选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知 ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ ，故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利
用数形结合的思想是解答本题的关键．
4.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角
形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为
A．10 B．6 C．3 D．2
【答案】C
【解析】如图所示，n的最小值为3，故选C．
【名师点睛】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴
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对称图形的性质．
5.四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 (−1，b)，(1，b)，(2，b)，
(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（
）
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
【答案】C
【分析】
直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【详解】
解：∵点A (−1，b) 关于y轴对称点为B (1，b)，
C (2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，
需要将点D (3.5，b) 向左平移3.5+2=5.5个单位，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
6.在平面直角坐标系中，等边 如图放置，点 的坐标为 ，每一次将 绕
着点 逆时针方向旋转 ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 ，
第二次旋转后得到 ，…，依次类推，则点 的坐标为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由题意，点A每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．
【详解】
解：由题意，点A每6次绕原点循环一周，
，
点在第四象限， ， ，
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化 旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的
方法，属于中考常考题型．
7.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2 )，将菱形绕点O旋转，
当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）
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A． 或 B．
C． D． 或
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，根据题意易得△AOB为等边三角形，在旋转过程中，
点A有两次落在x轴上，当点A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，利用旋转的性质
和菱形的性质求解，当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，易证此时C′′与点
A重合，即可求解．
【详解】
解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，
则 ，OA= ，
∴∠AOE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB是等边三角形，
当A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，
此时旋转角为60°，
∵∠BOC=60°，∠COF=30°，
∴∠C′OF=60°-30°=30°，
∵OC′=OA=4，
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∴OF= ，
C′F= ，
∴C′（ ），
当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，
∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，
∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°
又∵OA=OC′′，
∴此时C′′点A重合，C C′′ ，
综上，点C的对应点的坐标为 或 ，
故答案为：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A的
运动情况，分情况讨论．
8.如图， 中， ，将 沿DE翻折，使点A与点B
重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设
AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得
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x，可得CE．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD= AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x= ，
∴CE= = ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾
股定理．
9.在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，则该抛物线关于点 成
中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，
代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．
【详解】
解:当x=0时，y=5，
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∴C（0,5）；
设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由 ， ；
∴对应的原抛物线上点的坐标为 ；
代入原抛物线解析式可得： ，
∴新抛物线的解析式为： ；
故选：A．
【点睛】
本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线
的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的
对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含
了数形结合的思想方法等．
10.如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 得到菱形 ， ．当AC平分
时， 与 满足的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
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根据菱形的性质可得AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA= ，根
据旋转的性质可得∠CAC′=∠BAB′= ，根据AC平分 可得∠B′AC=∠CAC=
，即可得出 ，可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形， ，
∴AB=AC，
∴∠BAC=∠BCA= = ，
∵将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 得到菱形 ，
∴∠CAC′=∠BAB′= ，
∵AC平分 ，
∴∠B′AC=∠CAC= ，
∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2 = ，
∴ ，
故选；C．
【点睛】
本题考查旋转的性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11.如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这
张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为
__________．
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【答案】
【分析】
根据折叠的性质得到DE为 的中位线，利用中位线定理求出DE的长度，再解
求出AF的长度，即可求解．
【详解】
解：∵将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，
∴DE垂直平分AF， ， ， ，
∵DE∥BC，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即D为AB的中点，
∴DE为 的中位线，
∴ ，
∵AF＝EF，
∴ 是等边三角形，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴四边形ADFE的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查解直角三角形、中位线定理、折叠的性质等内容，掌握上述基本性质定理是解题
的关键．
12.如图，将边长为1的正方形 绕点 顺时针旋转 到 的位置，则阴影
部分的面积是______________；
【答案】
【分析】
交 于点 ，连接 ；根据全等三角形性质，通过证明 ，得
；结合旋转的性质，得 ；根据三角函数的性质计
算，得 ，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．
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【详解】
解：如图， 交 于点 ，连接
根据题意，得： ，
∵
∴
∴
∵正方形 绕点 顺时针旋转 到
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴
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∴阴影部分的面积
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、
全等三角形、旋转、三角函数的性质，从而完成求解．
13.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝ ，点
E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，根据三角函数知
识可得DB′+B′J≥DH，DB′＝DB＝ ，当D，B′，J共线时，B′J的值最小，此时求出
DH，DB′，即可解决问题．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．
在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，AC＝8，∠A＝30°，
∴AB＝AC•cos30°＝4 ，
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∵BD＝ ，
∴AD＝AB﹣BD＝3 ，
∵∠AHD＝90°，
∴DH＝ AD＝ ，
∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB＝ ，
∴B′J≥DH﹣DB′，
∴B′J≥ ，
∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为 ；
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查了图形的折叠，特殊锐角三角函数的知识．
14.如图，射线 、 互相垂直， ，点 位于射线 的上方，且在线段
的垂直平分线 上，连接 ， ．将线段 绕点 按逆时针方向旋转得到对应线
段 ，若点 恰好落在射线 上，则点 到射线 的距离 ______．
【答案】
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【分析】
添加辅助线，连接 ，过 点作 交ON与点P．根据旋转的性质，得
到 ，在 和中， ，根据三角函数和已知线段
的长度求出点 到射线 的距离 ．
【详解】
如图所示，连接 ，过 点作 交ON与点P．
∵线段 绕点 按逆时针方向旋转得到对应线段
∴ ，
∴
即
∵点 在线段 的垂直平分线 上
∴ ，
∵
∴
∴
∴
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【点睛】
本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心
所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
15.如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<90°）得到AE，直角边AC
绕点A逆时针旋转β（0°<β<90°）得到AF，连接EF．若AB=3，AC=2，且α+β=∠B，
则EF=__________．
【答案】
【解析】由旋转的性质可得AE=AB=3，AC=AF=2，
∵∠B+∠BAC=90°，且α+β=∠B，∴∠BAC+α+β=90°，
∴∠EAF=90°，∴EF= = ，
故答案为： ．
【名师点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
16.如图，将 绕点A逆时针旋转到 的位置，使点 落在 上，
与 交于点E，若 ，则 的长为________．
【答案】
【分析】
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过点C作CM// 交 于点M，证明 求得 ，根据AAS证明
可求出CM=1，再由CM// 证明△ ，由相似三角形的
性质查得结论．
【详解】
解：过点C作CM// 交 于点M，
∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∴
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∴∠
∵
∴
∵
∴∠
∵ ，
∴
∴∠
∴∠
在 和 中，
∴
∴
∵
∴△
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∴
∴
∴
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角
形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．
17.如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为 则正
方形ABCD的面积为________
【答案】
【解析】
【分析】
如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证
明∠PMC=90°，推出∠CMB=∠APB=135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．
【详解】
解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．
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∵BP=BM= ，∠PBM=90°，
∴PM= PB=2，
∵PC=4，PA=CM=2 ，
∴PC2=CM2+PM2，
∴∠PMC=90°，
∵∠BPM=∠BMP=45°，
∴∠CMB=∠APB=135°，
∴∠APB+∠BPM=180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH=HM，
∴BH=PH=HM=1，
∴AH=2 +1，
∴AB2=AH2+BH2=（2 +1）2+12=14+4 ，
∴正方形ABCD的面积为14+4 ．
故答案为14+4 ．
【点睛】
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，
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解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
18.如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将 按逆时
针方向旋转得 ，连接EF，分別交BD，CD于点M，N．若 ，则
__________．
【答案】
【分析】
过点E作EP⊥BD于P，将∠EDM构造在直角三角形DEP中，设法求出EP和DE的长，然后用
三角函数的定义即可解决．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
AB=BC= CD=DA=1， ．
∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，
∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°．
设AE=CF=2x，DN=5x，
则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x．
∵AB∥DC，
∴ ．
∴ ．
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∴ ．
整理得， ．
解得， ， （不合题意，舍去）．
∴ ．
∴ ．
过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，
设DP=y，则 ．
∵ ，
∴ ．
解得， ．
∴ ．
∴在Rt△DEP中，
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．即 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角
函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三
角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.如图，在平面直角坐标系中， 轴，垂足为 ，将 绕点 逆时针旋转到
的位置，使点 的对应点 落在直线 上，再将 绕点 逆时针
旋转到 的位置，使点 的对应点 也落在直线 上，以此进行下去……
若点 的坐标为 ，则点 的纵坐标为______．
【答案】
【分析】
计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB，BB，，得出规律，求出OB ，再根据一
1 1 3 21
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次函数图像上的点求出点B 的纵坐标即可．
21
【详解】
解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），
∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入 ，
得： ，得：x=-4，即A（-4，3），
∴OB=3，AB=4，OA= =5，
由旋转可知：
OB=OB=OB=OB=…=3，OA=OA=OA=…=5，AB=AB=AB=AB=…=4，
1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2
∴OB=OA+AB=4+5=9，BB=3+4+5=12，
1 1 1 3
∴OB =OB+BB =9+（21-1）÷2×12=129，
21 1 1 21
设B （a， ），则OB = ，
21 21
解得： 或 （舍），
则 ，即点B 的纵坐标为 ，
21
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出△OAB的各
边，计算出OB 的长度是解题的关键．
21
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，
△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB关于y轴对称的△OAB，并写出点A 的坐标；
1 1 1
（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OAB，并写出点A 的坐标；
2 2 2
（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
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【解析】（1）如下图所示，点A 的坐标是（–4，1）；
1
（2）如下图所示，点A 的坐标是（1，–4）；
2
（3）∵点A（4，1），∴OA= ，
∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是： = ．
【名师点睛】本题考查简单作图、扇形面积的计算、轴对称、旋转变换，解答本题的关键
是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.在 中， ，将 绕点B顺时针旋转得到
，其中点A，C的对应点分别为点 ， ．
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（1）如图1，当点 落在 的延长线上时，求 的长；
（2）如图2，当点 落在 的延长线上时，连接 ，交 于点M，求 的长；
（3）如图3，连接 ，直线 交 于点D，点E为 的中点，连接 ．在
旋转过程中， 是否存在最小值？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，最小值为1
【分析】
（1）根据题意利用勾股定理可求出AC长为4．再根据旋转的性质可知 ，最后由
等腰三角形的性质即可求出 的长．
（2）作 交 于点D，作 交 于点E．由旋转可得
， ．再由平行线的性质可知 ，即可推
出 ，从而间接求出 ， ．由三角形面积公式
可求出 ．再利用勾股定理即可求出 ，进而求出 ．最后利用平
行线分线段成比例即可求出 的长．
（3）作 且交 延长线于点P，连接 ．由题意易证明 ，
， ，即得出 ．再由平
行线性质可知 ，即得出 ，即可证明 ，
由此即易证 ，得出 ，即点D为 中点．从而证明DE
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为 的中位线，即 ．即要使DE最小， 最小即可．根据三角形三边
关系可得当点 三点共线时 最小，且最小值即为 ，由此即可
求出DE的最小值．
【详解】
（1）在 中， ．
根据旋转性质可知 ，即 为等腰三角形．
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图，作 交 于点D，作 交 于点E．
由旋转可得 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，即 ，
∴ ．
在 中， ，
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∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
（3）如图，作 且交 延长线于点P，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，即点D为 中点．
∵点E为AC中点，
∴DE为 的中位线，
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∴ ，
即要使DE最小， 最小即可．
根据图可知 ，即当点 三点共线时 最小，且最小值为
．
∴此时 ，即DE最小值为1．
【点睛】
本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性
质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三
边关系，综合性强，为困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．
23.已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角
为钝角），得到 EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写
出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．
【答案】（1） ；（2）成立，证明见解析；（3）
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【分析】
（1）结论 ．证明 ，可得结论．
（2）结论成立．证明方法类似（1）．
（3）首先证明 ，再利用相似三角形的性质求出 ，利用勾股定理求出
即可．
【详解】
解：（1）结论： ．
理由：如图1中，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
．
（2）结论成立．
理由：如图2中，
， ，
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，
，
，
， ，
，
．
（3）如图3中，
由旋转的性质可知 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
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．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，
属于中考压轴题．
24.已知：如图①，将一块45°角的直角三角板 与正方形 的一角重合，连接
，点M是 的中点，连接 ．
（1）请你猜想 与 的数量关系是__________．
（2）如图②，把正方形 绕着点D顺时针旋转 角（ ）．
① 与 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨
提示：延长 到点N，使 ，连接 ）
②求证： ；
③若旋转角 ，且 ，求 的值．（可不写过程，直接写出结
果）
【答案】（1）AF=2DM（2）①成立，理由见解析②见解析③
【解析】
【分析】
（1）根据题意合理猜想即可；
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（2）①延长 到点N，使 ，连接 ，先证明△MNC≌△MDE，再证明
△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；
②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；
③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设AG=k,得到DG,AD,FG,ED的长，故可求解．
【详解】
（1）猜想 与 的数量关系是AF=2DM，
故答案为：AF=2DM；
（2）①AF=2DM仍然成立，
理由如下：延长 到点N，使 ，连接 ，
∵M是CE中点，
∴CM=EM
又∠CMN=∠EMD，
∴△MNC≌△MDE
∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE
∴CN∥DE，
又AD∥BC
∴∠NCB=∠EDA
∴△ADF≌△DCN
∴AF=DN
∴AF=2DM
②∵△ADF≌△DCN
∴∠NDC=∠FAD，
∵∠CDA=90°，
∴∠NDC+∠NDA=90°
∴∠FAD+∠NDA=90°
∴AF⊥DM
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③∵ ，
∴∠EDC=90°-45°=45°
∵ ，
∴∠EDM= ∠EDC=30°，
∴∠AFD=30°
过A点作AG⊥FD的延长线于G点，∴∠ADG=90°-45°=45°
∴△ADG是等腰直角三角形，
设AG=k,则DG=k，AD=AG÷sin45°= k，
FG=AG÷tan30°= k，
∴FD=ED= k-k
故 = ．
【点睛】
此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的
判定与性质及三角函数的运用．
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25.如图1，点B在线段 上，Rt△ ≌Rt△ ， ，
， ．
（1）点F到直线 的距离是_________；
（2）固定△ ，将△ 绕点C按顺时针方向旋转30°，使得 与 重合，并
停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，
保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；
②如图2，在旋转过程中，线段 与 交于点O，当 时，求 的长．
【答案】（1）1；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF是∠ACB
的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F到直线 的距离即为EF的长，于是可得答
案；
（2）①易知E点和F点的运动轨迹是分别以CF和CE为半径、圆心角为30°的圆弧，据此
即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt△CEF求出CF和CE的长，然后根据S =
阴影
（S +S ）－（S +S ）即可求出阴影面积；
△CEF 扇形ACF △ACG 扇形CEG
②作EH⊥CF于点H，如图4，先解Rt△EFH求出FH和EH的长，进而可得CH的长，设
OH=x，则CO和OE2都可以用含x的代数式表示，然后在Rt△BOC中根据勾股定理即可得出
关于x的方程，解方程即可求出x的值，进一步即可求出结果．
【详解】
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解：（1）∵ ， ，∴∠ACB=60°，
∵Rt△ ≌Rt△ ，
∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，
∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，
∴CF是∠ACB的平分线，
∴点F到直线 的距离=EF=1；
故答案为：1；
（2）①线段 经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：
在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，
∴CF=2，CE= ，
由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG= ，∠ACG=∠ECF=30°，
∴S =（S +S ）－（S +S ）=S －S =
阴影 △CEF 扇形ACF △ACG 扇形CEG 扇形ACF 扇形CEG
；
故答案为： ；
②作EH⊥CF于点H，如图4，
在Rt△EFH中，∵∠F=60°，EF=1，
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∴ ，
∴CH= ，
设OH=x，则 ， ，
∵OB=OE，∴ ，
在Rt△BOC中，∵ ，∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、
勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵
活应用整体思想和方程思想是解题的关键．
26.如图，在矩形 中， 是边 上一点， ， ，垂足为 ．将
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四边形 绕点 顺时针旋转 ，得到四边形 ． 所在的
直线分别交直线 于点 ，交直线 于点 ，交 于点 ． 所在的直线分别
交直线 于点 ，交直线 于点 ，连接 交 于点 ．
（1）如图1，求证：四边形 是正方形；
（2）如图2，当点 和点 重合时．
①求证： ；
②若 ， ，求线段 的长；
（3）如图3，若 交 于点 ， ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② ；（3）
【分析】
（1）先利用三个角是直角的四边形是矩形证明，再根据 证得结论；
（2）①证明 即可得到结论；
②方法一：设正方形边长为 ，根据 ，求出 ，利用
勾股定理得到 ，求出a，得到 ， ，根据
∽△CKG，求出KG，再根据 ，求出答案；
方法二：过点 作 于点 ，根据 ， 求出 ，由
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， ，再利用勾股定理求得结果；
（3）方法一：延长 与 的延长线交于点 ，证明 ，求出
，设 ， ，则 ，证明 ，求得
，由 ，求出 ，利用
，求出 ，即可得到答案；
方法二，过点 作 ，垂足为点 ．设 ，则
， ，求得 ，证
明 ，求出 ，再证明 ，求出答案；
方法三：设 与 交于 点，设 ，则 ，
，证明 ，得到 ，根据
，求出答案．
【详解】
（1）在矩形 中， ，
∵ ，则 ，
∴四边形 是矩形．
∵ ，
∴矩形 是正方形．
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（2）①如图1，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
②方法一：设正方形边长为 ，
∵PG∥ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ．
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∴ ， ，
∵ ，
∴ ∽△CKG，
∴ ,
∴ ,
∵ ，
∴△B’CK≌△E’KD，
∴DK=KC，
又∵∠DKP=∠GKC，∠P=∠G，
∴ ，
∴PG=KG，
∴ ；
方法二：如图2，过点 作 于点 ，
由 ，
可得： ，
由方法一，可知 ，
∴ ，
由方法一，可知 为 中点，从而 ， ，
从而由勾股定理得 ．
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（3）方法一：如图3，延长 与 的延长线交于点 ，
由题意可知， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
方法二，如图4，过点 作 ，垂足为点 ．
由题意可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，则 ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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方法三：如图5，设 与 交于 点，
设 ，则 ， ，
由题意可知， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由方法（2）可知， ，
所以 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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【点睛】
此题考查正方形的判定定理及性质定理，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三
角形的判定及性质，锐角三角函数，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
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