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专题07 函数的奇偶性
专项突破一 奇偶性的判断或证明
1．下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A， ， ， ，故 为非奇非偶函数，
对于B， ，定义域为 ， ， 为偶函数，
对于C， ， 为偶函数，
对于D，易知定义域为R, ， ， 为奇函数．
故选：D
2．已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是奇函数 C． 是偶函数D． 是偶函数
【解析】对于A， ，
且 ， 的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故A错误，
对于B， ，
且 ，所以 的定义域关于原点对称，
又 ，所以 为奇函数，故B正确，
对于C， ， 且 ，的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故C错误，
对于D， ，
且 ，所以 的定义域关于原点对称，
又 ，所以函数 是奇函数，故D错误，
故选：B
3．下列函数中，既是偶函数，又在 内单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由于 ， ， 的定义域是 ， ，
所以选项AD的函数是偶函数，选项BC的函数不是偶函数，排除BC，
上 是增函数， 是减函数，故选：D．
4．判断下列函数的奇偶性：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
【解析】(1)（1）∵函数 的定义域是 ，关于坐标原点不对称
∴ 既不是奇函数也不是偶函数．
(2)∵函数 的定义域为 ，关于坐标原点对称．
又 ，∴ 为偶函数．
(3)∵函数 的定义域为 ，关于坐标原点对称，∴ 既是奇函数也是偶函数．
(4) 的定义域为 ．
∵
∴ ，∴ 为奇函数．
5．函数 .
(1)判断并证明函数 的单调性；
(2)判断并证明函数 的奇偶性；
(3)解不等式 .
【解析】(1) ，任取 ，令 ，
则 ，
∵ 则 ，可得 ，
∴ 即 ，∴函数 在 上递增．
(2) 的定义域为 ，
∵ 即 ，
∴ 为定义在 上的奇函数．
(3) 即 ，∵函数 在 上递增，
∴ 即 或 ．
6．已知函数 对一切实数 都有 成立， 且 .
(1)分别求 和 的值；(2)判断并证明函数 的奇偶性．
【解析】(1)因为函数 对一切实数 都有 成立， ，
所以当 时 ，即 ，
令 可得 ，所以 ，即
(2)令 可得 ，所以 ，
所以 ，即 ， ，
所以函数 是奇函数.
7．已知函数 满足 ．
(1)求 的值；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的值．
【解析】(1)因为 ，令 ，则 ，所以 ；
(2)因为 ，令 ，则 ，又 ，
所以 ，即 ；
(3)因为 且 ，所以 ，
， ， ，
， ，所以 ，；
8．设函数 对任意 ，都有 ，且当 时， .
(1)证明： 为奇函数；
(2)证明： 为减函数，
(3)若 ，试求关于 的不等式 的解集.
【解析】(1)证明：因为函数 对任意 ，都有 ，
所以令 ，则 ，得 ，令 ，则有 ，
所以 ，即 ，所以 为奇函数
(2)证明：设 ，则 ，而 时，有 ，则
，
所以 ，所以 为减函数
(3)因为 为奇函数， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以不等式 可转化为 ，
因为 为减函数，所以 ，即 ，解得 ，
所以不等式的解集为
专项突破二 利用奇偶性求函数值或解析式
1．已知 是定义在R上的奇函数，且 时， ，则 （ ）
A．27 B．－27 C．54 D．－54【解析】由已知可得 ， ，
因此， ．故选:A．
2．设 为奇函数，且当 时， ，则当 时， （ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ，则 ，所以 ，
又 为奇函数，所以 ，
所以当 时， .故选：B.
3．已知函数 为偶函数，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【解析】 函数 为偶函数， 当 时， ， ， ，
即 ，又 ，故 故选：A.
4．已知 为奇函数且对任意 ， ，若当 时， ，则
（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【解析】 是在R上的奇函数， ，带入 得 ，
即 ， ， ，， 关于直线 对称，
即原点 是 的对称点，x=1是对称轴，
故函数 是周期为 的周期函数，
，故选：A.
5．已知 是R上的奇函数，且当 时， ，若 ，则
（ ）
A．2020 B． C．4045 D．
【解析】因为 是R上的奇函数，所以 ，
所以 ，得 ，所以当 时， ，
所以 .故选：D
6．函数 满足 ， ，函数 的图象关于点 对称，则
（ ）
A．-8 B．0 C．-4 D．-2
【解析】∵ 关于 对称，∴ 关于 对称，即 是奇函数，
令 得， ，即 ，解得 ．
∴ ，即 ，
∴ ，即函数的周期是4．∴ ．故选：B.
7．若定义在R上的偶函数 和奇函数 满足 ，则 的解析式为
___________.
【解析】由题意得： ，即 ①， ②，②-①得： ，解得： .
8．设函数 ，若 ，则 _____________．
【解析】函数 的定义域为 ，令 ，
则 ，即 ，所以 为奇函数；
因为 ，所以 ，则 ，
所以 .
9．若已知函数f(x)＝ 是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ＝ ，则函数f(x)的解析式为________．
【解析】∵f(x)＝ 是定义在(－1，1)上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(0)＝ ＝0，∴b＝0.
即f(x)＝ ，又 ，∴ .∴a＝1，∴函数f(x)＝ .，经检验符合题意.
10．已知 ，且 ，则 ______.
【解析】 ，故 ，
所以
11．已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ．
(1)当 时，求 的解析式；
(2)若 ，求 的值．
【解析】(1)（1）当 时， ，所以 ，
又 是偶函数，∴ ，∴ ，
所以当 时， ；(2)当 时，
当 时， ，即 ，解得 （ 舍去），
当 时， ，∴. （ 舍去），
综上， 或 .
12．若奇函数 在定义域 上是减函数，若 时， ，
(1)求 的解析式；
(2)求满足 的实数m的取值范围
【解析】(1)因为 是定义域 上的奇函数，
所以对于任意 ，则 ，且 .设 ，则 ，
由已知得 ，而 满足上式，
所以 .
(2)由于 在定义域 上是减函数，且为奇函数，
所以 ，即 ，
所以有 ，所以m的取值范围为 .
专项突破三 由奇偶性解不等式
1．已知函数 ，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B．（－1，2）
C． D．【解析】 的定义域是 ， ,故 是偶函数，
又 ，
令 ，当且仅当 时取等号，
在 单调递增，而 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，
故由 得 ，
解得 ，即不等式 的解集为 ，故选： ．
2．设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 即 时， ， ，即 ，可得
，
当 时， ， ，
因此 即 时， ， ，所以 ，
综上，不等式的解集为 或 ．故选：C．
3．已知函数 为偶函数，且当 时， ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当 时， ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，所以函数 在 上单调递增，又因为函数 为 上的偶函数，
所以函数 在 上单调递减．则不等式 ，
即 等价于 ，解得 或 ．故选：D．
4．函数 在 单调递增，且为奇函数，若 ，则满足 的 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】 为奇函数， ，又 ， ，
则 可化为： ，
在 单调递增， ，解得： ， 的取值范围为 .故选：C.
5．已知函数 是定义在R上的偶函数，且在区间 上是减函数， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为函数 是定义在R上的偶函数，且在区间 上是减函数，
所以，函数 在 上是增函数，所以 ，即有 ，
所以 或 ，解得 或 ．故选：D．
6．设 是奇函数，且在 上是增函数，又 ，则 的解集是（ ）
A． B．C． D．
【解析】 函数 为奇函数， ， 函数在 上是增函数，
函数在 上是增函数， 对于 ，需 ，解得 ，
或 ，解得 ， 的范围是 ．故选：C．
7．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，函数 ，
根据二次函数的性质，作出函数 的图象，如图所示，
结合图象，可知函数 的图象关于 轴对称，即函数 为偶函数，
所以 ，即 ，
当 时，不等式 ，即为 ，解得 ；
当 时，不等式 ，即为 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围是 .故选：C.8．若函数 是奇函数，且在 上是减函数，又 ，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】： 在 上是减函数且 ，
当 时， ，当 时， ．又 是奇函数，
由函数图象的对称性知：当 时， ，当 时， ．
不等式 ，等价于 或 ，
或 ，即不等式的解集为 ．故选：C．
9．已知函数 ，则 的解集为____________.
【解析】由题意知，定义域为R， ，故 为奇函数，又
，故 为增函数，
由 可得 ，即 ，解得 .故答案为： .
10．已知定义域为 的函数 在 上单调递增，且 ，若 ，则不等式
的解集为___________.
【解析】因为定义域为 的函数 在 上单调递增，且 ，
所以函数 在 上为奇函数，且在 上单调递增，又 ，所以 ，
又不等式 等价于 ，所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .11．已知 是定义在R上的偶函数，其导函数为 ．若 时， ，则不等式
3x2 +2x−1
的解集为__________．
【解析】 ，
∴ 在 上是增函数，且 为偶函数，
由 ，
∴ ，解得 ，∴解集为
12．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， .
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)求不等式 的解集.
【解析】(1)当 时， ， .
所以函数 在 上的解析式为 .
(2)当 时， 为增函数，所以 在 上为增函数.
由 得 ，
所以 ，所以 ，
所以不等式 的解集为 .
专项突破四 利用奇偶性求参1．若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解析】由 为奇函数，所以 ，
所以 ，可得 ，解得 ，
当 时， 的定义域为 ，符合题意，
当 时， 的定义域为 符合题意，故选：D
2．已知函数 是偶函数，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【解析】函数的定义域为 ，
因为函数 是偶函数，所以 ，
所以 ， ，所以 ，得 ，故选：A
3．若函数 为偶函数，则实数 （ ）
A． B．3 C． D．9
【解析】由题意，函数 为偶函数，
因为函数 为奇函数，所以 为奇函数，
由 ，可得 ，解得 .故选：D.
4．若函数 为偶函数，设 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 为偶函数， 恒成立，
恒成立，即 ， 在 单调递增，所以 ，
，
所以 .故选：D
5．已知函数 为偶函数，则 ______．
【解析】由题设， ，所以 .
6．函数 是偶函数，且它的值域为 ，则 __________．
【解析】 为偶函数，
所以 ，即 或 ，
当 时， 值域不符合 ，所以 不成立；
当 时， ，若值域为 ，则 ，所以 .
7．若函数 在 上为奇函数，则 ___________.
【解析】因为函数 在 上为奇函数，所以 ，得 ，
又 ，即 ，即 恒成立，
所以 ，所以 .
8．已知 是奇函数，且当 时， .若 ，则 ______.
【解析】由题设知： ，
又 是奇函数，所以 ，可得 .
9．已知函数 是偶函数，则实数 的值为______．
【解析】由题意知：定义域为R，函数 是偶函数，则 ，即 ，化简得 ，解得 .
10．已知函数 为R上的偶函数，则实数 ___________.
【解析】由偶函数得 ，
即 对 恒成立
整理得 ，故
11．已知函数 是定义域在R上的奇函数，且 .
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式： .
【解析】(1)因为 是定义域在R上的奇函数，故可得 ，即 ；
又 ，故可得 ，即 ；解得 .
(2)由（1）知 ，下证 是 上的单调增函数.
令 ，故可得 ，
因为 是 上的单调增函数，故可得 ，又 ，
故 ，则 ，即证 为 上的单调增函数，又 为奇函数，
故 ，即 ，
，也即 ，又 为 上的单调减函数，
故可得 ，解得 .故不等式的解集为： .
12．已知定义在 上的函数 为奇函数， ．
(1)求实数 的值；
(2)求函数 的值域；
(3)若对任意的 ，不等式 有解，求实数 的取值范围.
【解析】(1) 是定义在 上的奇函数， ，即 ，解得： ；
当 时， ，则 ，即 是在 上的奇函数,
所以a =1;
(2)由（1）可得： ，
， ， ， ， ， 的值域为 ， ；
(3)设 ，则 ，
， ，则 ，即 ，
函数 在 上是减函数，由 ，
即 ，因为 在 上是减函数，
所以 ，对任意的 ， 有解，
即 ， ， 有解，
由 ， ，则 ，所以 ，所以 ，
故得实数 的取值范围 ．13．已知函数 是偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）设 ，若函数 有唯一的零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1） 是偶函数， ， ，
. 此式对于一切 恒成立，
（2）函数 与 的图象有且只有一个公共点，等价于方程 有唯一的
实数解，等价于方程 有唯一实数解，且 ，
令 ，则此问题等价于方程 只有一个正实根，且 ，
当 ，即 时，则 不合题意舍去；
当 ，即 时，①若 ，即 或 ，
当 时，代入方程得 ，不合题意；当 时，得 ，符合题意；
②若方程有一个正根和一个负根，即 ，即 ，符合题意.
综上所述，实数 的取值范围是
