文档内容
专题 07 利用导函数研究函数零点问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题....................................................2
题型二：证明唯一零点问题..............................................................................3
题型三：根据零点（根）的个数求参数...........................................................4
三、专项训练...........................................................................................................6
一、必备秘籍
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点．
（2）三个等价关系
方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f (x)有零点．
2、函数零点的判定
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是 的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
3、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画
草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极
值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
4、利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数( )后，将原问题转化为 的值域(最值)问题或转化为直线 与 的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
二、典型题型
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题
1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的零点个数．
2．（2023·陕西渭南·校考模拟预测）已知函数 ，其中e为自然对数的底数．
(1)求 的单调区间：
(2)讨论函数 在区间 上零点的个数．
3．（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设函数 ， ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，讨论 与 图象的交点个数．4．（2023上·上海虹口·高三校考期中）函数 ，
(1)求函数 在点 的切线方程；
(2)函数 ， ，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；
(3)若 ，请讨论关于x的方程 解的个数情况．
5．（2023上·广东揭阳·高三统考期中）给定函数 .
(1)讨论函数 的单调性，并求出 的极值；
(2)讨论方程 解的个数.
题型二：证明唯一零点问题
1．（2023上·广东珠海·高三校考阶段练习）已知函数 ， 为 的导
数．
(1)求曲线 在 处的切线方程：
(2)证明： 在区间 存在唯一零点；2．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ，且函数 的零
点是函数 的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明： 有唯一零点．
3．（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)过坐标原点作 的切线，求该切线的方程；
(2)证明：当 时， 只有一个实数根．
题型三：根据零点（根）的个数求参数
1．（2023上·北京·高三景山学校校考期中）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)讨论函数 的单调性；
(3)当 时，设 ，若 有两个不同的零点，求参数 的取值范围.
2．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 上的值域；
(2)若函数 在 上仅有两个零点，求实数 的取值范围.
3．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数
.
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 的图象与 有且只有一个交点，求 的取值范围．
4．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数 ， 其中
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 有三个根，求 的取值范围．5．（2023下·浙江衢州·高二统考期末）已知函数
(1)若过点 作函数 的切线有且仅有两条，求 的值；
(2)若对于任意 ，直线 与曲线 都有唯一交点，求实数 的取值范围.
三、专项训练
一、单选题
1．（2024上·广东江门·高三统考阶段练习）直线 与函数 的图象公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023上·河北·高三校联考期末）已知函数 有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·广东阳江·高二校考期中）若函数 在 上只有一个零点，则常数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2023上·江苏常州·高三统考期中）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范
围是 ．
5．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知函数 ，若关于 的不等式 恰
有一个整数解，则实数 的取值范围为 .
6．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知函数 的图象与函数 的图
象有两个交点，则实数 的取值范围是 ．
三、问答题
7．（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）已知函数 ．(1)若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若函数 的图象与 有且只有一个交点，求 的取值范围．
8．（2023上·吉林长春·高一吉林省实验校考期中）已知函数 ，
(1)求函数的单调区间与极值点；
(2)若 ，方程 有三个不同的根，求 的取值范围．
9．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求该切线方程；
(2)讨论曲线 与直线 的交点个数．
10．（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）给定函数(1)判断 的单调性并求极值；
(2)讨论 解的个数．
11．（2023上·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）若函数 在 处有极小值．
(1)求c的值．
(2)函数 恰有一个零点，求实数a的取值范围．
12．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上存2个零点，求 的取值范围.
13．（2023上·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；(2)若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.
四、证明题
14．（2023上·北京朝阳·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)求证：当 时， ；
(2)求 在 的零点个数.
