文档内容
专题 07 数列求和（错位相减法）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍........................................................1
二、典型题型........................................................1
题型一：乘型.....................................................1
题型二：除型.....................................................3
三、专题07 数列求和（错位相减法）专项训练...........................4
一、必备秘籍
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个
数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列{c
n
}的通项公式 ，其中{a
n
}、{b
n
}
中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列
的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q倍错位相减
法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
二、典型题型
题型一：乘型
例题1．（2023秋·陕西西安·高三阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 .例题2．（2023秋·甘肃定西·高二甘肃省临洮中学校考阶段练习）已知数列 为等差数列， ，公差
，数列 为等比数列，且 ， ， （ ）．
(1)求数列 的公比q；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的n的最小值．
例题3．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，令 ，数列 的前 项和为 ，求 的取值范围．
例题4．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知数列 满足
，数列 满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．题型二：除型
例题1．（2023秋·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知数列 为递增的等差数列， 为 的前 项
和， ， ， .
(1)若数列 为等差数列，求非零常数 的值；
(2)在（1）的条件下， ，求 的前 项和 .
例题2．（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习）已知各项为正的数列 的前 项和为 ，满
足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
例题3．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知数列 的各项均为正数，且满足
．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ．例题4．（2023春·河南周口·高二校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
．数列 为等差数列， ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)记 ，求 的前 项和 ．
三、专题07 数列求和（错位相减法）专项训练
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为： ， ，则数列 的前100
项之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三对口高考）数列 的前n项之和为 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）复数 的虚部为( ).
A． B． C．1011 D．2022
4．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知 ，数列 前 项和
．
6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 的通项公式为 ，则数列 的前 项和
.
7．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知数列 的前 项即为 ，且
，若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是 .
8．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ，则
.
三、解答题
9．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）已知等差数列 满足 ， ，公比不为 的等
比数列 满足 ， .
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 ，求 的前 项和 .
10．（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）设 是首项为1的等比数列，数列 满足
，已知 ， ， 成等差数列.
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 和 分别为 和 的前n项和，求 和 .11．（2023秋·广西·高三统考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ， ，数列 的前 项
和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式与 ；
(2)设数列 的前 项和为 ，证明： ．
12．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求 .
13．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知等比数列 的前 项
和为 ， ，且满足 ， .
(1)求 的通项公式；(2)设 ， 的前 项和为 ，求使 成立的 的最大值.
