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题型一全等三角形
1.如图，等腰△ABC 中，点 D，E 分别在腰 AB，AC 上，添加下列条件，不能判定
△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
【分析】利用等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，然后根据全等三角形的判定方
法对各选项进行判断．
【解析】∵△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，
∴当AD＝AE时，则根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠AEB＝∠ADC，则根据“AAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠DCB＝∠EBC，则∠ABE＝∠ACD，根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD．
故选：B．
2.如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接
AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（
）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，由三角形的外角性质得：∠CMD+∠OCA＝
∠COD+∠ODB，得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，①正确；
作 OG⊥AM 于 G，OH⊥DM 于 H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，由 AAS 证明
△OGA≌△OHB（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出OM平分∠AMD，④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD，得AO
＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论．
【解析】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
{
OA=OB
∠AOC=∠BOD
OC=OD
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OCA＝∠ODB，
由三角形的外角性质得：
∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，
得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
在△OGA和△OHB中，
{∠OGA=∠OHB=90°
∵ ∠OAG=∠OBH ，
OA=OB
∴△OGA≌△OHB（AAS），
∴OG＝OH，
∴OM平分∠AMD，故④正确；
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
假设OM平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，
{∠AOM=∠DOM
OM=OM ，
∠AMD=∠DMO
∴△AMO≌△OMD（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
3.如图所示， 均为等边三角形，边长分别为 ，B、C、D三点在同
一条直线上，则下列结论正确的________________．（填序号）
① ② ③ 为等边三角形 ④ ⑤CM平分
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝
60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；
②过E作 ,根据等边三角形求出ED、CN的长，即可求出BE的长；
③由等边三角形的判定得出△CMN是等边三角形；
④证明△DMC∽△DBA，求出CM长；
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
⑤证明M、F、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝
60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.
【详解】
解：连接MC，FG，过点E作EN⊥BD，垂足为N，
①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；①正确；
②∵△CDE都是等边三角形，且边长为3cm.
∴CN= cm，EN= cm.
∵BC=5cm.
∴ ，②正确；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACG和△BCF中，
∴△ACG≌△BCF（ASA），
∴CG＝CF
而∠GCF＝60°，
∴△CMN是等边三角形，③正确；
⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，
∴M、F、C、G四点共圆，
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，
∴∠BMC＝∠DMC，
∴CM平分∠BMD，⑤正确；
④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA
∴△DMC∽△DBA
∴
∴
∴CM= .④错误.
故答案为：①②③⑤.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的
性质，证明三角形全等是解题的关键．
4.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻析，点A落在BC上，记为A，折痕为DE．
1
若将∠B沿EA 向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B，则AB＝_____．
1 1
【答案】
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】
【分析】
依据△ADB≌△ADC（AAS），即可得出AC＝AB，再根据折叠的性质，即可得到AC＝
1 1 1 1 1 1 1
BC＝2，最后依据勾股定理进行计算，即可得到CD的长，即AB的长．
【详解】
解：由折叠可得，AD＝AD＝4，∠A＝∠EAD＝90°，∠BAE＝∠BAE，BA＝BA，∠B＝
1 1 1 1 1 1 1 1
∠ABE＝90°，
1 1
∴∠EAB+∠DAB＝90°＝∠BAE+∠CAD，
1 1 1 1 1 1
∴∠DAB＝∠CAD，
1 1 1
又∵∠C＝∠ABD，AD＝AD，
1 1 1 1
∴△ADB≌△ADC（AAS），
1 1 1
∴AC＝AB，
1 1 1
∴BA＝AC＝ BC＝2，
1 1
∴Rt△ACD中，CD＝ ＝ ，
1
∴AB＝ .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查矩形与折叠，准确判断合适的全等三角形求出AC＝ BC＝2是解题的关键.
1
5.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，将点 绕点
顺时针旋转 得到点 ，则点 的坐标为_____________．
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【分析】
根据题意画出图形，易证明 ，求出OE、BE的长即可求出B的坐标．
【详解】
解：如图所示，点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，
过点A作x轴垂线，垂足为D，过点B作x轴垂线，垂足为E，
∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴CD=2，AD=3，
根据旋转的性质，AC=BC，
∵ ，
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AD=CE=3，CD=BE=2，
∴OE=2，BE=2，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查旋转变换和三角形全等的判定与性质，证明 是解题关键．
6.已知，如图1，若 是 中 的内角平分线，通过证明可得 ，同理，
若 是 中 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求
解如下问题：如图2，在 中， 是 的内角平分线，则 的
边上的中线长 的取值范围是________
【答案】
【分析】
根据题意得到 ，反向延长中线 至 ，使得 ，连接 ，最后根据三角
形三边关系解题．
【详解】
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图，反向延长中线 至 ，使得 ，连接 ，
是 的内角平分线，
由三角形三边关系可知，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知
识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，
大于 MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据 证明 得到 ，进一步可得结论．
【详解】
解：（1）如图， 为所作 的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在 和 中
∵
∴ ，
∴
又∵
∴ ，
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴
【点睛】
此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到 ．
8.如图， 中， ，点 在边 上， ．求证
．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据线段的和差可得 ，然后根据三
角形的判定与性质即可得证．
【详解】
，
，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，
即 ．
【点睛】
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形
全等的判定定理与性质是解题关键．
9.如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：
（1）OD＝OE；
（2）△ABE≌△ACD．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】
(1)根据∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE可以用“AAS”证明△DOB≌△EOC，再由全等三角
形的性质，即可得到OD=OE；
(2)根据D、E分别是AB、AC的中点，可以得到AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根据
BD=CE，即可得到AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A即可用“SAS”证明两个三角形全等.
【详解】
解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE
∴△DOB≌△EOC（AAS）
∴OD=OE；
(2)∵D、E分别是AB、AC的中点
∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC
又∵BD=CE
∴AB=AC，AD=AE
∵∠A=∠A
∴△ABE≌△ACD（SAS）
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解.
10.如图，点E、F在线段BC上， ， ， ，证明： ．
【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】见解析
【分析】
利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】
证明：∵ ，
∴∠B=∠C，
∵ ， ，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴ ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
11.如图，矩形 中为边 上一点，将 沿AE翻折后，点B恰好落在对角线
的中点F上．
（1）证明： ；
（2）若 ，求折痕 的长度
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由折叠的性质证明 再证明 从而可得结论；
（2）利用折叠与三角形全等的性质求解 再利用 的余弦求解 即可.
【详解】
解：（1） 矩形 ，
【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由对折可得：
为 的中点，
（2） ，
由折叠可得：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应
用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
12.如图，点A，D，B，E在一条直线上 ， ， ．
求证： ．
【答案】见详解
【分析】
由题意易得 ，进而易证 ，然后问题可求证．
【详解】
【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
13.如图，在矩形 中，点 在 上， ，且 ，垂足为 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【答案】（1）见详解；（2）4 -8
【分析】
（1）由矩形的性质可得∠D=90°，AB∥CD，从而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，进而即可得
到结论；
（2）由 以及勾股定理得AN=DM=4，AB= ，进而即可求解．
【详解】
（1）证明：∵在矩形 中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵ ，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
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又∵ ，
∴ （AAS），
（2）∵ ，
∴AN=DM=4，
∵ ，
∴ ，
∴AB= ，
∴矩形 的面积= ×2=4 ，
又∵ ，
∴四边形 的面积=4 -4-4=4 -8．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS证明三角
形全等，是解题的关键．
14.如图，在 中，点 在 边上， ，将边 绕点 旋转到 的位置，使
得 ，连接 与 交于点 ，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易得 ， ，则有 ，然后问题可求证；
（2）由（1）可得 ，然后可得 ，进而根据三角形外角
的性质可进行求解．
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【详解】
（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴根据三角形内角和可得 ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质
及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
15.在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
（探究发现）
（1）如图①，若∠BAD＝ ，∠ABC＝∠ADC＝ ．求证：AD＋AB＝AC；
（拓展迁移）
（2）如图②，若∠BAD＝ ，∠ABC＋∠ADC＝ ．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
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②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；②
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝ ，然后根据直角三角形中 是斜边的
一半即可写出数量关系；
（2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造 证明
△CFB △CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系；
②根据题意应用 的正弦值求得 的长，然后根据
的数量关系即可求解四边形ABCD的面
积．
【详解】
（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝ ，
∴∠DAC＝∠BAC＝ ，
∵∠ADC＝∠ABC＝ ，
∴∠ACD＝∠ACB＝ ，
∴AD＝ ．
∴AD＋AB＝AC，
（2）①AD＋AB＝AC，
理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
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，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
∵∠ABC＋∠ADC＝ ，∠EDC＋∠ADC＝ ，
∴∠FBC＝∠EDC，
又∠CFB＝∠CED＝ ，
∴△CFB △CED ，
∴FB＝DE，
∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，
在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC，
∴AD＋AB＝AC；
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝
∴∠DAC＝∠BAC＝ ，
又∵AC＝10，
∴CE＝A ，
∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，
∴
＝ ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨
认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．
16.已知等边三角形 ，过A点作 的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），
【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
连接 ，把线段 绕点C逆时针方向旋转 得到 ，连 ．
（1）如图1，直接写出线段 与 的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在 同侧且 时，求证：直线 垂直平分线段 ；
（3）如图3，若等边三角形 的边长为4，点P、B分别位于直线 异侧，且 的
面积等于 ，求线段 的长度．
【答案】（1）AP=BQ；（2）见详解；（3） 或 或
【分析】
（1）根据旋转的性质以及等边三角形的性质，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，进而即
可得到结论；
（2）先证明 是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根据等腰三角形三线合一的
性质，即可得到结论；
（3）过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，根据 ，可得AP=BQ，
∠CAP=∠CBQ=90°，设AP=x，则BQ=x，MQ=x- ，QF=( x- )× ，再列出关于x
的方程，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵线段 绕点C逆时针方向旋转 得到 ，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵在等边三角形 中，∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACP=∠BCQ，
∴ ，
∴ = ；
（2）∵ ，CA⊥l，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，
∵在等边三角形 中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，
∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，
∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，
∴PD平分∠CBQ，
∴直线 垂直平分线段 ；
（3）①当点Q在直线上方时，如图所示，
延长BQ交l与点E，过点Q作 与点F，
由题意得 ，
，
，
，
，
，
，
，
【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
设 ，则 ，
，
在 中， ，
，
即 ，
解得 或 ，
即AP的长度为 或 ；
②当点Q在直线l下方时，
过点B作BE⊥l，过点Q作QF⊥l，
由（1）小题，可知： ，
∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，
∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，
∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，
∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，
∴BE= ，
∴BM=BE÷sin60°=2÷ = ，
设AP=x，则BQ=x，MQ=x- ，QF= MQ×sin60°=( x- )× ，
【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ 的面积等于 ，
∴ AP×QF= ，即： x×( x- )× = ，解得： 或
（不合题意，舍去），
∴AP= ．
综上所述，AP的长为： 或 或 ．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，
根据题意画出图形，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
17.如图①， 是等腰 的斜边 上的两动点， 且
．
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（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）如图②，作 ，垂足为H，设 ，不妨设 ，请
利用（2）的结论证明：当 时， 成立．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解．
【分析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，由CD⊥BC，可求∠DCA=∠ABE即可；
（2）由△ABE≌△ACD，可得∠FAD=∠EAF，可证△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在
Rt△CDF中，根据勾股定理， 即可；
（3）将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，由△ABC为等腰直角三角形，可求
∠DCF=90°，由 ，在Rt△ABC中由勾股定理 ，由AH⊥BC，可求BH=CH=AH=
【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，可表示EF= tanα+ tanβ,BE =1-tanα,CF= 1-tanβ，可证△AEF≌△ADF（SAS），得
到EF=DF，由 可得 ，整理即得结
论．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
（2）证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中，根据勾股定理，
，
即 ；
（3）证明：将△ABE逆时针绕点A旋转90°到△ACD，连结FD，
∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，
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∵△ABC为等腰直角三角形，
∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，
∵ ，
∴AC= ，
在Rt△ABC中由勾股定理
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=AH= ，
∴EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中， 即 ，
∴ ，
整理得 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，三角形旋转变换，勾股定理，
锐角三角函数及其公式推导，掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定和性质是解题关
键．
题型二相似三角形
18.如图， 与 位似，位似中心是点O，若 ，则 与
的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据位似图形的概念得到 △ ， ，进而得出 △ ，根
据相似三角形的性质解答即可．
【解析】
解： 与△ 位似，
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△ ， ，
△ ，
，
与△ 的周长比为 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形
的对应边平行是解题的关键．
19.如图， ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且 ，下列结论正确的是（
）
A．DE：BC＝1：2
B． ADE与 ABC的面积比为1：3
C． ADE与 ABC的周长比为1：2
D．DE BC
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【解析】
解：∵ ，
∴AD：AB=AE：AC=1：3，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=1：3，故A错误；
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∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC．故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
20.如图，在 中， ， ， ，且 ，若
，点 是线段 上的动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的性质得到 ，得到 ， ，过B作 于
H，根据等腰三角形的性质得到 ，根据勾股定理得到
，当 时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】
解： ，
，
，
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解得： （负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
过B作 于H，
，
，
，
，
当 时，PQ的值最小，
，
，
，
【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出
辅21.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线
段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．
【答案】
【分析】
先根据AB=AC，∠B=72°求出∠A的度数，再根据CD是∠CAB的角平分线得到∠A=∠ACD，
即AD=CD，再根据大角对大边得到AD>BD，最后利用黄金分割公式计算求解即可.
【解析】
解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分线
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC与△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
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∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D点为AB的黄金分割点
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角对大边）
∴AD>BD
∵D是AB的黄金分割点，AD>BD
∴
∴
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解题的关键
在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22.如图，矩形 中， ， ，对角线 的垂直平分线 交 于点 、交
于点 ，则线段 的长为 __．
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【答案】
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例
式，求出EF即可．
【解析】
解：如图：
四边形 是矩形，
，又 ， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，又 ，
，
，
，
解得， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，
在 和 中，
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，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个
角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．
23.如图，在菱形 中，点M，N分别是边 ， 上的点， ，
．连接 ， ，延长 交线段 延长线于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ，则 的长是__________．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【分析】
（1）根据菱形的性质可得 ， ，根据 ，
，可得 ，利用 即可证明；
（2）根据菱形的性质可证明 ，根据相似的性质可求得 的长度，进而可
求 ．
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【解析】
解：（1）证明： 四边形 为菱形，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
（2） 四边形 为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质
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得到 是关键．
24.已知 ， ， ．
（1）找出与 相等的角并证明；
（2）求证： ；
（3） ， ，求 ．
【答案】（1） （2）见解析（3）
【分析】
（1）根据三角形外角的性质直接求解即可；
（2）在BF上截取BP，使AE=BP，即可证明 ，进一步证明 和
均为等腰三角形且顶角相等，即可证明 ；
（3）由（2）可得 ，即可得 ，设 ，则
，根据 ，可求得 ，即可证明
，列比例求出 ，代入以上数据即可求得 的值．
【详解】
（1）根据题意可知 ，
，
，
；
（2）如图，在BF上截取BP，使AE=BP，
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由（1）得 ，
即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
和 均为等腰三角形，
又 ，
，
和 为顶角相等的等腰三角形，
，
；
（3）又（1）可知 ，
，
，
设 ，则 ，
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，
，
，
则 ，
，
，
，
，
，即 ，
由此得 ，
则 ，
．
【点睛】
本题主要考查三角形综合，涉及到的知识点有，等腰三角形判定与性质，全等三角形的判
定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，根据题意用含字母的式子表示
出AE和MF的值是解题关键．
25.已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角
为钝角），得到 EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写
出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．
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【答案】（1） ；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】
（1）结论 ．证明 ，可得结论．
（2）结论成立．证明方法类似（1）．
（3）首先证明 ，再利用相似三角形的性质求出 ，利用勾股定理求出 即
可．
【详解】
解：（1）结论： ．
理由：如图1中，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
．
（2）结论成立．
理由：如图2中，
， ，
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，
，
，
， ，
，
．
（3）如图3中，
由旋转的性质可知 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
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本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，
属于中考压轴题．
26.在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝ ，D为线段AB上的动点，连接DC，将DC绕点D顺时针
旋转 得到DE，连接CE，BE．
（1）如图1，当 ＝60°时，求证：△CAD≌△CBE；
（2）如图2，当tanα＝ 时，
①探究AD和BE之间的数量关系，并说明理由；
②若AC＝5，H是BC上一点，在点D移动过程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，请直
接写出CE＋EH的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）① ＝ ，理由见解析；②存在，
【分析】
（1）首先证明△ACB，△CDE都是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可．
（2）①结论： ＝ ．利用相似三角形的性质解决问题即可．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，
ER，过点R作RT⊥BC于T．利用相似三角形的性质求出CJ＝ ，推出点E的运动轨迹
是射线BE，利用面积法求出RT，可得结论．
【解析】
（1）证明：如图1中，
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∵ ＝60°，AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵将DC绕点D顺时针旋转 得到DE，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△CAD≌△CBE（SAS）．
（2）解：①结论： ＝ ．
如图2中，过点C作CK⊥AB于K．
∵tan∠CAK＝ ＝ ，
∴可以假设CK＝3k，AK＝4k，则AC=AB＝5k，BK＝AB﹣AK＝k，
∴BC＝ ＝ k，
∵∠A＝∠CDE，AC＝AB，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
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∴ ＝ ＝ ＝ ．
②如图2中，过点C作CJ⊥BE交BE的延长线于J．作点C关于BE的对称点R，连接BR，
ER，过点R作RT⊥BC于T．
∵AC＝5，
由①可知，AK＝4，CK＝3，BC＝ ，
∵△CAD∽△BCE，CK⊥AD，CJ⊥BE，
∴ ＝ ＝ （全等三角形对应边上的高的比等于相似比），
∴CJ＝ ，
∴点E的运动轨迹是射线BE，
∵C，R关于BE对称，
∴CR＝2CJ＝ ，
∵BJ＝ ＝ ＝ ，
∵S ＝ •CR•BJ＝ •CB•RT，
△CBR
∴RT＝ ＝ ，
∵EC＋EH＝ER＋EH≥RT，
∴EC＋EH≥ ，
∴EC＋EH的最小值为 ．
【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，确定点E
的运动轨迹是最后一个问题的突破点，属于中考压轴题．
【44淘宝店铺：向阳百分百】
