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考前突破 01 规律探究（3 大必考题型）60 题
题型一：数式规律探究
题型二：图形规律探究
题型三：点坐标的规律探究
题型一：数式规律探究
【中考母题学方法】
1．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数
字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数： ，进行第1次构造，
得到新的一列数： ，第2次构造后，得到一列数： ，…，第n次构造后得到一列数：
，记 ．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（ ）
A． B． 为偶数 C． D．
2．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：
第1个：
第2个：
第3个：
第4个：
按照以上规律，第 个等式为 ．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记 为数表中第 行第 列位置
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的数字，如 ， ， ．若 ，则 ， ．
【中考模拟即学即练】
4．（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 （n 为非负整数）
展开式的项 数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．
……
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
……
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则 展开式中所有项的系数和是 ．（结果用指数幂表示）
5．（2024·重庆江津·二模）一个四位自然数 ，如果满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与个
位数字之差为2，百位数字与十位数字之差为2，则称这个数 为“双喜数”．对于一个“双喜数” ，记
．例 ，因为 ，所以6314是“双喜数”， ．则
；若一个四位自然数 是“双喜数”，且 是整数，则满足条件的 的最大值
为 ．
6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载
的图表给出了 展开式的系数规律．
1 …………
1 1 …………
1 2 1
1 3 3 1
当代数式 的值为8时，则 的值为 ．
7．（2024·山东滨州·三模）如图，在 中， ， ，以 的斜边
为直角边作等腰直角三角形 ，再以 的斜边 为直角边作等腰直角三角形 ，
…同样的作法，作下去可以依次得到一组等腰直角三角形 ， ， ， ，…，
，则第 个等腰直角三角形 的面积为 ．
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8．（2024·重庆铜梁·一模）在中国文化中，“6”被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，
“66”可以被解读为双倍顺遂或更加完美．一个四位自然数 ，若各个数位上的数字均不为0．且
满足| − | ．则称这个四位数M为“双顺数”．例如：对于9226，∵ ，∴9226是“双
顺数”；对于2689，∵ ，∴2689不是“双顺数”．则最大的“双顺数”是 ；
如果将一个“双顺数” 的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数
，并且规定： ．若 是整数，则符合条件的M的最小值是 ．
9．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知 ，则
．
10．（2023·辽宁锦州·三模）设 的面积为1，如图①，将边 、 分别2等分， 、 相交于
点O， 的面积记为 ；如图②，将边 、 分别3等分， 、 相交于点O， 的面积
记为 ；……，依此类推，则 ．
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题型二：图形规律探究
【中考母题学方法】
11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1
个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个
图中三角形的个数是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
12．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个
正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（
）
A．90 B．91 C．92 D．93
13．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若 ，则
（ ）
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A． B． C． D．
14．（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个
火柴棒．
15．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“ ”组成的一组有规律的图案，其中第1个图
案用了2个“ ”，第2个图案用了6个“ ”，第3个图案用了12个“ ”，第4个图案用了20个“
”，……，依照此规律，第n个图案中“ ”的个数为 （用含n的代数式表示）．
16．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按
照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
【中考模拟即学即练】
17．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设
图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有
12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
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A．28 B．30 C．34 D．36
28．（2025·湖南娄底·一模）观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍 根．
19．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图
案中有3个“ ”，第2个图案中有9个“ ”，第3个图案中有18个“ ”……按此规
律，第n个图案中有 个“ ”．（用含n的代数式表示）
题型三：点坐标的规律探究
【中考母题学方法】
20．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，
以点P为位似中心作正方形 ，正方形 ，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，
其中正方形 的顶点坐标分别为 ， ，则顶点 的坐标为
（ ）
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A． B． C． D．
21．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，发现
它关于点(1,0)中心对称．若点 ， ， ，……， ， 都在
函数图象上，这 个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
22．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若 ，则
（ ）
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A． B． C． D．
23．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与x轴交于点 ，以
为边作正方形 点 在y轴上，延长 交直线l于点 ，以 为边作正方形 ，点
在y轴上，以同样的方式依次作正方形 ，…，正方形 ，则点 的横坐标是
．
24．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在 轴上，
，连接 ，过点O作 于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于
点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ；…；按
照如此规律操作下去，则点 的坐标为 ．
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25．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点 为反比例函数 图象上的点，其
横坐标依次为 ．过点 作x轴的垂线，垂足分别为点 ；过点
作 于点 ，过点 作 于点 ，…，过点 作 于点 ．记
的面积为 的面积为 的面积为 ．
(1)当 时，点 的坐标为______， ______， ______， ______
（用含n的代数式表示）；
(2)当 时， ______（用含n的代数式表示）．
【中考模拟即学即练】
26．（2024·河北石家庄·二模）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，
第1次它从原点运动到点(1,0)，第2次运动到点 ，第3次运动到点(2,1)…按这样的规律，经过第2024
次运动后，蚂蚁的坐标是（ ）
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A． B． C． D．
27．（2024·山东威海·二模）如图，矩形 为台球桌面示意图．小球起始位置在 处，沿图中所示
的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（ ）
A． B． C． D．
28．（2024·新疆喀什·二模）如图，正方形 的顶点 ， ，延长 交x轴于点 ，作正方
形 ，延长 交x轴于点 ，作正方形 ，…，按照这样的规律，点 的纵坐标为
（ ）
A． B． C． D．
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29．（2024·河南商丘·二模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一个由等边三角形 和以 为直径
的半圆组成的“冰淇淋”形图案，且点A，B在x轴上，点C在y轴上， ，过点A作 交半
圆于点D，将该“冰淇淋”形图案绕点C逆时针旋转，每次旋转 ，则第98次旋转结束时，点D的坐标
是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2024·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形 ，边 ， 分别
在x轴、y轴上，如果以对角线 为边作第二个正方形 ，再以对角线 为边作第三个正方形
，照此规律作下去，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
31．（2024·河南洛阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，大正方形 是由四个全等的直角三角形和
一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形 的中心与原点 重合， 轴，正方形 的面
积为5，正方形 的面积为1，将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第2024次旋转结束时，
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点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
32．（2024·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边 ，点A的坐标为 ，每一次将
绕着点O顺时针方向旋转 ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 ，第二次旋
转后得到 ，…，依次类推，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
33．（2024·甘肃武威·三模）如图，点 ， ，将扇形 沿 轴正方向做无滑动的滚动，在滚
动过程中点 的对应点依次记为点 ，点 ，点 ，则 的坐标是（ ）
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A． B．
C． D．
34．（2024·河南漯河·二模）如图，弹性小球从点 出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到矩形
的边时就会反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时对应点的坐标为 ，
第2次碰到矩形的边时对应点的坐标为 ……则第100次碰到矩形的边时对应点的坐标为（ ）
A．(1,4) B． C． D．
35．（2024·河南南阳·三模）如图，点 ，点 向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点 ；
点 向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点 ；点 向上平移4个单位，再向右平移8个单位，
得到点 ；…按这个规律平移得到点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B．
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C． D．
36．（2024·江苏盐城·三模）如图，平面直角坐标系中， 都是斜边在x轴上的等
腰直角三角形，点 ；则根据图示规律点A 的坐标为（ ）
2025
A． B． C． D．
37．（2024·山东泰安·二模）含 角的菱形 ， ， ，……，按如图所示的方式放
置在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，……，和点 ， ， ， ，……，分别在直线 和
轴上．已知 ， ，根据所给图形，可以依次求出点 ， ， ，…，则图中点 的坐标
是（ ）
A． B．
C． D．
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38．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是菱形， ，点B
的坐标为 ，点P在菱形 的边上，从点O出发以每秒2个单位长度的速度，沿
的路线作循环运动，则第2024秒时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
39．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，平面直角坐标系中， ， ， ， 都是斜
边在 轴上，斜边长分别为1，2，3，…的等腰直角三角形，若 的顶点坐标分别为 ，
， ，则依图中所示规律，点 的坐标为 ．
40．（2024·四川内江·一模）如图，直线 ，点 坐标为 ．过点 作 轴的垂线交直线l于
点 ，以原点 为圆心， 长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，记 的长为 ；再过点 作 轴的垂
线交直线l于点 ，以原点 为圆心， 长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，记 的长为 ，以
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此类推．那么 的长为 ．
41．（2024·河南信阳·三模）将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片 按如图所示的位置放于平面直角坐
标系中，现将扇形纸片 沿x轴正半轴向右作无滑动的连续滚动，点A依次落在x轴上的点 ，
…的位置上，则点 的横坐标为 ．
42．（2024·四川内江·二模）如图， （n为正整数）均为等边
三角形，它们的边长依次是2，4，6，…， ，顶点 均在y轴上，点O是所有等边三角形
的中心，点 的坐标为 ．
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43．（2024·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上， ，
连接AB，过点O作 于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点
作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ；…；按照如此规律操
作下去，则点 的坐标为 ．
44．（2024·山东东营·模拟预测）含 角的菱形 ， ， ，…，按如图所示的方式
放置在平面直角坐标系 中，点 …，和点 ，…，分别在直线 和 轴上．
已知 ，则点 的坐标是
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45．（2024·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点 ，如图所示依次作正方
形 、正方形 、…、正方形 ，使得点 在直线l上，点
在y轴正半轴上，则点 的横坐标是 ．
46．（2024·山东德州·二模）如图，在平而直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按
图中“→”方向排列，第1个点的坐标为 ，第2个点的坐标为 ，第3个点的坐标为 ……根据
这个规律，第2024个点的坐标为 ．
47．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排
列，如(0,1)， ，(0,2)， ，(2,3)， ，(0,3)，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐
标是 ．
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48．（2024·山东东营·二模）在直角坐标系中，点 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐
标依次为： ， ， ， ， ， ，则 的坐标为 ．
49．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，将 沿 轴向右滚动到 的位置，再
到 的位置依次进行下去，若已知点 ， ， 则 的坐标为 ．
50．（2024·山东淄博·二模）如图，四边形 ， ， ， ，…， 都
是正方形，对角线 ， ， ， ，…， 都在x轴上（n是整数，且 ），点 ， ，
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， ，…， 在反比例函数 的图象上．若已知正方形 的面积为2，则点 的坐
标为 ．
51．（2024·山东泰安·二模）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形 按
如图所示的方式放置，其中点 均在一次函数 的图象上，点 均在x轴
上．若点 的坐标为(1,0)，点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
52．（2024·广东珠海·三模）如图，在平面直角坐标系 内，动点M第1次从点 运动到
，第2次运动到 ，第3次运动到 ，第4次运动到 ，第5次运动到
，第6次运动到 ，第7次运动到 ……依此规律，第2024次运动到 的坐标
是 ．
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53．（2024·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中， 为等边三角形，点A的坐标为(1,0)．把
按如图所示的方式放置，并将 进行变换：第一次变换将 绕着原点O顺时针旋转 ，
同时边长扩大为 边长的2倍，得到 ；第二次旋转将 绕着原点O顺时针旋转 ，同时
边长扩大为 边长的2倍，得到 ，…．依次类推，得到 ，则点 的坐标为
．
54．（2024·甘肃酒泉·三模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点
运动到点 ，第2次接着运动到点 ，第3次接着运动到点 ，…，按这样的运动规律，经过
第 次运动后，动点P的坐标是 ．
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55．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，
，连接 ，过点O作 于点 ，过点 作 轴于点 ；过点过点 作
于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点
；…；按照如此规律操作下去，则点 的坐标为 ．
56．（2024·山东枣庄·模拟预测）在直角坐标系中，点 从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置
的坐标依次为： ， ， ， ， ， ，……若到达终点
，则 的值为 ．
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57．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上的一点，且 的长度为1，以线段 为边
作正方形得对角线 ，再以 为边，作第二个正方形 ，再以 为边作正方形对角线 ，再以
为边作正方形对角线 ……以此类推，得正方形对角线 ，则点 的坐标是 ．
58．（2024·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中， 为等边三角形，点 的坐标为(1,0)．把
按如图所示的方式放置；并将 进行变换：第一次变换将 绕着原点O顺时针旋转60°，同时边
长扩大为 边长的2倍，得到 ；第二次旋转将 绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩
大为 边长的2倍，得到 ……以此类推，得到 ，则点 的坐标为 ．
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59．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点 ，交y轴于
点 ，点 ， ， ， ，…都在直线l上：点 ， ， ， ，…都在x轴上，以 为直角顶点作等
腰直角三角形 ；再以 为直角顶点作等腰直角三角形 ……如此下去，则等腰直角三角形
的腰长 为 ．
60．（2024·安徽阜阳·三模）【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律：
， ， ， ， ，…．
【归纳·应用】
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(1)直接写出点 的坐标为______；点 的坐标为______；
(2)若点 的坐标为 ，求n的值．
26
