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考前突破 05 二次函数性质综合题（2 大必考题型）
题型一：纯性质综合题
题型二：交点问题
题型一：纯性质综合题
【中考母题学方法】
1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 .
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 和 是抛物线上的两点.若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】（ ）把 代入 ，转化成顶点式即可求解；
（ ）分 和 两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；
本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把 代入 得， ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线 ；
当 时，如图，此时 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
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当 时，如图，此时 ，
解得 ，
又∵ ，
∴ ；
综上，当 或 ，都有 ．
2．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数 （b，c为常数）的图象经过点 ，对称轴为
直线 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点 向上平移2个单位长度，向左平移m（ ）个单位长度后，恰好落在 的图象
上，求m的值；
(3)当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
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（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；
（3）分为 ， 时， 时，建立方程解题即可．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为 ，把 代入得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：点B平移后的点的坐标为 ，
则 ，解得 或 （舍），
∴m的值为 ；
（3）解：当 时，
∴最大值与最小值的差为 ，解得： 不符合题意，舍去；
当 时，
∴最大值与最小值的差为 ，符合题意；
当 时，
最大值与最小值的差为 ，解得 或 ，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为 ．
3．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数 （a，b为常数）．设自变量x取 时，y取
得最小值．
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(1)若 ， ，求 的值；
(2)在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上，且 ．求点P到y轴的距离；
(3)当 ，且 时，分析并确定整数a的个数．
【答案】(1)
(2)2或1
(3)整数a有4个
【分析】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程．
根据题意代入化简得 ，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可；
结合题意得到 ，代入二次函数中化简得 ，利用二次函数的性质求
得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离；
结合已知得等式化简得 ，结合 的范围求得a的可能值，即可得到整数a的
个数．
【详解】（1）解：有题意知
，
当 时，y取得最小值8；
（2）解： 点 在双曲线 上，
∵
，
∴
∴
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，
，
∵
，化解得 ，解得 或 ，
∴
则点 或 ，
点P到y轴的距离为2或1；
∴
（3）解：
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，化简得 ，
∴
，
∴
则整数a有4个．
4．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线 （b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶
点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点 在抛物线 上，点 在抛物线 上．
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（ⅰ）若 ，且 ， ，求h的值；
（ⅱ）若 ，求h的最大值．
【答案】(1)b=4
(2)（ⅰ）3；（ⅱ）
【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的
性质是解题关键．
（1）根据题意求出 的顶点为 ，确定抛物线 （b为常数）的顶点横坐标为2，
即可求解；
（2）根据题意得出 ， ，然后整理化简
；（ⅰ）将 代入求解即可；（ⅱ）将 代入整理为顶点式，即可得出
结果．
【详解】（1）解： ，
∴ 的顶点为 ，
∵抛物线 （b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1，
∴抛物线 （b为常数）的顶点横坐标为2，
∴ ，
∴b=4；
（2）由（1）得
∵点A(x ,y )在抛物线 上，点 在抛物线 上．
1 1
∴ ， ，
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整理得：
（ⅰ）∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（ⅱ）将 代入 ，
整理得 ，
∵ ，
∴当 ，即 时，h取得最大值为 ．
5．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 在二次函数 的图像
上，记该二次函数图像的对称轴为直线 ．
(1)求 的值；
(2)若点 在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次
函数的图像．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设 的图像与 轴交点为 ， ．若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
(3)
【分析】（1）把点 代入 可得 ，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；
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（2）把点 代入 ，可得： ，可得抛物线为 ，将该二
次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ，再利用二次
函数的性质可得答案；
（3）由根与系数的关系可得 ， ，结合 ， ，再
建立不等式组求解即可.
【详解】（1）解：∵点 在二次函数 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；
（2）解：∵点 在 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为 ，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
，
∵ ，
∴当 时，函数有最小值为 ，
当 时，函数有最大值为
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
（3）∵ 的图像与 轴交点为 ， ．
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∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
解得： .
【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二
次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.
6．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线 与x轴交点的坐标分别为 ， ，
且 ．
(1)若抛物线 与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．试判断下列每组
数据的大小（填写 、 或 ）：
① ________ ；② ________ ；③ ________ ．
(2)若 ， ，求b的取值范围；
(3)当 时， 最大值与最小值的差为 ，求b的值．
【答案】(1) ； ； ；
(2)
(3)b的值为 或 ．
【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键
在于熟练掌握二次函数图像与性质．
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（1）根据根与系数的关系得到 ，以及 ，即可判断①，利用二次函数的图像与性质
得到 ，进而得到 ，利用不等式性质变形，即可判断②③．
（2）根据题意得到 ，结合 进行求解，即可解题；
（3）根据题意得到抛物线 顶点坐标为 ，对称轴为 ；当 时，
，当 时， ，由 最大值与最小值的差为 ，分以下情况①当在
取得最大值，在 取得最小值时，②当在 取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在 取
得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ，
，且抛物线开口向上，
与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．
即 向上平移1个单位，
，且 ，
① ；
，
，即② ；
，即③ ．
故答案为； ； ； ；
（2）解： ， ，
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，
，
；
（3）解：抛物线 顶点坐标为 ，
对称轴为 ；
当 时， ，
当 时， ，
①当在 取得最大值，在 取得最小值时，
有 ，解得 （舍去）；
②当在 取得最大值，在顶点取得最小值时，
有 ，解得 （舍去）或 ，
③当在 取得最大值，在顶点取得最小值时，
有 ，解得 （舍去）或 ；
综上所述，b的值为 或 ．
7．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线 过点 和点 ，
直线 过点 ，交线段 于点 ，记 的周长为 ， 的周长为 ，且
．
(1)求抛物线 的对称轴；
(2)求 的值；
(3)直线 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转 秒后 得到直线 ，当 时，直线 交抛物线
于 ， 两点．
①求 的值；
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②设 的面积为 ，若对于任意的 ，均有 成立，求 的最大值及此时抛物线 的解析式．
【答案】(1)对称轴为直线： ；
(2)
(3)① ，② 的最大值为 ，抛物线 为 ；
【分析】（1）直接利用对称轴公式可得答案；
（2）如图，由 ，可得 在 的左边， ，证明 ，可得
，设 ，建立 ，可得： ， ，再利用待定系数法求解即可；
（3）①如图，当 时，与抛物线交于 ，由直线 ，可得 ，可得 ，从
而可得答案；②计算 ，当 时， 可得 ，则 ，
，可得 ，可得当 时， 的最小值为
，再进一步求解可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
∴抛物线对称轴为直线： ；
（2）解：∵直线 过点 ，
∴ ，
如图，
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∵直线 过点 ，交线段 于点 ，记 的周长为 ， 的周长为 ，且
，
∴ 在 的左边， ，
∵ 在抛物线的对称轴上，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（3）解：①如图，当 时，与抛物线交于 ，
∵直线 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
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②∵ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 的最小值为 ，
∴此时 ，
∵对于任意的 ，均有 成立，
∴ 的最大值为 ，
∴抛物线 为 ；
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程根与系
数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
8．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线 （ 是常
数）经过点 ．点 、 是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为 、 ，点 的横坐标为 ，
点 的纵坐标与点 的纵坐标相同，连结 、 ．
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(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求证：当 取不为零的任意实数时， 的值始终为2；
(3)作 的垂直平分线交直线 于点 ，以 为边、 为对角线作菱形 ，连结 ．
①当 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形 的面积；
②当此抛物线在菱形 内部的点的纵坐标 随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)① ；② 或 或
【分析】（1）将 代入 ，解方程即可；
（2）过点B作 于点H，由题意得 ，则 ，
，因此 ；
（3）①记 交于点M， ，而对称轴为直线 ，则 ，解得：
，则 ， ，由 ，得 ，则 ，因此 ；
②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F，则 ，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当
时，符合题意；当m继续变大，直至当直线 经过点F时，符合题意， 过点F作 于点
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Q，由 ，得到 ，解得： 或 （舍），故
，当 时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当 时，
符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时 ，故 ；当m继续变小，直线
经过点F时，也符合题意， 过点F作 于点Q，同上可得， ，解得：
或 （舍），当m继续变小时，仍符合题意，因此 ，故m的取值范围为： 或
或 ．
【详解】（1）解：将 代入 ，
得： ，
解得： ，
∴抛物线表达式为： ；
（2）解：过点B作 于点H，则 ，
由题意得： ，
∴ ， ，
∴在 中， ；
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（3）解：①如图，记 交于点M，
由题意得， ，
由 ，
得：对称轴为直线：
∵四边形 是菱形，
∴点A、C关于 对称， ，
∵ 与此抛物线的对称轴重合，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ；
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②记抛物线顶点为点F，把 代入 ，得： ，
∴ ，
∵抛物线在菱形 内部的点的纵坐标 随 的增大而增大，
∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，
当 时，如图，符合题意，
当m继续变大，直至当直线 经过点F时，符合题意，如图：
过点F作 于点Q，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
解得： 或 （舍），
∴ ，
当 时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；
当 时，如图，符合题意：
当m继续变小，直至点A与点F重合，此时 ，符合题意，如图：
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∴ ；
当m继续变小，直至直线 经过点F时，也符合题意，如图：
过点F作 于点Q，同上可得，
，
∴ ，
解得： 或 （舍），
当m继续变小时，仍符合题意，如图：
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∴ ，
综上所述，m的取值范围为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正
确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键．
【中考模拟即学即练】
9．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
(1)求 的值以及抛物线的对称轴；
(2)将该抛物线向右平移 个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求 的值．
【答案】(1) ，直线x=2
(2)1或3
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌
握以上知识点是关键．
（1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可；
（2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
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（2）解：将抛物线 向右平移n个单位后得到新抛物线为 ，
∵新抛物线经过原点，
∴ ，
解得 或1．
10．（2025·江西景德镇·模拟预测）抛物线 的顶点到 轴的距离为3．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线与 轴有两个交点，当 ，求 的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）配方得到顶点式，然后根据题意得到 ，求出c的值即可得到顶点坐标；
（2）先根据题意得到 ，即可得到抛物线的解析式，然后根据二次函数的增减性解题即可．
【详解】（1）解： ，
∵顶点到 轴的距离为3，
∴ ，
解得： 或 ，
当 时，顶点坐标为 ；
当 时，顶点坐标为 ；
（2）解：∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
抛物线的解析式为 ，
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又∵对称轴x=1在 内，
∴当x=1时取得最小值为 ；
又∵ ，
∴ 离对称轴远，即有最大值，最大值为 ，
∴ 的取值范围为 ．
11．（2024·浙江台州·模拟预测）已知抛物线 ： 经过点 ．
(1)求 的函数表达式及其顶点坐标；
(2)若点 和 在抛物线 上，且 ， ．
①求A，B两点的坐标；
②将拋物线 平移得到抛物线 ： ．当 时，抛物线 的函数最大值为p，最
小值为q，若 ，求k的值．
【答案】(1) 的函数表达式为 ，顶点坐标为
(2)① ， ；② 或
【分析】本题主要考查二次函数的图像与几何变换，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，熟
练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把点把 代入解析式求出 ，利用顶点式即可求出顶点坐标；
（2）①由抛物线对称性得到 ，解得 即可得到答案；
②分三种情况讨论，根据二次函数图像上点的坐标特征，表示出 ，根据题意得到关于 的方程，解方
程即可．
【详解】（1）解：把 代入得： ，
的函数表达式为 ．
顶点坐标为 ；
（2）解：①由 得： ，
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，
， ．
， ；
② ： 的对称轴为：直线 ，
顶点为
由①得： ，
Ⅰ．当 时， ，则：
， ； ， ，
，
解得： （舍）．
Ⅱ．当 时， ，则：
， ； ， ，
，
解得： （舍）．
Ⅲ．当 时， ，
， ，
若 ，则： ，即： ，
此时 ， ，
，
解得： （舍）， （符合）
若 ，则： ，即： ，
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此时 ， ，
，
解得： （符合）， （舍）
综上所述： 或 ．
12．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且图象经过点 ， ．
(1)求二次函数的表达式
(2)将二次函数的图象向右平移 个单位，图象经过点 ，求m 的值；
(3)在由（2）平移后的图象上，当 时，函数的最小值为 ，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了二次函数图像性质，求二次函数解析式，二次函数图像平移性质，二次函数最值，解
题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据题意设二次函数解析式为 ，再代入一个其图象经过点，求出 的值即可求得二次
函数的表达式；
（2）根据二次函数图像平移性质“左加右减，上加下减”，可得平移后二次函数解析式，再将其图象经
过的点代入即可求得m 的值；
（3）由（2）可得平移后二次函数解析式，先求出函数取值为 时， 的值，根据二次函数图像性质，可
知 的取值在 左侧或在 右侧，根据 分别讨论两种情况即可．
【详解】（1）解： 二次函数图象的顶点坐标为 ，
设二次函数解析式为： ，
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二次函数图象经过点 ， ，
，
解得： ，
二次函数解析式为 ；
（2）解：将二次函数的图象向右平移 个单位后，
二次函数解析式为 ，
平移后二次函数图象经过点 ，
，
解得： ， （舍去），
的值为 ；
（3）解：由（2）可知：平移后二次函数解析式为 ，函数图像开口向上，对称轴为 ，
当函数取值为 时，则有 ，
解得： ， ，
当 时，函数的最小值为 ，
的取值为 或 ，
①当 的取值为 时，
则有 ，
解得： ，
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②当 的取值为 时，
则有 ，
解得： ，
的值为 或 ．
13．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数 的图象，根据图象回答下列问题：
(1)二次函数 的图象与 的图象有什么相同和不同（各写出两条）；
(2)若有一个二次函数的图象与 的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数
的表达式．
【答案】(1)见解析
(2) （答案不唯一）
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．
（1）根据二次函数 的图象与二次函数 的图象进行解答即可；
（2）根据二次函数的图象与 的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出答案即可．
【详解】（1）解：二次函数 的图象与二次函数 的图象：
相同点是：①开口向上，②对称轴都是y轴，
不同点：①二次函数 的图象的顶点是 ，二次函数 的图象的顶点是 ，②开口
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大小不同，二次函数 的图象的开口大于二次函数 的图象的开口；
（2）解：二次函数的图象与 的图象形状相同，且不经过第三、四象限，
则 即可满足题意．
14．（2025·湖北黄石·一模）如图1，抛物线 交x轴于A，C两点，交y轴于点B，对称轴为
，若点A的坐标为 ， ，点 为某个动点．
(1)直接写出点B，C的坐标；
(2)当点D在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线 的解析式为 ，依据函数图象试求不等式
的解集；
(3)如图2，过点D作x轴的垂线 ，交抛物线于点E，记 ，求n关于m的函数解析式．当n随m
的增大而增大时，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】本题主要考出了二次函数的性质、二次函数与不等式的综合、二次函数的综合等知识点，掌握数
形结合思想以及灵活运用二次函数的性质成为解题的关键．
（1）先由二次函数的对称性可得 ，再结合 即可确定点B的坐标；
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（2）先求出二次函数解析式 ，由题意可得 ， 解得： 或 ，进而
确定 ，即 ，再结合函数图象即可解答；
（3）由第（2）问可知：点D在直线 上运动，其中 ，进而可得
；再分当 或 时， ；当 时，
两种情况，分别利用二次函数的增减性解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 对称轴为 ，交x轴于A，C两点且点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：∵抛物线 交x轴于A，C两点，交y轴于点B，
∴ ，解得： ，
∴函数解析式为 ，
∵函数解析式为 ，点 在抛物线上，
∴ ， 解得： 或 ，
∵D点在对称轴的右边，
∴ ，
∴ ，即
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∴ 可以看作抛物线 在直线 的下方，∴由以上函数图象可知：
或 ；
（3）解：由第（2）问可知：点D在直线 上运动，其中 ，
，
，
∴当 或 时， ；
当 时， ，
分类讨论如下：
当 或 时， ，
∵ ，对称轴 ，当 时，n随m的增大而增大，
∴ 时，n随m的增大而增大；
当 时， ，
∵ ，抛物线开口向下，对称轴为 ；当 时，n随m的增大而增大，
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∴ 时，n随m的增大而增大；
综上所述：当n随m的增大而增大时， 或 ．
15．（2024·贵州遵义·三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可
以近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱 ， 均与地面垂直，且 ， 、
之间的水平距离 ．绳子最低点与地面的距离为 ．
(1)按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.
(2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱 撑起绳子，如图
（2） 的高度为 ，通过调整 的位置，使左边抛物线 对应的函数关系式为 ，
且最低点离地面1.4米，求水平距离 .
(3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线 对应的函数关系式为 ，将图（2）中 ，
两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移 个单位长度，平移后的函数图象在 时，y
的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 ．
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，函
数图象平移的性质，以及利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）根据题意可得，抛物线的对称轴为 ，顶点坐标为 ，点 ，点 ，设设抛物线的表
达式为： ，将点 代入 求解即可；
（2）根据 的最低点离地面1.4米，可得 ， ： ，将点
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可求出抛物线 的表达式，根据 的高度为 ，令 ，求出横坐标的值，即可求得 ，
进而得到水平距离 ；
（3）由于抛物线 ： ，抛物线 ：
的对称轴分别为 和 ，当 或 时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右
平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为 ， ，由于平移不改变图形形
状和大小，故当 或 时，y的值随x值的增大而减小，而新函数图象在
时，y的值随x值的增大而减小，利用数形结合可知，区间 必须包含在 或
区间内，才能满足条件，分情况讨论即可得解．
【详解】（1）解：（1）如图所示，
由题意得，
抛物线的对称轴为 ，
顶点的坐标为： ，点 ，点 ，
设抛物线的表达式为： ，
将点 代入 得： ， ，
∴ 或
（2）解：如图所示，
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由题知， 的最低点离地面1.4米，
∴
∴抛物线 的表达式为： ，
∵点A在抛物线 上，
∴当 时， ，
∴
∴
则抛物线 的表达式为： 或
∴当 时，即 ，
整理得：
∴ ， （不合题意，舍去）
∴ ， （米）．
（3）解：由（2）题可知，抛物线 ： ，抛物线 ：
的对称轴分别为 和 ，
此时，当 或 时，y的值随x值的增大而减小，
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为 ，
如图所示，
∵平移不改变图形形状和大小，
∴当 或 时，y的值随x值的增大而减小，
∴当 时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，
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得m的取值范围是：
① 且 ，得 ，
② 且 ，得 ，
由题意知 ，
综上所述，m的取值范围是 或 ．
16．（2024·江苏盐城·二模）已知二次函数 的图象开口向下，且经过 ，
两点．
(1) （填“ ”或“ ”）；
当 时，求 的值；
(2)若点 和点 也在二次函数 图象上，且 ， ．
求 的取值范围；
若两不同点 和 都在二次函数 的图象上，且始终满足 ，求 的取
值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
【分析】（1） 依据题意，由抛物线开口向下，从而可以判断得解；
依据题意，当 时，可得抛物线的对称轴是直线 ，于是得解；
（2） 依据题意，由 ，且 ，可得 ，结合点 在 轴下方，点 在
轴上方，可得二次函数 的图象与 轴有两个交点，又因图象过点 ，从而可判断
是抛物线与 轴右侧的交点，故 ，又因点 和二次函数与 轴的左侧的交点关于直线 对称，
从而左侧交点坐标为 ，结合 在 轴上方，则 ，从而 ，再依据抛物线上的
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点离对称轴越近函数值越大，结合 在 轴下方，且 ，可得 ，进而可以得解；
依据题意，点 ， 都在二次函数图象上，且 ，又因
，从而 在点 的右方和上方，又因 ，故点 在
对称轴右侧，结合二次函数 在对称轴右侧时， 值随 的增大而减小，从而 必在对称轴
左侧，即有 ，故 ，再由 得点 更靠近对称轴 ，可得 ，
又因 ， ，得 ，结合 ，于是有 ，进而可以得解．
【详解】（1）解： 由题意， 抛物线开口向下，
，
故答案为： ；
当 时，
抛物线的对称轴是直线 ，
；
（2）解： 由题意， ，且 ，
，
点 在 轴下方，点 在 轴上方，
二次函数 的图象与 轴有两个交点，
图象过点 ，
当 为抛物线与 轴左侧的交点时，则 时，二次函数的图象均在 轴下方，此时点 ，
两点也都在 轴下方，这与题意矛盾，故不成立，从而 是抛物线与 轴右侧的交点，
，
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又 点 和二次函数与 轴的左侧的交点关于直线 对称，
左侧交点横坐标为 ，
左侧交点坐标为 ，
又 在 轴上方，于是有 ，
，即 ，
在 轴下方，且 ，
又 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
，
，
综上， ；
依据题意，点 ， 都在二次函数图象上，且 ，
又 ，
在点 的右方和上方，
又 ，
点 在对称轴右侧，
又 二次函数 在对称轴右侧时， 值随 的增大而减小，
必在对称轴左侧，
，
，
，
由 得点 更靠近对称轴 ，
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，
， ，
，
，
，
，
，
，
即 ，
或 ，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，轴对称的性质，解一元一
次不等式，求绝对值，解一元二次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性
质是解题的关键．
题型二：交点问题
【中考母题学方法】
1．（2020·江苏盐城·中考真题）若二次函数 的图像与 轴有两个交点
，且经过点 过点 的直线 与 轴交于点 与该函数的图像交于点
（异于点 ）．满足 是等腰直角三角形，记 的面积为 的面积为 ，且 ．
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（1）抛物线的开口方向 （填“上”或“下”）；
（2）求直线 相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
【答案】（1）上；（2） ；（3）
【分析】(1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上；
(2)根据 是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是 ，此时
，由此算出C点坐标，进而求解；
(3)过B点作BH⊥x轴，由 得到 ，由OA的长求出BH的长，再将B点纵坐标代入直线l
中求出B点坐标，最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可．
【详解】解：(1)∵抛物线经过点M、N、A，且M、N点在x轴正半轴上，A点在y轴正半轴上，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上．
(2)①若 ，
则 与 重合，直线 与二次函数图像交于 点
∵直线与该函数的图像交于点 （异于点 ）
∴不合符题意，舍去；
②若 ，则 在 轴下方，
∵点 在 轴上，
∴不合符题意，舍去；
③若
则
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设直线
将 代入：
，解得
直线 ．
故答案为： ．
(3)过 点作 轴，垂足为 ，
， ，
又 ，
，
又 ，
，
即 点纵坐标为 ，
又(2)中直线l经过B点，
将 代入 中，得 ，
，
将 三点坐标代入 中，得
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，
解得 ，
抛物线解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数和一次函数的交点坐标，等腰直角三角形分类讨论
的思想，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键．
2．（2021·四川雅安·中考真题）已知二次函数 ．
（1）当该二次函数的图象经过点 时，求该二次函数的表达式；
（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在
线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长
度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;
（3）若对满足 的任意实数x，都使得 成立，求实数b的取值范围．
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【答案】（1） ；（2） ；（3）-3≤b≤1．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x
轴，可得MQ= t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；
（3）设 ，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况： 或
，进而即可求解．
【详解】解：（1）把 代入 ，
得： ，解得：b=1，
∴该二次函数的表达式为： ；
（2）令y=0代入 ，
得： ，
解得： 或 ，
令x=0代入 得：y=-3，
∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，
设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，
∴BP=4-2t，
过点M作MQ⊥x轴，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴ 是等腰直角三角形，
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∴MQ= BQ= t，
∴△BPQ的面积= = ，
∴当t=1时，△BPQ面积的最大值= ；
（3）抛物线 的对称轴为：直线x=-b，开口向上，
设 ，
∵对 的任意实数x，都使得 成立，
∴ 或 ，
∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，
∴-3≤b≤1．
【点睛】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出
不等式组，是解题的关键．
3．（2020·湖南株洲·中考真题）如图所示，二次函数 的图像（记为抛物线 ）与y轴
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交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为 ， ，且 ．
（1）若 ， ，且过点 ，求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程 的判别式 ．求证：当 时，二次函数
的图像与x轴没有交点．
（3）若 ，点P的坐标为 ，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的 顶点在直
线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线 交于点D，若 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题意，把 ， ，点 ，代入解析式，即可求出解析式；
（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；
（3）根据二次函数的性质，得到 ，结合根与系数的关系，得到 ，然后证明
，得到 ，然后得到 ，利用二次根式的性质即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得： ，
∵函数过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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（2）由题意，一元二次方程 的判别式 ．
∴ ，
∴ ，
在函数 中，
∵ ，
∴ ，
即函数图象与x轴没有交点．
（3）因为函数顶点在直线l上，则有 ，
即 ①
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
由①得： ②
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
则 ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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∴ ，
∴ ．
由②得： ，
∴ ，
∴当 时， ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，根与系
数的关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识进行解题．
4．（2020·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系 中，把与 轴交点相同的二次函数图像称为“共
根抛物线”．如图，抛物线 的顶点为 ，交 轴于点 、 （点 在点 左侧），交
轴于点 ．抛物线 与 是“共根抛物线”，其顶点为 ．
（1）若抛物线 经过点 ，求 对应的函数表达式；
（2）当 的值最大时，求点 的坐标；
（3）设点 是抛物线 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若 与 相似，求其“共根抛
物线” 的顶点 的坐标．
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【答案】（1） ；（2）点 ；（3） 或 或 或
【分析】（1）由“共根抛物线”定义可知抛物线 经过抛物线 与x轴交点，故根据抛物线 可求AB两
点坐标进而由交点式设 为 ，将点 代入，即可求出解；
（2）由抛物线对称性可知PA=PB，∴ ，根据三角形两边之差小于第三边可知当当 、
、 三点共线时， 的值最大，而P点在对称轴为 上，由此求出点P坐标；
（3）根据点ABC坐标可证明△ABC为直角三角形， 与 相似，分两种情况讨论：当
、 时，分别利用对应边成比例求解即可．
【详解】解：（1）当 时， ，解得 ， ．
∴ 、 、 ．
由题意得，设 对应的函数表达式为 ，
又∵ 经过点 ，
∴ ，
∴ ．
∴ 对应的函数表达式为 ．
（2）∵ 、 与 轴交点均为 、 ，
∴ 、 的对称轴都是直线 ．
∴点 在直线 上．
∴ ．
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如图1，当 、 、 三点共线时， 的值最大，
此时点 为直线 与直线 的交点．
由 、 可求得，直线 对应的函数表达式为 ．
∴点 ．
（3）由题意可得， ， ， ，
因为在 中， ，故 ．
由 ，得顶点 ．
因为 的顶点P在直线 上，点Q在 上，
∴ 不可能是直角．
第一种情况：当 时，
①如图2，当 时，则得 ．
设 ，则 ，
∴ ．
由 得 ，解得 ．
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∵ 时，点Q与点P重合，不符合题意，
∴舍去，此时 ．
②如图3，当 时，则得 ．
设 ，则 ．
∴ ．
由 得 ，解得 （舍），此时 ．
第二种情况：当 时，
①如图4，当 时，则得 ．
过Q作 交对称轴于点M，∴ ．
∴ ．由图2可知 ，
∴ ．
∴ ，又 ，代入得 ．
∵点 ，
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∴点 ．
②如图5，当 时，则 ．
过Q作 交对称轴于点M，
∴ ，则 ．
由图3可知 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
又 ，代入得 ．
∵点 ，
∴点 ，
综上所述， 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以
及相似三角形的性质解答．
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【中考模拟即学即练】
5．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数 在 和 时的函数值相等．
(1)求二次函数 图像的对称轴；
(2)若二次函数 的图像与x轴只有一个交点，求b的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程的应用．
（1）依题意结合二次函数对称性可直接求出其对称轴；
（2）由函数与x轴只有一个交点，进而转化为一元二次方程判别式为0建立等量关系求出b．
【详解】（1）解：∵二次函数 在 和 函数值相等，
∴对称轴为直线 ．
（2）解：由（1）得，
又∵二次函数 的图象与x轴只有一个交点，
∴
解得，
6．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数 与x轴只有一个交点，且经过 和 ．
(1)用含a的代数式表示m;
(2)若点 也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式．
【答案】(1)
(2)二次函数的解析式为 或
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与 轴的交点问题；
（1）根据 和 得出对称轴为直线 则 ，即可求解．
（2）根据题意得出 与 关于对称轴对称，则 ，根据二次函数与x轴只有一个交点
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得出 ，即可求解．
【详解】（1）由 可得，
对称轴为直线
（2）当 时，
由对称轴直线 可知，
与 关于对称轴对称
∵二次函数与x轴只有一个交点
∴二次函数的解析式为 或
7．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线 的顶点为 ，与 轴相交与点 ．
(1)求点 、 的坐标；
(2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与 轴的另一个交点为 ，求
的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）先利用配方法求出顶点 的坐标，再令 求出 的值，即可得到点 的坐标；
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（2）设平移后抛物线的解析式为 ，求出 的值，即可得到点 的坐标，得到
，计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
顶点 坐标为
令 ，则 ，
；
（2）解：设平移后得解析式
把 代入得 ,
，
当 时， ,
另一个交点 ，
,
，
，
在 中， ,
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．
8．（2024·云南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，抛物线 与x轴的交点为A、
B（点A在点B的左侧），且 ．
(1)求抛物线的对称轴及m与a的数量关系；
(2)若将此抛物线在点A、B之间的部分与线段 所围成的区域（包括边界）记为C，当在C内的整点（横、
纵坐标都为整数的点）有且仅有7个时，求出a的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线 ，
(2) 或
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识：
（1）把抛物线的解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴，再由 ，可得点A的坐标为 ，再把
代入 ，即可求解；
（2）根据题意可得线段 上的整数点有三个： ， ， ，然后分两种情况：当 时；
当 时，结合在C内的整点（横、纵坐标都为整数的点）有且仅有7个，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴点A的坐标为 ，
把 代入 得：
，
∴ ；
（2）解：由（1）得：抛物线的解析式为 ，
点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
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此时线段 上的整数点有三个： ， ， ，
∴顶点坐标为 ，
∵在C内的整点（横、纵坐标都为整数的点）有且仅有7个，
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ；
综上所述，a的取值范围为 或 ．
9．（2025·上海静安·一模）二次函数 的部分图像如图所示，已知它与 轴的一个交点坐标是
，且对称轴是直线 ．
(1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与 轴的另一个交点坐标为 ．
(2)如果该函数图像经过点 ，求它的顶点坐标．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的对
称性是解题关键．
（1）①根据二次函数的对称轴可得 ，由此即可得；
②根据二次函数的对称性求解即可得；
（2）根据（1）可设二次函数的解析式为 ，将点 代入求出二次函数的解析式，再
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根据二次函数的解析式的顶点式求解即可得．
【详解】（1）解：①∵二次函数 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵二次函数 的图像与 轴的一个交点坐标是 ，且对称轴是直线 ，
∴图像与 轴的另一个交点坐标为 ，即为 ，
故答案为： ．
（2）解：∵二次函数 的图像与 轴的两个交点坐标是 和 ，
∴可设二次函数的解析式为 ，
∵这个函数图像经过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
∴它的顶点坐标为 ．
10．（2024·福建福州·模拟预测）已知二次函数 ．
(1)当 时，
①若该函数图像的对称轴为直线 ，且过点 ，求该函数的表达式；
②若方程 有两个相等的实数根，求证： ；
(2)若 ，已知点 ，点 ，当二次函数 的图像与线段 有交
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点时，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)① ②见解析
(2) 或
【分析】（1）①根据对称轴求得 ，再把(0,3)代入 得， ，即可求解；
②根据一元二次方程的根与判别式的关系可得 ，再利用配方法可得 ，根据平方的
非负性可得 ，即可求解；
（2）由题意可得 ，从而求得抛物线的顶点为 ，抛物线与x轴的交点
为(1,0)、 ，当抛物线 过点 或 时，根据二次函数的图象与性
质求解即可．
【详解】（1）解：①∵ ，对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
把点(0,3)代入 得， ，
∴该函数的表达式为 ；
②∵方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴抛物线的顶点为 ，
把 代入 得， ，
解得 或 ，
∴抛物线与x轴的交点为(1,0)、 ，
当抛物线 过点 时， ，
解得 ，
如图，根据 越大，抛物线的开口越小，当 时，二次函数 的图像与线段 有交点，
当抛物线 过点 时， ，
解得 ，
如图，当 时，二次函数 的图像与线段 有交点，
综上所述，当 或 时，二次函数 的图像与线段 有交点．
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【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、
一元二次方程的根与判别式的关系，运用数形结合思想是解题的关键．
11．（2024·贵州安顺·一模）如图，二次函数 与 轴有两个交点，其中一个交点为 ，
且图象过点 ，过 ， 两点作直线 ．
(1)求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；
(2)将二次函数 向左平移1个单位，得函数 __________； 与 轴的交点坐标为
__________；
(3)在（2）的条件下，将直线 向下平移 个单位后与函数 的图象有唯一交点，求 的值．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题．
（1）用待定系数法直接将点 代入即可；
（2）涉及函数图象的平移，记得左加右减，求与 轴的交点坐标时令 即可；
（3）先求出直线AB的解析式，再跟抛物线解析式联立，只有一个交点即根的判别式为0．
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【详解】（1）解：将 ， 代入 得
解得
该二次函数的表达式为 ；
（2）
将二次函数 向左平移1个单位，得函数
令 得
与 轴的交点坐标为 ；
（3）设直线AB解析式为
将 ， 代入得
解得
将直线 向下平移 个单位得
由 得
整理得
与函数 的图象有唯一交点
．
12．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数 （m是常数）．
(1)当 时，求该二次函数图象的顶点坐标．
(2)求证：无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点．
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(3)若点 是该二次函数图象上的任意一点，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点：
（1）将 代入解析式，将一般式转化为顶点式，即可得出结果；
（2）令 ，求出判别式，进行判断即可；
（3）利用二次函数图象的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴抛物线的顶点坐标为： ；
（2）令 ，
则： ，
所以无论m取何值，该二次函数图象与x轴必有交点．
（3）把 代入解析式得： ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为 ．
13．（2024·山东临沂·二模）已知二次函数 ．
(1)求该二次函数图象与 轴的交点坐标，
(2)若 ，当 时， 的最大值是4，求当 时， 的最小值；
(3)已知 ， 为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段 有且只有一个公共点时，
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请求出 的取值范围．
【答案】(1)二次函数图象与x轴的交点坐标为(1,0)，
(2)当 时，y的最小值为
(3)当 或 或 ，抛物线与线段 有且只有一个公共点
【分析】本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，
（1）令 ，构建方程求解，即可得出结论；
（2）构建方程求出m的值，进而根据二次函数性质求出最值即可解决问题；
（2）分两种情况讨论：①当 时，②当 时，根据这两种情况构建不等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：令 ， ，
，
，
解得： ， ，
二次函数图象与x轴的交点坐标为(1,0)， ．
（2）∵ ，
∴该二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线 ，
∴当 时，
在 时y取最大值为4，代入解析式 ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式 ，
∴当 时， y取到在 上的最小值，
∴当 时， ，
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∴当 时，y的最小值为 ．
（3）解：二次函数 ，当 时，得 ，
当 时，得 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 过抛物线顶点时，
当 时， ，
，
解得： ；
当 或 或 ，抛物线与线段 有且只有一个公共点．
14．（2024·甘肃张掖·三模）已知二次函数图象顶点为 ，直线 与该二次函数交于A，B两
点，其中A点 ，B点在y轴上．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)P为线段 上一动点（不与A，B重合），过点P作y轴的平行线与二次函数交于点E．设线段 长
为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式；
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(3)D为线段 与二次函数对称轴的交点，在 上是否存在一点P，使四边形 为平行四边形？若存
在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，P点坐标为
【分析】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，二次函数与平行四边形的
综合问题，结合图形有利于解答．
（1）将点A代入直线解析式求出m的值，将二次函数设出顶点式，然后求出函数解析式；
（2）分别得出点P和点E的纵坐标，然后将两点的纵坐标做差得出h与x的函数关系式；
（3）根据平行四边形性质可得： ，根据点D在直线 上得出点D的坐标，从而得出方程求
出x的值，得出点P的坐标．
【详解】（1）解：把 代入
得 ，
∴ ，
，
∴ ，
设二次函数解析式为 ，
把A，B，C三点坐标代入得
解得
∴ ；
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（2）解：∵P点在直线 的图象上，
∴P点坐标为 ，
∵E点在抛物线 的图象上，
∴E点坐标为 ，
∴ ；
（3）解：存在．
，
二次函数关于直线 对称，
，
D点坐标为 ，则 ，
当 时， ，四边形 为平行四边形，
即
解得 ，
当 时， 与 重合，
当 时，代入 ，
∴ P点坐标为(2,3)．
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