文档内容
B11 分式的概念和性质
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）分式的基本概念
（2）“有/无意义”与“值为零”
（3）分式的基本性质
2. 考情分析
（1）主要考察分式的基本概念和基本性质，在期末考中常常会以填空的形式进行考察。
（2）本讲内容学习分式的基本意义和性质．经历分式的形成过程，理解分式的概念，会求
使分式有意义、无意义、分式值为零时的字母取值．通过与分数的基本性质的类比，掌握
分式的基本性质，类比分数的约分，理解分式约分的意义，掌握分式约分的基本方法．重
点是分式的基本性质，难点是分式约分的灵活应用．
环节 需要时间
课后练习讲解 10分钟
切片1：分式的基本概念 30分钟
切片 2：“有/无意义”与“值为零” 20分钟
切片3：分式的基本性质 35分钟
出门测 15分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站 1——分式的基本概念【建议时长：30分钟】
知识笔记1:
分式的概念
当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．
一般地，如果 A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
2
A
B
叫做分式．
整式与分式统称为有理式．
在理解分式的概念时，注意以下三点：
① 分式的______中必然含有______；
② 分式的______的值不为___；
③ 分式必然是写成两式相除的形式，中间以_________隔开．
【填空答案】
分母；字母；分母；0；分数线考点一：分式的判断
例题1:
（★★☆☆☆）（2022•宝山区期末）下列各式中，属于分式的是
3
( )
3
A． +3 B．
x −
2
3
C． −
y
2
+ 5 D．
a
8
+ 2 b
【常规讲解】
解： A ．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B ．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C ．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D ．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
故选： D ．
练习1:【学习框8】
（★★☆☆☆）在代数式
2
，
1 +
5
x 2x−1
，− ，
x2 x
3
− 3
中，分式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【常规讲解】
解：
2
，
1 +
5
x
， −
2 x
x
−
2
1
，
x
3
− 3
2x−1
中，是分式的有：− ，
x2 x
3
− 3
共2个．
故选： B ．
考点二：分式值正负性问题
例题2:
3
（★★★☆☆）如果分式− 的值为负数，则
2y−3
y 的取值范围是______．
【常规讲解】
解：根据题意可得： 2 y − 3 0 ，
解得： y 1 .5 ，
故答案为： y1.5．练习2:【学习框10】
（★★★☆☆）若分式
4
2 a
a
− 1
的值总是正数， a 的取值范围是 ( )
A．a是正数 B． a 是负数 C． a
1
2
D．a0或 a
1
2
【常规讲解】
解：由题意可知： a 0 且2a−10，或 a 0 且 2 a − 1 0 ，
a
1
2
或 a 0 ，
故选： D ．
考点三：分式的实际问题的应用
例题3:
（★★★☆☆）现有单价为x元的果冻 a 千克，单价为
y
元的果冻 b 千克，单价为z元的果冻 c
千克，若将这三种果冻混合在一次，则混合后的果冻售价为_________元/千克．
【常规讲解】
总价= a x + b y + c z ；总重量=a+b+c
∵ 单价=总价÷总重量
故答案为：
a x
a
+
+
b
b
y +
+
c
c
z
．
练习3:【学习框12】
（★★★☆☆）在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 千米，下坡时的速度为每
1
小时 V
2
千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是__________．
【常规讲解】
解：设坡路长是 S ．
2s 2v v
= 1 2
s s v +v
+ 2 1
v v
1 2
故答案为：
v
2
2
v
1+
v
2v
1
．知识加油站 2——“有/无意义”与“值为零”【建议时长：20分钟】
知识笔记2:
1. 分式有意义的条件
两个整式相除，除数不能为零，故分式有意义的条件是_______________;
当____________，分式无意义．
2. 分式的值为零
分式的值为零时，必须满足分式的____________，且分式的______________，注意是“同
时”．
【填空答案】
1. 分母不为零；分母为零时
2. 分子为零；分母不能为零
考点四：分式有意义，无意义，值为 0的条件
例题4:
第一组：
3−x
（1）（★★☆☆☆）（2022•上海期末）要使分式 有意义，则 的取值范围是 ．
x
x+2
（2）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区期末）
5
x = 1 时，分式
x 2 +
3
x − a
无意义，则
a =
．
（3）（★★☆☆☆）（2022•青浦区东方中学期末）如果分式
x
2
2
x
−
−
4
4
的值为零，那么 ．
x=
【常规讲解】
（1）解：当分母 x + 2 0 ，即x−2时，分式
3
x
−
+
x
2
有意义．
故答案为：x−2．
（2）解：根据题意，得
当x=1时，分母x2+x−a=0，
1+1−a=0，
解得，a=2．故答案是：2．
（3）解：由题意得：2x−40且x2 −4=0，
解得：
6
x = − 2 ，
故答案为： − 2 ．
第二组：
（1）（★★★☆☆）当x=__________时，分式
x 2
2 x
+
−
x
1
− 2
的值为0.
（2）（★★★☆☆）（2022•宝山区罗南中学期末）当
x =
时，分式
( x − 1
x
)
2
−
( 3
1
x + 4 )
的值为
0．
1
（3）（★★★☆☆）若分式 1 有意义，则（ ）．
1+
x+1
A．x1 B． x − 2 C． x − 2 且 x − 1 D．x0且 x − 1
【配题说明】
分母为二次多项式情况下的有/无意义题型，区分两种题型。
【常规讲解】
解：（1）由题意得：
x
x
2
2
−
+
1
x
=
−
0
2 0
解得： x = − 1
x2 −1
（2） 分式 的值为0，
(x−1)(3x+4)
x2 −1=0且(x−1)(3x+4)0，
解得：x=1且 x 1 ， x −
4
3
，
x = − 1 ，
故答案为： − 1 ．
x+10
（3）要使分式有意义，则 1 ，解得：x−1且
1+ 0
x+1
x − 2 ．
故答案为：C练习4:【学习框14】
第一组：
（1）（★★☆☆☆）如果分式
7
x
3 x
+
−
2
1
有意义，那么x的取值范围是____．
x2 −9
（2）（★★☆☆☆）当x=_________时，分式 无意义．
x+3
（3）（★★☆☆☆）如果分式
2
x
x
−
−
1
6
的值为零，那么 x = _________．
【常规讲解】
（1）解：要使分式
x
3 x
+
−
2
1
有意义，必须 3 x − 1 0 ，解得， x
1
3
，
1
故答案为：x ．
3
（2）解：由题意得： x + 3 = 0 ，解得：x=−3，
故答案为： − 3 ．
（3）解：由题意可知： x − 1 = 0 且2x−60， x = 1 ，
故答案是：1．
第二组：
（1）（★★★★☆） x 为何值时，分式
2 + x
1
−
2
1
+ x
有意义？
(m−1)(m−3)
（2）（★★★★☆）当m=__________时，分式 的值为0.
m2 −3m+2
1
（3*）（★★★★☆）x为何值时，分式 无意义？
x2 −3x+2
【配题说明】本题主要考查分式有意义的条件，注意双重条件的考虑
【常规讲解】
1
（1） 0且
2+x
2 + x −
2
1
+ x
0 ，解得： x − 2 且 x − 1 且 x − 3 ．
故答案为：x−2且 x − 1 且x−3．
（2）（2）由题意得：
(
m
m
2
−
−
1
3
) (
m
m
+
−
2
3
) =
0
0
解得：m=3
（3）由题意得：x2 −3x+2=0，(x−2)(x−1)=0 x=2或x=1知识加油站 3——分式的基本性质【建议时长：35分钟】
知识笔记
1. 分式的基本性质
分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值______．
上述性质用公式可表示为：
8
a
b
=
a
b
m
m
a am
， = (m0)．
b bm
注意：
（1）在运用分式的基本性质时，基于的前提是 m 0 ；
（2）强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；
（3）分式的基本性质是约分和通分的理论依据．
2. 约分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中_______________约去的过程，叫做约分．
3. 最简分式
一个分式的分子、分母没有_______________ (1 除外）时，这个分式叫做最简分式．约分
可以把一个分式化为最简分式．
4. 约分的方法
（1）当分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的
_____________，分子、分母的系数约去它们的________________．
（2）当分式的分子、分母中有多项式，则要先因式分解，再约分．
（3）约分一定要彻底，即约分后分子和分母中不含公因式．
【填空答案】
1. 不变；
2. 相同的因式；
3. 相同的因式；
4. 最低次幂；最大公因数考点五：分式的基本性质
例题5:
（★★☆☆☆）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数．
（1）
9
1 .0
3
3
.2
x
x
+
−
0
0
.0
.5
2
y
y
； （2）
3
41
3
x
x
−
+
2
35
2
y
y
．
【常规讲解】
103 2
x+ y
1.03x+0.02y 100 100 103x+2y
（1） = =
3.2x−0.5y 320 50 320x−50y
x− y
100 100
（2）
3
41
3
x
x
−
+
2
35
2
y
y
=
9
1 24
1 2
x
x
−
+
8
1 2
3 0
1 2
y
y
=
9
4
x
x
−
+
8
3 0
y
y
故答案为（1）
1 0 3
3 2 0
x
x
+
−
2
5 0
y
y
；（2）
9
4
x
x
−
+
8
3 0
y
y
．
练习5:【学习框16】
（★★☆☆☆）不改变分式的值，使下列分式中的分子与分母的各项的系数都是整数，且分
子的首项系数是正数，并把结果填在横线上．
−0.5m+1
（1） =________； （2）
m2 +5 0
0 .3
.0 2 a
a
+
−
0
1
.0 5
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【常规讲解】
（1）
− 0
m
.52 m
+
+
5
1
= −
2
2
1
2
m
m
2
+
+
2
21
0
2
= −
2
m
m 2
+
+
2
1 0
.；（2）
0
0 .3
.0 2 a
a
+
−
0
1
.0 5
=
3 0
2
a
a
−
+
1 0
5
0
．
m−2
故答案为：（1）− ；（2）
2m2 +10
3 0 a
2 a
−
+
1 0
5
0
．
例题6:
2xy
（1）（★★★☆☆）（2022•虹口区民办新复兴中学期中）若分式 中 和
x
4x−3y
y 的值都扩大5
倍，那么分式的值( )
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．以上都不对（2）（★★★☆☆）（2021•金山区期末）如果将分式
10
x 2
x
+
+
y
y
2 中的
x
和 y 都扩大到原来的 4 倍，
那么分式的值 ( )
A．不变 B．扩大到原来的4倍
C．扩大到原来的8倍 D．扩大到原来的16倍
【常规讲解】
（1）解：由分式
4
2
x
x
−
y
3 y
中的
x
和 y 的值都扩大5倍，得
4
2
5
5
x
x
−
3
5
y
5 y
= 5
4
2
x
x
−
y
3 y
，
故选： A．
（2）解：用 4 x 和 4 y 代替式子中的 x 和 y
(4x)2 +(4y)2 x2 +y2
得： =4
4x+4y x+y
则分式的值扩大为原来的4倍．
故选： B ．
练习6:【学习框18】
（★★★☆☆）若
x 、 y
的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？
（1）
x
x
2
2
+
−
y
y
2
2
（2）
2
3
x
y
3
3
（3）
x 2
3
−
x y
y 2
【配题说明】
本题主要考察分式的基本性质．
【常规讲解】
(3x)2 +(3y)2 9x2 +9y2 x2 + y2
（1） = = ；
(3x)2 −(3y)2 9x2 −9y2 x2 −y2
2(3x)3 227x3 2x3
（2） = =
3(3y)3 327y3 3y3
（3）
( 3
3
2 x )(
3 x
−) (
3( y
3
)
y
2
)
=
9 x 2
2
−
7 x
9
y
y 2
=
x 2
3
−
x y
y 2
故答案为：（1）不变；（2）不变；（3）不变
y
【拓展讲解】若x， 的值扩大为原来的 n 倍，分式中分子与分母的次数相同时，分式的值
不变；分式中分子的次数比分母的次数多m 次时，分式值扩大为原来的nm倍；分式中分
1
子的次数比分母的次数少m 次时，分式值缩小为原来的 倍，
nm考点六：分式的约分
例题7:
（★★★☆☆）将下列分式化为最简分式：
第一组：
（1）
11
− 2 x
2
+
x
3 x 2
； （2）
x
x
2
+
−
y
y 2
；
（3）
2
a
a
2
3
−
−
3
6 a
； （4）
m 2 −
m
2
2
m
−
n
n
+
2
n 2
．
【常规讲解】
（1）
− 2 x
2
+
x
3 x 2
=
x ( − 2
2
+
x
3 x )
=
3 x −
2
2
；
x+ y x+ y 1
（2） = = ；
x2 −y2 (x+ y)(x−y) x−y
（3） 2
a
a
2
3
−
−
3
6 a
=
2 a
a( 2
a
−
2
3
− 3 )
=
1
2 a ；
m2 −2mn+n2 (m−n)2 m−n
（4） = = ．
m2 −n2 (m−n)(m+n) m+n
故答案为：（1）
3 x −
2
2
；（2）
x
1
− y
；（3）
1
2 a
；（4）
m
m
−
+
n
n
．
第二组：
（★★★★☆）将下列分式化为最简分式：
3x2 −12
（1） ；
x2 −4x+4
（2）
− x
x
2
2
+
−
6
3
x
x
− 9
；
（3）
2 a 2
2
−
a
8
2
a
−
b
8
+
b
8
2
b 2
；
（4）
2 5 a 2
4
−
b −
2 0
1
a
0
b
a
+ 4 b 2
．
【常规讲解】
解：（1）原式 =
3 ( x +
( x
2
−
) (
2
x
)
−
2
2 )
3x+6
= ；
x−2x(x−3)
（2）原式=
−(x−3)2
12
= −
x
x
− 3
；
（3）原式 =
2 ( a
2
+
( a
2
−
b )
2
(
b
a
)
−
2
2 b )
=
a
a
−
+
2
2
b
b
；
（4）原式 =
− 2
( 5
( 5
a
a
−
−
2
2 b
2 b )
)
= −
5 a
2
− 2 b
．
练习7:【学习框20】
第一组：
（★★★☆☆）将下列分式化为最简分式：
（1）
− 4 x
8 x y
2 y2
； （2）
2
6
(
(
x
y
−
−
y
x
)
)
2
3
； （3）
a 2 −
a 2
4 a
−
+
4
4
； （4）
3 x2
x y
−
−
2 x
2
2 y
x y 2
．
【常规讲解】
（1）原式 = −
2
x
y
； （2）原式 =
2
6
(
(
y
y
−
−
x
x
)
)
2
3
=
3 y
1
− 3 x
；
（3）原式 =
( a
(
+
a
2
−
)
2
( a
) 2
− 2 )
=
a
a
−
+
2
2
； （4）原式 =
x
x
2
y
(
(
x
x
−
−
2
2
y
y
)
)
=
x
y
．
故答案为：（1）
−
2
x
y
；（2）
3 y
1
− 3 x
；（3）
a
a
−
+
2
2
；（4）
x
y
．
第二组：
（★★★★☆）将下列分式化为最简分式：
（1）
9 x 2
3
−
2 x
6
−
x +
x
1
；
（2）
4 x
4
2
x
−
2 −
2
1
x
；
（3）
x 2 −
3 x
1
2
0 x
−
+
7 5
2 5
；
2a2 −8
（4） ．
a2 +4a+4
【常规讲解】解：（1）
13
9 x 2
3
−
2 x
6
−
x
x
+ 1
=
(
x
3
(
x
3
−
x
1
−
)
1
2
)
=
3 x −
x
1
；
4x2 −2x 2x(2x−1) 2x
（2） = = ；
4x2 −1 (2x+1)(2x−1) 2x+1
（3）
x 2 −
3 x
1
2
0 x
−
+
7 5
2 5
=
3 ( x
( x
+
−
5 )
5
(
)
x
2
− 5 )
=
3
x
( x
−
+
5
5 )
；
（4）
a
2
2
a
+
2
4
−
a
8
+ 4
=
2 ( a +
( a
2
+
) (
2
a
)
−
2
2 )
=
2 ( a
a
−
+
2
2
)
．
答案：（1）
3 x −
x
1
；（2）
2
2
x
x
+ 1
；（3）
3
x
( x
−
+
5
5 )
；（4）
2 ( a
a
−
+
2
2
)
．
考点八：设 k法求解分式值题型
例题8：
（1）（★★★☆☆）已知 x : y = 3 : 5 ， y : z = 2 : 3 ，则
2
x
x
+
−
y
y
+
+
z
z
的值为
（2）（★★★☆☆）已知
x
3
=
y
4
=
z
5
，求
x
x
y
2
+
+
y
y
z
2
+
+
z
z
x
2
的值．
【常规讲解】
（1）解： x : y = 3 : 5 ， y : z = 2 : 3 ，
x:y:z=6:10:15；
设 x = 6 k ， y = 1 0 k ， z = 1 5 k ，
2
x
x
+
−
y
y
+
+
z
z
=
1
6
2
k
k
+
−
1
1
0
0
k
k
+
+
1
1
5
5
k
k
=
3
1
1
7
x y z
（2）解：设 = = =k(k 0)，则x=3k，
3 4 5
y = 4 k ，z=5k，
x
x
y
2
+
+
y
y
z
2
+
+
z
z
x
2
=
3 k
( 3
4
k
k
2 )
+
+
4
(
k
4 k
5
)
k
2
+
+
5
( 5
k
k
3 k
2 )
=
4
5
7
0
k
k
2
2
=
4
5
7
0
．
练习8:【学习框22】
（★★★☆☆）已知：
x
2
=
y
3
=
z
4
0
2x+ y−z
，求代数式 的值．
x+ y+z
【常规讲解】
x y z
解：设t = = = 0，则
2 3 4
x=2t①
y =3t②14
z = 4 t ③
将①②③代入代数式
2
x
x
+
+
y
y
+
−
z
z
，得
2
x
x
+
+
y
y
+
− z
z
=
2
2
2
t
t
+
+
3
3
t
t
+
−
4
4
t
t
=
1
3
，
2x+ y−z
所以，代数式 的值是
x+ y+z
1
3
．
考点九：分式中新定义题型
例题9:
（★★★☆☆）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，
8 6+2 2 2
如： = =2+ =2 ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的
3 3 3 3
次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，
我们称之为“真分式”．
如：
x
x
−
+
1
1
x2
， 这样的分式就是假分式；再如：
x−1 x
3
+ 1
2x
， 这样的分式就是真分
x2 +1
式．类似的，假分式也可以化为带分式（即 : 整式与真分式的和的形式）．
如：
x
x
−
+
1
1
=
( x +
x
1
+
) −
1
2
= 1 −
x
2
+ 1
；
再如：
x
2 x
− 1
=
x 2 −
x
1
−
+
1
1
=
( x + 1 ) (
x
x
−
−
1
1 ) + 1
= x + 1 +
x
1
− 1
．
解决下列问题：
2
（1）分式 是 分式（填“真分式”或“假分式”
x
) ；
（2）假分式
x
x
−
+
1
2
可化为带分式 的形式；
2x−1
（3）如果分式 的值为整数，那么x的整数值为 ．
x+1
【常规讲解】
2
解：（1）分式 是真分式；
x
x−1 3
（2）假分式 =1− ；
x+2 x+2
2x−1 2x+2−3 3
（3） = =2− ．
x+1 x+1 x+1所以当
15
x + 1 = 3 或 − 3 或1或 − 1 时，分式的值为整数．
解得x=2或x=−4或x=0或x=−2．
故答案为：（1）真；（2） 1 −
x
3
+ 2
；（3）0， − 2 ，2， − 4 ．
练习9:【学习框24】
（★★★☆☆）“约去”指数：
33+13 3+1 53+23 5+2
如 = ， = ，
33+23 3+2 53+33 5+3
你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分， 一笑之后， 再认真检验， 发现其结果竟然正
确！这是什么原因？仔细观察式子， 我们可作如下猜想：
a 3
a
+
3
(
+
a
b
−
3
b ) 3
=
a +
a
(
+
a
b
− b )
，试
说明此猜想的正确性 ． （供 参考： x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 ) )
【常规讲解】
证明：
a 3
a
+
3
(
+
a
b
−
3
b ) 3
=
( a + a − b
( a
) ( a
+
2
b
−
) (
a
a
2
2
+
−
a
a
b
b
+
+
a
b
2
2
−
)
2 a b + b 2 )
=
a
a
+
+
a
b
− b
，
a 3
a
+
3
(
+
a
b
−
3
b ) 3
=
a +
a
(
+
a
b
− b )
正确 ．全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）在代数式
16
2 + a ，
a
2
，
2
a
，
2
1
+ a
， 2 a 中，分式有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【配题说明】
分式的判断
【常规讲解】
解：
2
a
，
2
1
+ a
是分式，
则分式有两个，
故选：
B
．
练习2:
（★★★☆☆）若把 x ，
y
的值同时扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是 (
)
xy
A． B．
x+ y
( x +
x
y
2
) 2
C．
y
x
+
+
2
2
D．
y 2
2
−
x
x 2
【配题说明】
本题主要考察分式的基本性质．
【常规讲解】
解： A
2x2y xy
、 =2 ，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；
2x+2y x+ y
B、
( 2 x
(
+
2 x
2
)
y2 ) 2
=
( x +
x
y2 ) 2
，分式的值保持不变，故此选项符合题意；
C 、
2
2
y
x
+
+
2
2
=
y
x
+
+
1
1
，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；
D
22x x
、 = ，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意．
(2y)2 −(2x)2 y2 −x2
故选：B．练习3:
（★★★☆☆）将下列分式化为最简分式．
（1）
17
a
a
2
2
+
−
a
b
b
2
； （2）
m
9
2
−
−
m
3 m
2
；
3ab+3b2
（3） ； （4）
a2b+2ab2 +b3 x 4 −
x 2
6
−
x 3
3
+
x
9 x 2
．
【配题说明】
本题主要考察对约分的理解．
【常规讲解】
（1）
a
a
2
2
+
−
a
b
b
2
=
( a
a
+
( a
) b
+
( a
b )
− b )
=
a
a
− b
；
m2 −3m m(3−m) m
（2） =− =− ；
9−m2 (3−m)(3+m) 3+m
（3）
a 2
3
b
a
+
b
2
+
a
3
b
b
2
2
+ b 3
=
3
b
b
(
(
a
a
+
+
b
b
)
)2
=
a
3
+ b
；
（4）
x 4 −
x 2
6
−
x 3
3
+
x
9 x 2
=
x
x
2
(
(
x
x
−
−
3
3
)
) 2
=
x ( x
1
− 3 )
．
故答案为：（1）
a
a
− b
；（2）
3
m
+ m
；（3）
a
3
+ b
；（4）
x ( x
1
− 3 )
关卡二
练习4:
a−b 1
（★★★★☆）若 = ，求
b 2
3
2
a
a
2
2
−
+
5
3
a
a
b
b
+
−
2
5
b
b
2
2
的值．
【配题说明】
本题主要考查利用设k法进行分式的求值．
【常规讲解】
由题意可得： 2 a = 3 b ，则设a=3k，b=2k．
3a2 −5ab+2b2 3(3k)2 −53k2k+2(2k)2 5
∴ = = ．
2a2 +3ab−5b2 2(3k)2 +33k2k−5(2k)2 16
5
故答案为： ．
16练习5:
（★★★★☆）阅读材料：已知
18
x 2
x
+ 1
=
1
3
，求
x
x
4
2
+ 1
的值
解：由
x 2
x
+ 1
=
1
3
得，
x 2 +
x
1
= 3 ，则有 x +
1
x
= 3 ，
由此可得，
x 4
x
+
2
1
= x 2 +
1
x 2
= ( x +
1
x
) 2 − 2 = 3 2 − 2 = 7 ；
所以，
x
x
4
2
+ 1
=
1
7
．
请理解上述材料后求：已知
x 2 +
x
x + 1
= a ，用 a 的代数式表示
x 4 +
x 2
x 2 + 1
的值．
【配题说明】
本题主要考查了分式的值，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变
形、转化，才能发现解题的捷径．
【常规讲解】
解：由
x 2 +
x
x + 1
= a ，可得
x 2 +
x
x + 1
=
1
a
，
则有 x +
1
x
=
1
a
− 1 ，
由此可得，
x 4 +
x
x
2
2 + 1
= x 2 +
1
x 2
+ 1 = ( x +
1
x
) 2 − 2 + 1 = ( x +
1
x
) 2 − 1 = (
1
a
− 1 ) 2 − 1 =
1 −
a
2
2
a
，
所以，
x 4 +
x 2
x 2 + 1
=
1
a
−
2
2 a
．
练习6:
（★★★★★）已知 x 、 y 、 z 满足 y +
x
z = z +
y
x = x +
z
y = k ，求 k 的值．
【配题说明】
本题主要考查分式的求值，解题时注意分类讨论．
【常规讲解】
由题意，得y+z=xk，z+x= yk，x+y=zk，相加得 2 ( x + y + z ) = k ( x + y + z ) ， 当
x + y + z 0 时，k=2；当 x + y + z = 0
y+z
时，那么 y+z=−x ，代入 =k ，得
x
k = − 1 ；
综上所述， k = 2 或k =−1．练习7:
（★★★★★）已知x+y+z=3a，求
19
( x − a ) ( y
(
−
x
a
−
)
a
+
)
(2 y
+
−
(
a
y
)
−
(
a
z
)
−
2
a
+
)
(
+
z
(
−
z
a
−
) 2
a ) ( x − a )
的值．
【配题说明】
本题一方面考查分式的化简求值，另一方面考查整体代入思想的运用．
【常规讲解】
因为 x + y + z = 3 a ，所以 x + y + z − 3 a = 0 ，即 ( x − a ) + ( y − a ) + ( z − a ) = 0 ，
设 x−a=m，y−a=n，z−a= p ，则p=−(m+n)．
所以原式 =
m
m
n
2
+
+
n
n
p
2
+
+
p
p
m
2
=
m
m
2 +
n −
n 2
( m
+ (
+
m
n
+
) 2
n ) 2
=
2
−
m
m
2
2
+
−
2
m
m
n
n
−
+
n
2
2
n 2
= −
1
2
．
故答案为： −
1
2
．
