文档内容
A05 / B02 相似三角形的判定（二）
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）判定定理3
（2）直角三角形的判定定理
（3）几何证明综合
2. 考情分析
（1）相似三角形的判定定理，属于图形与几何部分，占中考考分值约30%.
（2）相似三角形的判定定理以选择、填空题为主，也会在解答题中进行综合考察.
（3）对应教材：初三上册，第二十四章：相似三角形，第三节：相似三角形 24.4相似三角
形的判定.
（4）相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角
形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重
点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互
相结合．
环节 需要时间
作业讲解及复习 15分钟
切片1：相似三角形判定定理 3 40分钟
切片2：直角三角形的判定定理 25分钟
切片3：几何证明综合 20分钟
出门测 10分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站 1——相似三角形判定定理 3【建议时长：40 分钟】
考点一：相似三角形的判定定理 1 性质应用
知识笔记1
相似三角形的判定定理3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的__________________，那么这两个三角形相似．
可简述为：__________________，两个三角形相似．
【填空答案】
1、三条边对应成比例
2、三边对应成比例
例题1:
（★★☆☆☆）（2020•黄浦区月考）根据下列条件判定ABC与
2
D E F 是否相似，如果是，
那么用符号表示出来．
（1） A B = 2 c m ，BC=3cm， C A = 4 c m ， D E = 1 0 c m ， E F = 1 5 c m ， F D = 2 0 c m
（2）AB=1cm， B C = 2 c m ，CA=1.5cm， D E = 6 c m ， E F = 4 c m ， F D = 8 c m ．
【常规讲解】（1）相似， A B C ∽ D E F ．（2）相似， A B C ∽ E F D ．
练习1:【学习框8】
（★★★☆☆） A B C 的边长分别为 a 、 b 、 c ， A
1
B C1
1
的边长分别为 a 、 b 、 c ，则
A B C 与 A
1
B C1
1
_____________（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．
【常规讲解】不一定．若 a = b = c 时，相似；若a、b、c中有两个不等，那么它们就不相
似．考点二：网格图中相似三角形的判断
例题2:
（1）（★★★☆☆）（2022•徐汇区期末）如图，正方形
3
A B C D 与 E F G 在方格纸中，正方
形和三角形的顶点都在格点上，那么与 E F G 相似的是( )
A．以点 E 、 F 、 A 为顶点的三角形 B．以点 E 、 F 、 B 为顶点的三角形
C．以点 E 、F 、 C 为顶点的三角形 D．以点E、 F 、 D 为顶点的三角形
（2）（★★★☆☆）（2022•嘉定区期中）如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①
A B C ，② B C D ，③BDE，④ B F G ，⑤FGH ，⑥EFK ，在② ~ ⑥中，与三
角形①相似的有_____________（填序号）
【常规讲解】
（1）解：由题意可得， E F G 中 E G F = 1 3 5 ， E G = 2 ， G F = 2 ， E F = 1 0 ．
A、EFA中， A E F 1 3 5 ，则EFA与 E F G 不相似，故本选项不符合题意；
B 、 E F B 中， B E F 1 3 5 ，则 E F B 与 E F G 不相似，故本选项不符合题意；
C、 E F C 中， E F = 1 0 ， C E = 5 ， C F = 5 ，
E
E
G
F
=
G
C
F
E
=
E
C
F
F
=
1
5
0
，
EFG∽FCE，
即EFC与EFG相似，故本选项符合题意；
D、EFD中，90DEF 135，则EFD与EFG不相似，故本选项不符合题意；
故选： C ．
（2）解：设每个小正方形的边长为1，则ABC的各边长分别为1、 2 、 5．则②
4
B C D 的各边长分别为1、 5、 2 2 ；
③BDE的各边长分别为2、 2 2 、 2 5 （为ABC各边长的2倍）；
④ B F G 的各边长分别为5、 5、 10（为 A B C 各边长的 5倍）；
⑤ F G H 的各边长分别为2、 2 、 1 0 （为 A B C 各边长的 2 倍）；
⑥EFK的各边长分别为3、 2 、 5 ．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为③④⑤．
练习2:【学习框10】
（1）（★★★☆☆）（2016•闵行区一模）如图， O P Q 在边长为1个单位的方格纸中，
它们的顶点在小正方形顶点位置，点 A ， B ，C， D ， E 也是小正方形的顶点，从点
A ， B ， C ， D ， E 中选取三个点所构成的三角形与 O P Q 相似，那么这个三角形是
____________．
（2）（★★★☆☆）（2020•普陀区中远实验中学期中）如图，点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、
F 、G、 H 、K都是78方格纸中的格点，如果DEM 与ABC相似（点 D 和A对
应，点 E 和 B 对应），那么点 M 应是 F 、 G 、 H 、 K 四点中的 ( )
A． F B． G C． H D．K
【常规讲解】
（1）解：与OPQ相似的是BCD；理由如下：连接
5
B C 、BD，如图所示：
则BCD=90+45=135=QOP，
由勾股定理得： O P = B C = 2 ，
O Q = 2 ， C D = 1 ，
O
C
P
D
=
Q
B
O
C
=
1
2
，
O P Q ∽ C D B ；
故答案为： C D B ．
（2）解：根据题意，
D E M ∽ A B C ， A B = 4 ， A C = 6 D E = 2 ，
D E : A B = D M : A C ，
D M = 3 ，
M 应是 H ，
故选： C ．考点三：相似三角形的性质 3解答证明
例题3：
（1）（★★★☆☆）（2020•长宁区期末）如图，D、E、F分别是
6
A B C 的边BC、CA、AB
的中点．求证： D E F ∽ A B C ．
（2）（★★★★☆）如图，点D为 A B C 内一点，点E为ABC外一点，且满足
A
A
B
D
=
B
D
C
E
=
A
A
C
E
．求证： A B D ∽ A C E ．
（3）（★★★★☆）如图，在梯形ABCD中，AB//CD， A = 9 0 ， A B = 2 ，BC=3，
C D = 1 ，点E是AD的中点．
① 求证： C D E ∽EAB；
② C D E 与 C E B
A
F E
B D C
A
E
D
B C
有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．
D C
E
A B【常规讲解】
（1）
7
D 、 E 、F 分别是边 B C 、 C A 、 A B 的中点，
1
DE= AB，
2
F E =
1
2
B C ， D F =
1
2
A C ．
AB BC AC
= = =2，
DE EF DF
DEF ∽ABC．
（2）
A
A
B
D
=
B
D
C
E
=
A
A
C
E
ABC∽ADE．
BAC=DAE， 即 B A D + D A C = C A E + D A C ．
BAD=CAE．
A
A
B
D
=
A
A
C
E
A B D ∽ A C E ．
（3）① 证明：过点 C 作 C F ⊥ A B ，垂足为 F ，如图．
A = 9 0 ， C F B = 9 0 ， A D / / C F ．
又 A B / / C D ， 四边形 A F C D 是平行四边形．
又 A = 9 0 ， 平行四边形 A F C D 是矩形．
A F = C D = 1 ， A D = C F ，BF =1．
在RtFBC中， C F = B C 2 − B F 2 = 2 2 ， A D = 2 2 ．
点E是AD的中点 E D = E A = 2 ．
DE CD 2
= =
AB AE 2
又 D=A=90 ， C D E ∽EAB．（本题还可用其它方法证明）
② CDE与CEB相似．
在RtDCE中， C E = D C 2 + D E 2 = 3 ，
在 R t C B F
D C
E
A B
F
中，BE= AE2 +AB2 = 6，
CE BE CB
= = = 3， CDE∽CEB．
CD DE CE练习3:【学习框12】
（1）（★★★☆☆）如图，在
8
A B C 中， A B C = 9 0 ，ACB=30，AC =2，
C D = 2 3 ， A D = 4 ．求证： A B C ∽ A C D ．
（2）（★★★★☆）已知：如图，在 R t A B C 中， A C B = 9 0 ， A C = 2 ， B C = 4 ，点
D 在BC边上，且 C A D = B ．
（1）求AD的长；
（2）取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF．求证： C E F ∽ A D B ．
【常规讲解】
（1） A B C = 9 0 ， A C B = 3 0 ， A C = 2 ．
1
AB= AC=1，在RtABC中，
2
B C = 3 ．
CD=2 3，AD=4，
AB AC BC 1
= = = ，
AC AD CD 2
A B C ∽ A C D ．
（2）① ACB=90，CAD=B，
CAD∽CBA
CD AC AD
= = ．
AC CB AB
AC2 =CD•CB C D = 1
D
A
B C
C
D
E
A F B
．
在RtADC中，AD= 5．② 点
9
E 、 F 分别是AD、AB的中点，
1
EF = BD．
2
在RtADC、RtABC中， C E =
1
2
A D ， C F =
1
2
A B ．
CE CF EF 1
= = = ，
AD AB BD 2
CEF∽ A D B ．知识加油站 2——直角三角形相似的判定定理【推荐时长 25分钟】
考点四：利用直角三角形相似的判定定理进行相似判断
知识笔记2
直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的________________对应成比
例，那么这两个直角三角形相似．
可简述为：_________________________，两个直角三角形相似．
【填空答案】
1、斜边及一条直角边
2、斜边和直角边对应成比例
例题4:
（★★☆☆☆）在
10
R t A B C 和 R t D E F 中， C = F = 9 0 ．依据下列各组条件判定这两个
三角形是否相似，并说明理由．
（1） A = 5 5 ， D = 3 5 ；
（2） A C = 9 ， B C = 1 2 ， D F = 6 ， E F = 8 ；
（3） A C = 3 ， B C = 4 ，DF =6， D E = 8 ；
（4）AB=10，AC=8， D E = 1 5 ，EF =9．
【常规讲解】相似，两三角形有两组角对应相等，故相似；
相似，两三角形两边对应成比例且夹角相等，故相似；
不相似，两三角形两边对应成比例且有一角相等，但此角不是夹角，故不相似；
相似，斜边和直角边对应成比例，故相似．考点五：相似三角形的性质 3解答证明
例题5:
（1）（★★★☆☆）已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两
段，则斜边上的中线长是___________．
（2）（★★★☆☆）如图，
11
A B ⊥ A D ， B D ⊥ D C ，且 B D 2 = A B • B C ．
求证： A B D = D B C ．
（3）（★★★☆☆）如图，四边形ABCD中， B A C = A D C = 9 0 ， A D = a ，
B C = b ， A C = a b ．
求证： D C ⊥ B C ．
【常规讲解】
（1）解：如右图，在RtABC中，ACB=90 ，
C D ⊥ A B 于点D，AE=EB．设 A D = 3 x ，BD=4x，CD=12．
易证 R t A D C ∽ R t C D B ，得
D
A
C
D
=
B
D
D
C
，得DC2 =AD•DB，所以 1 2 2 = 3 x • 4 x
A
D
B C
A D
B C
1
解得x=2 3，AB=7x=14 3，而CE= AB，所以CE=7 3．
2（2）证明：
12
A B ⊥ A D ， B D ⊥ D C ，
BAD=BDC=90 ．
BD2 = AB•BC，
B
B
C
D
=
B
A
D
B
．
B A D ∽ B D C ．
ABD=DBC．
（3）证明： A D = a ， B C = b ， A C = a b ，
AC2 = AD•BC．
A
A
C
D
=
B
A
C
C
．
又 B A C = A D C = 9 0 ，
ADC∽CAB．
ACD=B．
又 B + A C B = 9 0 ，
ACD+ACB=90 ．
D C ⊥ B C ．
练习5:【学习框14】
（1*）（★★☆☆☆）如图，在 A B C 和 A
1
B C1
1
中，AD⊥BC， A
1
D
1
⊥ B C1
1
，垂足为D和
D
1
AC AB AD
，且 = = ．求证：ABC∽
AC AB AD
1 1 1 1 1 1
A
1
B C1
1
．
A
1
A
B D C B 1 D 1 C 1（2）（★★☆☆☆）如图，
13
A C B = A D C = 9 0 ， A C = 6 ， A D = 2 ．问当 A B 的长为多
少时，这两个直角三角形相似．
【常规讲解】
（1）证明： A D ⊥ B C ， A
1
D
1
⊥ B C1
1
，
ADC=ADC =90 ．
1 1 1
又
A C
A C1
1
=
A
A
1
B
B
1
=
A
A
1
D
D
1
，
RtADC∽RtADC ，
1 1 1
C = C
1
．
同理可得： B = B
1
， A B C ∽ A
1
B C1
1
．
（2）解： A C = 6 ， A D = 2 ，
C D = A C 2 − A D 2 = 2 ．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当 R t A B C ∽ R t A C D 时，有
A
A
C
D
=
A
A
B
C
， A B =
A
A
C
D
2
= 3 ；
（2）当 R t A C B ∽ R t C D A 时，有
A
C
C
D
=
A
A
B
C
， A B =
A
C
C
D
2
= 3 2 ．
故当AB的长为3或 3 2 时，这两个直角三角形相似．知识加油站 3——几何证明综合【推荐时长 20分钟】
考点六：几何证明综合应用
例题6:
（★★★★☆）（2022•徐汇区期期中）如图，在四边形
14
A B C D 中，对角线 A C 与BD交于
点E， D B 平分 A D C ，且 A B 2 = B E B D ．
（1）求证： A B E ∽ D C E ；
（2）求证： A E C D = B C E D ．
【常规讲解】
证明：（1） A B 2 = B E B D ，
A B : B E = B D : A B ，
A B E = D B A ，
A B E ∽ D B A ，
B A C = B D C ，
B D 平分ADC，
A D B = B D C = B A C ，
ABE∽DCE；
（2）由（1）中相似可得， A E : D E = B E : C E ，
BEC=AED，
A D E ∽ B C E ，
EAD=EBC，ADE=BDC=BCE，
BCD∽AED，15
B C : A E = C D : E D ，
A E C D = B C E D ．
练习6:【学习框16】
（★★★★☆）（2022•杨浦区期中）已知：如图，在 A B C 中， B D 平分 A B C 交 A C 于D．
（1）求证：
A
C
D
D
=
A
B
B
C
；
（2）延长 B D 至点 E ，联结 C E 、 A E ，如果 A C E = E B C ，求证： A E = C E ．
【常规讲解】
证明：（1）如图，作 D F / / A B ，交 B C 于点 F ，则 F D B = D B A ，
B D 平分 A B C ，
D B A = D B C ，
F D B = D B C ，
D F = B F ，
A
B
D
F
=
C
C
D
F
，
AD BF
= ，
CD CF
A
C
D
D
=
D
C
F
F
，
D F C ∽ A B C ，
D
A
F
B
=
C
B
F
C
，
D
C
F
F
=
A
B
B
C
，
AD AB
= ．
CD BC
（2）如图，延长BD至点E，联结CE、AE，
ACE=EBC ，EBA=EBC，16
A C E = E B A ，
E D C = A D B ，
E D C ∽ A D B ，
ED CD
= ，
AD BD
E
C
D
D
=
A
B
D
D
，
A D E = B D C ，
ADE∽BDC，
D A E = E B C
A C E = D A E ，
A E = C E ．全真战场
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）下列命题中，说法正确的个数是（ ）
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；
（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
（4）两边对应成比例的两个三角形相似．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
【配题说明】综合运用相似三角形的判定进行证明
【常规讲解】（1）（2）正确；（3）错误，举反例如下图，
17
A B C 是等边三角形，
C G ⊥ A B 于点 G ， D E F 是顶角为 1 2 0 的等腰三角形，FH ⊥ED交 E D 的延长线于点
H ， A C G ∽ D F H ，但ABC与 D E F 不相似；（4）错误．
练习2:
（★★★☆☆）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有ABC与DEF ．
求证： A B C ∽FDE．
A D
B C F E
【配题说明】综合运用相似三角形的判定进行证明
【常规讲解】由图知：BC=1，AC= 2，AB= 5，18
D E = 2 ，EF =2， D F = 1 0 ．
BC AC AB 2
= = = ，
DE EF DF 2
ABC∽FDE．
练习3:
（★★★☆☆）如图，在 A B C 中，CD⊥ AB于D， D F ⊥ A C 于F， D G ⊥ B C 于G．求
证： C F • C A = C G • C B ．
【配题说明】综合运用相似三角形的判定进行证明
【常规讲解】证明： C D ⊥ A B ， D F ⊥ A C ，
ADC=CFD=90 ．
又 D C F = D C A ， D C F ∽ A C D ．
DC CF
= ，即
AC DC
D C 2 = C A • C F ．
同理可得： D C 2 = C G • C B ， C F • C A = C G • C B ．
练习4:
（★★★☆☆）如图，在 A B C 中，CD垂直平分AB，点E在CD上， D F ⊥ A C 于F，
D G ⊥ B E 于G．求证： A F • A C = B G • B E
C
G
F
A D B
．
C
E
G
F
A D B【配题说明】综合运用相似三角形的判定进行证明
【常规讲解】证明：
19
C D 垂直平分AB，
ADC=EDB=90 ，AD=DB．
又 D F ⊥ A C ， A F D = 9 0 ， ADC=AFD．
又 A = A ， A F D ∽ A D C ．
AD AF
= ， 即
AC AD
A D 2 = A C • A F ．
同理得 D B 2 = B G • B E ．
AC•AF =BG•BE．
关卡二
练习5:
（★★★★☆）（2022 •长宁区延安实验中学期中）已知：如图，在 A B C 中，点 D 在边
B C 上， A E / / B C ， B E 与AD、 A C 分别相交于点 F 、 G ， A F 2 = F G F E ．
（1）求证： C A D ∽ C B G ；
（2）联结DG，求证：DGAE= ABAG．
【配题说明】综合运用相似三角形的判定进行证明
【常规讲解】证明：（1） A F 2 = F G F E ．
A
F
F
G
=
E
A
F
F
，
A F G = E F A ，
FAG∽FEA，
FAG=E，
A E / / B C ，
E=EBC，
EBC=FAG，
ACD=BCG，
CAD∽CBG；（2） CAD∽CBG，
20
C
C
A
B
=
C
C
D
G
，
D C G = A C B ，
C D G ∽ C A B ，
D
A
G
B
=
C
C
G
B
，
A E / / B C ，
AE AG
= ，
BC GC
A
A
G
E
=
G
B
C
C
，
D
A
G
B
=
A
A
G
E
，
D G A E = A B A G ．
练习6:
（★★★★☆）（2022•静安区华东模范中学期中）已知：如图，梯形 A B C D 中，
D C / / A B ， A D = B C = D C ， A C 、 B D 是对角线， E 是 A B 延长线上一点，且
B C E = A C D ，联结 C E ．
（1）求证：四边形 D B E C 是平行四边形；
（2）求证： A C 2 = A D A E ．
【配题说明】综合运用相似三角形的判定进行证明
【常规讲解】证明：（1） 梯形ABCD中，DC//AB，AD=BC=DC，
ADC=BCD，
在ADC和BCD中，21
A
C
D
A
D
=
D
=
C
B
D
C
=
C
B C D ，
A D C B C D ( S A S ) ，
A C D = B D C ，
B C = D C ，
C B D = B D C ，
C B D = A C D ，
B C E = A C D ，
BCE=CBD，
B D / / C E ，
又 DC//AB，
四边形 D B E C 是平行四边形；
（2）由（1）得：四边形 D B E C 是平行四边形，
E = B D C ，
D C / / A B ，
BAC=ACD，
B C E = A C D ，
BAC=BCE=E，
C E = A C ，
又 B=B，
E A C ∽ E B C ，
C
B
E
C
=
A
A
E
C
，
AC AE
即 = ，
AD AC
A C 2 = A D A E ．练习7:
（★★★★☆）（2022•奉贤区期中）如图，已知在四边形
22
A B C D 中， A D / / B C ． E 为边
C B 延长线上一点，联结 D E 交边 A B 于点 F ，联结AC交 D E 于点 G ，且
F
D
G
G
=
A
C
D
E
．
（1）求证： A B / / C D ；
（2）如果 A E 2 = A G A C ，求证：
A
A
E
G
=
D
A
E
D
．
【配题说明】综合运用相似三角形的判定进行证明
【常规讲解】证明：（1） A D / / B C ， A D G ∽ C E G ，
A
C
D
E
=
A
C
G
G
，
F
D
G
G
=
A
C
D
E
，
A
C
G
G
=
F
D
G
G
，
A B / / C D ；
（2） A E 2 = A G A C ，
AE AC
= ，
AG AE
E A G = C A E ，
AEG∽ACE，
A E G = A C E ，
A D / / B C ，
ACE=DAG，
D A G = A E G ，
ADG=EDA，
A D G ∽ E D A ，
A
D
D
E
=
A
A
G
E
，即
A
A
E
G
=
D
A
E
D
．
