文档内容
A01/B01 整数和整除及分解素因数
考情链接
1．本次任务由五个部分构成
（1）整数的意义和分类
（2）整除的意义
（3）因数和倍数的意义
（4）素数与合数
（5）分解素因数
2．考情分析
（1）分解素因数、整数和整除属于数与运算部分，属于记忆水平；
（2）主要考查素数、合数、分解素因数、整数的分类、整除的意义及因数和倍数，以选择
填空题为主，占中考总分值的5%；
1知识加油站1——整数的意义和分类
知识笔记1
1．正整数
在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4…，叫做________．
2．负整数
在正整数1、2、3、4…的前面添上“－”号，得到的数－1、－2、－3、－4…，叫做________．
3．零
零可以表示没有物体，还可以表示计量过程中某种量的准基数，如0摄氏度．
4．自然数
________和________统称为自然数．
考点一：整数的概念
例题1:
（1）判断题（若是正确的，请说明理由）．
①最小的自然数是1； （ ）
②最小的整数是0； （ ）
③非负整数是自然数； （ ）
④有最大的正整数，但没有最小的负整数； （ ）
⑤有最小的正整数，但没有最大的负整数． （ ）
（*2）（2022•青浦区青浦一中期中）下列说法正确的是
2
( ) .
A．最小的正整数是0 B．没有最小的正整数
C．整数一定比小数大 D．所有的自然数都是整数
练习1:
（1）_________，0，_________统称整数．（2）在有理数中，下列说法正确的是（ ）
A．有最小的负整数，但没有最大的正整数 B．有最小的自然数，也有最大的负整数
C．有最大的数，也有最小的数 D．有最小的数，但没有最大的数
考点二：整数的分类
知识笔记2
整数的分类
正整数、零、负整数，统称为整数．
正整数
自然数
整数零
负整数
例题2:
把下列各数放入相应的圈内：
15，
3
− 1 ，−0.2，0， − 6 3 ，0.7，13， − 0.2323…，
3
5
．
整数 自然数
正整数 负整数练习2:
先把下列各数放入正确的圈内
−1，2，
4
− 0 .3 ……，15， − 0 .7 ，0，3.83，0.3，1，4.732732……， − 8 ，10．
整数 自然数
正整数 负整数
考点三：整数的表示
例题3:
五个连续的自然数，已知中间数是 a ，那么其余四个数分别是______、______、______、
______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．
练习3:
三个连续自然数的和是21，这三个自然数分是______、______、______．知识加油站2——整除的意义
知识笔记3
1. 整除的概念
若整数
5
a 除以非零整数 b ，商为整数，且余数为零， 我们就说 a 能被 b _______（或说
b____________）.
2. 整除的条件
（1）除数、被除数和商都是_______；
（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为________．
考点四：整除的概念
例题4:
（1）（2021•宝山区校级月考）在 5 6 8 = 7 中， 能被 整除．
（2）（判断以下句子是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“×”
①13能被0.3整除．（ ）
②因为 1 5 0 .3 = 5 0 ，所以说15能被0.3整除．（ ）
③如果ab=c，那么 a 能被 b 整除．（ ）
（3）（2022•宝山区校级月考）能整除16的数有__________________________．
练习4:
（1）（2023•宝山区期末）下列各算式中，被除数与除数具有整除关系的是 ( )
A．53 B．55 C．52.5 D．52
（2）判断以下句子是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“×”
①因为 3 1 .5 = 2 ，所以3能被1.5整除．（ ）
②因为AB=4，所以A能被B整除．（ ）
③如果ab=15，那么a一定能被b整除．（ ）
（3）（2021•宝山区校级月考）能整除12的数有_________________________．考点五：整除与除尽
知识笔记4
除尽与整除
（1）除尽的概念：若数a除以非零数
6
b ，商为整数或有限小数，我们就说 a 能被 b 除尽（或
b 能除尽 a ）.
（2）除尽和整除的区别：整除要求被除数、除数、商都是整数；除尽要求被除数、除数、
商可以是整数，也可以是有限小数，______________________________；
（3）总结：________________________________________________.
例题5:
已知下列除法算式：
57÷7=8……1； 21÷7=3； 22÷0.2=110；
22÷5=4.4； 0÷3=0； 2÷4=0.5．
（1）表示能除尽的算式有哪几个？
（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？
练习5:
把表示下列算式的序号填入适当的空格内．
（1）30÷10 （2）7÷25 （3）35÷0.1 （4）18÷3
（5）0.4÷2 （6）3.9÷0.3 （7）27÷9 （8）16÷4
除数能整除被除数的：________________________________________；
能够除尽的：________________________________________________．考点六：整除与余数的应用
例题6:
（1）框内有36个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个拿出，要求每次拿出的苹果的个数
同样多，而且正好拿完，那么拿法共有 种．
（2）王老师带领24名学生去社区为民服务，需平均分成若干个小组，每组的人数在5到10
人之间，应该怎样分组？
（*3）2017年教师节正好是星期日，师生们可以利用星期五下午的班会课提前庆祝节日．有
同学问，那明年的教师节是星期几呢？我们能否不翻阅日历，就知道2018年的教师节是星
期几呢？
练习6:
（1）筐内有196个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿，要求每次拿出的苹果个数
同样多，而且正好拿完，那么拿法共有( ).
A．4种 B．6种 C．7种 D．9种
（2）面积是96平方厘米，形状不同且长和宽都是整数厘米数的长方形有多少种？
7（*3）学校一学期共安排86节数学课，单周一三五每天两节，双周二四每天两节．开学第
一天星期一没有上课，从星期三开始上，则最后一节数学课是星期几上的？
*例题7:
（长宁区校级自主招生）如果某正整数不论从左面或右面读起都相同（如
8
: 3 6 5 6 3 ，2002等）
那么称该数为“回文数”，能被101整除的最大五位回文数是 ．
*练习7:
一个正整数，由 N 个数字组成，若它的第一位数可以被 1 整除，它的前两位数可以被 2 整
除，前三位数可以被 3 整除， ，一直到前 N 位数可以被 N 整除，则这样的数叫做“精巧
数”．如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整
除，则123是一个“精巧数”．
（1）243 “精巧数”（填是或不是）；3246 “精巧数”（填是或不是）；
（2）若四位数 1 2 3 k 是一个“精巧数”，求 k 的值；知识加油站3——因数和倍数
知识笔记5
因数和倍数的概念
整数
9
a 能被整数 b 整除， a 就叫做 b 的_______， b 就叫做 a 的_______（也叫______）.
考点七：因数与倍数的概念
例题8:
（1）（2022•徐汇区期末） M 能整除19，那么 M 是( )
A．19 B．38 C．19的倍数 D．19的因数
（2）12和3，其中 是 的因数， 是 的倍数．
练习8:
有一个算式 6 3 7 = 9 ，则可以说______能被______整除，也可以说______能整除______，还
可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数．
考点八：因数与倍数的应用
知识笔记6
1．因数和倍数的特点
（1）________________________________________________________________________；
（2）________________________________________________________________________；
（3）________________________________________________________________________．
2．因数和倍数的性质
（1）一个整数的因数有有限个.一个整数最小的因数是____，最大的因数是它本身；
（2）一个整数的倍数有_______．________________________________________________．例题9:
（1）（2023•普陀区期中）一个数是13的倍数，又是26的因数，这个数
10
( )
A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在
（2）105以内15的倍数共有 ( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
练习9:
（1）一个数既是18的约数，又是18的倍数，这个数是_______．
（2）（2021•青浦区期中）36的所有因数的个数有 ( )
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
*例题10:
（2022•青浦区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于 a 的
正的因数叫做 a 的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．把
一个自然数 a 的所有真因数的和除以 a ，所得的商叫做a的“完美指标”．所以，16 的“完美
指标”是 ．
*练习10:
规定一个新运算：对于不小于 3的正整数 n ， ( n ) 表示不是 n 的因数的最小正整数，如 5的
因数是1和5，所以（5） = 2 ；再如8的因数是1、2、4和8，所以（8） = 3 等等，请你在
理解这种新运算的基础上，求（6）+(24)= ．知识加油站4——素数与合数
知识笔记7
1．素数
素数：一个正整数，如果只有___和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做______．
2．合数
合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数．
3．1既不是素数，也不是合数
正整数可分为：______、______和______三类．
4．100以内的素数表
2、3、5、7
11、13、17、19
23、29
31、37
41、43、47
53、59
61、67
71、73、79
83、89
97
11考点九：素数与合数的概念与性质
例题11:
（1）下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？
6，13，18，31，51，67，87，120．
（2）（2022•松江区期中）在下列说法中，正确的是
12
( )
A．奇数都是素数 B．奇数是合数
C．两个连续的正整数互素 D．在正整数中，除了素数都是合数
练习11:
（1）（2022•松江区期中）在11、21、31、51、61中，合数有 个．
（2）（2022•嘉定区期中）下列说法正确的是 ( )
A．奇数都是素数 B．素数都是奇数
C．合数不都是偶数 D．偶数都是合数
考点十：素数与合数的应用
例题12:
（*1）（2022•宝山区期中）如果两个素数的和是奇数，那么其中较小的素数是 ．
（2）已知字母 p 、 q 分别代表一个素数，并且 p + q = 9 9 ，你能知道 p 、 q 这两个数相乘的积
是多少吗？
（3）（2021•宝山区校级月考）一个能被 2 和 3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是
合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，个位上的数
是 ．练习12:
（1）两个素数的和是201，那么这两个素数的乘积是_____.
（2）（2022•普陀区校级期中）有一个三位数，百位上的数字是最小的合数，十位上的数
字是最小的自然数，个位上的数字是最小的素数，这个三位数是 ．
*例题13:
（1）（2021•宝山区校级月考）小杰刚为自己的电脑设置了一个新密码，你能破解吗？
密码的顺序如下
13
a b c d e f ，其中： a 是最小的合数； b 是唯一的偶素数；c是两个素数的乘积，
且这两个素数又是连续的正整数； d 只有一个因数的数； e 既不是正整数，也不是负整数的
数； f 是所有因数是1，2，4，8的数．
小杰的电脑密码是： ．
（2）已知一个长方形的长和宽都是质数厘米，并且周长是36厘米．问这个长方形的面积至
多是多少个平方厘米？
*练习13:
有一个长方形的长和宽都是质数，并且周长是40厘米，这个长方形的面积最大是多少平方
厘米？知识加油站5——分解素因数
知识笔记8
1．分解素因数
每个合数都可以写成几个_______相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这
个合数的素因数．
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做____________．
2．分解素因数的方法
（1）树枝分解法
例如：
（2）短除法
如下图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．
用短除法分解素因数的步骤如下：
①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
②得出的商如果是______，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
③然后把各个除数和最后的商按______的顺序写成连乘的形式．
14考点十一：分解素因数
例题14:
（1）（2022•杨浦区期中）下列各式中表示分解素因数的式子是
15
( )
A．23=6 B． 2 8 = 2 2 7 C． 1 2 = 4 3 1 D． 3 0 = 5 6
（*2）（2022•杨浦区期中）（2021•金山区期末）把24分解素因数，正确的形式是 ( )
A．24=234 B．12223=24 C．24=2223 D．2223=24
练习14:
（2022•长宁区校级期中）把36分解素因数正确的算式是( )
A． 3 6 = 1 2 2 3 3 B． 3 6 = 2 3 6 C． 3 6 = 2 2 3 3 D．36=66
例题15:
（1）（2023•普陀区期中）用短除法将下列各数分解素因数．
①40；②114．
（*2）（2022•静安区期中）将28和70分解素因数，并写出它们公有的素因数．练习15:
（*1）（2020•闵行区期末）把18分解素因数，那么18=_____________.
（2）（2021•宝山区校级月考）把下列各数分解素因数．
54；102．
例题16:
（2021•嘉定区期中）规定一种新运算，对于一个合数
16
n ， ( n ) 表示不是 n 的素因数的最小
素数，如（4）=3，(12)=5，那么 ( 6 0 ) = ．
练习16:
如果 a 表示全部素因数的和，如 6 = 2 + 3 = 5 ，试求 3 5 − 1 0 的值．
*例题17:
把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是
1920．这篮苹果共有多少个？
*练习17:
有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗．共有多少种分
法？全真战场
关卡一
练习1:
（1）下列说法中正确的是
17
( )
A．1是自然数，并且是最小的自然数
B．1是任何正整数的因数
C．一个正整数至少有2个因数
D．整数可以分为正整数和负整数两类
（2）下列说法中正确的是 ( )
A．任何正整数的正因数至少有两个
B．一个数的倍数总比它的因数大
C．1是所有正整数的因数
D．3的因数只有它本身
（3）（2020•浦东新区月考）下列说法中错误的是 ( )
A．0是最小的自然数
B．一个正整数不是奇数就是偶数
C．素数都是奇数
D．不相等的两个素数一定互素
（4）（2020•徐汇区校级期末）在正整数中，4是( )
A．最小的奇数 B．最小的偶数 C．最小的素数 D．最小的合数
练习2:
（1）（2023•崇明区期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是 ( )
A．1和2 B．2和1 C．1和0.5 D．0.5和1
（2）（2022•嘉定区期中）18的因数有__________________________．练习3:
（1）①（2021•宝山区校级月考）自然数中最小的奇素数是 ．
②（2022•青浦区期中）最小的合数是 ．
（2）（2021•徐汇区校级期中）既不是合数又不是素数的正整数是 ，既是素数又是偶数
的正整数是 ．
（3）三个素数的和是100，这三个素数的积最大是多少？
（4）一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是多少？
练习4:
（1）（2020•浦东四署期末）分解素因数42=________________；
（2）学校搬家用车分3次运送315只箱子.已知每辆车装的箱子数相等且至少装7箱，问
可以有多少辆车？且每辆车装多少只箱子？（每辆车至多装50只箱子）
18练习5:
（1）一个数是15的倍数，又是15的因数，这个数是多少？
（2）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是多少？
（3）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数？这个数是多少？
练习6:
一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体地互换位置，则所得的新六位数恰为原
数的6倍，此六位数为 ．
练习7:
一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是？
19关卡二
练习8:
将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之
和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 种．
练习9:
同学们可能都知道，对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个
数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是
20
b ，十位
上的数字为 c ，个为上的数字为 d ，如果 a + b + c + d 可以被3整除，那么这个四位数就可以
被3整除．
（1）你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．
（2）通过本题的证明，你能总结出能被9整除的整数的特点吗？不必证明．练习10:
我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数
21
a ，我们把小于 a 的正的因数叫做 a 的真
因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数．
把一个自然数 a 的所有真因数的和除以 a ，所得的商叫做 a 的“完美指标”．如 10 的“完美指
标”是 (1 + 2 + 5 ) 1 0 =
4
5
．
一个自然数的“完美指标”越接近 1，我们就说这个数越“完美”．如 8 的“完美指标”是
(1 + 2 + 4 ) 8 =
7
8
，10 的“完美指标”是
4
5
，因为
7
8
比
4
5
更接近 1，所以我们说 8 比 10 更完
美．
（1）试分别计算5、6、9的“完美指标”；
（2）试找出比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数．
练习11:
先把一个数的末位非零的数字割去，并在上位加上所割去数的4倍，然后再将和数的末位数
割去，并在上位加上所割去数的 4 倍，这样继续下去，直到能够很容易看出和数是不是 13
的倍数为止．若是13的倍数，则这个数就是13的倍数．试判断下列各数，哪些是13的倍
数？（写出具体过程）
（1）9062； （2）12805； （3）158506．
