文档内容
【初二 01B】
入门测
1．下列说法正确的是( )
A．8的平方根是±4 B． 9 =±3
C．−8的立方根是−2 D．16的四次方根是2
2．已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，那么点P的坐标是(
)
A．(−2,3) B．(−3,2) C．(2,−3) D．(3,−2)
3．如图，已知AB//DE，BF ⊥ AB，垂足为点B，那么∠1、∠2、∠3之间的数量关
系是( )
A．∠1+∠2+∠3=180° B．∠3−∠1+∠2=90°
C．∠3−∠1−∠2=90° D．∠3+∠1−∠2=90°
4*．计算3 (−3)3 的结果是( )
A．3 B．−3 C．±3 D．−27
【常规讲解】
1．解：A、8的平方根是± 8 =±2 2，故选项不符合题意；
B、 9 =3，故选项不符合题意；
C、−8的立方根是−2，故选项符合题意；
D、16的四次方根是±2，故选项不符合题意；
故选：C．
2．解：点P在第二象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，∴点P的横坐标是−3，纵坐标是2，
∴点P(−3,2)．
故选：B．
3．解：过点C作CG//DE，
∴∠DCG+∠3=180°，
BF ⊥ AB，
∴∠ABF =90°，
AB//DE，
∴∠ABC =∠BCG，
∴∠ABF +∠1=∠2+∠DCG，
∴∠DCG=90°+∠1−∠2，
∴90°+∠1−∠2+∠3=180°，
即∠1−∠2+∠3=90°，
故选：D．
4．解：3 (−3)3 =−3．
故选：B．
入门测Plus
1 1
1．将方根 写成幂的形式： = ．
3 62 3 62
2．方程x3 −125=0的根是x= ．
3．如图，在∆ABC中，AB=10，AC=8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN 过
点O，且MN //BC ，分别交AB、AC于点M 、N．则∆AMN的周长为 ．【常规讲解】
1 1 − 2
1．解： = =6 3，
3 62 2
63
2
−
故答案为：6 3．
2．解：x3 −125=0
x3 =125
x= 3125
x=5，
故答案为：5．
3．解：在∆ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO=∠OBC，
MN //BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠MOB，
∴BM =OM ，
同理CN =ON ，
∴∆AMN 的周长是：
AM +NM + AN = AM +OM +ON + AN = AM +BM +CN + AN = AB+ AC =10+8=18．
故答案为：18．
出门测
1. （2023•宝山区校级月考）下列二次根式中，与 3a属同类二次根式的是( )
A． 9a B． 27a2 C． 18ab2 D． 27ab2
2. （2022•浦东新区校级月考）若m，n为任意实数，则下列各式成立的是( )A． (m+n)2 =m+n B． m2 + n2 =m+n
C． mn = m+ n D． (m+n)4 =(m+n)2
3. （2022•黄浦区校级月考）化简 4a2b3 =_____．
1 x2 +3x−4 x2 −6x+9
4. （2023•金山区校级月考）先化简再求值：当x= 时，求 − 的
2+ 3 x−1 x2 −3x
值．
【常规讲解】
1. 解：A、原式=3 a，不符合题意；
B、原式=3 3|a|，不符合题意；
C、原式=3|b| 2a，不符合题意；
D、原式=3|b| 3a ，符合题意．
故选：D．
2. 解： (m+n)2 =|m+n|，A错误；
m2 + n2 =|m|+|n|，B错误；
mn ≠ m+ n，C错误；
(m+n)4 =(m+n)2，D正确，
故选：D．
3. 解： 4a2b3 =2|a|b b．
故答案为：2|a|b b ．
1 2− 3
4. 解：x= = =2− 3，
2+ 3 (2+ 3)(2− 3)
∴x−3=2− 3−3=−1− 3<0，
(x+4)(x−1) (x−3)2
原式= −
x−1 x(x−3)
−(x−3)
=x+4−
x(x−3)
1
=x+4+
x
=2− 3+4+2+ 3
=8．出门测Plus
（2021•普陀区校级月考）已知非零实数a，b满足2 a( a +2 b)= b( a +5 b)，求代数
2a+ ab+3b
式 的值．
3a+ ab−2b
5. 解：2 a( a +2 b)= b( a +5 b)，
∴2( a)2 +3 a⋅ b−5( b)2 =0，
∴( a − b)(2 a +5 b)=0，
a>0，b>0，
∴2 a +5 b >0，
∴ a − b =0，
∴a=b，
2a+ ab+3b 2b+ b2 +3b 2b+b+3b 6b
∴ = = = =3．
3a+ ab−2b 3b+ b2 −2b 3b+b−2b 2b【初二 02B】
入门测
1．（2023•金山区校级月考）下列各式中，与 2a 是同类二次根式的是( )
1
A． 8a B． 2a2 C． D． 3a
a
2. （2022•黄浦区校级月考）下列计算正确的是( )
A． 2+ 5 = 7 B． (−2)2 =−2 C．2 5− 5 = 5 D．± 25 =5
3．（2022•黄浦区校级月考）化简： a2 +( −a)2 =_____．
1−x 2x−2
4. 先化简，再求值：1+ ÷ ，其中x= 2+1．
x+1 x2+2x+1
【常规讲解】
1. 解：A、 8a =2 2a 与 2a 是同类二次根式，符合题意；
B、 2a2 = 2|a|与 2a 不是同类二次根式，不符合题意；
1 a
C、 = 与 2a 不是同类二次根式，不符合题意；
a a
D、 3a与 2a 不是同类二次根式，不符合题意．
故选：A．
2. 解：A、 2与 5 不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、 (−2)2 =2，故B不符合题意；
C、2 5− 5 = 5，故C符合题意；
D、± 25 =±5，故D不符合题意；
故选：C．
3. 解：原式=−a+(−a)
=−2a．
故答案为：−2a．
x+1 1−x 2x−2
4. 原式= + ÷
x+1 x+1 x2+2x+1
2 2(x−1)
= ÷
x+1 (x+1)2
2 (x+1)2
= ⋅
x+1 2(x−1)x+1
=
x−1
当x= 2+1时，
2+1+1 2+2
原式= = = 2+1
2+1−1 2
入门测Plus
m n 3mn
已知A= − ⋅
n m m−n
（1）化简A；
（2）若m+n−2 3=0，求A的值．
m2 n2 3mn ( m+n )( m−n ) 3mn
解：（1）A= − ⋅ = ⋅ = 3 ( m+n )= 3m+ 3n；
mn nm m−n mn m−n
（2）∵m+n−2 3=0，
∴m+n=2 3，
∴A= 3(m+n)= 3×2 3=6．
出门测
1．下列方程属于一元二次方程的是
( )
1
A．xy=6 B．x+ y=5 C．x2 +2x=0 D．x+ =5
x
2．若关于x的一元二次方程x2 −mx+2=0有一个根是1，则m的值为
( )
A．4 B．3 C．2 D．−3
3．已知m是方程x2 −x−1=0的一个根，求代数式2022+5m−5m2
的值．
1．【常规讲解】
解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．【常规讲解】
解：把x=1代入方程 x2 −mx+2=0 得1−m+2=0，
解得m=3．
故选：B．
3．【常规讲解】
解：m是方程 x2 −x−1=0 的一个根，
∴m2 −m−1=0 ，
∴m2 −m=1 ，
∴2022+5m−5m2 =2022−5(m2 −m)=2022−5×1=2017．
出门测Plus
4．解方程(x−1)2 =225．
5．解方程：9(x−1)2 =16(x+2)2．
4．【常规讲解】
解：(x−1)2 =225，
∴x−1=±15，
解得
x =16
，
x =−14
．
1 2
5．【常规讲解】解：两边直接开平方，得： 3(x−1)=±4(x+2) ，
即3x−3=4x+8或3x−3=−4x−8，
5
解得：x=−11或x=− ．
7【初二 03B】
入门测
1．下列方程中是一元二次方程的是
( )
1
A．(x−2)2 +4=x2 B．x2 +2x+2=0 C．x2 + −3=0 D．xy+2=1
x
2．已知一元二次方程x2 +kx+3=0有一个根为1，则k 的值为
( )
A．−2 B．−4 C．2 D．4
1
3．若a是方程x2 +x−1=0的根，则代数式2022−a+ 的值是_______．
a
1．【常规讲解】
解：A．由(x−2)2 +4=x2，得4x=0，那么(x−2)2 +4=x2不是一元二次方程，故A
不符合题意．
x2 +2x+2=0
B．根据一元二次方程的定义， 是一元二次方程，故B符合题意．
1
C．根据一元二次方程的定义，x2 + −3=0不是一元二次方程，而是分式方程，故C
x
不符合题意．
D．根据一元二次方程，xy+2=1不是一元二次方程，故D不符合题意．
故选：B．
2．【常规讲解】
解：把x=1代入方程得1+k+3=0，
解得k =−4．
故选：B．
3．【常规讲解】
解：
a是方程x2
+x−1=0的根，
∴a2 +a−1=0
，1
∴a− =−1，
a
1
∴2022−a+
a
1
=2022−(a− )
a
=2022+1
=2023．
故答案为：2023．
入门测Plus
1．解方程：2(x−2)2 −4=0．
2．解方程：(2x−1)2 =(3−x)2．
4．【常规讲解】
解：方程整理得：(x−2)2 =2，
开方得：x−2=± 2，
解得：x =2+ 2，x =2− 2．
1 2
5．【常规讲解】
解：2x−1=±(3−x)，
2x−1=3−x或2x−1=−3+x，
4
所以x = ，x =−2．
1 3 2
出门测
1．用因式分解法解方程：(x−1)(x+2)=2(x+2)．
2．用配方法解方程：3x2 −x−1=0．
1．【常规讲解】
解：(x−1)(x+2)−2(x+2)=0，(x+2)(x−1−2)=0，
x+2=0或x−1−2=0，
所以x =−2；x =3．
1 2
2．【常规讲解】
解：3x2 −x−1=0，
1 1
x2 − x= ，
3 3
1 1 1 1
x2 − x+( )2 = +( )2，
3 6 3 6
1 13
(x− )2 = ，
6 36
1 13
x− =± ，
6 6
1 13 1 13
x− = 或x− =− ，
6 6 6 6
13+1 1− 13
x = ，x = ．
1 6 2 6
出门测Plus
3．解方程：2x2 −5x−10=0（配方法）．
4．用公式法解方程：3x2 −2=2x．
3．【常规讲解】
5
解：x2 − x−5=0，
2
5 5 25 5 105
x2 − x+( )2 =5+ ，即(x− )2 = ，
2 4 16 4 16
5 105
∴x− =± ，
4 4
5+ 105 5− 105
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
4．【常规讲解】
解：整理得3x2 −2x−2=0，这里a=3，b=−2，c=−2，
∴△=(−2)2 −4×3×(−2)=28>0，
−b± b2 −4ac 2± 28 1± 7 1+ 7 1− 7
∴x= = = ，∴x = ，x = ．
2a 2×3 3 1 3 2 3【初二 04B】
入门测
1. 用因式分解法解方程：2y2 +4y= y+2．
2．用配方法解方程：3x2 −8x+3=0．
1．【常规讲解】
解：2y2 +4y= y+2，
∴2y(y+2)−(y+2)=0，
则(y+2)(2y−1)=0，
∴y+2=0或2y−1=0，
1
解得y =−2，y = ．
1 2 2
2．【常规讲解】
解：3x2 −8x+3=0，
8
x2 − x=−1，
3
4 7
(x− )2 = ，
3 9
4 7
x− =± ，
3 3
4+ 7 4− 7
则x = ，x = ．
1 3 2 3
入门测Plus
3．用配方法解方程：x2 +6x+2=0．
4．用公式法解方程：2x2 −1=4x．3．【常规讲解】
解：移项得x2 +6x=−2，
配方得x2 +6x+9=−2+9，
即(x+3)2 =7，
开方得x+3=± 7 ，
解得：x =−3+ 7，x =−3− 7．
1 2
4．【常规讲解】
解：整理，得：2x2 −4x−1=0，
a=2，b=−4，c=−1，
∴△=b2 −4ac=(−4)2 −4×2×(−1)=24>0，
∴ x= −b± b2 −4ac = 4± 24 ，
2a 4
2+ 6 2− 6
∴ x = ,x = ．
1 2 2 2
出门测
1．关于x的一元二次方程x2 +3x−2=0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
2．一元二次方程3x2 =3−2x的根的判别式的值为________．
3．关于x的方程(k+1)x2 +2x−1=0有实数根，则k的取值范围是________．
1．【常规讲解】
解：△=32 −4×1×(−2)=17>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．【常规讲解】
解：方程化为一般式为3x2 +2x−3=0，所以△=22 −4×3×(−3)=40．
故答案为：40．
3．【常规讲解】
1
解：当k+1=0时，即k =−1，方程化为2x−1=0，解得x= ；
2
当k+1≠0时，△=22 −4(k+1)×(−1)≥0，
解得k≥−2且k ≠−1，
综上所述，k的取值范围为k≥−2．
故答案为：k≥−2．
出门测Plus
4．已知关于x的一元二次方程x(kx−4)−x2 +4=0．
（1）如果方程的根的判别式的值为4，求k的值；
（2）如果方程有两个实数根，求k的取值范围．
5 已知：设三角形ABC的三边 a，b，c 为方程4x2+4 ax+2b−c=0有两个相等的实数根，
且a，b，c满足3a−2c=b
（1）求证：ABC是等边三角形．
（2）若a，b为方程x2−2kx+(−2k+3)=0的两根，求k的值．
4．【常规讲解】
解：（1）方程化为：(k−1)x2 −4x+4=0，
根据题意得△=(−4)2 −4(k−1)×4=4，
7
解得k = ；
4
（2）根据题意得k−1≠0且△=(−4)2 −4(k−1)×4…0，
解得k„ 2且k ≠1，
即k的取值范围为k<2且k ≠1．
5．【常规讲解】
（1）解：方程4x2+4 ax+2b−c=0有两个相等的实数根，∴△=(4 a)2−4×4×(2b−c)=0，即a=2b−c，
3a−2c=b，
∴3(2b−c)−2c=b，即b=c，
将b=c代入a=2b−c得：a=b，
∴a=b=c，
∴∆ABC是等边三角形；
（2）a、b为方程x2−2kx−(2k−3)=0两根，且a=b，
∴△=(−2k)2−4×1×[−(2k−3)]=0，即k2+2k−3=0，
解得：k =1或k =−3，
当k =−3时，方程为x2+6x+9=0，解得：x =x =−3<0（舍）；
1 2
当k =1时，方程为x2−2x+1=0，解得：x =x =1，（符合题意）；
1 2
故k =1．【初二 05B】
入门测
1．方程x2 −8x+16=0的根的况是( )
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根
2．一元二次方程−x2 +3x+1=0的根的判别式的值是________．
3．关于x的一元二次方程(3−m)x2 −3x+m=0有两个相等的实数根，则m=________．
1．【常规讲解】
解：方程x2 −8x+16=0，
△=(−8)2 −4×1×16=64−64=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：A．
2．【常规讲解】
解：在一元二次方程−x2 +3x+1=0中，a=−1，b=3，c=1，
∴△=32 −4×(−1)×1=13，
故答案为：13．
3．【常规讲解】
3−m≠0
解：根据题意得： ，
=(−3)2 −4(3−m)m=0
解得：m=1.5．
故答案为：1.5．
入门测Plus
4．已知关于x的一元二次方程(m−1)x2 +2mx+m−3=0，求：当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围．
5．设a，b，c是∆ABC的三边长，关于x的方程x2 +2 bx+2c−a=0有两个相等的实数根，
方程3cx+2b=2a的根为0．
（1）求证：∆ABC为等边三角形；
（2）若a，b为方程x2 +mx−3m=0的两根，求m的值．
4．【常规讲解】
解：关于x的一元二次方程(m−1)x2 +2mx+m−3=0有两个不相等的实数根，
∴△>0且m−1≠0，即(2m)2 −4(m−1)(m−3)>0且m≠1，
3
解得m> 且m≠1，
4
3
∴当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围为m> 且m≠1．
4
5．【常规讲解】
（1）证明方程
x2 +2 bx+2c−a=0
有两个相等的实数根，
∴(2 b)2 −4(2c−a)=0
，
∴b+a=2c
方程3cx+2b=2a的根为0，
∴b=a，
∴b=a=c，
∴∆ABC为等边三角形；
（2）解a，b为方程x2 +mx−3m=0的两根，
又由（1）a=b， ∴m2 −4×(−3m)=0
，
∴m =0 m =−12
1 ， 2 ．
a，b，c是 ∆ABC的三边长，
∴a>0，
∴m=−12．出门测
1．某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是
364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是( )
A．100(1+x)2 =364
B．100+100(1+x)+100(1+x)2 =364
C．100(1+2x)=364
D．100+100(1+x)+100(1+2x)=364
1+ 5 1− 5
2．若方程4y2 −2y−1=0的两个根是y = ，y = ，则在实数范围内分解因式
1 4 2 4
4y2 −2y−1=____________；
x
3． 如果两个连续奇数的积是 323，如果设其中较小的一个奇数为 ，可得方程
_____________．
4．现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽
的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的
面积为864m2 ，设小道的宽度应是 x m ，列方程得：
__________________．
1．【常规讲解】
解：设月平均增长的百分率是 x，则该超市二月份的营业额为100(1+x)万元，三月份的营业
额为100(1+x)2万元，
依题意，得：100+100(1+x)+100(1+x)2 =364．
故选：B．
2．【常规讲解】
1+ 5 1− 5
4y− y−
4 4
3．【常规讲解】
解：设其中较小的一个奇数为 x，由题意得：x(x+2)=323，
故答案为：x(x+2)=323．4．【常规讲解】
解：设小道的宽度应为 x m，则剩余部分可合成长为(40−2x)m，宽为(26−x)m的矩形，
依题意得：(40−2x)(26−x)=864，
故答案为：(40−2x)(26−x)=864．
出门测Plus
．市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接
“十⋅一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：
如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．
（1）若每件童装降价3元，那么平均每天就可售出_________件，可以赚_________元．
（2）为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利
1800元，那么每件童装应降价多少元？
5．【常规讲解】
解：（1）30+3×3=39（件)，
(40−3)×39=1443（元)．
故答案为：39；1443．
（2）设每件童装应降价 x元，则每件盈利(40−x)元，每天可售出(30+3x)件，
依题意得：(40−x)(30+3x)=1800，
整理得：x2 −30x+200=0，
解得：x =10，x =20．
1 2
又 降价不能超过15元，
∴x=10．
答：每件童装应降价10元．【初二 06B】
入门测
1．某服装店一月份营业额为10万元，一季度的营业额共48万元，若平均每月营业额的增
长率为 x，则根据题意可列方程为( )
A．10(1+x)2 =48 B．10(1+2x)=48
C．10(1+3x)=48 D．10[1+(1+x)+(1+x)2]=48
2．若二次三项式x2 −3x+a在实数范围内可以因式分解，则a的取值范围是_________．
3．一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字
大2．若设个位数字为x，列出求该两位数的方程式为_________．
4．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作
一个底面积为21cm2
的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个
角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可
（损耗不计）．设剪去的正方形边长为 x cm，则可列出关
于 x的方程为__________________．
1．【常规讲解】
解：二月份的营业额为10(1+x)，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x，为
10(1+x)×(1+x)，则列出的方程是10+10(1+x)+10(1+x)2 =48，
即：10[1+(1+x)+(1+x)2]=48．
故选：D．
2．【常规讲解】
解：二次三项式x2 −3x+a在实数范围内可以因式分解，
∴关于x的一元二次方程x2 −3x+a=0有实数根，且a≠0，
=(−3)2 −4×1×a…0
∴ ，
a≠09
解得：a„ 且a≠0．
4
9
故答案为：a„ 且a≠0．
4
3．【常规讲解】
解：设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2，
由题意得，10(x+2)+x=3x2．
故答案为：10(x+2)+x=3x2．
4．【常规讲解】
解：由题意可得：(11−2x)(7−2x)=21，
故答案为：(11−2x)(7−2x)=21．
入门测Plus
某商店销售某种产品，平均每天可卖出 30 件，每件盈利 50 元．为了扩大销售量，增加盈
利，尽快减少库存，经市场调查发现：如果这种产品每降价1元，那么平均每天就可多售出
2件．要想半均每天在销售这种产品上盈利2000元，那么每件产品应降价多少元？
5．【常规讲解】
解：设每件产品应降价x元，
根据题意，得(50−x)(30+2x)=2000，
解方程，得x =10（不合题意，舍去），x =25，
1 2
答：每件产品应降价25元．
出门测
1．下列图象中表示 y是 x的函数的有几个( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列问题中，两个变量成正比例的是( )
A．圆的面积S 与它的半径r
B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h
C．正方形的周长C与它的边长a
D．周长不变的长方形的长a与宽b
3−2x
3．已知 f(x)= ，那么 f(0)= _________．
x+4
4．如果函数y=(m− 2)xm2−1是正比例函数，那么m= _________．
1．【常规讲解】
解：根据函数的概念，可知：
图1和图4不能表示 y是 x的函数，图2和图3能表示 y是 x的函数，
∴上列图象中表示 y是 x的函数的有2个，
故选：B．
2．【常规讲解】
解：A、圆的面积=π×半径2，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
1
B、三角形面积S 一定时，它的底边a和底边上的高h的关系S = ah，不是正比例函数，
2
故此选项不符合题意；
C、正方形的周长C=边长×4=4a，是正比例函数，故此选项符合题意；
D、设周长为C，则依题意得C=2(a+b)，则a与b不是正比例关系，故此选项不符合题
意．
故选：C．
3．【常规讲解】
3−2x
解： 函数 f(x)= ，
x+4
3−0 3
∴ f(0)= = ，
0+4 4
3
故答案为： ．
4
4．【常规讲解】解： 函数y=(m− 2)xm2−1是正比例函数，
∴m− 2 ≠0且m2 −1=1，
解得：m=− 2，
故答案为：− 2．
出门测Plus
5．如果函数y=(m−1)xm2−3是正比例函数，且 y的值随 x的值的增大而增大，那么m的值
_________．
6．已知正比例函数y=(k−1)xk2−k−1的图象经过第二、第四象限，则k 的值是_________．
5．【常规讲解】
解： 函数y=(m−1)xm2−3是正比例函数，且 y的值随 x的值的增大而增大，
∴m2 −3=1且m−1>0，
∴m=2，
故答案为：2．
6．【常规讲解】
解： 函数图象经过第二、四象限，
∴k−1<0，k2 −k−1=1．
解得：k =−1，k =2（舍去）
故答案为：−1【初二 07B】
入门测
1．下列各曲线中，不表示 y是 x的函数的是( )
A． B．
C． D．
2．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有( )
A．人的身高与年龄
B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长
D．圆的周长与它的半径
3．已知函数 f(x)= x+6 ，那么 f （3）=_________．
4．如果y=(k−2)x+(k2 −2k)是正比例函数，则k =_________．
1．【常规讲解】
解：显然B、C、D选项中，对于自变量 x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是
x的函数；
A选项对于 x取值时， y可能有2个值与之相对应，则 y不是 x的函数；
故选：A．
2．【常规讲解】
解：A、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意；
B、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；C、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意；
D、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；
故选：D．
3．【常规讲解】
解： f(x)= x+6，
∴ f （3）= 3+6 =3．
故答案为：3．
4．【常规讲解】
解：依题意得：k2 −2k =0且k −2≠0，
解得k =0，
故答案是：0．
入门测Plus
5．已知正比例函数y=(1−2a)x，如果 y的值随着 x的值增大而减小，则a的取值范围是
_________．
1
6．正比例函数y= x的图象经过第_________象限．
2
5．【常规讲解】
解：根据 y的值随着 x的值增大而减小，知k<0，
1
即1−2a<0，a> ．
2
1
故答案为：a> ．
2
6．【常规讲解】
1
解：由题意可知函数y= x的图象过一、三象限．
2
故答案为一、三．出门测
1．下列问题中，两个变量成反比例的是
( )
A．直角三角形的周长一定时，它的两条直角边
B．直角三角形的一条直角边一定时，它的周长与另一条直角边
C．直角三角形的面积一定时，它的两条直角边
D．直角三角形的一条直角边一定时，它的面积与另一条直角边
2．下列函数中， y是关于 x的反比例函数的是
( )
1 x 5
A．y=− x B． y = C．y= D．y=5x−1
3 4 x2
2
3．关于函数y=− ，下列说法中正确的是
( )
x
A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点
C．图象是一条直线 D． y的值随x的值增大而减小
−k
4．函数 y=−kx 与y= (k <0)的图象大致是 ( )
x
A． B．
C． D．
5．若y=(4−2a)xa2−5是反比例函数，则a的值是_________．1．【常规讲解】
解：A．直角三角形的周长一定时，它的两条直角边不是成反比例关系，不合题意；
B．直角三角形的一条直角边一定时，它的周长与另一条直角边不是成反比例关系，不合题
意；
C．直角三角形的面积一定时，它的两条直角边成反比例函数关系，符合题意；
D．直角三角形的一条直角边一定时，它的面积与另一条直角边成正比例关系，不合题意；
故选：C．
2．【常规讲解】
解：A、该函数是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、该函数是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．
故选：D．
3．【常规讲解】
2
解：在y=− 中，k =−2<0，
x
∴图象位于第二、四象限，图象是双曲线，在每一象限内， y随着 x增大而增大，
故A，C，D选项不符合题意，
x≠0， y≠0 ，
∴函数图象与坐标轴没有交点，
故B选项符合题意，
故选：B．
4．【常规讲解】
解：k<0，
−k
∴反比例函数y= 的图象位于一、三象限，正比例函数 y=−kx 的图象过一、三象限；
x
故选：A．
5．【常规讲解】
解：y=(4−2a)xa2−5是反比例函数，∴4−2a≠0，且a2 −5=−1，
解得a=−2，
故答案为：−2．
出门测Plus
1 1
如图，已知两个反比例函数C :y= 和C :y= 在第一象限内的图象，设点P在 上，
1 x 2 3x C 1
PC ⊥ x轴于点C，交 C 于点A， PD⊥ y 轴于点D，交 C 于点B，则四边形PAOB的面积
2 2
为_________．
6．【常规讲解】
解：PC⊥x轴， PD⊥ y 轴，
1 1 1 1 1
∴S =S = | |= × = ，S =1，
∆AOC ∆BOD
2 3 2 3 6
矩形PCOD
1 2
∴四边形PAOB的面积=1−2× = ，
6 3
2
故答案为 ．
3【初二 08B】
入门测
1．下列关系中，成反比例函数的是
( )
A．圆的面积S 与半径r 的关系
B．三角形的面积一定，它的底边a与这边上的高h的关系
C．人的年龄与身高的关系
D．小明从家到学校，剩下的路程s与速度v 的关系
2．下列函数不是反比例函数的是
( )
x 1
A．y=3x−1 B．xy=5 C． y = D．y=
3 2x
4
3．关于反比例函数 y = ，下列说法中错误的是
( )
x
A． y的值随 x的值增大而减小
B．它的图象在第一、三象限
C．它的图象是双曲线
D．若点(a,b)在它的图象上，则点
(b,a)
也在它的图象上
k
4．函数y=k 1 x和y= x 2 (k 1 >0，且k 1 k 2 <0)的图象大致是 ( )
A． B．
C． D．
5．如果函数y=(m−1)xm2−2是反比例函数，那么m的值是_________．1．【常规讲解】
解：A、圆的面积S 与半径r 的关系，即S =πr2，是二次函数关系，故此选项错误；
1 2S
B、三角形的面积一定，则S = ah，即a= ，是反比例函数，故此选项正确；
2 h
C、人的年龄与身高的关系，不是函数关系，故此选项错误；
D、小明从家到学校，剩下的路程s与速度v 的关系，s=总路程−vt，是一次函数关系，故
此选项错误；
故选：B．
2．【常规讲解】
3
解：A．y=3x−1 = ，是反比例函数，故A不符合题意；
x
B． xy=5 ，是反比例函数，故B不符合题意；
x
C． y = ，是正比例函数，故C符合题意；
3
1
D．y= ，是反比例函数，故D不符合题意；
2x
故选：C．
3．【常规讲解】
4
解：A．关于反比例函数 y = ，在每个象限内 y的值随 x的增大而减小，说法错误，符合
x
题意；
4
B．关于反比例函数 y = ，它的图象分布在一、三象限，说法正确，不合题意；
x
4
C．关于反比例函数 y = ，它的图象是双曲线，说法正确，不合题意；
x
4
D．关于反比例函数 y = ，若点
(a,b)
在它的图象上，则
(b,a)
也在图象上，正确，不合题
x
意；
故选：A．
4．【常规讲解】
解：
k >0
且
kk <0
，
1 1 2
∴k <0
，
2∴y=k x
的图象在第一三象限，
1
k
y= 2 的图象在第二四象限，
x
故选：C．
5．【常规讲解】
解：根据题意m2 −2=−1，
m=±1，
又m−1≠0，m≠1，
所以m=−1．
故答案为：−1．
入门测Plus
k
如图，P为反比例函数 y= 的图象上的点，过P分别向 x轴和 y轴引垂线，它们与两条
x
坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数解析式为_________．
6．【常规讲解】
解： 过P分别向 x轴和 y轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，
∴|k|=2 ，
k
∴反比例函数y= 的图象在第二象限，k<0，
x
∴k =−2，
2
∴此反比例函数的解析式为y=− ．
x出门测
1．已知函数y= y + y ，其中y 与x+1成反比例，y 与x2 成正比例，当x=1时，y=2，当
1 2 1 2
x=0时，y=2．
（1）求 y与 x的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）当x=−5和x=3时，函数y的值是多少？
1. 【常规讲解】
a a
解：（1）设y
1
=
x+1
，
y 2 =bx2
，则y=
x+1
+bx2，
a a=2
+b=2
把x=1， y =2 ；x =0， y =2 分别代入得 2 ，解得 ，
b=1
a=2
2
所以y与 的函数关系式为y= +x2；
x x+1
（2）x+1≠0，即x≠−1；
2 2
（3）当x=−5时，y= +x2 = +(−5)2 =24.5；
x+1 −5+1
2 2
当x=3，y= +x2 = +32 =9.5．
x+1 3+1
出门测Plus
2．已知正比例函数 y=kx 的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH ⊥x轴，垂足为
点H，点A的横坐标为3，且∆AOH 的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在 轴上能否找到一点P，使∆AOP的面积为 5？若存在，求点P的坐标；若不存在，
x
请说明理由．
2. 【常规讲解】
解：（1）
点A的横坐标为3，且∆AOH 的面积为3
∴ 点A的纵坐标为−2，点A的坐标为 (3,−2) ， 正比例函数 y=kx 经过点A，
2
∴3k =−2解得k =− ，
3
2
正比例函数的解析式是y=− x；
∴
3
（2）∆AOP的面积为5，点A的坐标为 (3,−2) ，
∴OP=5，
∴ 点P的坐标为 (5,0) 或 (−5,0) ．【初二 09B】
入门测
1．已知 y= y − y ， y 与 x 成正比例， y 与x−2成反比例，且当x=3时， y =5 ；当x=1
1 2 1 2
时， y=−1
（1）求y与 之间的函数表达式；
x
（2）当x =4时，求y的值．
1. 【常规讲解】
n
解：（1）设
y 1 =mx
，y
2
=
x−2
，
n
则y=mx− ，
x−2
3m−n=5 m=1
根据题意，得： ，解得： ，
m+n=−1 n=−2
2
∴y=x+ ；
x−2
（2）当x =4时， y=4−2=2 ．
入门测Plus
2．如图，已知正比例函数y=kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH ⊥x轴，垂
足为H，点A的横坐标为4，且∆AOH 的面积为6．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在 轴上是否存在一点P，使∆AOP的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，
x
请说明理由．2. 【常规讲解】
解：（1）
点A的横坐标为4，且∆AOH 的面积为6，
1
∴
4AH =6，解得AH =3，
2
∴A(4,−3) ，
3
把 A(4,−3) 代入 y=kx 得4k =−3，解得k =− ，
4
3
正比例函数解析式为y=− x；
∴
4
（2）存在．
设
P(t,0)
，
∆AOP的面积为9，
1
|t|3=9，
∴
2
∴t=6或t =−6，
∴P点坐标为 (6,0) 或 (−6,0) ．
出门测
父亲告诉小明，温度与海拔高度有关系，并给小明出示了下面的表格：
海拔高度
0 1 2 3 4 5 …
/km
温度/°C 20 14 8 2 −4 −10 …
下列有关表格的配题说明中，不正确的是( )
A．表格中的两个变量是海拔高度和温度
B．自变量是海拔高度
C．海拔高度越高，温度就越低
D．海拔高度每增加1km
，温度升高6°C
【常规讲解】
1.解：A、表格中的两个变量是海拔高度和温度，正确，不合题意；B、自变量是海拔高度，正确，不合题意；
C、海拔高度越高，温度就越低，正确，不合题意；
D、海拔高度每增加1km，温度降低6°C，不正确，符合题意；
故选：D．
出门测Plus
小明的爸爸和妈妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．已知
爸爸步行的路程是缆车所经线路长的 2.5 倍，妈妈在爸爸出发后 50 分钟才坐上缆车，缆车
的平均速度为每分钟 180 米．图中的折线反映了爸爸行走的路程 y（米)与时间x（分钟）
之间的函数关系．
（1）爸爸行走的总路程是_______米，他途中休息了_______分钟；
（2）当0剟x 30时， y与x之间的函数关系式是_____________________；
（3）爸爸休息之后行走的速度是每分钟_______米；
（4）当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程_______米．3. 如图所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8．
①梯形面积 y与上底长x之间的表达式是什么？
②用表格表示当x从4变到14时（每次增加1)， y的相应值；
③当x每增加1时， y如何变化？写出你的理由．
2. 【常规讲解】
（1）爸爸到达山顶用时80分钟，中途休息了20分钟，行程为3600米；
（2）y=70x；
（3）爸爸休息之后行走的速度是(3600−2100)÷(80−50)=50米/分钟，
故答案为：50．
3600
（4）妈妈到达缆车终点的时间为： 2.5 =8（分)，
180
爸爸迟到80−50−8=22（分)，
终点时，爸爸离缆车终点的路程为：22×50=1100（米)，
故答案为：1100．
3.【常规讲解】
1
解：（1）由图形可得出：y= ×8×(15+x)=4x+60；
2
（2）见下表：
x 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
y 76 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116
（3）x每增加1时， y增加4，
理由：y=4x+60，若x增加1，则y=4(x+1)+60=4x+64，即 y增加4．【初二 10B】
入门测
1.
一个蓄水池有水50m3
，打开放水闸门，水池里的水量和放水时间的关系如下表，下面说
法不正确的是( )
放 水 时 间1 2 3 4 …
(min)
水池里的水量48 46 44 42 …
(m3)
A．水池里的水量是因变量
B．放水10分钟，水池里的水量是28m3
C．每分钟放水2m3
D．放水25分钟，水池里的水恰好全部放完
1. 【常规讲解】
解：A．在这个变化过程中，放水时间为自变量，水池里的水量是因变量，因此选项A不符
合题意；
B．设放水时间为t min，水池里的水量为Q cm3 ，由表格中两个变量对应值的变化规律可
得，Q=48−2(t−1)=50−2t，当t=10min时，Q=50−20=30(m3)，因此选项B符合题意；
C，由表格中两个变化对应值的变化规律可知，每分钟放水2m3
，因此选项C不符合题意；
D，当t =25时，Q=50−50=0，因此选项D不符合题意；
故选：B．
2. 甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，
甲行驶的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示；乙慢跑所行的路程s（千
1
米）关于时间t（分钟）的函数解析式为s= t(0剟t 60)．
12
（1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图象；（不必写结论）
（2）乙慢跑的速度是每分钟_______千米；
（3）甲修车后行驶的速度是每分钟_______千米．3. 梯形的上底长为x，下底长为 y，高为4，面积为48．
（1）梯形下底长 y与上底长x之间的关系式是什么？
（2）用表格表示当x从4变到10（每次增加1)， y的相应值；
（3）当x每增加2时， y如何变化？
2. 【常规讲解】
1
解：（1）
乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为s= t(0剟t 60)．
12
1
当t =60时，s= ×60=5，
12
∴函数过原点，并过点(60,5)，
所画图形如下所示：
（2）乙慢跑的速度为，
1
5÷60= （千米/分钟），
12
1
故答案为： ；
12
（3）甲修车后行驶20min，所形路程为3km，
3
故甲修车后行驶的速度为：3÷20= （千米/分钟），
20
3
故答案为： ．
20
3.【常规讲解】
1
解：（1）由题可得， (x+ y)×4=48，
2
y=24−x；（2）如下表：
x 4 5 6 7 8 9 10
y 20 19 18 17 16 15 14
（3）由上表可得，x每增加2时， y减少2；
出门测
1. 下列命题正确的是( )
A． ab = a⋅ b
7 343
B． 与 是同类二次根式
3 12
3 5x+3
C．x=2是分式方程 = 的增根
x−2 x
D．一元二次方程可能没有实根，可能有一个实根，可能有两个实根
2. 下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有( )
（1）全等三角形的对应角相等；
（2）对顶角相等；
（3）等角对等边；
（4）两直线平行，同位角相等；
（5）全等三角形的面积相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1. 【常规讲解】解：A、a，b小于0时，等式不成立；本选项不符合题意；
7 21 343 7 21 7 343
B、因为 = ， = ，所以 与 是同类二次根式，本选项符合题意；
3 3 12 6 3 12
C、去分母得到，3x=(x−2)(5x+2)，显然x=2不是整式方程的解，故C错误，本选项不
符合题意；
D、一元二次方程可能没有实根，可能有一个实根，可能有两个实根，错误，应该是一元二
次方程可能没有实根，可能有两个相等的实根，可能有两个实根，本选项不符合题意．
故选：B．
2. 【常规讲解】解：（1）逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误；（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；
（3）逆命题是等边对等角，正确；
（4）逆命题是同位角相等，两条直线平行，正确；
（5）逆命题是面积相等，两三角形全等，错误．
故选：B．
出门测Plus
已知AB//CD，点M 为平面内的一点，∠AMD=90°．
（1）当点M 在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
（2）当点M 在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是__________________（直接
写出答案）；
（3）在（2）条件下，如图3，过点M 作ME⊥ AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分
线分别交射线EB于点F 、G ，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是
_____________，∠FMG=_____________度．3.【常规讲解】解：（1）如图①，过点M 作MN //AB，
AB//CD，
∴MN //AB//CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．
∴∠D=∠NMD．
MN //AB，
∴∠MAB+∠NMA=180°．
∴∠MAB+∠AMD+∠DMN =180°．
∠AMD=90°，
∴∠MAB+∠DMN =90°．
∴∠MAB+∠D=90°；
（2）如图②，过点M 作MN //AB，
MN //AB，
∴∠MAB+∠AMN =180°．
AB//CD，
∴MN //AB//CD．
∴∠D=∠NMD．
∠AMD=90°，
∴∠AMN =90°−∠NMD．∴∠AMN =90°−∠D．
∴90°−∠D+∠MAB=180°．
∴∠MAB−∠D=90°．
即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB−∠D=90°．
故答案为：∠MAB−∠D=90°．
（3）如图③，
ME⊥ AB，
∴∠E=90°．
∴∠MAE+∠AME =90°
∠MAB+∠MAE =180°，
∴∠MAB−∠AME =90°．
即∠MAB=90°+∠AME．
∠AMD=90°，
∴∠MAB=∠AMD+∠AME=∠EMD．
MF 平分∠EMA，
1
∴∠FME=∠FMA= ∠EMA．
2
MG平分∠EMD，
1
∴∠EMG=∠GMD= ∠EMD．
2
∠FMG=∠EMG−∠EMF，
1 1 1
∴∠FMG= ∠EMD− ∠EMA= (∠EMD−∠EMA)．
2 2 2
∠EMD−∠EMA=90°，
∴∠FMG=45°．
故答案为：∠MAB=∠EMD；45．【初二 11B】
入门测
1. 下列说法正确的是( )
A．三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．三角形三条角平分线的交点到该三角形三个顶点的距离相等
D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
2. 下列命题中，逆命题正确的是( )
A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．全等三角形面积相等 D．全等三角形对应角相等
1.【常规讲解】
解：A、三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个与它不相邻的内角，故原题说法错误；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法正确；
C、三角形三条角平分线的交点到该三角形三边的距离相等，故原题说法错误；
D、有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，故原题说法错误；
故选：B．
2.【常规讲解】
解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；
B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；
C的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；
D的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；
故选：B．
入门测Plus
3. 如图，在∆ABC中，∠B=∠C ，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，
连接DE．
（1）若∠BAD=50°，DA=DB，求∠CDE的度数．（2）猜想∠CDE与∠BAD的数量关系，并说明理由．
3.【常规讲解】
解：（1）∠BAD=50°，DA=DB，
∴∠B=50°，
∠B=∠C，
∴∠ADC =∠BAD+∠B
=50°+50°
=100°，
∠DAE =∠BAC−∠BAD
=180°−2∠B−50°
=180°−150°=30°，
∴∠ADE =∠AED
1
= (180°−30°)
2
=75°，
∴∠CDE =∠ADC−∠ADE
=100°−75°=25°；
（2）∠BAD=2∠CDE，理由：
设∠BAD=x，
∴∠ADC =∠BAD+∠B=∠B+x，
∠DAE =∠BAC−∠BAD=180°−2∠C−x，
1
∴∠ADE=∠AED=∠C+ x，
2
1 1
∴∠CDE=∠B+x−(∠C+ x)= x，
2 2
∴∠BAD=2∠CDE．出门测
1. 如图，在∆ABC中，AB=7，AC =9，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是( )
A．2< AD<16 B．0< AD<16 C．1< AD<8 D．7< AD<9
1. 【常规讲解】解：如图，延长AD到E ，使DE= AD，连接CE，
AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在∆ABD和∆ECD中，
BD=CD
∠ADB=∠EDC，
AD=ED
∴∆ABD≅∆ECD(SAS)，
∴AB=CE=7，
在∆ACE中，由三角形的三边关系得：AC−CE< AE< AC+CE，
即9−7< AE<9+7，
∴2<2AD<16，
∴1< AD<8．
故选：C ．
出门测Plus
2. 将两个全等的直角三角形∆ABC 和∆DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，
∠A=∠D=30°，点E 落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F ．（1）求证：AF+EF =DE；
（2）若将图①中的∆DBE绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其它条件不
变，如图②．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请
写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由；
（3）若将图①中的∆DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其它条件不变，
请在图③中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立．2. 【常规讲解】（1）证明：如图①所示，连接BF，
BC =BE，
在Rt∆BCF和Rt∆BEF中，
BF =BF
，
BC =BE
∴Rt∆BCF≅Rt∆BEF(HL)，
∴EF =CF，
∴AF +EF = AC =DE．
（2）解：（1）中的结论不成立，结论：AF−EF =DE；理由如下；
如图②所示：连接BF，
在Rt∆BCF和Rt∆BEF中，
BF =BF
，
BC =BE
∴Rt∆BCF≅Rt∆BEF(HL)，
∴EF =CF，
∴AF −FC = AC =DE，
∴AF −EF =DE ．
（3）解：（1）中的结论仍然成立；理由如下：
如图③所示，
延长DE交AC与点F ，连接BF，
在Rt∆BCF和Rt∆BEF中，
BF =BF
，
BC =BE
∴Rt∆BCF≅Rt∆BEF(HL)，∴EF =CF，
∴AF +EF = AC =DE；【初二 12B】
入门测
1. 如图，已知AD是∆ABC的一条中线，延长AD至E ，使得DE= AD，连接BE．如果AB=5，
AC =7，试求AD的取值范围．1.【常规讲解】
解：AD是∆ABC的一条中线，
∴BD=CD，
BD=CD
在∆BED和∆CAD中，∠BDE =∠ADC，
ED= AD
∴∆BED≅∆CAD(SAS)，
∴BE= AC=7，
AB=5，
∴2< AE<12，
∴2<2AD<12，
∴1< AD<6．
入门测Plus
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB= AD，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是边BC、CD
1
上的点，且∠EAF = ∠BAD．求证：EF =BE+FD；
2
（2）如图2在四边形ABCD中，AB= AD，∠B+∠D=180°，E 、F 分别是边BC、CD
1
上的点，且EF =BE+FD；求证：∠EAF = ∠BAD；
2
（3）如图3在四边形ABCD中，AB= AD，∠B+∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC、
CD延长线上的点，且∠EAF =40°，∠BAD=80°，写出EF 、BE 、FD之间的数量关系，
并证明你的结论．2. 【常规讲解】
（1）证明：如图1中，延长EB到G ，使BG = DF ，连接AG．
∠ABG=∠ABC =∠D=90°，AB= AD，
∴∆ABG≅∆ADF(SAS)，
∴AG= AF ，∠1=∠2，
1
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF = ∠BAD，
2
∴∠GAE=∠EAF ，
AE= AE，
∴∆AEG≅∆AEF(SAS)，
∴EG=EF ，
EG=BE+BG，
∴EF =BE+FD，
故答案为：EF =BE+FD；
（2）证明：如图2，延长CB至M ，使BM = DF ，连接AM ．
∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC =180°，
∴∠1=∠D，
在∆ABM 与∆ADF 中，
AB= AD
∠1=∠D ，
BM =DF
∴∆ABM ≅∆ADF(SAS)．
∴AF = AM ，∠2=∠3．
EF =BE+DF =BE+BM =EM ，
在∆AME与∆AFE中，
AE= AE
EM =EF ，
AM = AF
∴∆AME≅∆AFE(SSS)．
∴∠MAE=∠EAF．1
∴∠3+∠4=∠EAF = ∠MAF，
2
∠MAF =∠3+∠4+∠EAF，∠2=∠3．
∴∠MAF =∠2+∠4+∠EAF =∠BAD，
1
∴∠EAF = ∠BAD；
2
（3）解：EF =BE−FD．
证明：如图3，在BE上截取BG，使BG = DF ，连接AG．
∠B+∠ADC=180°，∠ADF +∠ADC =180°，
∴∠B=∠ADF ．
在∆ABG与∆ADF 中，
AB= AD
∠ABG=∠ADF ，
BG=DF
∴∆ABG≅∆ADF(SAS)．
∴∠BAG=∠DAF ，AG= AF．
∴∠BAD=∠BAG+∠GAD=∠DAF +∠GAD=∠GAF =80°，
∴∠GAE =∠GAF −∠EAF =80°−40°=40°，
∴∠GAE=∠EAF ．
AE= AE，
∴∆AEG≅∆AEF(SAS)．
∴EG=EF ，
EG=BE−BG，
∴EF =BE−FD．
出门测
1. 如图，在∆ABC 中，∠C =90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接
该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD=2，则AD的长为( )A． 5 B． 3 C．1 D．2
2. 如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC =9，AB=5，PB=3，则PC的长不可能
是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
3. 如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC =4，将∆ABC 绕点C按顺时针方向
旋转得到∆EDC，点A落在点E处，点B落在点D处．若DE//BC，则在旋转过程中，点
A经过的路径长为( )
4π 2π π
A．π B． C． D．
3 3 21. 【常规讲解】
解：由作图可知，点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD=2，
故选：D．
2. 【常规讲解】
解：在AC上截取AE= AB=5，连接PE，
AC=9，
∴CE = AC−AE =9−5=4，
点P是∠BAC平分线AD上的一点，
∴∠CAD=∠BAD，
在∆APE和∆APB中，
AE= AB
∠CAP=∠BAD，
AP= AP
∴∆APE≅∆APB(SAS)，
∴PE=PB=3，
4−30，不论 m 取何值，方程一定有实数根，故选项正确；
1
C，x2 −x−m=0，△=1+4m，当m<− 时，方程无实数根，故选项错误；
4
D，x2 −mx+1=0，△=m2 −4，当−20，
1
解得x>﹣ .
2
1
故答案为x>﹣ .
2
2+2
2. 解：由题意得： f(2)= =1，
2
故答案为：1．
3. 解：∵最简二次根式2a−4 3a+b与 a−b是同类根式，
∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，
解得：a＝3，b＝﹣3．
∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．故答案为：9．
4. 解： a3b = a2ab = a ab，
∵a<0，
∴ a =−a，
∴ a3b =−a ab，
故答案为：−a ab ．
1 2+ 5
=
5. 2− 5的倒数为 ( )( )=−2− 5
2− 5 2− 5 2+ 5
所以答案为−2− 5
6. 4x2+4xy−y2 =4x2+4xy+y2−2y2 =(2x+y)2−2y2 = ( 2x+y+ 2y )( 2x+y− 2y ) ，
( )( )
故答案为： 2x+y+ 2y 2x+y− 2y ．
7. 解：由题意可列方程为875(1−x)2 =560；
故答案为875(1−x)2 =560．
8. 关于x的一元二次方程ax2 +x−1=0有两个实数根，
∴∆=12 −4a×(−1)≥0，且a≠0，
1
解得：a≥− 且a≠0，
4
1
故答案为：a≥− 且a≠0．
4
入门测Plus
9．关于函数y=2x，下列说法错误的是（ ）
A．它是正比例函数 B．图象经过点
(2,1)
C．图象经过一、三象限 D．当x>0时，y>0
10．下列方程中，无实数解的是（ ）
1
A． x2﹣3x+9=0 B．3x2﹣5x﹣2=0
4
C．y2﹣2y+9=0 D． 6（1﹣y2）=y11. 下列图象不能反映y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
9. A、它是正比例函数，说法正确，不符合题意；
B、当x=2时，y=2×2=4，图象经过 (2,4) ，说法错误，符合题意；
C、k=2>0，图象经过一、三象限，说法正确，不符合题意；
D、当x>0时，y>0，说法正确，不符合题意；
故选：B．
1
10. A. a= ，b=−3，c=9，
4
∵△=9−9=0，
∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；
B. a=3，b=−5，c=−2，
∵△=25+24=49>0，
∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；
C. a=1，b=−2，c=9，
∵△=4−36=−32<0，
∴方程没有实数根，本选项符合题意；
D. a= 6,b=1,c=− 6，
∵△=1+24=25>0，
∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意．
故选C.
11. 观察四个图象，A选项中对于x>0的每一个确定的值，y的值都不唯一，这不符合y是
x的函数的定义；B、C、D三个选项中对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，符合y是x的函数的定义.
故答案为A.
出门测
1. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵
树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米 C．12米 D．15米
2. 如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，CD=2，则AB=_______．
1.【常规讲解】
解：如图，根据题意BC=3米，
∠BAC =30°，
∴AB=2BC =2×3=6米，
∴3+6=9米．
故选：B．
2. 【常规讲解】
解：∠ACB=90°，D为AB中点，
1
∴CD= AB，
2
∴AB=2CD，
CD=2，
∴AB=2CD=4．
故答案为：4．出门测Plus
3. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC =20，BC=10，PQ= AB，P，Q两点分
别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM 上运动，且点P不与点A，C重合，那么
当点P运动到什么位置时，才能使∆ABC与∆APQ全等？
3. 【常规讲解】
解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP=BC时，
∠C=∠QAP=90°，
AP=BC
在Rt∆ABC与Rt∆QPA中，
，
PQ= AB
∴Rt∆ABC≅Rt∆QPA(HL)，
即AP=BC=10；
② Rt∆QAP≅Rt∆BCA，此时AP= AC，P、C重合，不合题意．
综上所述，当点P运动到线段AC中点时，∆ABC与∆QPA全等．
