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重难点 03 相似三角形
考点一：比例
学习比例、比例线段的性质等知识是学习三角形相似的基础，数学中考中很多省市也会把这个考
点单独出题考察，特别是黄金分割和平行线分线段成比例的基本性质，都是经常出现的小题，但这类
题一般难度不大，掌握好易错点，再仔细计算即可！
题型01 比例与比例线段
易错点：4个数成比例时， 对应数据可正可负；线段成比例时，对应数据只能是正数，特别是比例中项的
计算中，更要注意线段正负的问题；
【中考真题练】
1．若 ＝ ，则ab＝（ ）
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A．6 B． C．1 D．
2．（2023•甘孜州）若 ，则 ＝ ．
3．小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请
在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
【中考模拟练】
1．（2024•凉州区一模）下列各组数中，成比例的是（ ）
A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8
C．5，6，2，3 D． ， ，1，
2．（2024•汝南县一模）如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
3．（2023•望江县模拟）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm
4．（2024•凉州区一模）已知 ＝ ，则 ＝ ．
5．（2024•锦江区校级模拟） ＝ ．
6．（2024•山阳县一模）如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，AC，BC，AB各部分长度满足BC2＝
AC•AB，若小提琴的总长度AB为59cm，则琴身BC的长为 cm．
题型02 黄金分割
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√5−1
2
易错点：一个线段的黄金分割点有2个，黄金分割比= ，0.618是黄金分割比的近似值。题目中没
有要求时，一般都要用原值；
【中考真题练】
1．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫
黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作
圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若
CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（ ﹣1）a B．（ ﹣2）a C．（ +1）a D．（ +2）a
2．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于
点D，再分别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点
E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．
3．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近
点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm．
（结果保留根号）
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4．（2023•黄石）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与
长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数
学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；
（3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．
【中考模拟练】
1．（2024•东昌府区一模）如图，线段AB上的点C满足关系式：AC2＝BC•AB，且AB＝2，则AC的长为
（ ）
A． 或 B． C． D．
2．（2024•昆明模拟）黄金分割是一个跨越数学、自然、艺术和设计领域的概念，各个领域中无处不在．
黄金分割是指将一个整体分为两部分，其中较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，
其比值为 ，通常人们把这个数叫做黄金分割数．请估计 的值在（ ）
A．0和 之间 B． 和1之间 C．1和 之间 D． 和2之间
3．（2024•安州区二模）如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至
F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH
的面积为S ，矩形HICB的面积为S ，则S 与S 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．S ＞S B．S ＜S C．S ＝S D．不能确定
1 2 1 2 1 2
4．（2024•大渡口区模拟）已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB＝（ ）
A． ﹣1）：2 B． +1）：2 C． ）：2 D． ）：2
5．（2024•高新区校级二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马
俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 ，若如
图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为0.3m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 m．
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题型03 平行线分线段成比例
【中考真题练】
1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，
BD＝3，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023•常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
（1）以A为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，
连接BE；
（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、
N．M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
3．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则 的值
为 ．
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4．（2023•岳阳）如图，在 O中，AB为直径，BD为弦，点C为 的中点，以点C为切点的切线与AB
的延长线交于点E．
⊙
（1）若∠A＝30°，AB＝6，则 的长是 （结果保留 ）；
π
（2）若 ＝ ，则 ＝ ．
【中考模拟练】
1．（2024•大渡口区模拟）如图，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，则AC的长度是（ ）
A．12 B．18 C．15 D．
2．（2024•香坊区一模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，
EF∥AB，且BF：FC＝3：4，AB＝14，则EF的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2024•新安县一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10， ＝ ，则
AG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024•沭阳县模拟）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO
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并延长交BC于点E，若BE＝1，则EC的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
5．（2024•海宁市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，点E，F分别在AC，
CD上，且∠1＝∠2．
（1）求证：AD∥EF．
（2）当CE：AE＝3：5，CF＝6时，求BC的长．
考点二：相似三角形
相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，出题难度跨度很大，当然，单独出题时，相似三角形
的性质、判定、应用大多以基础和中等题为主。
题型01 相似三角形的判定与性质
解题大招01：相似三角形性质的主要应用方向有：
①求角的度数；②求或证明比值关系；③证线段等积式；④求面积或面积比；
解题大招02：相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重
要手段；
解题大招03：判定三角形相似的思路：
（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角
{另一对等角
该角的两边对应成比例
（2）有一对等角，找
（3）有两边对应成比例，找夹角相等
{一对锐角相等
直角边、斜边对应成比例
（4）直角三角形，找
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{一对底角相等
底边和腰长对应成比例
（5）等腰三角形，找
【中考真题练】
1．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
2．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，
，BF＝8，则DE的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，
且 ，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
4．如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝
1，EC＝3，则GF的长为（ ）
▱
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（2023•德州）如图，A，B，C，D是 O上的点，AB＝AD，AC与BD交于点E，AE＝3，EC＝5，BD
＝4 ， O的半径为（ ） ⊙
⊙
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A．6 B． C．5 D．2
6．（2023•绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC
于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F，N是线段BF上的点，BN＝2NF，M是线段DE上的点，DM
＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（ ）
A．△AFE的面积 B．△BDF的面积 C．△BCN的面积 D．△DCE的面积
7．（2023•江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺
（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，
Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，
AQ＝12m，则树高PQ＝ m．
8．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图
所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩
大为△AOB边长的2倍，得到△A OB ；第二次旋转将△A OB 绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩
1 1 1 1
大为△A OB 边长的2倍，得到△A OB ，…．依次类推，得到△A OB ，则△A OB 的边长为
1 1 2 2 2023 2023 2023 2023
，点A 的坐标为 ．
2023
9．（2023•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE相交于点G，则
DG：EG＝ ．
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10．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为 ．
11．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，
过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中 的值为 ．
12．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
13．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝
∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．
14．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；
（1）当AF＝DF时，求∠AED；
（2）求证：△EHG∽△ADG；
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（3）求证： ．
【中考模拟练】
1．（2024•揭东区一模）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024•萧县一模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且DE⊥EF，若 ，
则 ＝（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2024•平房区一模）如图，DE∥BC，EF∥AB，AC分别交DE、EF于点G、K，下列结论错误的是（
）
A． B． C． D．
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4．（2024•石狮市模拟）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，交AC于点E．若 ，且
△ABC的面积为9，则△ADE的面积为 ．
5．（2024•交城县一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，AE⊥BC于点E，对角线BD交AE
于点F，则AF的长为 .
6．（2024•黄浦区二模）如图，D是等边△ABC边BC上点，BD：CD＝2：3，作AD的垂线交AB、AC分
别于点E、F，那么AE：AF＝ ．
7．（2024•东安县一模）如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，点E在CD上，连接BE，已知
BD＝BE，且∠ACB＝∠BED．
（1）求证：△BEC∽△CDA；
（2）若BD＝4，DE＝3，BC＝5，求CE的长．
8．（2024•开原市一模） ，如图，△ABC是 O的内接三角形，AB是 O的直径，点
F在AB上，连接CF并延长，交 O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为 E．
⊙ ⊙
（1）求证：△DBE∽△ABC；
⊙
（2）若AF＝2，求ED的长．
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9．（2024•凉州区校级一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC、BD相
交于点E，且AC⊥BD．
（1）求证：CD2＝BC•AD；
（2）点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点G，如果∠BAF＝∠DBF，求证： ．
10．（2024•惠城区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F
在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如图
（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，
点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止
移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
题型02 相似三角形的应用
解题大招：相似三角形在实际生活中的应用：
（一）建模思想：建立相似三角形的模型
（二）常见题目类型：
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1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解
2.测量底部可以到达的物体的高度
3.测量底部不可以到达的物体的高度
4.测量河的宽度
【中考真题练】
1．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地
面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（ ）
A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm
2．（2023•湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离
树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线
BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高
（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，
AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是
米．
3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的
高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点
A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶
B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米．
4．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最
为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组
决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为
AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和
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GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到
D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝
4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据
以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
5．（2023•南京）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确
定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．
（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．
（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．
在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②CD的长度的最大值为 cm．
【中考模拟练】
1．（2024•剑河县校级模拟）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作
的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而
把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，AB＝AC，拉杆EF∥BC，AE＝ ，EF＝
0.35米，则两梯杆跨度B、C之间距离为（ ）
A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D． 米
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2．（2024•甘井子区一模）《孙子算经》有首数学歌谣，意思是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出
它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：
1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（ ）
A．四丈 B．四丈五尺 C．五丈 D．五丈四尺
3．（2024•应县一模）如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段AE和BD相交于点C，点F在
AE的延长线上，测得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，则∠DEF的度
数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
4．（2024•深圳模拟）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的
高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，
则像CD的高为（ ）
A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm
5．（2024•化德县校级模拟）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后
向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5米，同时量得BC＝2米，CD
＝10米，则旗杆高度DE为（ ）
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A．7.5米 B． 米 C．7米 D．9.5米
6．（2024•新昌县一模）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合
时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于
地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终
是平行四边形，展开时∠GHB为90度．
（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有
米（影子完全落在地面）．
（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 ．
7．（2024•长沙模拟）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房
遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO
＝5米，DO＝3米，AO＝ 米，则汽车从A处前行的距离AB＝ 米时，才能发现C处的儿童．
8．（2024•灞桥区校级模拟）如图，为了估算河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点2米远的B点，立
一根长为1米的标杆AB，在河对岸的岸边有一块高为2.5米的安全警示牌MF，警示牌的顶端M在河里
的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面1.25米，即DE＝FP＝1.25米，经测量此时A、D、N三
点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，
求河宽EP是多少米？
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9．（2024•鄞州区模拟）国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五
边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、
DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
（1）求证：AE2＝EF•EM；
（2）若AF＝1，求AE的长．
题型03 位似变换
【中考真题练】
1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，
2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶
点C′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
2．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中
心作正方形PA A A ，正方形PA A A ，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方
1 2 3 4 5 6
形PA A A 的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A （﹣2，1），A （﹣1，0），A （﹣2，﹣1），则顶点
1 2 3 1 2 3
A 的坐标为（ ）
100
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A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
3．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、
△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）
4．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A B C 位似，原点O是位似中心，且 ＝
1 1 1
3．若A（9，3），则A 点的坐标是 ．
1
5．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若
OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 ．
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6．（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（1，
0），B（2，3），C（﹣1，2），若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形
OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为 ．
【中考模拟练】
1．（2024•凉州区一模）如图：△AOB与△A OB 是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点
1 1
B的坐标为（﹣1，2），则点B 的坐标为（ ）
1
A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（3，﹣6） D．（3，6）
2．（2024•鞍山模拟）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C是位似关系图，则位似中心是
（ ）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
3．（2024•酒泉一模）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O是它们的位似中心，若
OA：OA′＝2：3，则CD：C′D′的值为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9
4．（2024•郸城县一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中
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心的位似图形，且相似比为1：3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为3，则D点坐标为（
）
A．（ ，1） B．（ ，1） C．（ ， ） D．（ ， ）
5．（2023•新化县模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，
OC在y轴上，如果矩形OA′B′C与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形
OABC面积的 ，那么点B′的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣2，﹣3）
C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，2）或（﹣3，﹣2）
6．（2024•新荣区一模）如图，A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，点B、D在y轴正半轴上，
△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则该
反比例函数的表达式为 ．
考点三：相似形综合
相似三角形出综合题时，经常是相似的性质与其他几何图形的综合，特别是和其他如函数、特殊四边
形、圆等考点一起出题时，基本都是填空压轴题和简答题压轴题。
题型01 相似形综合题
【中考真题练】
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1．（2023•德阳）如图， O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE， ＝ ，sin∠BAC＝ ，AD的延
长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中正确
⊙
的个数是（ ）
①∠DBF＝3∠DAB；
②CG是 O的切线；
③B，E两⊙点间的距离是 ；
④DF＝ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为
G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，
DM，BM，下列结论正确的是（ ）
①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，
tan∠BHF＝2 ；⑤EP•DH＝2AG•BH．
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
3．（2023•衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形
ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并
与正方形ACDE，△ABC拼成图2．
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（1）若cos∠ABC＝ ，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 ．
（2）若 ，则 ＝ ．
4．（2023•日照）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边
AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：
①EM＝EN；
②四边形MBND的面积不变；
③当AM：MD＝1：2时，S△MPE ＝ ；
④BM+MN+ND的最小值是20．
其中所有正确结论的序号是 ．
5．（2023•武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，
∠AEF＝∠ABC＝ （ ≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与 的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当 ＝90°时，直接写出∠GCF的大小；
α α α
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与 的数量关系．
α
α
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当 ＝120°时，若 ，求 的值．
α
6．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．
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AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相
交于点M．
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
7．（2023•南京）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度 （0°＜ ＜180°），再将旋转
后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为
θ θ
自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T（A，顺 ，k）；若逆时针旋转，记作T（A，逆 ，k）．
例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A BC ，再将△A BC 以点B为位似中心缩
θ 1 1 1 1 θ
小到原来的 ，得到△A BC ，这个变换记作T（B，逆50°， ）．
2 2
（1）如图②，△ABC经过T（C，顺60°，2）得到△A′B′C，用尺规作出△A′B′C．（保留作图
痕迹）
（2）如图③，△ABC经过T（B，逆 ，k ）得到△EBD，△ABC经过T（C，顺 ，k ）得到△FDC，
1 2
连接AE，AF．求证：四边形AFDE是平行四边形．
α β
（3）如图④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形
AFDE是正方形．
Ⅰ．用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
Ⅱ．直接写出AE的长．
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8．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2 ，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转
90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和 的值；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
【中考模拟练】
1．（2024•浙江模拟）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，在BC上取点F，使得CF＝CE，连结
⊙
AF交CD于点G，连结AD．若CG＝GF，则 的值等于（ ）
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A． B． C． D．
2．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下
列四个结论中：
①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝ ；④△AMN∽△CAB．
正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
3．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC边上的中点，
连接BE交AD于F，将△AFE沿着AC翻折到△AGE，恰好有GE∥AD，则下列结论：①四边形AFEG
为菱形；②2AE2＝BD•BC；③S△ABF ＝S△CBF ；④连接BG， ．上述结论中正确的有
．（填正确的序号）．
4．三国时期魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出了一个以形证数的勾股定理证明方法，
可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余
不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图，如图所示，大意是：
Rt△ABC，以AB为边的正方形ABDE为朱方，以BC为边的正方形BCGF为青方，引AC为边的正方形
切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．若 ，则 ＝ ．
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5．（2024•安徽模拟）问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是边AB上的高，点
E为AC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC于点F．
猜想与证明：
（1）如图1，当点E为边AC的中点时，试判断点F是否为边BC的中点，并说明理由；
（2）如图2，连接EF，试判断△DEF与△ABC是否相似，并说明理由；
问题解决：
（3）如图3，当CE＝CF时，试求线段CF的长．
6．（2024•武侯区校级一模）（1）如图1，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，过C作CD⊥AB交AB于点
D，求证：CD2＝AD•BD；
（2）如图2，在菱形ABCD中，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD边于点
F．①若 ，求 的值；②若 （n＞2），直接写出 的值（用含n的式子表示）；
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E在CD上，EC＝2且 ＝a，点F为BC上一点，连接
EF，过E作EG⊥EF交AD于点G，EG•EF＝ a，求AG的值（用含a的式子表示）．
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