FY25暑假预初A01B01整数和整除及分解素因数教师版4.0_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_预初_志高_教师版PDF

A01/B01 整数和整除及分解素因数 考情链接 1．本次任务由五个部分构成 （1）整数的意义和分类 （2）整除的意义 （3）因数和倍数的意义 （4）素数与合数 （5）分解素因数 2．考情分析 （1）分解素因数、整数和整除属于数与运算部分，属于记忆水平； （2）主要考查素数、合数、分解素因数、整数的分类、整除的意义及因数和倍数，以选择 填空题为主，占中考总分值的5%； 环节 需要时间 破冰环节 10 分钟 切片 1：整数的意义和分类 15 分钟 切片 2：整除的意义 20 分钟 切片 3：因数和倍数的意义 20 分钟 切片 4：素数与合数 20 分钟 切片 5：分解素因数 20 分钟 出门测 15 分钟 1知识加油站 1——整数的意义和分类【建议时长：15分钟】 注意：本讲知识点和题目较多，加“*”题目老师可根据班级程度和时间选讲．加“*”题目 未加入到学习机课包中． 知识笔记 1 1．正整数 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4…，叫做________． 2．负整数 在正整数1、2、3、4…的前面添上“－”号，得到的数－1、－2、－3、－4…，叫做________． 3．零 零可以表示没有物体，还可以表示计量过程中某种量的准基数，如0摄氏度． 4．自然数 ________和________统称为自然数． 【填空答案】：1、正整数；2、负整数；4、零和正整数 考点一：整数的概念 例题1: （1）（★★☆☆☆）判断题（若是正确的，请说明理由）． ①最小的自然数是1； （ ） ②最小的整数是0； （ ） ③非负整数是自然数； （ ） ④有最大的正整数，但没有最小的负整数； （ ） ⑤有最小的正整数，但没有最大的负整数． （ ） （*2）（★★☆☆☆）（2022•青浦区青浦一中期中）下列说法正确的是( ). A．最小的正整数是0 B．没有最小的正整数 C．整数一定比小数大 D．所有的自然数都是整数 2【常规讲解】 （1）①错误，最小的自然数是0； ②错误，不存在最小的整数； ③正确； ④错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数； ⑤错误，最小的正整数是1，最大的负整数是－1． 故答案为：①×；②×；③√；④×；⑤×． （2） A．最小的正整数是1，故选项不符合题意； 3 B ．最小的正整数是1，故选项不符合题意； C ．整数不一定比小数大，如 11.1 ，故选项不符合题意； D ．所有的自然数都是整数，故选项符合题意． 故选：D． 练习1:【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）_________，0，_________统称整数． （2）（★★☆☆☆）在有理数中，下列说法正确的是（ ） A．有最小的负整数，但没有最大的正整数 B．有最小的自然数，也有最大的负整数 C．有最大的数，也有最小的数 D．有最小的数，但没有最大的数 【常规讲解】 （1）解：正整数，0，负整数统称整数． 故答案为：正整数，负整数． （2）解：A、有最大的负整数， 但没有最大的正整数， 错误； B、有最小的自然数， 也有最大的负整数， 正确； C 、没有最大的数， 也没有最小的数， 错误； D、没有最小的数， 也没有最大的数， 错误； 故选：B．考点二：整数的分类 知识笔记 2 整数的分类 正整数、零、负整数，统称为整数． 4 整 数  正 零 负 整 整 数 数  自 然 数 例题2: （★★☆☆☆）把下列各数放入相应的圈内： 15，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…， 3 5 ． 整数 自然数 正整数 负整数 【常规讲解】 整数：15，－1，0，－63，13； 自然数：15，0，13； 正整数：15，13； 负整数：－1，－63．练习2:【学习框10】 （★★☆☆☆）先把下列各数放入正确的圈内 －1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10． 整数 自然数 正整数 负整数 【常规讲解】 整数：－1，2，15，0，1，－8，10；自然数：2，15，0，1，10； 正整数：2，15，1，10；负整数：－1，－8 考点三：整数的表示 例题3: （★★★☆☆）五个连续的自然数，已知中间数是 5 a ，那么其余四个数分别是______、______、 ______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数． 【常规讲解】 解：其他四个数分别是a−2、a−1、a+1、a+2 方法一：205=4，所以 a = 4 ，a−1=3,a−2=2,a+1=5,a+2=6 方法二：列方程：(a−2)+(a−1)+a+(a+1)+(a+2)=20，解得： a = 4 ∴ 这五个数是：2、3、4、5、6． 练习3:【学习框12】 （★★★☆☆）三个连续自然数的和是21，这三个自然数分是______、______、______. 【常规讲解】 解：213=7，则另两个是：7−1=6和7+1=8；故答案为：6，7，8．知识加油站 2——整除的意义【建议时长 20 分钟】 知识笔记 3 1. 整除的概念 若整数a除以非零整数 6 b ，商为整数，且余数为零， 我们就说 a 能被b _______（或说b ____________）. 2. 整除的条件 （1）除数、被除数和商都是_______； （2）被除数除以除数，商是整数而且余数为________． 【填空答案】：1、整除, 能整除 a ；2、整数，零 考点四：整除的概念 例题4: （1）（★☆☆☆☆）（2021•宝山区校级月考）在 5 6  8 = 7 中， 能被 整除． （2）（★☆☆☆☆）（判断以下句子是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“×” ①13能被0.3整除．（ ） ②因为150.3=50，所以说15能被0.3整除．（ ） ③如果ab=c，那么 a 能被 b 整除．（ ） （3）（★☆☆☆☆）（2022•宝山区校级月考）能整除16的数有__________________________． 【常规讲解】 （1）解： 7  8 = 5 6 ， 在 5 6  8 = 7 中，56能被8整除， 故答案为：56，8． （2）①0.3不是整数，所以不能说13被0.3整除，所以原题说法错误．故答案为：  ． ②因为150.3=50中的除数是小数，所以150.3=50不是整除算式，所以不能说 15 能被 0.3整除，只能说15能被0.3除尽；故答案为：．③ab=c，如果a． 7 b 、c是小数或分数，就不能说整除．所以说法错误．故判断为：． （3）解： 1 6 = 1  1 6 = 2  8 = 4  4 ， 能整除16的数有1，2，4，8，16， 故答案为：1，2，4，8，16． 练习4:【学习框14】 （1）（★★☆☆☆）（2023•宝山区期末）下列各算式中，被除数与除数具有整除关系的是 ( ) A．53 B．55 C． 5  2 .5 D．52 （2）（★☆☆☆☆）判断以下句子是否正确，正确的请打“√”，错误的请打“×” ①因为31.5=2，所以3能被1.5整除．（ ） ②因为AB=4，所以 A 能被 B 整除．（ ） ③如果ab=15，那么a一定能被b整除．（ ） （3）（★☆☆☆☆）（2021•宝山区校级月考）能整除 12的数有_________________________． 【常规讲解】 （1）解： A .5  3 的商不是整数，故 A 选项错误； B.55=1，符合整除的定义，故B选项正确； C.52.5，其中2.5不是整数，故 C 选项错误； D .5  2 的商不是整数，故D选项错误； 故选：B． （2）①因为31.5=2中的除数是小数，所以31.5=2不是整除算式，所以不能说 3 能被 1.5整除，只能说3能被1.5除尽．故答案为：  ． ②若A，B为小数，则说法错误；故答案为：  ． ③假设a=1.5，b=0.5，1.50.5=3，就不能说a一定能被 b 整除．故答案为：． （3）解：因为 1 2 = 2  2  3 ， 所以能整除12的数有：2，3，4，6， 因为还有1和12， 所以能整除12的数有：1，2，3，4，6，12． 故答案为：1，2，3，4，6，12．考点五：整除与除尽 知识笔记 4 除尽与整除 （1）除尽的概念：若数a除以非零数b，商为整数或有限小数，我们就说a能被b除尽（或 b能除尽a）. （2）除尽和整除的区别：整除要求被除数、除数、商都是整数；除尽要求被除数、除数、 商可以是整数，也可以是有限小数，______________________________； （3）总结：________________________________________________. 【填空答案】：（2）整除是除尽的特殊情况； （3）整除一定是除尽，除尽不一定是整除 例题5: （★★★☆☆）已知下列除法算式： 57÷7=8……1； 21÷7=3； 22÷0.2=110； 22÷5=4.4； 0÷3=0； 2÷4=0.5． （1）表示能除尽的算式有哪几个？ （2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？ 【常规讲解】 （1）21÷7=3；22÷0.2=110；22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5． （2）21÷7=3； 0÷3=0． 练习5:【学习框16】 （★★★☆☆）把表示下列算式的序号填入适当的空格内． （1）30÷10 （2）7÷25 （3）35÷0.1 （4）18÷3 （5）0.4÷2 （6）3.9÷0.3 （7）27÷9 （8）16÷4 除数能整除被除数的：________________________________________； 能够除尽的：________________________________________________． 【常规讲解】 除数能整除被除数的：（1）（4）（7）（8）； 8能够除尽的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 考点六：整除与余数的应用 例题6: （1）（★★★☆☆）框内有36个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个拿出，要求每次拿出 的苹果的个数同样多，而且正好拿完，那么拿法共有 种． （2）（★★★☆☆）王老师带领24名学生去社区为民服务，需平均分成若干个小组，每组的 人数在5到10人之间，应该怎样分组？ （*3）（★★★★☆）2017年教师节正好是星期日，师生们可以利用星期五下午的班会课提前 庆祝节日．有同学问，那明年的教师节是星期几呢？我们能否不翻阅日历，就知道2018年 的教师节是星期几呢？ 【配题说明】本题主要考查整除与余数的实际应用． 【常规讲解】 （1）解： 9 3 6 = 2  1 8 = 3  1 2 = 4  9 = 6  6 ，  1 8 ，12，9，6，4，3，2这7个数能被36整除， 即共7种拿法． 故答案为7． （2）解： 2 4  5 = 4 .8 ，故组数 4， 若分4组，每组6人，行； 若分3组，每组8人，行； 若分2组，每组12人，不行； 若分1组，每组24人，不行； 总之，分4组，每组6人；或分3组，每组8人． （3）2018年一共365天，一周七天， 3 6 5  7 = 5 2 周    1 天 ，所以52周加一天后是2018年 的教师节，2017年的教师节是星期日，所以2018年的教师节是星期一．练习6:【学习框18】 （1）（★★★☆☆）筐内有196个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿，要求每次拿出 的苹果个数同样多，而且正好拿完，那么拿法共有( ). A．4种 B．6种 C．7种 D．9种 （2）（★★★☆☆）面积是96平方厘米，形状不同且长和宽都是整数厘米数的长方形有多少 种？ （*3）（★★★★☆）学校一学期共安排86节数学课，单周一三五每天两节，双周二四每天两 节．开学第一天星期一没有上课，从星期三开始上，则最后一节数学课是星期几上的？ 【配题说明】本题主要考查整除与余数的实际应用． 【常规讲解】 （1） 10 1 9 6 = 2  9 8 = 4  4 9 = 7  2 8 = 1 4  1 4 故196可以被2、4、7、14、28、49、98整除, 故选：C． （2）解：由96=196=248=332=424=616=812， 得面积是96平方厘米，形状不同且长和宽都是整数厘米数的长方形有6种． （3）解：单周一三五每天两节，双周二四每天两节． 可知单双2周共10节是周期， 8610=86（节 ) ， 经推算为双周星期二上最后一节数学课． 故最后一节数学课是星期二上的． *例题7: （★★★★☆）（长宁区校级自主招生）如果某正整数不论从左面或右面读起都相同（如:36563， 2002等）那么称该数为“回文数”，能被101整除的最大五位回文数是 ． 【配题说明】本题考查整除的新定义问题． 【常规讲解】 解：能被101整除的数可以表示为 a b c  1 0 0 + a b c ， 则这样的五位数为abc00+abc=ab(c+a)bc， 由于a=c，a+c不进位．则 11 a = c 最大取4， b 取最大9， ab(c+a)bc=49894， 即这个能被101整除的最大五位回文数是49894． 故答案为：49894． *练习7: （★★★★☆）一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数 可以被 2 整除，前三位数可以被 3整除，  ，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数 叫做“精巧数”．如：123的第一位数“1”可以被 1整除，前两位数“12”可以被 2整除，“123” 可以被3整除，则123是一个“精巧数”． （1）243 “精巧数”（填是或不是）；3246 “精巧数”（填是或不是）； （2）若四位数123k 是一个“精巧数”，求k的值； 【配题说明】本题考查整除的新定义问题． 【常规讲解】 解：（1）243的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“24”可以被 2整除，“243”可以被3整 除，则243是一个“精巧数”． 3246的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“32”可以被2整除，“324”可以被3整除，3246 不能被4整除，则3246不是一个“精巧数”． 故答案为：是；不是； （2） 四位数 1 2 3 k 是一个“精巧数”， 1230+k 是4的倍数， 即 1 2 3 0 + k = 4 n ， 当n=308时， k = 2 ， 当n=309时， k = 6 ，  k = 2 或6．知识加油站 3——因数和倍数【建议时长：20 分钟】 知识笔记 5 因数和倍数的概念 整数a能被整数 12 b 整除，a就叫做 b 的_______，b就叫做 a 的_______（也叫______）. 【填空答案】：倍数；因数；约数 考点七：因数与倍数的概念 例题8: （1）（★★☆☆☆）（2022•徐汇区期末） M 能整除19，那么 M 是 ( ) A．19 B．38 C．19的倍数 D．19的因数 （2）（★★☆☆☆）12和3，其中 是 的因数， 是 的倍数． 【常规讲解】 （1）M 能整除19，那么M 是19的因数， 故选：D． （2）解：因为123=4， 所以12能被3整除，即12和3成倍数关系， 即3是12的因数，12是3的倍数． 故答案为：3、12、12、3． 练习8:【学习框20】 （★★☆☆☆）有一个算式637=9，则可以说______能被______整除，也可以说______能整 除______，还可以说______和______是______的因数，______是______和______的倍数． 【常规讲解】 因数和倍数的意义：整数a能被整数 b 整除，a就叫做 b 的倍数， b 就叫做a的因数（也称 为约数） 63，7，7，63，7，9，63，63，7，9；考点八：因数与倍数的应用 知识笔记 6 1．因数和倍数的特点 （1）________________________________________________________________________； （2）________________________________________________________________________； （3）________________________________________________________________________． 2．因数和倍数的性质 （1）一个整数的因数有有限个.一个整数最小的因数是____，最大的因数是它本身； （2）一个整数的倍数有_______．________________________________________________． 【填空答案】： 1．（1）任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数； （2）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数； （3）0不是任何数的因数和倍数． 2．（1）1；（2）无限个；最小的倍数是它本身，没有最大倍数． 例题9: （1）（★★☆☆☆）（2023•普陀区期中）一个数是13的倍数，又是26的因数，这个数( ) A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 （2）（★★☆☆☆）105以内15的倍数共有 13 ( ) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【配题说明】本题考查因数和倍数的特点和性质． 【常规讲解】 （1）解：26的因数有1，2，13，26，其中只有13，26是13的倍数， 所以如果一个数是13的倍数，又是26的因数，这个数是13或26， 故选：B． （2）解：根据倍数的定义，可得105以内15的倍数有15，30，45，60，75，90，105，共 7个，故选：C． 练习9:【学习框22】 （1）（★★☆☆☆）一个数既是18的约数，又是18的倍数，这个数是_______． （2）（★★☆☆☆）（2021•青浦区期中）36的所有因数的个数有 14 ( ) A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【配题说明】本题考查因数和倍数的特点和性质． 【常规讲解】 （1）由分析得：一个数既是18的倍数，又是18的因数，这个数是18； （2）解：根据因数的定义，可得36的全部因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36，共9个． 故选：C． *例题10: （★★★★☆）（2022•青浦区期中）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我 们把小于a的正的因数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10 的真因数．把一个自然数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”．所以， 16的“完美指标”是 ． 【配题说明】本题考查因数的新定义问题． 【常规讲解】 解： 16的因数为1，2，4，8，16， 16的真因数为1，2，4，8，  1 6 15 的“完美指标”是(1+2+4+8)16= ． 16 故答案为： 1 1 5 6 ．*练习10: （★★★☆☆）规定一个新运算：对于不小于 3 的正整数n， 15 ( n ) 表示不是n的因数的最小正 整数，如5的因数是1和5，所以（5） = 2 ；再如8的因数是1、2、4和8，所以（8）=3 等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（6）+(24)= ． 【配题说明】本题考查因数的新定义问题． 【常规讲解】 解：根据因数的定义，可得6的因数有：1，2，3，6， 所以（6） = 4 ， 由因数的定义，可得24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24， 所以(24)=5， 所以（6）+(24)=4+5=9． 故答案为：9．知识加油站 4——素数与合数【建议时长：20 分钟】 知识笔记 7 1．素数 素数：一个正整数，如果只有___和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做______． 2．合数 合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数． 3．1既不是素数，也不是合数 正整数可分为：______、______和______三类． 4．100以内的素数表 2、3、5、7 11、13、17、19 23、29 31、37 41、43、47 53、59 61、67 71、73、79 83、89 97 【填空答案】：1．1，质数；3．1，素数和合数 16考点九：素数与合数的概念与性质 例题11: （1）（★★☆☆☆）下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？ 6，13，18，31，51，67，87，120． （2）（★★☆☆☆）（2022•松江区期中）在下列说法中，正确的是 17 ( ) A．奇数都是素数 B．奇数是合数 C．两个连续的正整数互素 D．在正整数中，除了素数都是合数 【常规讲解】 （1）13，31，67只有1和本身两个因数，是素数； 6，18，51，87，120除了1和本身，还有其他因数，是合数． （2）解：A、奇数不都是素数，如21是奇数但不是素数，故此选项不符合题意； B、奇数不都是合数，如11是奇数但不是合数，故此选项不符合题意； C 、两个连续的正整数互素，故此选项符合题意； D 、1既不是素数也不是合数，故此选项不符合题意． 故选：C． 练习11:【学习框24】 （1）（★★☆☆☆）（2022•松江区期中）在11、21、31、51、61中，合数有 个． （2）（★★☆☆☆）（2022•嘉定区期中）下列说法正确的是 ( ) A．奇数都是素数 B．素数都是奇数 C．合数不都是偶数 D．偶数都是合数 【常规讲解】 （1）解：在11、21、31、51、61中，21、51是合数，共有2个． 故答案为：2． （2）解：A．奇数不都是素数，例如9是合数，故原选项不符合题意； B．素数不一定是奇数，如2是素数，但2是偶数，故原选项不符合题意； C．合数不都是偶数，说法正确，故原选项符合题意；D．偶数都是合数，说法错误，2是偶数，但不是合数，故原选项不符合题意； 故选：C． 考点十：素数与合数的应用 例题12: （*1）（★★☆☆☆）（2022•宝山区期中）如果两个素数的和是奇数，那么其中较小的素数 是 ． （2）（★★☆☆☆）已知字母 p、q分别代表一个素数，并且 18 p + q = 9 9 ，你能知道 p、q这两 个数相乘的积是多少吗？ （3）（★★★☆☆）（2021•宝山区校级月考）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数 是奇数又是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，个位 上的数是 ． 【配题说明】本题主要考查素数与合数的简单应用． 【常规讲解】 （1）解：如果两个素数的和是奇数， 那么其中较小的素数是2． 故答案为：2． （2）99是一个奇数和一个偶数的和，且这两个数都是素数，所以这两个数是2和97， 积是194． （3）解： 它的千位上的数是奇数又是合数， 千位是9， 它的百位上的数不是素数也不是合数， 百位是1， 它十位上的数是最小的素数， 十位是2， 又能被2和3整除的四位数， 个位数字是6或0，故答案为：6或0． 练习12:【学习框26】 （1）（★★☆☆☆）两个素数的和是201，那么这两个素数的乘积是_____. （2）（★★☆☆☆）（2022•普陀区校级期中）有一个三位数，百位上的数字是最小的合 数，十位上的数字是最小的自然数，个位上的数字是最小的素数，这个三位数是 ． 【配题说明】本题主要考查素数与合数的简单应用． 【常规讲解】 （1）这两个素数是2和199，乘积为398. （2）解： 百位上的数字是最小的合数，十位上的数字是最小的自然数，个位上的数字是 最小的素数， 19  百位上的数字是4，十位上的数字是0，个位上的数字是最小的素数2，  这个三位数是402． 故答案为：402． *例题13: （1）（★★★☆☆）（2021•宝山区校级月考）小杰刚为自己的电脑设置了一个新密码，你能破 解吗？ 密码的顺序如下abcdef ，其中：a是最小的合数； b 是唯一的偶素数； c 是两个素数的乘积， 且这两个素数又是连续的正整数；d只有一个因数的数；e既不是正整数，也不是负整数的 数； f 是所有因数是1，2，4，8的数． 小杰的电脑密码是： ． （2）（★★★☆☆）已知一个长方形的长和宽都是质数厘米，并且周长是36厘米．问这个长 方形的面积至多是多少个平方厘米？ 【配题说明】本题主要考查素数与合数的应用，难度较例题2有所上升． 【常规讲解】 （1）解； a 是最小的合数，a=4， b 是唯一的偶素数，  b = 2 ， c是两个素数的乘积，且这两个素数又是连续的正整数，c=23=6，20 d 只有一个因数的数，  d = 1 ， e 既不是正整数，也不是负整数的数，  e = 0 ， f 是所有因数是1，2，4，8的数，f =8，  小杰的电脑密码是：426108． （2）由周长是36厘米可得：长+宽=18，由于长和宽都是质数， 所以18只能写成5+13或7+11． 所以这个长方形的面积最大为：7×11=77平方厘米 答：这个长方形的面积至多是77平方厘米． *练习13: （★★★☆☆）有一个长方形的长和宽都是质数，并且周长是40厘米，这个长方形的面积 最大是多少平方厘米？ 【配题说明】本题主要考查素数与合数的应用，难度较练习2有所上升． 【常规讲解】 根据长方形的周长公式： C = ( a + b )  2 ，用周长除以2求出长与宽的和，长和宽都是质数， 据此求出长和宽，要使这个长方形的面积最大，也就是长与宽的差最小，据此解答． 解：402=20（厘米），20=3+17=7+13 1 7  3 = 5 1 （平方厘米） 1 3  7 = 9 1 （平方厘米） 91＞51 答：这个长方形的面积最大是91平方厘米．知识加油站 5——分解素因数【建议时长：20 分钟】 知识笔记 8 1．分解素因数 每个合数都可以写成几个_______相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这 个合数的素因数． 把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做____________． 2．分解素因数的方法 （1）树枝分解法 例如： （2）短除法 如下图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”． 用短除法分解素因数的步骤如下： ①先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除； ②得出的商如果是______，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； ③然后把各个除数和最后的商按______的顺序写成连乘的形式． 【填空答案】：1．素数，分解素因数 2．②合数；③从小到大 21考点十一：分解素因数 例题14: （1）（★★☆☆☆）（2022•杨浦区期中）下列各式中表示分解素因数的式子是( ) A． 22 2  3 = 6 B．28=227 C． 1 2 = 4  3  1 D．30=56 （*2）（★★☆☆☆）（2022•杨浦区期中）（2021•金山区期末）把24分解素因数，正确的形式 是 ( ) A． 2 4 = 2  3  4 B．12223=24 C． 2 4 = 2  2  2  3 D． 2  2  2  3 = 2 4 【配题说明】本题考查分解素因数的定义． 【常规讲解】 （1）解：根据素因数的概念可知： 2 8 = 2  2  7 是分解素因数； 23=6不是分解素因数； 1 2 = 4  3  1 ，30=56是错误分解素因数． 故选：B． （2）解：24=2223． 故选：C． 练习14:【学习框28】 （★★☆☆☆）（2022•长宁区校级期中）把36分解素因数正确的算式是 ( ) A．36=12233 B．36=236 C． 3 6 = 2  2  3  3 D． 3 6 = 6  6 【配题说明】本题考查分解素因数的定义． 【常规讲解】 解： 362=18， 182=9， 9  3 = 3 ， 36=2233， 故选：C．例题15: （1）（★★☆☆☆）（2023•普陀区期中）用短除法将下列各数分解素因数． ①40；②114． （*2）（★★☆☆☆）（2022•静安区期中）将28和70分解素因数，并写出它们公有的素因数． 【配题说明】本题考查分解素因数． 【常规讲解】 （1）解：① ② 40=2225； 114=2319． （2）解： 23 2 8 = 2  2  7 ， 7 0 = 2  5  7 ， 所以它们公有的素因数是2，7． 练习15:【学习框30】 （*1）（★★☆☆☆）（2020•闵行区期末）把18分解素因数，那么18=_____________. （2）（★★☆☆☆）（2021•宝山区校级月考）把下列各数分解素因数． 54；102． 【配题说明】本题考查分解素因数． （1）把18分解素因数为18=233. （2）解：54=2333； 102=2317． 例题16: （★★★☆☆）（2021•嘉定区期中）规定一种新运算，对于一个合数 n ，(n)表示不是n的 素因数的最小素数，如（4）=3，(12)=5，那么(60)= ． 【配题说明】本题考查分解素因数的新定义．【常规讲解】 解：根据定义， 24 ( n ) 表示不是n的约数的最小自然数．我们可以求得：60=2235， 故答案为：7． 练习16:【学习框32】 （★★★☆☆）如果a表示全部素因数的和，如  6  = 2 + 3 = 5 ，试求  3 5  −  1 0  的 值． 【配题说明】本题考查分解素因数的新定义． 【常规讲解】 由已知得：<35>=5+7=14，<10>=2+5=7， 所以<35>－<10>=7． *例题17: （★★★★☆）把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数 之积是1920．这篮苹果共有多少个？ 【配题说明】本题考查分解素因数的应用． 【常规讲解】 因为1920=2×2×2×2×2×2×2×3×5=4×6×8×10， 所以四个小朋友分别分到4、6、8、10个苹果，4+6+8+10=28(个) 答：这篮苹果共有28个． *练习17: （★★★★☆）有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗．共 有多少种分法？ 【配题说明】本题考查分解素因数的应用． 【常规讲解】 由因为168=1×168=2×84=3×56=4×42=6×28=8×21=12×14； 所以168的因数有：1，2，3，4，6，8，12，14，21，28，42，56，84，168． 因为每份不得少于10颗，也不能多于50颗， 所以满足条件的因数有：12、14、21、28、42． 所以共有5种分法．全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （1）（★★☆☆☆）下列说法中正确的是( ) A．1是自然数，并且是最小的自然数 B．1是任何正整数的因数 C．一个正整数至少有2个因数 D．整数可以分为正整数和负整数两类 （2）（★★☆☆☆）下列说法中正确的是 25 ( ) A．任何正整数的正因数至少有两个 B．一个数的倍数总比它的因数大 C．1是所有正整数的因数 D．3的因数只有它本身 （3）（★★☆☆☆）（2020•浦东新区月考）下列说法中错误的是 ( ) A．0是最小的自然数 B．一个正整数不是奇数就是偶数 C．素数都是奇数 D．不相等的两个素数一定互素 （4）（★★☆☆☆）（2020•徐汇区校级期末）在正整数中，4是 ( ) A．最小的奇数 B．最小的偶数 C．最小的素数 D．最小的合数 【常规讲解】 （1）解：A、1是自然数，而最小的自然数是0，原说法错误，故本选项不合题意； B 、1是任何正整数的因数，原说法正确，故本选项符合题意； C 、一个正整数至少有2个因数，原说法错误，如1只有因数1，故本选项不合题意； D、整数可以分为正整数、负整数和0，原说法正确，故本选项不合题意． 故选：B．（2）解：任何正整数的正因数至少有两个，说法错误，如 1 的正因数就只有 1，因此A选 项不符合题意； 一个数的最小的倍数和最大的因数都是它本身，因此B选项不符合题意； 任何一个正数都可以形成1与它本身的积，故1是所有正整数的因数，说法正确，因此 26 C 选 项符合题意， 3的因数有1，3，−1， − 3 ，因此选项D不符合题意， 故选：C． （3）解：0最小的自然数，故选项 A 不合题意； 一个正整数不是奇数就是偶数，故选项B不合题意； 2是素数，但不是奇数，故素数都是奇数的说法错误，故选项 C 符合题意； 不相等的两个素数一定互素，故选项D不合题意； 故选：C． （4）解：在正整数中，4是最小的合数， 故选：D． 练习2: （1）（★★☆☆☆）（2023•崇明区期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是 ( ) A．1和2 B．2和1 C．1和0.5 D．0.5和1 （2）（★★☆☆☆）（2022•嘉定区期中）18的因数有__________________________． 【常规讲解】 （1）解：12=0.5， 2  1 = 2 ， 第一个数能被第二个数整除， 第一个数是整数，第二个数也是整数，排除C、D， 故选：B． （2）解：根据因数的定义，可得18的因数有：1、2、3、6、9、18． 故答案为：1、2、3、6、9、18．练习3: （1）（★★☆☆☆）①（2021•宝山区校级月考）自然数中最小的奇素数是 ． ②（2022•青浦区期中）最小的合数是 ． （2）（★★☆☆☆）（2021•徐汇区校级期中）既不是合数又不是素数的正整数是 ，既是 素数又是偶数的正整数是 ． （3）（★★☆☆☆）三个素数的和是100，这三个素数的积最大是多少？ （4）（★★☆☆☆）一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个 数是多少？ 【常规讲解】 （1）①解：3是奇数，也是素数，自然数中最小的奇素数是3． ②解：最小的合数是4． 故答案为：3；4． （2）解：既不是合数又不是素数的正整数是1，既是素数又是的正整数是2． 故答案为：1；2． （3）由三个素数和为100且2是素数中唯一的偶数，所以2是其中一个素数， 即：另两个素数的和是98． 又：98=19+79=31+67=37+61 所以这三个数的乘积最大是：2×37×61=4514． 答：这三个素数的积最大是4514． （4）两位质数中，十位数字是2、4、5、6、8的，不满足条件， 剩余的有：11，13，17，19，31，37，53，59，71，73，79，97， 其中满足条件的有：11，13，17，31，37，71，73，79，97． 27练习4: （1）（★★☆☆☆）（2020•浦东四署期末）分解素因数42=________________； （2）（★★★☆☆）学校搬家用车分3次运送315只箱子.已知每辆车装的箱子数相等且至 少装7箱，问可以有多少辆车？且每辆车装多少只箱子？（每辆车至多装50只箱子） 【常规讲解】 （1）把42分解素因数为42=2×3×7； （2） 28 3 1 5  3 = 1 0 5 故每次需要装105只箱子； 1 0 5 = 3  5  7 ， 用3辆车，每辆车装35箱；用35辆车，每辆车装3箱 用5辆车，每辆车装21箱；用21辆车，每辆车装5箱； 用7辆车，每辆车装15箱；用15辆车，每辆车装7箱； 练习5: （1）（★★☆☆☆）一个数是15的倍数，又是15的因数，这个数是多少？ （2）（★★☆☆☆）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是多少？ （3）（★★☆☆☆）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数？这个数是多 少？ 【常规讲解】 （1）一个数是15的倍数，又是15的因数，这个数是15； （2）一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是8、16、24、48； （3）一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数，这个数是24或48 练习6: （★★★★☆）一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体地互换位置，则所得的新 六位数恰为原数的6倍，此六位数为 ． 【常规讲解】 解：设原六位数的前三位数为x，后三位数为y， 根据题意可得：6(1000x+ y)=1000y+x 6000x+6y=1000y+x，29 5 9 9 9 x = 9 9 4 y ， 故 x : y = 9 9 4 : 5 9 9 9 = 1 4 2 : 8 5 7 ， 因为x、y均为三位数， 所以x=142，y=857， 所以原六位数为142857． 故答案为142857． 练习7: （★★★★☆）一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是？ 【常规讲解】 解：一个数的20倍个位上的数字肯定是0，而减去1后个位上肯定是9， 因为3乘3的个位上是9， 所以一个数的20倍减去1能被153整除，则这个数的20倍减去1至少是153的3倍， (1 5 3  3 + 1 )  2 0 = 2 3 ． 因此这样的自然数最少的是23． 关卡二 练习8: （★★★★☆）将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意 连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 种． 【常规讲解】解：设a ，a ，a ，a ，a 是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列． 1 2 3 4 5 首先，对于 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ，a 不能有连续的两个都是偶数， 5 否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾． 又如果a (1 i 3)是偶数，a +1是奇数，则 i i a i + 2 是奇数， 这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数． 所以a ，a ，a ，a ，a 只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 1 2 3 4 5 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．故答案为：5． 练习9: （★★★★☆）同学们可能都知道，对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整 除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是 30 a ，百位上的数 字是 b ，十位上的数字为 c ，个为上的数字为 d ，如果 a + b + c + d 可以被3整除，那么这个 四位数就可以被3整除． （1）你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）． （2）通过本题的证明，你能总结出能被9整除的整数的特点吗？不必证明． 【常规讲解】 证明：（1）设 a + b + c + d = 3 e ( e 为整数）， 这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d ， 1000a+100b+10c+d =999a+99b+9c+a+b+c+d =3(333a+33b+3c)+3e，  1 0 0 0 a + 1 0 0 3 b + 1 0 c + d = 3 3 3 a + 3 3 b + 3 c + e ， 3 3 3 a + 3 3 b + 3 c + e 是整数， 1000a+100b+10c+d可以被3整除． （2）如果一个整数的各个数位上的数字和可以被9整除，那么这个数就一定能够被9整除． 练习10: （★★★★☆）我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数a，我们把小于a的正的因 数叫做a的真因数．如10的正因数有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因数． 把一个自然数 a 的所有真因数的和除以a，所得的商叫做 a 的“完美指标”．如 10 的“完美指 4 标”是(1+2+5)10= ． 5 一个自然数的“完美指标”越接近 1，我们就说这个数越“完美”．如 8 的“完美指标”是 7 4 7 4 (1+2+4)8= ，10 的“完美指标”是 ，因为 比 更接近 1，所以我们说 8 比 10 更完 8 5 8 5 美． （1）试分别计算5、6、9的“完美指标”； （2）试找出比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数． 【常规讲解】解：（1）5的正因数有：1，5，其中1是5的真因数， 1 根据“完美指标”的定义，可得5的完美指标：15= ； 5 6的正因数有：1，2，3，6，其中1，2，3是6的真因数， 根据“完美指标”的定义，可得6的完美指标： 31 (1 + 2 + 3 )  6 = 1 ； 9的正因数有：1，3，9，其中1，3是9的真因数， 据“完美指标”的定义，可得9的完美指标： (1 + 3 )  9 = 4 9 ； 1 答：5、6、9的“完美指标”分别是 、1、 5 4 9 ； （2）12的正因数有：1、2、3、4、6、12，其中1、2、3、4、6是真因数， 4 据“完美指标”的定义，可得12的完美指标：(1+2+3+4+6)12= 1.33， 3 14的正因数有：1、2、7、14，其中1、2、7是真因数， 5 完美指标：(1+2+7)14= 0.71， 7 15的正因数有：1、3、5、15，其中1、3、5是真因数， 据“完美指标”的定义，可得15的完美指标： (1 + 3 + 5 )  1 5 = 3 5 = 0 .6 ， 据“完美指标”的定义，可得 16 的正因数有：1、2、4、8、16，其中 1、2、4、8是真因数， 完美指标： (1 + 2 + 4 + 8 )  1 6 = 1 1 5 6  0 .9 4 ， 18的正因数有：1、2、3、6、9、18，其中1、2、3、6、9是真因数， 7 据“完美指标”的定义，可得18的完美指标：(1+2+3+6+9)18= 1.17， 6 由以上所求的完美指标知道，16的完美指标最接近1， 所以，比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16； 答：比10大，比20小的自然数中，最“完美”的数是16．练习11: （★★★★★）先把一个数的末位非零的数字割去，并在上位加上所割去数的4倍，然后再将 和数的末位数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样继续下去，直到能够很容易看出和 数是不是13的倍数为止．若是13的倍数，则这个数就是13的倍数．试判断下列各数，哪 些是13的倍数？（写出具体过程） （1）9062； （2）12805； （3）158506． 【常规讲解】 （1）9062： 906+8=914， 91+16=107， 10+28=38，不是13的倍数； （2）12805： 1280+20=1300，是13的倍数，故12805是13的倍数； （3）158506： 15850+24=15874， 1587+16=1603， 160+12=172， 17+8=25，不是13的倍数． 32