文档内容
A02/B02 公因数与公倍数
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）公因数和最大公因数
（2）公倍数与最小公倍数
（3）最大公因数与最小公倍数综合
2. 考情分析
（1）主要考查公倍数，最小公倍数以及最大公因数和最小公倍数的应用，以解答题为主，
占中考总分值的5%；
（2）这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数
在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方
面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．
1知识加油站 1——公因数和最大公因数
知识笔记 1
1. 公因数
几个数_________，叫做这几个数的公因数．
2. 最大公因数
几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
3. 求最大公因数
求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数____________，所得的积就是它们的
最大公因数．
常见方法一：列举两个数所有的因数，找出最大公因数
方法二：分别对两个整数分解素因数；
方法三：短除法
考点一：公因数与最大公因数
例题1:
（1）36和60的公有的素因数是 ，所以它们的最大公因数是 ．
（2）（2021•宝山区校级月考）12和18的最大公因数是 ．
（3）（2021•宝山区校级月考）已知A=223，
2
B = 2 3 5 ，那么A和B的公因数有 ，
A和B的最大公因数是 ．
练习1:
（1）45和60公有的素因数是 ．
（2）求18与30的最大公因数为： ．
（3）（2020•徐汇区校级月考）甲数=2357，乙数=2311，甲乙两数的最大公因数
是 ．例题2:
（2020•徐汇区校级月考）求下列各组数的最大公因数．
（1）18和24；
（2）90和135（短除法）．
练习2:
（2023•普陀区校级月考）用短除法求出12和32的最大公因数．
考点二：公因数与最大公因数的实际应用
例题3:
（1）（2023•普陀区校级月考）“十一”时学校搞联欢，用36朵红花和48朵黄花扎成花
束．如果每个花束里的红花朵数相同，黄花的朵数也相同，那么最多可以扎几个花束？每
个花束里最少有几朵红花、几朵黄花？
（2）（2023•普陀区校级月考）把一张长 35 厘米、宽 28 厘米的长方形纸，裁成若干个同样
大小的正方形，而且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？一共能裁成多少个正方形？
3练习3:
（1）（2021•宝山区校级月考）国庆节，老师将带领18名女生和24名男生去敬老院慰问
孤老，老师把同学分成人数相等的若干组，每个小组中的男生人数都相等．问这42名同学
最多能分成几组？
（2）（2022•松江区校级月考）小明把一张长为72厘米，宽为42厘米的长方形纸片裁成
大小相等的正方形纸片，而且没有剩余，请你帮助小明算一下，裁出的正方形纸片最少有
多少张？
4考点三：两个数互素
知识笔记 2
1. 两个数互素
如果两个整数只有公因数____，那么称这两个数互素．
2. 最大公因数的规律
两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的__________；如果
在这两个数互素，那么它们的最大公因数就是______．
例题4:
（1）（2021•徐汇区校级期中）下面各数中，与6互素的合数是
5
( )
A．10 B．1 C．3 D．35
（2）（2022•青浦区期中）下列说法正确的是 ( )
A．两个素数没有公因数
B．两个合数一定不互素
C．一个素数和一个合数一定互素
D．两个不相等的素数一定互素
（3）（2023•普陀区校级月考）根据规律求出23和92的最大公因数．
练习4:
（1）下列各组数中的两个数不是互素数的是( )
A．1和26 B．15和16 C．4和9 D．12和39
（2）（2023•普陀区校级月考）写出一个与16互素的合数 ．知识加油站 2——公倍数与最小公倍数
知识笔记 3
1．公倍数与最小公倍数
（1）公倍数：几个整数的__________叫做它们的公倍数.
（2）最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．
2．求最小公倍数
（1）取两个整数所有_________；
（2）取它们各自剩余的素因数，
（3）将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数.
常见方法一：按从小到大的顺序列举两个数的部分倍数，找出最小公倍数
方法二：分别对两个整数分解素因数；
方法三：_________
3．最小公倍数的规律
（1）如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的_________.
（2）如果两个数互素，那么它们的_________就是它们的最小公倍数．
考点四：最小公倍数
例题5:
分解素因数求下列各组数的最小公倍数：
（1）17和51； （2）36和48； （3）4、9、11； （4）42、63、105.
练习5:
分解素因数求下列各组数的最小公倍数：
（1）54、27、18； （2）8和9； （3）8、9、6； （4）24和30.
6例题6:
（2020•徐汇区校级月考）短除法求下列各组数的最小公倍数．
（1）40和72；
（2）24、36和60．
练习6:
（2023•普陀区校级月考）用短除法或规律求出下列各组数的最小公倍数．
（1）12和32；
（2）23和92．
例题7:
（1）（2020•浦东新区月考）甲数=223，乙数
7
= 2 3 3 5 ，甲数和乙数的最小公倍数
是 ．
（2）（2020•浦东新区校级期中）A和B都是正整数，将它们分别分解素因数得A=35a，
B = 3 7 a ，如果A和B的最小公倍数是315，那么 a = ．
练习7:
（2021•宝山区校级月考）已知A=23357，B=22557，则A与B的最小公倍
数是 ．考点五：公倍数与最小公倍数的实际应用
例题8:
（1）一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹
果共有多少个？
（2）（2021•宝山区校级月考）有一批图书，平均分给 6 位同学的话多 3本，平均分给 8位
同学的话多5本，平均分给9位同学的话少3本，那么这批图书最少有 本．
练习8:
（1）（2023•普陀区校级月考）上海中环立交桥上安装了漂亮的变色灯，分装在上、下两层，
第一层变色的次序是红
8
→ 黄→蓝→绿，第二层变色的次序是红 → 白 → 紫，均为每隔1分
钟改变一次颜色．请问从立交桥上全部变为红色开始最少再经过 分钟，整个立交桥上
会再次全部变为红色？
（2）被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？知识加油站 3——最大公因数与最小公倍数综合
考点六：同时求解最大公因数和最小公倍数
例题9:
（1）（2022•松江区校级月考）若A=233，
9
B = 2 3 5 ，则A和 B 的最大公因数是 ，
最小公倍数 ．
（2）（2021•宝山区校级月考）已知 x 、 y 是正整数，且 x y = 5 ，则 x 和 y 的最大公因数
是 ，它们的最小公倍数是 ．
练习9:
（2021•宝山区校级月考）12和16的最大公因数和最小公倍数的和是 ．
例题10:
（2021•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：
（1）42和63； （2）12和48； （3）13和104； （4）84和210．
练习10:
（2021•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：
（1）46和92； （2）13和52； （3）34和51．考点七：最大公因数和最小公倍数的关系
知识笔记 4
两数的最大公因数与最小公倍数的关系
已知数a和数
10
b ，两数的最大公因数为 m ，最小公倍数为 n ，则：_____________.
例题11:
（1）已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？
（2）（2020•浦东新区月考）已知甲、乙两数没有倍数关系，它们的最大公因数是12，最
小公倍数是72，求甲、乙两数．
（3）已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？
练习11:
（1） 两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？
（2）两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别
是多少？全真战场
关卡一
练习1:
（1）如图，下列说法错误的是(
11
)
A．A和B都是偶数 B．A和B的最大公因数是8
C． A 和B公有的素因数是1 D． A 和B的最小公倍数是96
（2）（2021•宝山区校级月考）a和b是一对互素数，它们的最小公倍数是( )
A．a B． b C．1 D． a b
练习2:
（1）（2021•徐汇区校级月考）24与32的最大公因数是 ．
（2）（2023•普陀区校级月考）求12和18的最小公倍数是 ．
（3）如果 a = 2 3 5 ，b=257，它们的最大公因数是 ．
（4）（2022•杨浦区月考）已知A=235，B=355，它们的最小公倍数是 ．
练习3:
（1）求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数．
①36和84； ②12，15和18．
（2）已知甲数 = 3 5 7 A ，乙数=37A，若甲、乙两数的最大公因数是42，求 A 的值．练习4:
两个数的最大公因数是 42，最小公倍数是 2940，且这两个数的和是 714，这两个数各是多
少？
练习5:
（2022•杨浦区月考）小杰家的客厅地面是长 4.8 类，宽 3 米的长方形，他家装修新房时准
备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，请问地砖边长最大是多少厘米？需要多少块这样
的地砖？
练习6:
（2022•徐汇区校级月考）有一种长 6 厘米，宽 4厘米的长方形塑料片，如果将这种塑料片
拼成一个正方形，最少需要多少块？这个正方形的面积是多少？
12关卡二
练习7:
（2021•宝山区校级月考）在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成四等
分，第二种刻度线将木棍分成六等分，第三种刻度线将木棍分成九等分，如果沿每条刻度
线将木棍锯断，总共被锯成了 段．
练习8:
张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x、y、z的最小公倍
数是60，x和y的最大公因数为4，y和z的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共
有多少张？
13
