FY25暑假预初A02B02公因数与公倍数教师版4.0_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_预初_志高_教师版PDF

A02/B02 公因数与公倍数 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）公因数和最大公因数 （2）公倍数与最小公倍数 （3）最大公因数与最小公倍数综合 2. 考情分析 （1）主要考查公倍数，最小公倍数以及最大公因数和最小公倍数的应用，以解答题为主， 占中考总分值的5%； （2）这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数 在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方 面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣． 环节 需要时间 课后练习讲解 10 分钟 切片 1：公因数和最大公因数 35 分钟 切片2：公倍数和最小公倍数 25 分钟 切片 3：最大公因数和最小公倍数 25 分钟 出门测 15 分钟 错题整理 10 分钟 1知识加油站 1——公因数和最大公因数【建议时长：35分钟】 知识笔记 1. 公因数 几个数_________，叫做这几个数的公因数． 2. 最大公因数 几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数． 3. 求最大公因数 求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数____________，所得的积就是它们的 最大公因数． 常见方法一：列举两个数所有的因数，找出最大公因数 方法二：分别对两个整数分解素因数； 方法三：短除法 【填空答案】：1、公有的因数；3、连乘 考点一：公因数与最大公因数 例题1: （1）（★★☆☆☆）36 和 60 的公有的素因数是 ，所以它们的最大公因数是 ． （2）（★★☆☆☆）（2021•宝山区校级月考）12和18的最大公因数是 ． （3）（★★☆☆☆）（2021•宝山区校级月考）已知 A=223，B=235，那么A和 2 B 的 公因数有 ，A和B的最大公因数是 ． 【常规讲解】 （1）解： 3 6 = 2  2  3  3 ； 6 0 = 2  2  3  5 ； 36和60的公有的素因数有：2、2、3，它们的最大公因数是：223=12． 故答案为：2、2、3；12． （2）解：把12和18分解质因数为：12=223，18=233，根据最大公因数的定义，可得12和18的最大公因数是6． 故答案为：6． （3）解：因为 3 A = 2  2  3 ，B=235， 所以由公因数的定义可知A和B的公因数有1、2、3、6，A和B的最大公因数是 2  3 = 6 ． 故答案为：1、2、3、6；6． 练习1:【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）45和60公有的素因数是 ． （2）（★★☆☆☆）求18与30的最大公因数为： ． （3）（★★☆☆☆）（2020•徐汇区校级月考）甲数 = 2  3  5  7 ，乙数 = 2  3  1 1 ，甲乙两数的 最大公因数是 ． 【常规讲解】（1）解：45的素因数有3、3、5，60的素因数有2、3、5， 则45和60公有的素因数有3和5； 故答案为：3和5． （2）解：18=36，30=56， 根据最大公因数的定义，可得18与30的最大公因数是6． 故答案为：6． （3）解：因为甲数 = 2  3  5  7 ，乙数=2311， 所以由最大公因数的求法可知甲乙两数的最大公因数是 2  3 = 6 ． 故答案为：6． 例题2: （★★★☆☆）（2020•徐汇区校级月考）求下列各组数的最大公因数． （1）18和24； （2）90和135（短除法）． 【常规讲解】 解：（1）利用短除法可求出18和24的最大公因数， 根据最大公因数的定义，可得18和24的最大公因数为23=6；（2）利用短除法可求出90和135的最大公因数， 根据最大公因数的定义，可得90和135的最大公因数为 4 5  3  3 = 4 5 ． 练习2:【学习框10】 （★★★☆☆）（2023•普陀区校级月考）用短除法求出12和32的最大公因数． 【常规讲解】 解：由题意可得，  2  2 = 4 ，2238=96，  1 2 和32的最大公因数是4 考点二：公因数与最大公因数的实际应用 例题3: （1）（★★★☆☆）（2023•普陀区校级月考）“十一”时学校搞联欢，用36朵红花和48朵 黄花扎成花束．如果每个花束里的红花朵数相同，黄花的朵数也相同，那么最多可以扎几 个花束？每个花束里最少有几朵红花、几朵黄花？ （2）（★★★☆☆）（2023•普陀区校级月考）把一张长35厘米、宽28厘米的长方形纸，裁成 若干个同样大小的正方形，而且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？一共能裁成多少 个正方形？ 【常规讲解】 （1）解： 3 6 = 2  2  3  3 ，48=22223， 所以36和48的最大公约数是223=12（个)， 每个花束里最少有红花朵数：3612=3（朵 ) ， 每个花束里最少有黄花朵数：4812=4（朵)． 答：最多可以做12个花束，每个花束里最少有3朵红花、4朵黄花．（2）解：求出28、35的最大公因数7， 答：正方形的边长最长是7厘米， (3528)(77)=20（个)， 答：一共能裁成20个正方形． 练习3:【学习框12】 （1）（★★★☆☆）（2021•宝山区校级月考）国庆节，老师将带领18名女生和24名男生 去敬老院慰问孤老，老师把同学分成人数相等的若干组，每个小组中的男生人数都相 等．问这42名同学最多能分成几组？ （2）（★★★☆☆）（2022•松江区校级月考）小明把一张长为72厘米，宽为42厘米的长 方形纸片裁成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余，请你帮助小明算一下，裁出的正方 形纸片最少有多少张？ 【常规讲解】 （1）解： 5 2 4 = 2  2  2  3 ，18=233，  1 8 和24的最大公因数是 2  3 = 6 ， 答：那么最多可分成6组． （2）解： 7 2 = 2  2  2  3  3 ， 4 2 = 2  3  7 ，  7 2 、42的最大公因数为： 2  3 = 6 ， 7242(66)=302436=84（张)， 答：裁出的正方形纸片最少有84张．考点三：两个数互素 知识笔记 1. 两个数互素 如果两个整数只有公因数____，那么称这两个数互素． 2. 最大公因数的规律 两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的__________；如果 在这两个数互素，那么它们的最大公因数就是______． 【填空答案】：1、1；2、最大公因数；1 例题4: （1）（★★☆☆☆）（2021•徐汇区校级期中）下面各数中，与6互素的合数是( 6 ) A．10 B．1 C．3 D．35 （2）（★★☆☆☆）（2022•青浦区期中）下列说法正确的是 ( ) A．两个素数没有公因数 B．两个合数一定不互素 C．一个素数和一个合数一定互素 D．两个不相等的素数一定互素 （3）（★★☆☆☆）（2023•普陀区校级月考）根据规律求出23和92的最大公因数． 【常规讲解】 （1）解：在10，1，3，35中，与6互素的合数是35． 故选：D． （2）解：A、两个素数有公因数1，故A不符合题意； B、两个合数有可能互素，故B不符合题意； C 、一个素数和一个合数不一定互素，故 C 不符合题意； D 、两个不相等的素数一定互素，正确，故D符合题意． 故选：D． （3） 9223=4，7  2 3 和92的最大公因数是23． 练习4: 【学习框14】 （1）（★★☆☆☆）下列各组数中的两个数不是互素数的是 ( ) A．1和26 B．15和16 C．4和9 D．12和39 （2）（★★☆☆☆）（2023•普陀区校级月考）写出一个与16互素的合数 ． 【常规讲解】 解：A，1和26的公因数只有1，所以1和26是互素数； B ，15和16的公因数只有1，所以15和16是互素数； C ，4和9的公因数只有1，所以4和9是互素数； D，12和39的公因数有1和3，所以12和39不是互素数． 故选：D． （2）解：由题意可得， 9与16只有公因数1，9的因数有：1，9，3， 故答案为：9（答案不唯一）．知识加油站 2——公倍数与最小公倍数【建议时长：25分钟】 知识笔记 1．公倍数与最小公倍数 （1）公倍数：几个整数的__________叫做它们的公倍数. （2）最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数． 2．求最小公倍数 （1）取两个整数所有_________； （2）取它们各自剩余的素因数， （3）将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数. 常见方法一：按从小到大的顺序列举两个数的部分倍数，找出最小公倍数 方法二：分别对两个整数分解素因数； 方法三：_________ 3．最小公倍数的规律 （1）如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的_________. （2）如果两个数互素，那么它们的_________就是它们的最小公倍数． 【填空答案】： 1、公有的倍数 2、公有的素因数；短除法 3、最小公倍数；乘积 考点四：最小公倍数 例题5: （★★★☆☆）分解素因数求下列各组数的最小公倍数： （1）17和51； （2）36和48； （3）4、9、11； （4）42、63、105. 【常规讲解】 解:（1）因为51是17的倍数， 8所以最小公倍数是51； （2）36=2×2×3×3，48=2×2×2×2×3 最小公倍数是2×2×2×2×3×3=144； （3）4、9、11互质， 所以4、9、11的最小公倍数是4×9×11=396； （4）42=2×3×7 63=3×3×7 105=5×3×7. 所以42、63、105的最小公倍数是3×7×2×3×5=630. 练习5: 【学习框16】 （★★★☆☆）分解素因数求下列各组数的最小公倍数： （1）54、27、18； （2）8和9； （3）8、9、6； （4）24和30. 【常规讲解】 解:（1）54＝2×27=3×18；54是27和18的整数倍. 所以54、27和18的最小公倍数是54； （2）因为8和9是互质数， 所以最小公倍数是8×9=72； （3）8=2×2×2 9=3×3 6=3×2. 所以8、9、6的最小公倍数是3×2×3×2×2=72 （4）24=2×2×2×3；30=2×3×5 最小公倍数是2×2×2×3×5=120 例题6: （★★★☆☆）（2020•徐汇区校级月考）短除法求下列各组数的最小公倍数． （1）40和72； （2）24、36和60． 【常规讲解】 解：（1） 根据最小公倍数的定义，可得40和72的最小公倍数为22259=360； 9（2） 根据最小公倍数的定义，可得24、36和60的最小公倍数为 10 2  2  3  2  3  5 = 3 6 0 ． 练习6: 【学习框18】 （★★★☆☆）（2023•普陀区校级月考）用短除法或规律求出下列各组数的最小公倍数． （1）12和32； （2）23和92． 【常规讲解】 解：（1）由题意可得，  2  2 = 4 ， 2  2  3  8 = 9 6 ，  1 2 和32的最小公倍数是96； （2） 9223=4，  2 3 和92的最小公倍数是92． 例题7: （1）（★★☆☆☆）（2020•浦东新区月考）甲数=223，乙数 = 2  3  3  5 ，甲数和乙数的 最小公倍数是 ． （2）（★★☆☆☆）（2020•浦东新区校级期中）A和B都是正整数，将它们分别分解素因数得 A=35a， B = 3  7  a ，如果A和B的最小公倍数是315，那么a= ． 【常规讲解】 （1）解： 甲数 = 2  2  3 ，乙数 = 2  3  3  5 ， 甲乙最小公倍数：32215=180． 故答案为：180． （2）解： A=35a，B=37a， 357a=315，11  a = 3 ， 故答案为：3． 练习7: 【学习框20】 （★★☆☆☆）（2021•宝山区校级月考）已知 A=23357， B = 2  2  5  5  7 ，则A与 B的最小公倍数是 ． 【常规讲解】 解：因为 A = 2  3  3  5  7 ， B = 2  2  5  5  7 ， 所以A与B的最小公倍数=2573325=6300， 故答案为：6300． 考点五：公倍数与最小公倍数的实际应用 例题8: （1）（★★★☆☆）一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好 多一个，这筐苹果共有多少个？ （2）（★★★★☆）（2021•宝山区校级月考）有一批图书，平均分给6位同学的话多3本，平 均分给8位同学的话多5本，平均分给9位同学的话少3本，那么这批图书最少有 本． 【常规讲解】 （1）3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个， 所以60×9=540，540+1=541． 答：这筐苹果共有541个． （2）解：设这批图书共有x本． 平均分给6位同学的话多3本，则 ( x + 3 ) 多出6本，为是6的倍数； 平均分给8位同学的话多5本，则 ( x + 3 ) 多出8本，是8的倍数， 平均分给9位同学的话少3本，则(x+3)是9的倍数 (x+3)是6，8，9的倍数， 6 ，8，9的最小公倍数为72，而 ( x + 3 ) 的最小值为72， x的最小值为69． 故答案为：69．练习8: 【学习框22】 （1）（★★★☆☆）（2023•普陀区校级月考）上海中环立交桥上安装了漂亮的变色灯，分装在 上、下两层，第一层变色的次序是红 12 → 黄 → 蓝 → 绿，第二层变色的次序是红→白→紫， 均为每隔1分钟改变一次颜色．请问从立交桥上全部变为红色开始最少再经过 分钟， 整个立交桥上会再次全部变为红色？ （2）（★★★★☆）被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数 是多少？ 【常规讲解】 （1）解： 第一层变色的次序是红→黄→蓝→绿，第二层变色的次序是红 → 白 → 紫，均 为每隔1分钟改变一次颜色，  3  4 = 1 2 ，即全部变为红色开始最少再经过12分钟，整个立交桥上会再次全部变为红色， 故答案为：12． （2）由题意可知：这个自然数加上8能被10整除，加上8能被11整除… 故这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数； 又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572． 答：这个自然数最小是8572．知识加油站 3——最大公因数与最小公倍数综合【建议时长：25 分钟】 考点六：同时求解最大公因数和最小公倍数 例题9: （1）（★★☆☆☆）（2022•松江区校级月考）若 A=233，B=235，则A和 13 B 的最大 公因数是 ，最小公倍数 ． （2）（★★★★☆）（2021•宝山区校级月考）已知 x 、 y 是正整数，且 x  y = 5 ，则 x 和 y 的 最大公因数是 ，它们的最小公倍数是 ． 【常规讲解】 （1）解：因为 A = 2  3  3 ，B=235， 所以这两个数的公共质因数是2和3， 根据最大公因数的定义，可得A和 B 的最大公因数是 2  3 = 6 ； 由A独有的质因数是3，B独有的质因数是5， 根据最小公倍数的定义，可得它们的最小公倍数是 6  3  5 = 9 0 ． 故答案为：6、90． （2）解： xy=5， x 、y是正整数，  x 和y成倍数关系，  x 和 y 的最大公因数是较小的数 y ，最小公倍数是较大的数 x ． 故答案为： y ；x． 练习9: 【学习框24】 （★★☆☆☆）（2021•宝山区校级月考）12和16的最大公因数和最小公倍数的和是 ． 【常规讲解】 解：分别把12和16分解质因数为：12=223， 1 6 = 2  2  2  2 ， 12和16的最大公因数是4，12和16的最小公倍数是48， 4+48=52， 故答案为：52．例题10: （★★★☆☆）（2021•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数： （1）42和63； （2）12和48； （3）13和104； （4）84和210． 【常规讲解】 （1）用短除法把42和63分解质因数如下： 14 7  3 = 2 1 ，7323=126，  4 2 和63的最大公因数是21，42和63的最小公倍数是126； （2）12=322和48=22223， 故12和48的最大公因数是：223=12，12和48的最小公倍数是：32222=48； （3）13和104=138为倍数关系， 故13和104的最大公因数是13，13和104的最小公倍数是：138=104: （4）用短除法把84和210分解因数如下： 7  2  3 = 4 2 ，72235=420，  8 4 和210的最大公因数是42，84和210的最小公倍数是420． 练习10: 【学习框26】 （★★★☆☆）（2021•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数： （1）46和92； （2）13和52； （3）34和51． 【常规讲解】 解：（1）用短除法把46和92分解质因数如下： 232=46，23212=93， 46和92的最大公因数是46，46和92的最小公倍数是92；（2）用短除法把13和52分解质因数如下： 131=13， 15 1 3  1  4 = 5 2 ， 13和52的最大公因数是13，13和52的最小公倍数是52； （3）34=172和51=317， 故34和51的最大公因数是17，34和51的最小公倍数是： 1 7  3  2 = 1 0 2 ． 考点七：最大公因数和最小公倍数的关系 知识笔记 两数的最大公因数与最小公倍数的关系 已知数a和数b，两数的最大公因数为 m ，最小公倍数为 n ，则：_____________. 【填空答案】： a  b = m  n 例题11: （1）（★★☆☆☆）已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数 是多少？ （2）（★★★☆☆）（2020•浦东新区月考）已知甲、乙两数没有倍数关系，它们的最大公 因数是12，最小公倍数是72，求甲、乙两数． （3）（★★★★☆）已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是 多少？ 【配题说明】（1）考察最大公因数与最小公倍数的乘积等于两个数的乘积；（2）（3）需 要根据两个数是否存在倍数关系，推导出两个数字的大小 【常规讲解】 （1）设另一个数是x，则：6 x =3×30，解得：x =15 答：乙数是15． （2）解法一：把72分解因数为：72=1223， 由甲、乙两数没有倍数关系，它们的最大公因数是 12，最小公倍数是 72，可得甲数=122=24，乙数 16 = 1 2  3 = 3 6 ， 解法二：设甲乙分别为 1 2 a 和 1 2 b （ a 、 b 互素），则 1 2 a 1 2 b = 1 2  7 2 ， 故 a b = 6 = 2  3 当a=2， b = 3 时，甲为24，乙为26 答：甲、乙两数分别为：24、36． （3）解法一：把144分解因数144=62223， 由于这两个数的最大公因数是6， 当两个数没有倍数关系时，其中一个数是6222=48，另一个数是 6  3 = 1 8 ， 则两数之和是 4 8 + 1 8 = 6 6 当两个数有倍数关系时，其中一个数是6，另一个数是144， 则两数之和是6+144=150 解法二：设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144 ∴ab=24=1×24=3×8； 当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=150； 当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66； 故答案为66或150 练习11: 【学习框28】 （1）（★★☆☆☆）两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个 是多少？ （2）（★★★☆☆）两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数， 这两个数分别是多少？ 【常规讲解】 （1）设另一个数是x，则：28x=4×252．解得：x=36． 答：另一个数是36． （2）把140分解因数为140=457， 由于小数不能整除大数，故一个数是45=20，另一个数是 4  7 = 2 8全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （1）（★★☆☆☆）如图，下列说法错误的是( ) A．A和 17 B 都是偶数 B．A和 B 的最大公因数是8 C． A 和B公有的素因数是1 D． A 和B的最小公倍数是96 （2）（★★☆☆☆）（2021•宝山区校级月考） a 和 b 是一对互素数，它们的最小公倍数是 ( ) A．a B．b C．1 D． a b 【常规讲解】 （1）解：由分析可知：A是24，B是32， A 选项， A 和B都是偶数，说法正确，故 A 选项不符合题意； B 选项， A 和B的最大公因数是8，说法正确，故B选项不符合题意； C选项， A 和B公有的质因数是1，说法错误，因为1不是质数，故C选项符合题意； D 选项，A和 B 的最小公倍数是96，说法正确，故 D 选项不符合题意； 故选：C． （2）解：a和 b 是一对互素数， 根据互素数的最小公倍数是它们的乘积，可得a和 b 的最小公倍数是ab， 故选：D． 练习2: （1）（★★☆☆☆）（2021•徐汇区校级月考）24与32的最大公因数是 ． （2）（★★☆☆☆）（2023•普陀区校级月考）求12和18的最小公倍数是 ．（3）（★★☆☆☆）（2019•徐汇区校级月考）如果 18 a = 2  3  5 ， b = 2  5  7 ，它们的最大公因 数是 ． （4）（★★☆☆☆）（2022•杨浦区月考）已知 A = 2  3  5 ， B = 3  5  5 ，它们的最小公倍数 是 ． 【常规讲解】 （1）解： 2 4 = 2  2  2  3 ，32=22222， 根据最大公因数的定义可得，24与32的最大公因数是 2  2  2 = 8 ， 故答案为：8． （2）解： 1 2 = 2  2  3 ， 1 8 = 2  3  3 ； 根据最小公倍数的定义，可得12和18的最小公倍数是2233=36． 故答案为：36． （3）解： a = 2  3  5 ，b=257，  a ， b 两数的最大公因数是 2  5 ，即它们的最大公因数是10． 故答案为：10． （4）解： A = 2  3  5 ，B=355， A、 B 的最小公倍数是： 2  3  5  5 = 1 5 0 ． 故答案为：150． 练习3: （1）（★★☆☆☆）求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数． ①36和84； ②12，15和18． （2）（★★☆☆☆）已知甲数=357A，乙数=37A，若甲、乙两数的最大公因数是 42，求A的值． 【常规讲解】 （1）①36与84的最大公因数是12，最小公倍数是252； ②12、15、18的最大公因数是3，最小公倍数是180． （2）由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3×7×A=42， 解得：A=2．练习4: （★★★★☆）两个数的最大公因数是 42，最小公倍数是 2940，且这两个数的和是 714，这 两个数各是多少？ 【常规讲解】 设这两个数是42a，42b(a、b互素)， 则：42ab=2940，42（a+b）=714． ∴ab=70，a+b=17 ∴a=7，b=10，这两个数是420、294． 练习5: （★★★☆☆）（2022•杨浦区月考）小杰家的客厅地面是长4.8类，宽3米的长方形，他家装 修新房时准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，请问地砖边长最大是多少厘米？需要 多少块这样的地砖？ 【常规讲解】 解：4.8米 19 = 4 8 0 厘米，3米 = 3 0 0 厘米． 480与300最大公因数是60．故地砖边长是60厘米， ( 4 8 0  6 0 )  ( 3 0 0  6 0 ) = 8  5 = 4 0 （块 ) ． 故需要40块这样的地砖． 答：地砖边长是60厘米，需要40块这样的地砖． 练习6: （★★★☆☆）（2022•徐汇区校级月考）有一种长6厘米，宽4厘米的长方形塑料片，如果 将这种塑料片拼成一个正方形，最少需要多少块？这个正方形的面积是多少？ 【常规讲解】 解： 4=22， 6 = 2  3 ，  6 和4的最小公倍数为：223=12，即正方形的边长是12厘米， (126)(124)， =23， =6（个)， 则 1 2  1 2 = 1 4 4 （平方厘米）， 答：至少需要6块这样的硬纸板，这个正方形的面积是144平方厘米．关卡二 练习7: （★★★★☆）（2021•宝山区校级月考）在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将 木棍分成四等分，第二种刻度线将木棍分成六等分，第三种刻度线将木棍分成九等分，如 果沿每条刻度线将木棍锯断，总共被锯成了 段． 【常规讲解】 解： 4，6，9的最小公倍数是36， 设木棍36厘米， 则4等分的为第一种刻度线，共4−1=3（条 20 ) ， 6等分的为第二种刻度线，共6−1=5（条 ) ， 9等分的为第三种刻度线，共 9 − 1 = 8 （条 ) ， 第一种与第二种刻度线重合的条数：9和6的最小公倍数是18， 3 6  1 8 − 1 = 2 − 1 = 1 （条 ) ， 第一种与第三种刻度线重合的条数：9和4的最小公倍数是36， 3 6  3 6 − 1 = 1 − 1 = 0 （条 ) ， 第二种与第三种刻度线重合的条数：6和4的最小公倍数是12， 3 6  1 2 − 1 = 3 − 1 = 2 （条 ) ， 三种刻度线都重合的没有，  木棍上共有刻度线3+5+8−1−0−2=13（条 ) ，  木棍总共被锯成 1 3 + 1 = 1 4 （段 ) ； 故答案为：14． 练习8: （★★★★☆）张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x、y、z 的最小公倍数是60，x和y的最大公因数为4，y和z的最大公因数为3，那么张三发出的 新年贺卡共有多少张？ 【常规讲解】 方法一：4是x的约数，60是x的整数倍，60=415=435 因此x只可能是4，12，20，60． 当x=60时，由于x和y的最大公因数为4，则 y = 4 ，不满足y和z的最大公因数为3 故x60． 因为4和3都是y的因数，因此y是12的整数倍，当x=12时，x和y的最大公因数为12，因此 21 x  1 2 ． 由此x=4或20． 解法二：设 x = 4 a ， y = 1 2 b ，z=3c （a、b、c为素数）则 1 2 a b c = 6 0 ， 故 a b c = 5 = 1  1  5 （1）a=5，这三个数是20，12，3 （2）b=5，这三个数是4，60，3 （3）c=5，这三个数是4，12，15 因此答案为4或20