文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
重难点 03 相似三角形
考点一：比例
学习比例、比例线段的性质等知识是学习三角形相似的基础，数学中考中很多省市也会把这个考
点单独出题考察，特别是黄金分割和平行线分线段成比例的基本性质，都是经常出现的小题，但这类
题一般难度不大，掌握好易错点，再仔细计算即可！
题型01 比例与比例线段
易错点：4个数成比例时， 对应数据可正可负；线段成比例时，对应数据只能是正数，特别是比例中项的
计算中，更要注意线段正负的问题；
【中考真题练】
1．若 ＝ ，则ab＝（ ）
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．6 B． C．1 D．
【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴ab＝6．
故选：A．
2．（2023•甘孜州）若 ，则 ＝ 1 ．
【分析】根据比例的性质解答即可．
【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ﹣1＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
3．小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请
在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
【分析】由 ＝2，得到a＝2c，因此 ＝ ，得到b＝ c，故 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
所以 ＝ ＝ ．
【解答】解：当 ＝2时， ＝ ＝ ，理由如下：
∵ ＝2，
∴a＝2c，
∴ ＝ ，
∴b＝ c，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为：2．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【中考模拟练】
1．（2024•凉州区一模）下列各组数中，成比例的是（ ）
A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8
C．5，6，2，3 D． ， ，1，
【分析】根据比例的性质解决此题．
【解答】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故A不符合题意．
B．由4×2≠1×（﹣8），得1，4，2，﹣8不成比例，故B不符合题意．
C．由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合题意．
D．由 ，得 ， ，1， 成比例，故D符合题意．
故选：D．
2．（2024•汝南县一模）如果2a＝5b，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】利用比例的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵2a＝5b，
∴ ＝ ， ＝ ．
故选：C．
3．（2023•望江县模拟）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等
进行判断．
【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B.3×9≠5×8，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C.3×30＝9×10，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D.3×9≠6×7，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：C．
4．（2024•凉州区一模）已知 ＝ ，则 ＝ ．
【分析】根据比例的性质，可得a、b间的关系，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由比例的性质，得b＝ a．
＝ ＝ ＝ ＝ ，
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为： ．
5．（2024•锦江区校级模拟） ＝ ．
【分析】依据比例基本性质中的等比性质，即可得到分式的值．
【解答】解：∵ ＝ ＝ ＝ ，
∴由等比性质可得 ＝ ，
故答案为： ．
6．（2024•山阳县一模）如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，AC，BC，AB各部分长度满足BC2＝
AC•AB，若小提琴的总长度AB为59cm，则琴身BC的长为 cm．
【分析】把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC
＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行计
算即可．
【解答】解：∵BC2＝AC•AB，
∴ ，
∴BC＝ ×59＝ ．
故答案为： ．
题型02 黄金分割
√5−1
2
易错点：一个线段的黄金分割点有2个，黄金分割比= ，0.618是黄金分割比的近似值。题目中没
有要求时，一般都要用原值；
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【中考真题练】
1．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫
黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作
圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若
CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（ ﹣1）a B．（ ﹣2）a C．（ +1）a D．（ +2）a
【分析】设AB＝x，根据正方形的性质可得AB＝BC＝x，然后根据黄金矩形的定义可得 ＝ ，
从而可得 ＝ ，最后进行计算即可解答．
【解答】解：设AB＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝x，
∵矩形ABFG是黄金矩形，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：x＝（2+2 ）a，
经检验：x＝（2+2 ）a是原方程的根，
∴AB＝（2+2 ）a，
故选：D．
2．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于
点D，再分别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点
E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根据题意可得：
CP平分∠ACB，从而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代换可得∠A＝∠ACE＝36°，从而可得
AE＝CE，再利用三角形的外角性质可得∠B＝∠CEB＝72°，从而可得CB＝CE，进而可得AE＝CE＝
CB，最后根据黄金三角形的定义可得 ＝ ，从而可得 ＝ ，再利用三角形的面积可得
＝ ＝ ，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝ ＝72°，
由题意得：CP平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝ ∠ACB＝36°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，
∴AE＝CE，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠CEB＝72°，
∴CB＝CE，
∴AE＝CE＝CB，
∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCE是黄金三角形，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
故A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C．
3．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近
点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 （ 8 0 ﹣
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
160 ） cm．（结果保留根号）
【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，
∴AC＝ AB＝ ×80＝（40 ﹣40）cm，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，
∴DB＝ AB＝ ×80＝（40 ﹣40）cm，
∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40 ﹣40）﹣80＝（80 ﹣160）cm，
∴支撑点C，D之间的距离为（80 ﹣160）cm，
故答案为：（80 ﹣160）．
4．（2023•黄石）关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与
长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数
学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数a，b满足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；
（3）已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．
【分析】（1）依据题意，将m＝1代入然后解一元二次方程x2+x﹣1＝0即可得解；
（2）依据题意，将b2﹣2mb＝4变形为（﹣ ）2+m•（﹣ ）﹣1＝0，从而可以看作a，﹣ 是一元二
次方程x2+mx﹣1＝0的两个根，进而可以得解；
（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，将m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，
∴x
1，2
＝ ＝ ．
∵黄金分割数大于0，
∴黄金分割数为 ．
（2）∵b2﹣2mb＝4，
∴b2﹣2mb﹣4＝0．
∴（﹣ ）2+m•（﹣ ）﹣1＝0．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
又b≠﹣2a，
∴a，﹣ 是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的两个根．
∴a•（﹣ ）＝﹣1．
∴ab＝2．
（3）由题意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，
∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，
（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．
又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），
∵p，q为两个不相等的实数，
∴p﹣q≠0，
∴（p+q）+n＝﹣1．
∴p+q＝﹣n﹣1．
又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．
∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．
∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．
∴pq＝n．
∴pq﹣n＝0．
【中考模拟练】
1．（2024•东昌府区一模）如图，线段AB上的点C满足关系式：AC2＝BC•AB，且AB＝2，则AC的长为
（ ）
A． 或 B． C． D．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AC2＝BC•AB，
∴点C是AB的黄金分割点，
∴AC＝ AB＝ ×2＝ ﹣1，
故选：C．
2．（2024•昆明模拟）黄金分割是一个跨越数学、自然、艺术和设计领域的概念，各个领域中无处不在．
黄金分割是指将一个整体分为两部分，其中较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，
其比值为 ，通常人们把这个数叫做黄金分割数．请估计 的值在（ ）
A．0和 之间 B． 和1之间 C．1和 之间 D． 和2之间
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】由题意可知，因为 ，所以 ，所以 ，
进而可得 ．即在 和1之间．
【解答】解：由题意可知，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．即在 和1之间．
故选：B．
3．（2024•安州区二模）如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至
F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH
的面积为S ，矩形HICB的面积为S ，则S 与S 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．S ＞S B．S ＜S C．S ＝S D．不能确定
1 2 1 2 1 2
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求
出S 与S 即可．
1 2
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAB＝90°，
设正方形ABCD的边长为2a，
∵E为AD的中点，
∴AE＝a，
在Rt△EAB中，由勾股定理得： ，
∵EF＝BE，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
，
即S ＝S ，
1 2
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：C．
4．（2024•大渡口区模拟）已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB＝（ ）
A． ﹣1）：2 B． +1）：2 C． ）：2 D． ）：2
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割
叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比．
【解答】解：根据黄金分割的定义，知AC：AB＝（ ﹣1）：2．
故选：A．
5．（2024•高新区校级二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马
俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 ，若如
图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为0.3m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 m．
【分析】设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为x m，根据题意可得： ＝ ，然后进行计算即可解
答．
【解答】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为x m，
由题意得： ＝ ，
解得：x＝ ，
∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 m，
故答案为： ．
题型03 平行线分线段成比例
【中考真题练】
1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，
BD＝3，则 的值是（ ）
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出 ＝ ，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝
AD+BD，即可求出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
2．（2023•常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
（1）以A为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，
连接BE；
（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、
N．M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵CM∥DN∥BE，
∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，
∵AC＝CD＝DE，
∴AM＝MN＝NB，
∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
故选：D．
3．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则 的值
为 ．
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
4．（2023•岳阳）如图，在 O中，AB为直径，BD为弦，点C为 的中点，以点C为切点的切线与AB
的延长线交于点E．
⊙
（1）若∠A＝30°，AB＝6，则 的长是 （结果保留 ）；
π π
（2）若 ＝ ，则 ＝ ．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧长公式即可求出 的长；
（2）连接OC，根据垂径定理得到OC⊥BD，再由切线得到EC∥BD，利用平行线分线段成比例得出
，再根据勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵∠A＝30°，AB＝6，
∴∠BOC＝60°，OB＝3，
∴ 的长＝ ＝ ；
故答案为： ；
π
（2）如图，连接OC，
π
∵点C为 的中点，
∴ ＝ ，
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴OC⊥BD，
又∵EC是 O的切线，
∴OC⊥EC，
⊙
∴EC∥BD，
∵ ＝ ，
∴ ，
设EB＝x，则AB＝3x，BO＝OC＝ x，EO＝ x，AE＝4x，
∴EC＝ ＝ ＝2x，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【中考模拟练】
1．（2024•大渡口区模拟）如图，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，则AC的长度是（ ）
A．12 B．18 C．15 D．
【分析】利用平行分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AC＝18．
故选：B．
2．（2024•香坊区一模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
EF∥AB，且BF：FC＝3：4，AB＝14，则EF的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据EF∥AB，可得 ＝ ＝ ， ＝ ，根据比例的性质即可求解．
【解答】解：∵EF∥AB，BF：FC＝3：4，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝14，
∴EF＝8，
故选：D．
3．（2024•新安县一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且DG＝2，DF＝10， ＝ ，则
AG的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得出
AG的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ＝ ，
又∵DG＝2，DF＝10， ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AG＝4．
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：C．
4．（2024•沭阳县模拟）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO
并延长交BC于点E，若BE＝1，则EC的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】过D点作DF∥CE交AE于F，如图，先由DF∥BE，根据平行线分线段成比例得到DF＝BE＝
3，再由DF∥CE得到比例式，然后利用比例的性质求CE的长．
【解答】解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，
∵DF∥BE，
∴ ，
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD，
∴DF＝BE＝1，
∵DF∥CE，
∴ ，
∵AD：DC＝1：2，
∴AD：AC＝1：3，
∴ ，
∴CE＝3DF＝3×1＝3．
故选：C．
5．（2024•海宁市校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高线，点E，F分别在AC，
CD上，且∠1＝∠2．
（1）求证：AD∥EF．
（2）当CE：AE＝3：5，CF＝6时，求BC的长．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到BD＝DC，∠1＝∠CAD，根据同位角相等，两直线平行
证明EF∥AD；
（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出DF，进而求出BC．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的高线，
∴BD＝DC，∠1＝∠CAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠CAD＝∠2，
∴EF∥AD；
（2）解：∵EF∥AD，
∴ ＝ ，
∵CE：AE＝3：5，CF＝6，
∴ ＝ ，
解得：FD＝10，
∴CD＝CF+DF＝10+6＝16，
∴BC＝2CD＝32．
考点二：相似三角形
相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，出题难度跨度很大，当然，单独出题时，相似三角形
的性质、判定、应用大多以基础和中等题为主。
题型01 相似三角形的判定与性质
解题大招01：相似三角形性质的主要应用方向有：
①求角的度数；②求或证明比值关系；③证线段等积式；④求面积或面积比；
解题大招02：相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重
要手段；
解题大招03：判定三角形相似的思路：
（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角
{另一对等角
该角的两边对应成比例
（2）有一对等角，找
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）有两边对应成比例，找夹角相等
{一对锐角相等
直角边、斜边对应成比例
（4）直角三角形，找
{一对底角相等
底边和腰长对应成比例
（5）等腰三角形，找
【中考真题练】
1．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
2．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，
，BF＝8，则DE的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【分析】由DE∥BC，EF∥AC，得四边形EFCD是平行四边形，DE＝CF，设DE＝CF＝x，由
△AED∽△ABC， ＝ 可得 ＝ ，即可解得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF，
设DE＝CF＝x，
∵BF＝8，
∴BC＝BF+CF＝8+x，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得x＝ ，
故选：A．
3．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，
且 ，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
【分析】由直角三角形的性质可求AC＝2BC＝4，AB＝2 ，∠C＝60°，分两种情况讨论，由三角形中
位线定理和相似三角形的性质可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，AB＝2 ，∠C＝60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝ ，
∵ ，
∴DE＝1，
如图，当∠ADE＝90°时，
∵∠ADE＝∠ABC， ，
∴△ADE∽△ABC，
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴AE＝2，
如图，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵点D是AB中点，点H是AC的中点，
∴DH∥BC，DH＝ BC＝1，
∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，
∴∠DEH＝60°，
∴∠ADE＝∠A＝30°，
∴AE＝DE＝1，
故选：D．
4．如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝
1，EC＝3，则GF的长为（ ）
▱
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，于是推出△DEF∽△BEC，
△DFC∽△AFG，先求出DF与BC的比值，继而得出DF与AF的比值，再根据相似三角形对应边成比
例即可求出GF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴ ，
∵EF＝1，EC＝3，
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴△DFC∽△AFG，
∴ ，
∵EF＝1，EC＝3，
∴CF＝4，
∴ ，
∴GF＝8，
故选：C．
5．（2023•德州）如图，A，B，C，D是 O上的点，AB＝AD，AC与BD交于点E，AE＝3，EC＝5，BD
＝4 ， O的半径为（ ） ⊙
⊙
A．6 B． C．5 D．2
【分析】连接DC，易得△ADE∽△ACD，即可求出AD，连接OA，由垂径定理可得AO⊥BD，再根据
勾股定理即可求解．
【解答】解：连接DC，AO，OD，如图：
∵AB＝AD，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴ ，即 ，
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得AD＝2 ，
∵AB＝AD，即A是 的中点，
∴AO⊥BD，BH＝DH＝2 ，
在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，
∴AH＝ ＝2，
∴OH＝OD﹣2，
在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2，
∴OD2＝（OD﹣2）2+（2 ）2，解得OD＝6．
故选：A．
6．（2023•绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC
于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F，N是线段BF上的点，BN＝2NF，M是线段DE上的点，DM
＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（ ）
A．△AFE的面积 B．△BDF的面积 C．△BCN的面积 D．△DCE的面积
【分析】如图所示，连接ND，证明△FBD∽△EDC，得出 ＝ ，由已知得出 ，则
，又∠NFD＝∠MEC，则△NFD∽△MEC，进而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，结合
题意得出 ，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接ND，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．
∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．
∴ ＝ ，
∵DM＝2ME，BN＝2NF，
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，ME＝ DE，
∴
∴ ，
又∵∠NFD＝∠MEC，
∴△NFD∽△MEC．
∴∠ECM＝∠FDN．
∵∠FDB＝∠ECD，
∴∠MCD＝∠NDB．
∴MC∥ND．
∴S△MNC ＝S△MDC ．
∵DM＝2ME，
∴ ．
故选：D．
7．（2023•江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺
（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，
Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，
AQ＝12m，则树高PQ＝ 6 m．
【分析】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到 ，然后代入数据计算，即可得到PQ
的长．
【解答】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，
∴△ABD∽△AQP，
∴ ，
即 ，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故答案为：6
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
8．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图
所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩
大为△AOB边长的2倍，得到△A OB ；第二次旋转将△A OB 绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩
1 1 1 1
大为△A OB 边长的2倍，得到△A OB ，…．依次类推，得到△A OB ，则△A OB 的边长为
1 1 2 2 2023 2023 2023 2023
2 2023 ，点A 的坐标为 （ 2 202 2 ，﹣ 2 202 2 × ） ．
2023
【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．
【解答】解：由题意OA＝1＝20，OA ＝2＝21，OA ＝4＝22，OA ＝8＝23，…OA ＝2n，
1 2 3 n
∴△A OB 的边长为22023，
2023 2023
∵2023÷6＝337…1，
∴A 与A 都在第四象限，坐标为（22022，﹣22022× ）．
2023 1
故答案为：22023，（22022，﹣22022× ）．
9．（2023•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE相交于点G，则
DG：EG＝ 2 ： 3 ．
【分析】延长AF、BC交于点H，由平行四边形的性质及E、F分别为BC、CD的中点，得CB∥AD，
BE＝CE，CF＝DF，则CB＝AD＝2CE，再证明△HCF∽△ADF，得 ＝ ＝1，则HC＝AD＝CB＝
2CE，所以HE＝3CE，再证明△ADG∽△HEG，得 ＝ ＝ ，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长AF、BC交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为BC、CD的中点，
∴CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，
∴CB＝AD＝2CE，
∵HC∥AD，
∴△HCF∽△ADF，
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ＝ ＝1，
∴HC＝AD＝CB＝2CE，
∴HE＝HC+CE＝2CE+CE＝3CE，
∵AD∥HE，
∴△ADG∽△HEG，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴DG：EG＝2：3，
故答案为：2：3．
10．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为 1 5 ．
【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【解答】解：如图，
∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴ ＝ ，
∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，
∴ ＝ ，
∴BF＝2，
∴GF＝6﹣2＝4，
∵CK∥DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴ ＝ ，
∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，
∴ ＝ ，
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴CK＝5，
∴HK＝6﹣5＝1，
∴阴影梯形的面积＝ （HK+GF）•GH
＝ （1+4）×6
＝15．
故答案为：15．
11．（2023•常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，
过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中 的值为 ．
【分析】利用勾股定理求得线段AC的长度，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到
，由旋转的性质得到
∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定与性质得到 ．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝ ＝ ＝10．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ．
∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△ADB∽△AEC，
∴ ．
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为： ．
12．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
【分析】（1）根据已知条件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA；
（2）根据相似三角形的性质即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝3.6．
13．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝
∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．
【分析】（1）证明△ACF≌△DAE（ASA），即可解决问题；
（2）证明△ABF∽△CDE，得AF•DE＝BF•CE，结合（1）AF＝DE，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE；
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴ ＝ ，
∴AF•DE＝BF•CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF•CE．
14．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；
（1）当AF＝DF时，求∠AED；
（2）求证：△EHG∽△ADG；
（3）求证： ．
【分析】（1）可推出AC是ED的垂直平分线，从而得出AE＝AD，根据题意得出AE＝ED，从而得出
△ADE是等边三角形，从而得出结果；
（2）可证得∠EGH＝∠AGD＝90°，∠DAG＝∠GEH，从而得出结论；
（3）根据（2）得出比例式 ＝ ，进而得出 ＝ ，根据等比的性质得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝90°，∠ACB＝45°，EC＝DC，
∴∠ACD＝∠ECD﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
∴AC垂直平分ED，
∴AE＝AD，
∵EF⊥AD，
∴AE＝ED，
∴AD＝AE＝ED，
∴∠AED＝60°；
（2）证明：由（1）得：AC⊥ED，
∴∠AGD＝∠AGE＝90°，
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AGE＝∠AFE，
∵∠EHG＝∠AHF，
∴∠DAG＝∠GEH，
∴△EHG∽△ADG；
（3）证明：由（2）知：△EHG∽△ADG，
∴ ＝ ，
∵AD＝AE，
∴ ，
∵∠ECD＝90°，EG＝DG，
∴CG＝EG＝DG，
∴ ＝ ，
∴ ．
【中考模拟练】
1．（2024•揭东区一模）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】先证明△AOE∽△DOA，得出AO：DO＝AE：AD，再由AE＝ AB＝ AD，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠DAO+∠EAO＝90°，
∵E为AB的中点，
∴AE＝ AB＝ AD，
∵AF⊥DE，
∴∠AOE＝∠DOA＝90°，
∴∠DAO+∠ADO＝90°，
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠EAO＝∠ADO，
∴△AOE∽△DOA，
∴ ．
故选：A．
2．（2024•萧县一模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且DE⊥EF，若 ，
则 ＝（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】设BF＝a，则CF＝3a，证明△DEA∽△EFB，推出AE⋅BE＝4a2，设AE＝x，则BE＝4a﹣x，
构建一元二次方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵ ，
∴设BF＝a，则CF＝3a，
∴AD＝AB＝BC＝4a，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠DEA＝90°﹣∠FEB＝∠EFB，
∴△DEA∽△EFB，
∴ ，即 ，
∴AE⋅BE＝4a2，
∵AE+BE＝4a，
设AE＝x，则BE＝4a﹣x，
∴x（4a﹣x）＝4a2，整理得（x﹣2a）2＝0，
解得x＝2a，
∴AE＝2a，BE＝2a，
∴ ，
故选：A．
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2024•平房区一模）如图，DE∥BC，EF∥AB，AC分别交DE、EF于点G、K，下列结论错误的是（
）
A． B． C． D．
【分析】利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行
判断即可．
【解答】解：A．∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
故本选项正确，不符合题意；
B．∵EF∥AB，
∴△ADG∽△KEG，
∴ ＝ ，
故本选项错误，符合题意；
C∵EF∥AB，
∴△ADG∽△KEG，
∴ ＝ ，
故本选项正确，不符合题意；
D．∵DE∥BC，
∴△GEK∽△CFK，
，
故本选项正确，不符合题意，
故选：B．
4．（2024•石狮市模拟）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，交AC于点E．若 ，且
△ABC的面积为9，则△ADE的面积为 1 ．
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据DE∥BC，可以求证△ADE∽△ABC，即可求得△ADE与△ABC面积的比值，即可解题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC且相似比为1；3，
∴△ADE与△ABC的面积比为 ，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADE的面积为1，
故答案为：1．
5．（2024•交城县一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，AE⊥BC于点E，对角线BD交AE
于点F，则AF的长为 .
【分析】由已知条件和菱形的性质易求AE和BE的长，易证△ADF∽△EBF，由相似三角形的性质即可
求出AF的长．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，
∴AD＝AB＝4，∠ABE＝60°，AD∥BC，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝ AB＝2，
∴AE＝ ＝2 ，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴ ＝ ，
设AF＝x，
则 ＝ ，
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得：x＝ ，
∴AF＝ ，
故答案为： ．
6．（2024•黄浦区二模）如图，D是等边△ABC边BC上点，BD：CD＝2：3，作AD的垂线交AB、AC分
别于点E、F，那么AE：AF＝ ．
【分析】过点D作GD⊥AD，交AB于点G，交AC的延长线于点H，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点
N，设BD＝2m，则CD＝3m，BC＝5m，利用等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，勾股
定理表示出线段BM，CN，DM，DN的长度，利用相似三角形的判定与性质求得线段AG，AH的长度，
最后利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】解：过点D作GD⊥AD，交AB于点G，交AC的延长线于点H，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于
点N，如图，
∵BD：CD＝2：3，
∴设BD＝2m，则CD＝3m，
∴BC＝5m．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝5m，∠B＝∠ACB＝60°，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠BDM＝NCD＝30°，
∴BM＝ BD＝m，CN＝ CD＝ m，
∴DM＝ m，DN＝ m．
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AM＝AB﹣BM＝4m，AN＝AC﹣CN＝ m．
∴AD＝ ＝ m．
∵AD⊥DG，DM⊥AB，
∴△AMD∽△ADG，
∴ ．
∴AG＝ ＝ m．
同理：△ADN∽△AHD，
∴ ，
∴AH＝ m．
∵EF⊥AD，GH⊥AD，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△AGH，
∴ ＝ ．
故答案为： ．
7．（2024•东安县一模）如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，点E在CD上，连接BE，已知
BD＝BE，且∠ACB＝∠BED．
（1）求证：△BEC∽△CDA；
（2）若BD＝4，DE＝3，BC＝5，求CE的长．
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）先根据等边对等角得到∠BDE＝∠BED，则可证明∠BEC＝∠ADC，再证明∠EBC＝
∠ACD，即可证明△BEC∽△CDA；
（2）先证明△CBD∽△ABC，求出AB＝ ，进而得到AD＝ ，由（1）得 ＝ ，即 ＝ ，
解之即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
∵∠BDE+∠ADC＝180°＝∠BED+BEC，
∴∠BEC＝∠ADC，
∵∠ACB＝∠BED，∠BED＝∠EBC+∠BCE，∠ACB＝∠ACD+∠BCE，
∴∠EBC＝∠ACD，
∴△BEC∽△CDA；
（2）解：∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED，
∵∠ACB＝∠BED，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵∠CBD＝∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AB＝ ，
∴AD＝AB−BD＝ −4＝ ，
由（1）得 ＝ ，即 ＝ ，
整理得CE2+3CE−9＝0，
解得CE＝ （边长为正值，舍去负值）．
8．（2024•开原市一模） ，如图，△ABC是 O的内接三角形，AB是 O的直径，点
F在AB上，连接CF并延长，交 O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为 E．
⊙ ⊙
⊙
34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．
【分析】（1）由圆的基本性质得∠ACB＝∠DEB，∠CAB＝∠D，即可求证；
（2）过点C做CG⊥AB于点G，由勾股定理得AB＝ ＝5，由三角函数得cos∠BAC＝
，AG＝AC⋅cos∠BAC，由相似三角形的性质得 ，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠DEB＝90°
∴∠ACB＝∠DEB，
∵ ＝ ，
∴∠CAB＝∠D，
∴△DBE∽△ABC；
（2）解：如图，过点C做CG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，AC＝ ，BC＝2 ，
∴AB＝
＝
＝5，
cos∠BAC＝ ，
∵CG⊥AB，
∴AG＝AC⋅cos∠BAC
＝ ×
＝1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠BFD＝∠D，
∴BD＝BF
＝AB−AF
＝5−2
＝3，
∵△DBE∽△ABC，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴ED＝ ．
9．（2024•凉州区校级一模）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC、BD相
交于点E，且AC⊥BD．
（1）求证：CD2＝BC•AD；
（2）点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点G，如果∠BAF＝∠DBF，求证： ．
【分析】（1）首先根据已知得出∠ACD＝∠CBD，以及∠ADC＝∠BCD＝90°，进而求出
△ACD∽△DBC，即可得出答案；
（2）首先证明△ABG∽△DBA，进而得出 ＝ ，再利用△ABG∽△DBA，得出 ＝ ，则AB2＝
BG•BD，进而得出答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB＝∠CBD+∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBD，
∴△ACD∽△DBC，
∴ ＝ ，
即CD2＝BC×AD；
（2）方法一：
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，
∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF，
∵∠ABG＝∠DBA，
∴△ABG∽△DBA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵△ABG∽△DBA，
∴ ＝ ，
∴AB2＝BG•BD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
方法二：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，
∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF，
∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA，
∴ ＝（ ）2＝ ，
而 ＝ ，∴ ＝ ．
10．（2024•惠城区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F
在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如图
（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，
点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止
移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
【分析】（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论，
（2）作PG⊥x轴，将四边形的面积表示为S△ABC ﹣S△BPE ﹣S△QCE 即可求解，
（3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论．
【解答】（1）解：AP＝2t（cm）
∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，
∴∠CQE＝45°＝∠DEF，
∴CQ＝CE＝t（cm），
∴AQ＝8﹣t（cm），
t的取值范围是：0≤t≤5；
（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB＝10（cm），SinB＝ ，PB＝（10﹣2t）（cm），EB＝（6﹣
t）（cm），
∴PG＝PBSinB＝ （10﹣2t）（cm）
∴y＝S△ABC ﹣S△PBE ﹣S△QCE ＝ ＝
∴当 （在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值 ＝ （cm2）
（3）若AP＝AQ，则有2t＝8﹣t解得： （s）
若AP＝PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH＝QH＝ （cm），PH∥BC
∴△APH∽△ABC，
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
即 ，
解得： （s）
若AQ＝PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI＝PI＝ AP＝t（cm）
∵∠AIQ＝∠ACB＝90°∠A＝∠A，
∴△AQI∽△ABC
∴ 即 ，
解得： （s）
综上所述，当 或 或 时，△APQ是等腰三角形．
题型02 相似三角形的应用
解题大招：相似三角形在实际生活中的应用：
（一）建模思想：建立相似三角形的模型
（二）常见题目类型：
1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解
2.测量底部可以到达的物体的高度
3.测量底部不可以到达的物体的高度
4.测量河的宽度
【中考真题练】
1．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地
面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（ ）
A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm
【分析】过点B作BC⊥AH，垂足为C，再证明A字模型相似△AOH∽△ABC，从而可得 ＝ ，过
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
点A作AD⊥BH，垂足为D，然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH，从而可得 ＝ ，最后进行计
算即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，
∵OH⊥AC，BC⊥AC，
∴∠AHO＝∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝∠OAH，
∴△AOH∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，
∵OH⊥BD，AD⊥BD，
∴∠OHB＝∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠OBH，
∴△ABD∽△OBH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
∴ + ＝ ，
∴ + ＝1，
解得：OH＝36，
∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，
40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：A．
2．（2023•湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离
树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线
BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高
（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，
AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是
4.1 米．
【分析】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再
根据对应边成比例解答即可．
【解答】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，
∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，
∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），
又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴ ，即 ，
解得：AG＝3.6米，
∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．
故答案为：4.1．
3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的
高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点
A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶
B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 18. 2 米．
41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，根据题意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝
EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，从而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后证
明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，从而利用相似三角形的性质求出BH的长，最后利用线段的和
差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，
由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，
∴∠DGF＝∠BHF＝90°，
∵CD＝7米，
∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），
∵∠DFG＝∠BFH，
∴△FDG∽△FBH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BH＝16.8，
∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），
∴塔的高度为18.2米，
故答案为：18.2．
4．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最
为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组
决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为
AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和
GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到
42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝
4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据
以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
【分析】设BD＝x m，则BC＝（x+48）m，通过证明△ABD∽△EFD，得到 ，即 ，同
理得到 ，则可建立方程 ，解方程即可得到答案．
【解答】解：设BD＝x m，则BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
∴ ，即 ，
同理可证△ABC∽△HGC，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得x＝48，
经检验，x＝48是原方程的解，
∴ ＝ ，
∴AB＝36m，
∴该古建筑AB的高度为36m．
5．（2023•南京）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确
定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．
（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．
（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．
在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②CD的长度的最大值为 8 0 cm．
43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．利用平行相似即可；（2）①以A为
圆心，AB长为半径画圆，当OQ与 A相切于H时，此时CD最大为CQ．②先证明△GHA～△GPO，
⊙
再利用勾股定理求出AG＝30，由 ，即可求出CD的长度的最大值．
【解答】解：（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．
∵AB∥CD，
∴△OAB～△OCD，
△OEF～△OMN，
△OEB～△OMD，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵EF＝AB，
∴MN＝CD，
∴沿着AB方向平移时，CD长度不变．
（2）①以A为圆心，AB长为半径画圆，
当OQ与 A相切于H时，此时CD最大为CQ．
此时AB所在位置为AH．
⊙
②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，
44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△GHA～△GPO，
∴ ，
∴设GA＝x，则GO＝2x，
在Rt△OPG中，
OP2+PG2＝OG2，
∴362+（18+x）2＝（2x）2，
∴x2﹣12x﹣540＝0，
∴x ＝30，x ＝﹣18（舍去），
1 2
∴AG＝30，
由① ，
∴ ，
∴CQ＝80，
即CD的长度的最大值为80cm．
【中考模拟练】
1．（2024•剑河县校级模拟）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作
的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而
把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，AB＝AC，拉杆EF∥BC，AE＝ ，EF＝
0.35米，则两梯杆跨度B、C之间距离为（ ）
A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D． 米
【分析】证得△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求出BC．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ＝
∵AE＝ ，EF＝0.35米，
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ＝ ，
∴BC＝2.1，
即两梯杆跨度B、C之间距离为2.1米，
故选：B．
2．（2024•甘井子区一模）《孙子算经》有首数学歌谣，意思是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出
它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：
1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（ ）
A．四丈 B．四丈五尺 C．五丈 D．五丈四尺
【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出方程求解即可．
【解答】解：如图，由题意可知，△ABC∽△DEF，BC＝15尺，DE＝1.5尺，EF＝0.5尺，
∴ ，
∴ ，
解得AB＝45，
即竹竿的长为四丈五尺，
故选：B．
3．（2024•应县一模）如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段AE和BD相交于点C，点F在
AE的延长线上，测得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，则∠DEF的度
数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】根据已知易得： ＝ ＝ ，从而可得△ACB∽△ECD，然后利用相似三角形的性质可得
∠BAC＝∠DEC＝60°，从而利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ACB∽△ECD，
∴∠BAC＝∠DEC＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠DEC＝120°，
故选：A．
4．（2024•深圳模拟）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的
高AB为5.4cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF，
则像CD的高为（ ）
A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm
【分析】先证△CAE∽△COF得出 ，再证△OAB∽△OCD，根据相似三角形的对应边成比例得
出 ，即可求出CD的长．
【解答】解：由题意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，
∴四边形ABOE是平行四边形，
∴AE＝OB＝6cm，
∵AE∥OF，
∴△CAE∽△COF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴ ，
∴ ，
∴CD＝13.5cm，
故选：C．
5．（2024•化德县校级模拟）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后
向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5米，同时量得BC＝2米，CD
＝10米，则旗杆高度DE为（ ）
A．7.5米 B． 米 C．7米 D．9.5米
【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴ ，
，
∴DE＝7.5，
故选：A．
6．（2024•新昌县一模）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合
时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于
地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终
是平行四边形，展开时∠GHB为90度．
（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有 2
米（影子完全落在地面）．
（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 +1 ．
48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，
ES∥CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可．
（2）由题意可知：CB＝FB＝GF，GH＝HB，则FH⊥GB，进而证明△MOK∽△FOH，再证明GH＝
GF，最后找到
CE与AD的长度比即可．
【解答】解：（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，
ES∥CK，
∴四边形CESK是平行四边形，
∴KS＝CE＝2，即CE在地面上影子的长为2米．
故答案为：2．
（2）连结FH，
设DE＝a，CD＝b，
由题意可知：BC＝a，BF＝a，GF＝a，BH＝b，GH＝b，
在△GHB中，HB＝GH，GF＝FB，
49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴FH⊥GB，
又∵MK⊥GB，
∴MK∥FH，
∴△MOK∽△FOH．
∵FK＝MH，
∴OH＝OF，
∴∠OFH＝∠OHF，
又∵∠GFH＝90°，即∠GFO+∠OFH＝90°，
∴∠GFO+∠OHF＝90°，
又∵∠FGO+∠OHF＝90°，
∴∠GFO＝∠FGO，
即OG＝OF，
∴OH＝OF＝OG，
∴∠FGH＝45°，
∴GH＝ GF．
即：b＝ a，
∴ ＝ ＝ ＝ +1，
∴CE：AD＝ +1．
故答案为： +1．
7．（2024•长沙模拟）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房
遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO
＝5米，DO＝3米，AO＝ 米，则汽车从A处前行的距离AB＝ 5.7 5 米时，才能发现C处的儿童．
【分析】先在Rt△△CMO中，利用勾股定理求出CM的长，再证明8字模型相似三角形
△BDO∽△CMO，从而利用相似三角形的性质可得BD＝2.25m，然后在Rt△AOD中，根据勾股定理求
出AD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△CMO中，MO＝4m，CO＝5m，
50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴CM＝ ＝ ＝3m，
∵∠BOD＝∠MOC，∠BDO＝∠CMO＝90°，
∴△BDO∽△CMO，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝2.25m，
在Rt△AOD中，OA＝ 米，
∴AD＝ ＝8m，
∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2.25＝5.75（m），
∴汽车从A处前行5.75米，才能发现C处的儿童，
故答案为：5.75．
8．（2024•灞桥区校级模拟）如图，为了估算河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点2米远的B点，立
一根长为1米的标杆AB，在河对岸的岸边有一块高为2.5米的安全警示牌MF，警示牌的顶端M在河里
的倒影为点N，即PM＝PN，两岸均高出水平面1.25米，即DE＝FP＝1.25米，经测量此时A、D、N三
点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，
求河宽EP是多少米？
【分析】延长AB交EP的反向延长线于点H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得
OP，即可解决问题，
【解答】解：延长AB交EP的反向延长线于点H，
则四边形BDEH是矩形，
∴BH＝DE＝1.25，BD∥EH，
∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1+1.25＝2.25，
∵BD∥OH，
∴△ABD∽△AHO，
51关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴HO＝4.5，
∵PM＝PN，MF＝2.5米，FP＝1.25米，
∴PN＝MF+FP＝3.75（米），
∵AH⊥EP，PN⊥EP，
∴AH∥PN，
∴△AHO∽△NPO，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴PO＝7.5，
∴PE＝PO+OE＝7.5+（4.5﹣2）＝10（米），
答：河宽EP是10米．
9．（2024•鄞州区模拟）国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五
边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、
DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
（1）求证：AE2＝EF•EM；
（2）若AF＝1，求AE的长．
【分析】（1）根据正五边形的性质可得∠BAE＝∠AED＝108°，从而利用平角定义可得∠FAE＝∠AEF
＝72°，进而利用三角形内角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分线的定义可得∠FAM＝∠MAE＝
36°，从而可得∠F＝∠MAE，进而可证△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解
答；
（2）设AE＝x，利用（1）的结论可得：∠F＝∠FAM＝36°，从而可得FM＝AM，在利用（1）的结论
可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，从而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性质可得∠AME＝∠AEF＝
72°，从而可得AM＝AE，进而可得AM＝AE＝FM＝x，再利用线段的和差关系可得ME＝1﹣x，最后利
用（1）的结论可得：AE2＝EF•EM，从而可得x2＝1•（1﹣x），进行计算即可解答．
52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝108°，
∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，
∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，
∵AM平分∠FAE，
∴∠FAM＝∠MAE＝ ∠FAE＝36°，
∴∠F＝∠MAE，
∵∠AEM＝∠AEF，
∴△AEM∽△FEA，
∴ ，
∴AE2＝EF•EM；
（2）解：设AE＝x，
由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，
∴FM＝AM，
由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，
∴FA＝FE＝1，
∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，
∴∠AME＝∠AEF＝72°，
∴AM＝AE，
∴AM＝AE＝FM＝x，
∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，
由（1）可得：AE2＝EF•EM，
∴x2＝1•（1﹣x），
解得x＝ 或x＝ （舍去），
∴AE＝ ，
∴AE的长为 ．
题型03 位似变换
【中考真题练】
1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，
2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶
点C′的坐标是（ ）
53关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为（3，2），
∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：C．
2．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中
心作正方形PA A A ，正方形PA A A ，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方
1 2 3 4 5 6
形PA A A 的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A （﹣2，1），A （﹣1，0），A （﹣2，﹣1），则顶点
1 2 3 1 2 3
A 的坐标为（ ）
100
A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
【分析】根据位似变换的概念、点的坐标的变化情况找出点的横纵坐标的变化规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意可知：点A （﹣2，1），点A （﹣1，2），点A （0，3），
1 4 7
∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝
0+1，2＝1+1，3＝2+1，
∴顶点A 的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34），
100
故选：A．
3．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、
△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）
【分析】根据位似中心的定义作答．
【解答】解：如图：
△ABC与△DEF的对应顶点的连线相交于点（﹣1，0），则位似中心的坐标为（﹣1，0）．
故选：A．
4．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A B C 位似，原点O是位似中心，且 ＝
1 1 1
3．若A（9，3），则A 点的坐标是 （ 3 ， 1 ） ．
1
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△A B C 位似，且原点O为位似中心，且 ＝3，点A（9，3），
1 1 1
∴ ×9＝3， ×3＝1，
即A 点的坐标是（3，1），
1
故答案为：（3，1）．
5．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若
55关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 1 ： 3 ．
【分析】根据题意求出OA：OA′＝1：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形
的性质计算即可．
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，
故答案为：1：3．
6．（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（1，
0），B（2，3），C（﹣1，2），若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形
OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为 （ 4 ， 6 ） ．
【分析】根据四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，可得四边形OA′B′C′与四边
形OABC的位似比是2：1，进而得出各对应点位置，进而得第一象限内点B′的坐标．
【解答】解：∵四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是
四边形OABC面积的4倍，
∴四边形OA′B′C′与四边形OABC的位似比是2：1，
∵点B（2，3），
∴第一象限内点B′的坐标为（4，6）．
故答案为：（4，6）．
【中考模拟练】
1．（2024•凉州区一模）如图：△AOB与△A OB 是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点
1 1
B的坐标为（﹣1，2），则点B 的坐标为（ ）
1
56关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（3，﹣6） D．（3，6）
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵△AOB与△A OB 是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为
1 1
（﹣1，2），
∴点B 的坐标为[﹣1×（﹣3），2×（﹣3）]，即（3，﹣6）．
1
故选：C．
2．（2024•鞍山模拟）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C是位似关系图，则位似中心是
（ ）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
【分析】根据位似变换的性质，连接AA′，BB′，CC′，交点即为位似中心，据此解答．
【解答】解：如图：
∴点O是位似中心．
故选：D．
3．（2024•酒泉一模）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O是它们的位似中心，若
OA：OA′＝2：3，则CD：C′D′的值为（ ）
57关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9
【分析】根据位似变换的概念得到CD∥C′D′，得到△OCD∽△OC′D′，根据相似三角形的性质
解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，
∴CD∥C′D′，
∴△OCD∽△OC′D′，
∴ ＝ ＝ ，
故选：B．
4．（2024•郸城县一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中
心的位似图形，且相似比为1：3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为3，则D点坐标为（
）
A．（ ，1） B．（ ，1） C．（ ， ） D．（ ， ）
【分析】根据位似图形的概念得到AD∥BG，得到△OAD∽△OBG，根据相似三角形的性质求出OA，
进而求出D点坐标．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，正
方形BEFG的边长为3，
∴正方形ABCD的边长为1，AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：OA＝ ，
∴D点坐标为（ ，1），
故选：B．
5．（2023•新化县模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，
OC在y轴上，如果矩形OA′B′C与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形
58关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
OABC面积的 ，那么点B′的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣2，﹣3）
C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，2）或（﹣3，﹣2）
【分析】根据位似图形的概念得到矩形OA'B'C'∽矩形OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根
据位似图形与坐标的关系计算，得到答案．
【解答】解：∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC，
∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的 ，
∴矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比为 ，
∵点B的坐标为（6，4），
∴点B'的坐标为（6× ，4× ）或（﹣6× ，﹣4× ），即（3，2）或（﹣3，﹣2）．
故选：D．
6．（2024•新荣区一模）如图，A是反比例函数y＝ （x＞0）图象上一点，点B、D在y轴正半轴上，
△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则该
反比例函数的表达式为 ．
【分析】根据△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，得出
，进而得出假设BD＝x，AE＝4x，DO＝3x，AB＝y，根据△ABD的面积为1，求出xy＝2
即可得出答案．
【解答】解：过A作AE⊥x轴，
∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，
且△ABD与△COD的位似是1：3，
59关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ＝ ，
∴OE＝AB，
∴ ，
假设BD＝x，AB＝y
∴DO＝3x，AE＝4x，CO＝3y，
∵△ABD的面积为1，
∴ xy＝1，
∴xy＝2，
∴AB•AE＝4xy＝8，
该反比例函数的表达式为：y＝ ，
故答案为：y＝ ．
考点三：相似形综合
相似三角形出综合题时，经常是相似的性质与其他几何图形的综合，特别是和其他如函数、特殊四边
形、圆等考点一起出题时，基本都是填空压轴题和简答题压轴题。
题型01 相似形综合题
【中考真题练】
1．（2023•德阳）如图， O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE， ＝ ，sin∠BAC＝ ，AD的延
长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中正确
⊙
的个数是（ ）
①∠DBF＝3∠DAB；
②CG是 O的切线；
③B，E两⊙点间的距离是 ；
④DF＝ ．
60关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】连接AE，BE，OC，利用圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定与性质直角三角形的边角关
系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：①连接AE，BE，如图，
∵ O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，
∴⊙ ，
∵ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴∠CAE＝∠EAB＝∠BAD，
∴∠CAD＝3∠DAB．
∵∠DBF为圆内接四边形ADBC的外角，
∴∠DBF＝∠CAD＝3∠DAB．
∴①的结论正确；
②连接OC，
∵ ，
∴OE垂直平分BC，
∴GC＝GB．
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠OCG＝∠OBG．
由题意GB与 O相交，
∴∠OBG为钝角，
⊙
∴∠OCG为钝角，
∴OC与GC不垂直，
∴CG不是 O的切线．
⊙
61关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴②的结论不正确；
③∵AB为 O的直径，
∴∠BCA＝90°，
⊙
∴AC⊥BC．
设DE交BO于点H，
∵OE⊥BC，AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠EOB＝∠CAB，
∴sin∠EOB＝sin∠BAC＝ ，
∴ ，
∴EH＝3，
∴OH＝ ＝4，
∴BH＝OB﹣OH＝1，
∴BE＝ ＝ ．
∴③的结论正确；
④∵AB为 O的直径，
∴∠BCA＝90°，
⊙
∵sin∠BAC＝ ，sin∠BAC＝ ，
∴BC＝ AB＝6．
∴AC＝ ＝8．
∵ ，
∴BD＝BE＝ ．
∴AD＝ ＝ ＝3 ．
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴∠BDF＝∠ACB＝90°，
∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FAC，
∴ ，
62关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
解得： ．
∴FD＝ ．
∴④的结论不正确．
∴结论正确的有：①③．
故选：B．
2．（2023•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为
G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，
DM，BM，下列结论正确的是（ ）
①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，
tan∠BHF＝2 ；⑤EP•DH＝2AG•BH．
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，对每个选项的结论逐一判断，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠ABF＝90°，DA＝AB，
∵AF⊥DE，
63关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∵∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠AED＝∠BFA，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE．
故①正确；
∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，
∴BM⊥AF，
∵AF⊥DE，
∴BM∥DE．
故②正确；
当CM⊥FM时，∠CMF＝90°，
∵∠AMF＝∠ABF＝90°，
∴∠AMF+∠CMF＝180°，即A，M，C在同一直线上，
∴∠MCF＝45°，
∴∠MFC＝90°﹣∠MCF＝45°，
由翻折的性质可得：∠HBF＝∠HMF＝45°，BF＝MF，
∴∠HMF＝∠MFC，∠HBC＝∠MFC，
∴BC∥MH，HB∥MF，
∴四边形BHMF是平行四边形，
∵BF＝MF，
∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确；
当点E运动到AB的中点，如图，
设正方形ABCD的边长为2a，则AE＝BF＝a，
在Rt△AED中，
，
∵∠AHD＝∠FHB，∠ADH＝∠FBH＝45°，
64关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△AHD∽△FHB，
∴ ，
∴ ．
∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠EAG＝∠FAB，
∴△AGE∽△ABF，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
∵∠BHF＝∠DHA，
∴在Rt△DGH中，
，
故④错误；
由题意得：△ABF≌△AMF，
∴∠EAG＝∠PAG，
在△EAG和PAG中，
，
∴△EAG≌PAG（ASA），
∴EG＝PG，
∴EG＝ EP．
∵AD∥BC，
∴△AHD∽△FHB，
∴ ．
∵AD＝AB，
∴ ．
∵∠AGE＝∠ABF＝90°，∠EAG＝∠FAB，
∴△EAG∽△FAB，
65关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴ ，
∴EG•DH＝AG•BH，
∴ EP•DH＝AG•BH，
∴EP•DH＝2AG•BH，
故⑤正确．
综上分析可知，正确的是①②③⑤．
故选：B．
3．（2023•衢州）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四边形
ACDE，CBFG是正方形．过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并
与正方形ACDE，△ABC拼成图2．
（1）若cos∠ABC＝ ，△ABC的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 9 ．
（2）若 ，则 ＝ ．
【分析】（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，由cos∠ABC＝ ，可得CT＝ BC，CM＝ AC，故
CT•CM＝ BC• AC＝ BC•AC，而△ABC的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为 CT•BT＝ CT•CM
＝9；
（2）标识字母如图，设NT＝19t，证明△BFN≌△CBW（ASA），可得BN＝CW＝34t，由
△BCT∽△WBT，有CT•WT＝BT2，即CT•（34t﹣CT）＝（15t）2，可得CT＝9t或CT＝25t，而BK＝
CT，AK＝WT，即可得到答案．
【解答】解：（1）在图1中，过C作CM⊥AB于M，如图：
66关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵CT∥AB，
∴∠ABC＝∠BCT，
∵cos∠ABC＝ ，
∴cos∠BCT＝ ，即 ＝ ，
∴CT＝ BC，
∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，
∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝ ，即 ＝ ，
∴CM＝ AC，
∴CT•CM＝ BC• AC＝ BC•AC，
∵△ABC的面积为16，
∴ BC•AC＝16，
∴BC•AC＝32，
∴CT•CM＝18，
∴纸片Ⅲ的面积为 CT•BT＝ CT•CM＝9；
故答案为：9；
（2）如图：
67关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
设NT＝19t，则BT＝15t，BN＝34t，
∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，
∴△BFN≌△CBW（ASA），
∴BN＝CW＝34t，
∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，
∴△BCT∽△WBT，
∴ ＝ ，
∴CT•WT＝BT2，
∴CT•（34t﹣CT）＝（15t）2，
解得CT＝9t或CT＝25t，
当CT＝9t时，WT＝25t，这情况不符合题意，舍去；
当CT＝25t时，WT＝9t，
而BK＝CT，AK＝WT，
∴ ＝ ．
故答案为： ．
4．（2023•日照）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边
AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：
①EM＝EN；
②四边形MBND的面积不变；
③当AM：MD＝1：2时，S△MPE ＝ ；
④BM+MN+ND的最小值是20．
其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【分析】①根据等腰三角形的性质判定；
②先根据三角形相似的性质求出对角线的长，再根据面积等于对角线乘积的一半求出面积；
68关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；
④先根据轴对称确定最小值，再根据勾股定理求解．
【解答】解：①∵MN⊥BD，要使EM＝EN，需要MP＝NP，而P不一定是MN的中点，
故①是错误的；
②如图1：延长ME交BC于F，
在矩形ABCD中，BD＝10，
∵ME⊥AD，MN⊥BD，
∴∠EMN+∠DMN＝∠EMN+∠MED＝90°，
∴∠DMN＝∠MED，
∵∠MFN＝∠A＝90°，
∴△MFN∽△DAB，
∴ ，即： ，
解得：FN＝4.5，MN＝7.5，
∴四边形MBND的面积为： ×BD×NM＝ ×10×7.5＝37.5，
故②是正确的；
③∵AB∥ME，
∴△ABD∽△MED，
∴ ，
∴ME＝4，
∵∠ADB＝∠EMN，∠MPB＝∠A＝90°，
∴△MEP∽△DBA，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵S△ABD ＝24，
∴S△MPE ＝ ，
故③是正确的；
④∵BM+MN+ND＝BM+ND+7.5，
当BM+ND最小时，BM+MN+ND的值最小，
作B、D关于AD、BC的对称点B′，D′，如图2：
把图2的CD′移到图3的C′D′，使得CD′＝4.5，连接B′D′，
则B′D′就是BM+ND的最小值，
∴B′D′＝ ＝12.5，
69关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
即BM+MN+ND的最小值是12.5+7.5＝20，
故④是正确的，
故答案为：②③④．
5．（2023•武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，
∠AEF＝∠ABC＝ （ ≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与 的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当 ＝90°时，直接写出∠GCF的大小；
α α α
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与 的数量关系．
α
α
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当 ＝120°时，若 ，求 的值．
α
【分析】问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．证明△EAJ≌△FEC（SAS），
推出∠AJE＝∠ECF，可得结论；
（2）结论：∠GCF＝ ﹣90°；在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．证明方法类似；
问题拓展解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．用m表示出BE，CE，
α
可得结论．
【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．
70关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；
（2）结论：∠GCF＝ ﹣90°；
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．
α
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，
∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵AB＝BC，
∴BN＝BE．
∵∠EBN＝ ，
α
∴ ，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝ ；
问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．
71关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
∴DG＝m，CG＝2m．
在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴ m， ，
∴ ＝120°，
α
由（2）知， ，
∵∠AGP＝∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴ ，
∴ ＝ ，
∴ ，
由（2）知， ，
∴ ．
∴ ．
6．（2023•福建）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．
AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相
交于点M．
72关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
【分析】（1）由DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的，得∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC
＝45°，又AB＝AC，AO⊥BC，可得∠BAO＝∠DFC，根据∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°有
∠EDA＝∠M，故△ADE∽△FMC；
（2）设BC与DF的交点为I，由∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，有△BID∽△FIC， ，
即 ，可得△BIF∽△DIC，即得∠IBF＝∠IDC＝90°，从而∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）延长ON交BF于点T，连接DT，DO，由∠FBI＝∠BOA＝90°，知BF∥AO，∠FTN＝∠AON，而
N是AF的中点，有AN＝NF，可得△TNF≌△ONA（AAS），从而NT＝NO，FT＝AO，可证FT＝CO，
△DFT≌△DCO（SAS），得DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，即可得∠ODT＝∠CDF＝90°，故
．
【解答】（1）证明：如图：
∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的，
∴∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴ ．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO＝∠ABC＝45°，
∴∠BAO＝∠DFC，
73关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°
∴∠EDA＝∠M，
∴△ADE∽△FMC；
（2）解：设BC与DF的交点为I，如图：
∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，
∴△BID∽△FIC，
∴ ＝ ，即 ，
∵∠BIF＝∠DIC，
∴△BIF∽△DIC，
∴∠IBF＝∠IDC，
∵∠IDC＝90°，
∴∠IBF＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）证明：延长ON交BF于点T，连接DT，DO，如图：
∵∠FBI＝∠BOA＝90°，
∴BF∥AO，
∴∠FTN＝∠AON．
74关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵N是AF的中点，
∴AN＝NF，
∵∠TNF＝∠ONA，
∴△TNF≌△ONA（AAS），
∴NT＝NO，FT＝AO，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO＝CO，
∴FT＝CO，
由（2）知，△BIF∽△DIC，
∴∠DFT＝∠DCO．
∵DF＝DC，
∴△DFT≌△DCO（SAS），
∴DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，
∴∠FDT+∠FDO＝∠CDO+∠FDO，即∠ODT＝∠CDF，
∵∠CDF＝90°，
∴∠ODT＝∠CDF＝90°，
∴ ．
7．（2023•南京）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度 （0°＜ ＜180°），再将旋转
后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为
θ θ
自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T（A，顺 ，k）；若逆时针旋转，记作T（A，逆 ，k）．
例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A BC ，再将△A BC 以点B为位似中心缩
θ 1 1 1 1 θ
小到原来的 ，得到△A BC ，这个变换记作T（B，逆50°， ）．
2 2
（1）如图②，△ABC经过T（C，顺60°，2）得到△A′B′C，用尺规作出△A′B′C．（保留作图
痕迹）
（2）如图③，△ABC经过T（B，逆 ，k ）得到△EBD，△ABC经过T（C，顺 ，k ）得到△FDC，
1 2
连接AE，AF．求证：四边形AFDE是平行四边形．
α β
（3）如图④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形
AFDE是正方形．
Ⅰ．用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
Ⅱ．直接写出AE的长．
75关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）旋转60°，可作等边三角形DBC，ACE，从而得出B点和点A对应点D，E，进而作出图
形；
（2）根据△EBD和△ABC位似，△FDC与△ABC位似得出∠EBD＝∠ABC， ， ，进
而推出△EBA∽△DBC，从而 ，进而得出AE＝DF，同理可得：DE＝AF，从而推出四边形
AFDE是平行四边形；
（3）要使 AFDE是正方形，应使∠EAF＝90°，AE＝AF，从而得出∠BAE+∠FAC＝270°﹣∠BAC＝
120°，从而得出∠DBC+∠DCB＝120°，从而∠BDC＝60°，于是作等边△BCG，保证∠BDC＝∠G＝
▱
60°，作直径BD，保证BD＝2CD，这样得出作法．
【解答】（1）解：如图1，
1．以B为圆心，BC为半径画弧，以C为圆心，BC为半径画弧，两弧在BC的上方交于点D，分别以
76关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A，C为圆心，以AC为半径画弧，两弧交于点E，
2．延长CD至B′，使DB′＝CD，延长CE至A′，使A′E＝CE，连接A′B′，
则△A′B′C就是求作的三角形；
（2）证明：∵△EBD和△ABC位似，△FDC与△ABC位似，
∴∠EBD＝∠ABC， ， ，
∴∠EBA＝∠DBC，
∴△EBA∽△DBC，
∴ ，
∴ ，
∴AE＝DF，
同理可得：DE＝AF，
∴四边形AFDE是平行四边形；
（3）解：如图2，
1．以BC为边在BC上方作等边三角形GBC，
2．作等边三角形BCG的外接圆O，作直径BD，连接CD，
3．作∠DBE＝∠ABC，∠BDE＝∠ACB，延长BA，交 O于F，连接CF，DF，
则四边形AFDE是正方形，
⊙
证明：由上知：△EBA∽△DBC，△FAC∽△DBC，
77关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠BAE＝∠DCB，∠FAC＝∠DBC， ， ，
∴∠BAE+∠FAC＝∠DCB+∠DBC，
要使 AFDE是正方形，应使∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴∠BAE+∠FAC+∠BAC＝270°，BD＝2CD，
▱
∴∠BAE+∠FAC＝270°﹣∠BAC＝270°﹣150°＝120°，
∴∠DBC+∠DCB＝120°，
∴∠BDC＝60°，
∴作等边△BCG，保证∠BDC＝∠G＝60°，作直径BD，保证BD＝2CD，这样得出作法；
∵∠ABE＝∠DBC＝30°，∠EAB＝∠BCD＝90°，AB＝2，
∴AE＝ AB＝ ．
8．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2 ，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转
90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和 的值；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．
【分析】（1）由锐角三角函数可求∠BDC＝60°，通过证明△ADG∽△ABE，可得 ；
（2）由“AAS”可证△ABE≌△GMF，可得BE＝MF，AB＝GM＝2，由锐角三角函数可求MF＝BE＝
x，DG＝2+x，利用（1）的结论可求解；
（3）通过证明△AGC 是等边三角形，可得PE＝EF＝AG＝4，由旋转的性质可得PA＝P'C，∠PEP'＝
120°，EP＝EP'＝4，则当点P，C，P′三点共线时，PA+PC 的值最小，即可求解．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2， ，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝2， ，
78关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴∠BDC＝60°，
∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，
∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，
即∠DAG＝∠BAE，
∴△ADG∽△ABE，
∴ ；
（2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M，
∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，
∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，
∴△ABE≌△GMF（AAS），
∴BE＝MF，AB＝GM＝2，
∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，
∴ ，
∴ ，
设 DM＝x，则 ，
∴DG＝GM+MD＝2+x，
由（1）可知： ，
∴ ，
解得 x＝1，
∴ ；
（3）如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'，
79关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
矩形ABCD中，AD＝BC＝ ，AB＝2，
∴tan∠ACB＝ ＝ ，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝4，
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，
∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，
∴△AGC 是等边三角形，AG＝AC＝4，
∴PE＝EF＝AG＝4，
∵将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，得到△CEP'，
∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，
∴ ，
∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC 的值最小，
此时为 ．
【中考模拟练】
1．（2024•浙江模拟）如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，在BC上取点F，使得CF＝CE，连结
⊙
AF交CD于点G，连结AD．若CG＝GF，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由射影定理可得BC2＝AB•BE，AC2＝AB•AE，通过证明△ACF∽△BEC，可得AC＝BE，可求
80关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AC＝ AB，即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵CD⊥AB，
∴AC＝AD，∠CEB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠ABC+∠BCE＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE，
∴△BCE∽△BAC，
∴ ，
∴BC2＝AB•BE，
同理可得：AC2＝AB•AE，
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴△ACF∽△BEC，
∴ ，
∵CF＝CE，
∴AC＝BE，
∴AC2＝AB•AE＝AB（AB﹣AC），
∴AC＝ AB（负值舍去），
∴BE＝ AB，
∴AE＝ AB，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
81关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2．如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下
列四个结论中：
①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝ ；④△AMN∽△CAB．
正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【分析】通过证明△AMN∽△CBN，可得 ，可证CN＝2AN；过D作DH∥BM交AC于G，可证
四边形BMDH是平行四边形，可得BH＝MD＝ BC，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得
DN＝DC；由平行线性质可得∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，可证△AMN∽△CAB，通过证明
△ABM∽△BCA，可得 ，可求AB＝ BC，即可得tan∠DAC＝ ，则可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AMN∽△CBN，
∴ ，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝MD＝ AD＝ BC，
∴ ，
∴CN＝2AN，故①正确；
如图，过D作DH∥BM交AC于G，连接NH，
∵DH∥BM，BM⊥AC，
∴DH⊥AC，
82关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵DH∥BM，AD∥BC，
∴四边形BMDH是平行四边形，
∴BH＝MD＝ BC，
∴BH＝CH，
∵∠BNC＝90°，
∴NH＝HC，且DH⊥AC，
∴DH是NC的垂直平分线，
∴DN＝CD，故②正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠ACB，∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴△AMN∽△CAB，故④正确；
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，且∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，
∴∠BAC＝∠AMB，且∠BAM＝∠ABC，
∴△ABM∽△BCA，
∴ ，
∴AB2＝ BC2，
∴AB＝ BC，
∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝ ，
∴tan∠DAC＝ ，故③错误，
故选：C．
3．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC边上的中点，
连接BE交AD于F，将△AFE沿着AC翻折到△AGE，恰好有GE∥AD，则下列结论：①四边形AFEG
为菱形；②2AE2＝BD•BC；③S△ABF ＝S△CBF ；④连接BG， ．上述结论中正确的有
①②③ ．（填正确的序号）．
83关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】由折叠的性质可得AF＝AG，EF＝GE，∠EAF＝∠EAG，由平行线的性质可得∠EAG＝
∠GEA，可证AG＝GE＝AF＝EF，可判断①；通过证明△BAE∽△CAB，△BAD∽△BCA，可得AB2＝
AE•AC，AB2＝BC•BD，可判断②；由中线的性质可得S△ABF ＝ S△ABE ，S△BFC ＝ S△BEC ，可判断③；
设AE＝x，则AC＝2x，利用x表示GH，BH的长，可求tan∠ABG＝ ＝ ，可判断④，即可求解．
【解答】解：①∵将△AFE沿着AC翻折到△AGE，
∴△AFE≌△AGE，
∴AF＝AG，EF＝GE，∠EAF＝∠EAG，
∵GE∥AD，
∴∠FAE＝∠GEA，
∴∠EAG＝∠GEA，
∴AG＝GE，
∴AF＝AG＝EF＝EG，
∴四边形AFEG是菱形，
故①正确；
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠BAC＝90°，
又∵∠ABD＝∠ABC，
∴△BAD∽△BCA，
∴ ，
∴AB2＝BC•BD，
∵AF＝EF，
∴∠FAE＝∠FEA，
∵∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠FBA，
∴AF＝BF，
∵∠ABF+∠AEB＝90°，∠BAF+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠AEB，
又∵∠BAE＝∠BAE＝90°，
84关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△BAE∽△CAB，
∴ ，
∴AB2＝AE•AC，
∵E为AC边上的中点，
∴AC＝2AE，
∴AB2＝AE•AC＝2AE2＝BC•BD，
故②正确；
③∵AE＝EC，
∴S△ABE ＝S△BEC ，
∵BF＝EF，
∴S△ABF ＝ S△ABE ，S△BFC ＝ S△BEC ，
∴S△ABF ＝S△CBF ；
故③正确；
④如图，过点G作GH⊥AB，交BA的延长线于H，
设AE＝x，则AC＝2x，
∵AB2＝AE•AC，
∴AB＝ x，
∴BE＝ ＝ ＝ x，
∴AF＝EF＝ x，
∵四边形AFEG是菱形，
∴AG∥BE，AG＝AF＝ x，
∴∠HAG＝∠ABE，
又∵∠H＝∠BAE＝90°，
∴△BAE∽△AHG，
85关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴AH＝ AB＝ x，HG＝ AE＝ ，
∴BH＝AH+AB＝ x，
∴tan∠ABG＝ ＝ ＝ ，
故④错误，
故答案为：①②③．
4．三国时期魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出了一个以形证数的勾股定理证明方法，
可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余
不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图，如图所示，大意是：
Rt△ABC，以AB为边的正方形ABDE为朱方，以BC为边的正方形BCGF为青方，引AC为边的正方形
切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．若 ，则 ＝ ．
【分析】由DJ∥BA证明△JDC∽△ABC，则 ＝ ＝ ，求得 ＝ ，再证明
△HCG≌△ACB，得HG＝AB＝BD，推导出HF＝CD，再证明△HKF≌△CJD，得KF＝JD，则 ＝
＝ ，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABDE是正方形，△ABC是直角三角形，
∴DE∥BA，∠ABD＝∠ABC＝90°，
∴点D在BC边上，
∵DJ∥BA，
∴△JDC∽△ABC，
86关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ （不符合题意，舍去），
∵四边形ACHI和四边形BCGF都是正方形，
∴HC＝AC，GC＝BC＝FG，AC∥IH，∠ACH＝∠BCG＝∠CBF＝∠F＝∠FGC＝90°，
∴∠HCG＝∠ACB＝90°﹣∠BCH，
∴△HCG≌△ACB（SAS），
∴HG＝AB＝BD，∠HGC＝∠ABC＝90°＝∠FGC，
∴点H在FG边上，
∴FG﹣HG＝BC﹣BD，
∴HF＝CD，
∵∠ABC+∠CBF＝180°，
∴A、B、F三点在同一条直线上，
∴∠HKF＝∠CAB＝∠CJD，
∵∠JDC＝∠ABC＝90°，
∴∠F＝∠JDC，
∴△HKF≌△CJD（AAS），
∴KF＝JD，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
5．（2024•安徽模拟）问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是边AB上的高，点
E为AC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC于点F．
猜想与证明：
87关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）如图1，当点E为边AC的中点时，试判断点F是否为边BC的中点，并说明理由；
（2）如图2，连接EF，试判断△DEF与△ABC是否相似，并说明理由；
问题解决：
（3）如图3，当CE＝CF时，试求线段CF的长．
【分析】（1）由勾股定理求出AB＝10，由面积求出 ，再由勾股定理求出 ，证明
△CDE∽△BDF，得出 ，求出BF＝4，CF＝BC﹣BF＝4，故可得点F是BC的中点；
（2）由（1）知△CDE∽△BDF得 ，又 ，可得 ，即 ，且∠EDF＝∠ACB
＝90°，从而可证△EDF∽△ACB；
（3）由（1）得 ，求出 ，且CF＝CE，由CF+BF＝8，代入 ，从而可求出
CF的长．
【解答】解：（1）点F是边BC的中点，理由：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴ ，
∵CD是边AB上的高，
∴ ，
∴ ，
在Rt△BCD中， ，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
又∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵DE⊥DF，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDF+∠BDF＝90°，
88关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠EDC＝∠FDB，
∴△CED∽△BFD，
∴ ，
∵E点是AC的中点，
∴ ，
∴ ，
解得，BF＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝8﹣4＝4，
∴BF＝CF，即点F是BC边的中点；
（2）由（1）知△CED∽△BFD，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
又∠EDF＝∠ACB＝90°，
∴△DEF∽△ABC；
（3）由（1）知△CED∽△BFD，
∴ ，
∴ ；
又CE＝CF，CF+BF＝BC，
∴ ，
解得， ，
即线段CF的长为 ．
6．（2024•武侯区校级一模）（1）如图1，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，过C作CD⊥AB交AB于点
89关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D，求证：CD2＝AD•BD；
（2）如图2，在菱形ABCD中，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD边于点
F．①若 ，求 的值；②若 （n＞2），直接写出 的值（用含n的式子表示）；
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E在CD上，EC＝2且 ＝a，点F为BC上一点，连接
EF，过E作EG⊥EF交AD于点G，EG•EF＝ a，求AG的值（用含a的式子表示）．
【分析】（1）证明△ACD∽△CBD，得出 ，即可得出结论；
（2）①由（1）可得EG2＝CG⋅BG，设BG＝a，CG＝8a，则BC＝9a，推出sin∠GEB＝ ，求出
AF、DF即可推出结果；②仿①可推出结果；
（3）延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，证明△EDM∽△ECF，得
出 ＝a ＝a，由（1）可得 ，得HE2＝HM⋅HG，设AG＝x，则GD＝AD﹣
AG＝2a+2﹣x，GH＝GD+HD＝2a+2﹣x+a＝3a+2﹣x，HM＝GM﹣GH＝
从而得出 ，求出
x的值即可．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90﹣∠DCB＝∠B，∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ，
∴CD2＝AD⋅BD；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC，
又CE⊥AB，由（1）可得EG2＝CG⋅BG，
90关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①∵ ，设BG＝a，CG＝8a，则BC＝9a，
∴EG＝ a，
∴BG＝ ＝3a，
∴sin∠GEB＝ ，
∵AB＝BC＝9a，
∴AE＝AB+BE＝9a+3a＝12a，
∴AF＝AE•sin∠FEA＝12a× ＝4a，
∴DF＝BD﹣BF＝9a﹣4a＝5a，
∴ ；
②∵ （n＞2），设BG＝1，则CG＝n，
∴GE＝ ，
∴BE＝ ，
∴sin∠FEA＝ ，
∴AB＝BC＝n+1，
∴AE＝n+1+ ，
∴AF＝ +1，
∴DF＝AD﹣AF＝n+1﹣ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM于点H，
∵菱形ABCD中，EC＝2且 ＝a，
91关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴CD＝2a+2，CE＝2，
∴AD＝CD＝2a+2，DE＝2a，
∵DM∥FC，
∴△EDM∽△ECF，
∴ ＝a ＝a，
∵EG⋅EF＝ a，
∴S△MGE ＝aS△EFG ＝ ，
在Rt△DEH中，∠HDE＝∠A＝60°，
∴EH＝ DE＝ a，DH＝ DE＝a，
∴ ，
∴MG＝ a，
∵GE⊥EF，EH⊥MG，
由（1）可得 ，
∴HE2＝HM⋅HG，
设AG＝x，则GD＝AD﹣AG＝2a+2﹣x，GH＝GD+HD＝2a+2﹣x+a＝3a+2﹣x，HM＝GM﹣GH＝
∴ ，
解得：x＝2+3a﹣ 或x＝2+3a﹣ a，
即AG＝2+3a﹣ 或AG＝2+3a﹣ a．
92
