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重难点 08 几何与函数图象结合的综合应用（动点问题、
线动问题、函数图象判断）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；
其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力。函数的学习需要学
生真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型。本专题主要对函数与几何图形结合的相
关题型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型。
几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及三种题型：①分析实际问题
判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数
性质判断函数图象。题目难度中等，属于中考热点题型．
模型01 动点问题
考｜向｜预｜测
动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题。在几
何中的动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变
量与因变量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用
函数的图象及其性质解决简单的实际问题。
答｜题｜技｜巧
1. 根据运动判断图象，关键是判断运动变化的节点，运动变化的节点往往就是函数图象分段的节点；
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2. 找到节点后分段研究运动过程，列出关系式，进而判断图象；
3. 根据选项做出选择；
1．（2024·河南南阳·一模）如图1，在 中， ， 于点 ．动
点 从 点出发，沿折线 方向运动，运动到点 停止．设点 的运动路程为 ， 的面积
为 ， 与 的函数图象如图2，则 的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】A
【详解】解：由图2知， ，
，
，
， ，
， ，
在 中， ①，
设点 到 的距离为 ，
，
动点 从 点出发，沿折线 方向运动，
当点 运动到点 时， 的面积最大，即 ，
由图2知， 的面积最大为3，
，
②，
① ②得， ，
，
（负值舍去），
③，
将③代入②得， ，
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或 ，
，
，
，
故选：A．
1．如图，在四边形 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿折线
方向以 的速度匀速运动，在整个运动过程中， 的面积 与运动时间 的函数图象如
图2所示，则四边形 的周长是（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
【答案】C
【分析】本题主要考查了动点图象问题，等腰三角形性质和勾股定理的运用等知识，弄清楚不同时间段，
图象和图形的对应关系是解决此题的关键，从图 2 看， ， ，过点 作
交于点 ，在 中，利用勾股定理得到 ，当点 在点 处时，
，解出 ，进而代入四边形的周长计算即可得解．
【详解】解：从图2来看，
， ，
如图，过点 作 交于点 ，则 ，
， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
，
，
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，
在 中，
，
当点 在点 处时，
解得 （负值已舍），
则四边形 的周长是
，
故选：C．
2．如图1，四边形 是平行四边形，连接 ，动点P从点A出发沿折线 匀速运动，
回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段 的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结
论中不正确的是（ ）
A． B．
C．平行四边形 的周长为44 D．当 时， 的面积为20
【答案】D
【分析】本题考查了动点函数图象、平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是准确从图象中获取信息，
应用相关知识求解即可．
【详解】解：当点 P运动到点 B处时， ，即 ，当点 P运动到点 D处时， ，所以
，故A正确，不符合题意；
当点P运动到点D处时， ，即 ，故B正确，不符合题意；
∴平行四边形 的周长为 ，故C正确，不符合题意；
当 时，点P在 中点处，如图，
此时 的面积是 面积的一半，
作 ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，故D错误，符合题意．
故选：D．
3．如图①，在 中， ，点 从点 出发沿 以 的速度匀速运动至点 ，
图②是点 运动时， 的面积 随时间 变化的函数图象，则该三角形的斜边 的长为
．
【答案】5
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，
由图象可知， 面积的最大值为 6，此时当点 P 运动到点 C，得到 ，由图象可知
， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．
【详解】解：由图象可知， 面积的最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时， 的面积最大，
∴ ，即 ，
由图象可知，当 时， ，此时点P运动到点B，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：5．
4．如图①，甲、乙两人同时从同一公路上的A、B两地同时出发前往C地，两人离A地的路程 与行
驶的时间 之间的函数图象如图②所示．
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(1)分别求出 、 与x之间的函数解析式；
(2)当甲、乙两人相遇时，求x的值：
(3)直接写出当甲、乙两人相距 时x的值．
【答案】(1) ，
(2)4
(3)3小时或5小时或7小时
【分析】本题考查了一次函数的图象与二元一次方程组的关系及待定系数法求一次函数解析式，解题的关
键是用待定系数法求出函数解析式．
（1）根据图象设出两个函数的解析式，找点代入即可得到答案；
（2）联立两个函数解析式求解即可得答案；
（3）根据题意得出 ，然后求解即可．
【详解】（1）解：设 ， ，
把点 代入 得：
，
解得 ，
将 代入 ，得：
，
解得： ，
∴ ， ；
（2）解：联立得： ，
解得 ，
∴甲、乙两人相遇时，x的值为4；
（3）解：分两种情况：
甲到达C地之前，根据题意，得 ，
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即 ，
解得 或 ，
甲到达C地后，乙还需要2小时才到达C，
∴ ，
解得： ，
故乙出发3小时或5小时或7小时，和甲相距 ．
5．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ， ．点 从点
出发，沿 方向以每秒1个单位长度的速度运动，到点 停止运动．过 作 交 于点 ．
过 作 交 于点 ．设运动时间为 秒 ，四边形 的面积为 ， 的周长与
的周长之比为 ．
(1)请直接写出 ， 关于 的函数解析式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出 ， 的图象，并分别写出函数 ， 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当 时 的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1) ，
(2)见解析，函数 随x的增大而增大；函数 随x的增大而减小
(3)
【分析】（1）过点 作 于点 ，证明四边形 是平行四边形，可得 ，根据
，求出 ，在 中，根据勾股定理求出 ，根据等面积法，求出 ，再证明
四边形 是平行四边形，根据 即可解答；由 ，证明 ，推出
，结合 即可得到 ；
（2）由（1）中解析式即可画出图象，再根据函数图象，即可解答；
（3）先求出两个函数图象的交点，根据函数图象即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，
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∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）知 ， ，
过点 ， 过点 ，
函数图象如图所示：
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根据函数图象可得：函数 随x的增大而增大；函数 随x的增大而减小；
（3）解：令 ，即 ，
解得： （负值舍去），
则 ， 的图象交点的横坐标为 ，
根据函数图象可得，当 时， 的取值范围为 ．
模型02 线动问题
考｜向｜预｜测
线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折点
及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方。该题型一般以选择题
的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识。
答｜题｜技｜巧
1. 找准变量；
2. 抓住图象中点转折点和拐点，几何图中的转折点往往是函数图中的拐点；
3. 数据分析，结合几何与函数图形的数据得出相应结论；
4. 根据题意解答。
1．（2024·河南许昌·一模）如图1，在 中， ， ，点 从点 出发
运动到点 时停止，过点 作 ，交直角边AC（或BC）于点Q，设点 运动的路程为 ， 的
面积为y，y与 之间的函数关系图象如图2所示，当 时， 的面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据图2知， ，
当 时， ， ，
∵ ，
∴ ，
，
故选：C．
1．如图 ，在 中， ， ，动点 从点 开始沿 边以每秒 个单位长度的速
度运动，同时，动点 从点 开始沿 边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运
动，连接 ， 为 中点，连接 ， ，设时间为 ， 为 ， 关于 的函数图象如图 所示，
则下列说法正确的是（ ）
当 时， ； ； 有最小值，最小值为 ； 有最小值，最小值为 ．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，列出 关于 的函数式，结合图 ，列方程求出 的值，即可判断 ；继而代值检验
；利用二次函数的图象性质，即可得到 的最小值，即可判断 ；最后通过建系，将 转化为
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，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值．
【详解】解：设 ，则 ， ， ，
所以 ，
由图 知，函数 经过点 ，
整理得 ，
解得： 或 （舍去），
，故 正确；
由 知， ，
当 时， ，即 ，故 错误；
对于 ，由题意易得： ，
由 可得，当 时， ，
即 有最小值，最小值为 ，故 错误；
对于D，如图，以点 为原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立直角坐标系，
则 ， ， ， ，
为 中点，
，
，结合此式
特点，设 ， ， ，
则 ，作出图形如下：
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作出点 关于直线 的对称点 ，
连接 交直线 于点 ，
则点 即为使 取得最小值的点，
此时 ，
即 的最小值为 ，故 正确；
故选：D．
2．如图1，在矩形 中， ， 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 交 于点
．设 ， ，点 从点 运动到点 的过程中 关于 的函数图象如图2所示，则该函数图象
的顶点 的纵坐标 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质，证明
是解答的关键．先由矩形性质得到 ， ，进而证的 ，证明
得到 ，即 ，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由图象知 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
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∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得 ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ．
故选：B．
2．如图1，四边形 是菱形，点 以 的速度从点 出发，沿着 的路线运动，同时点
以相同的速度从点 出发，沿着 的路线运动，设运动时间为 ， ， 两点之间的距离为
， 与 的函数关系的图象如图 所示，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象，垂线段最短，勾股定理，连接 ， 交于点 ，由菱形
性质得 ， ， ，根据图 可知， ， ，由勾股定
理求出 ，当 时， 最小，即 最小，最后由等面积法即可求解，读懂图象信息，掌握知
识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接 ， 交于点 ，
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∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
根据图 可知， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 同时运动，
∴当 时， 最小，即 最小，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选： ．
3．如图，矩形 中， 为对角线，一动点 从 出发，沿着 的路径行进，过点 作
，垂足为 ．设点 的运动路程为 ， 为 ， 与 的函数图象如图所示，则 的长
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．根据函数的图象与坐标的关
系确定 的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．
【详解】解：由图象得： ，当 时， ，此时点P在 边上，
设此时 ，则 ， ，
在 中， ，
即： ，
解得： ，
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，
故选：C．
4．如图（1），在 中，点 为其中心， ， ，动点 从点 出发，沿 匀
速运动到点 ，再从点 沿直线运动到 上的点 ．设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，则 与
的函数关系的图象如图（2）所示，则 的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】如图，连接 ，过 作 于 ，结合题意可得 三点共线，由函数图象可得：当
时， 可得 ，当 时，动点 从点 沿直线运动到 上的
点 ，此时 的面积 不变，可得 ， ，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，过 作 于 ，结合题意可得 三点共线，
由函数图象可得：当 时，动点 从点 出发，沿 匀速运动到点 ，
∴ ，
当 时，动点 从点 沿直线运动到 上的点 ，
此时 的面积 不变，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B
5．如图1，在等边 中， 于点D，动点E从顶点A出发沿 以每秒1个单位长度的速度向
点D运动，将 绕点C逆时针旋转 得到 是 上一点， ．设 随时间t变化的
函数图象如图2所示，已知函数图象上最低点的纵坐标是4，则最低点的横坐标是 ．
【答案】
【分析】设 交 于点N，连接 ，作 于点Q．由旋转可知 由等边三角
形的性质可知 ， ，证明 ，得
到 ，则点F的运动轨迹为 ，且 ，证明 ，则
当 时， 取得最小值4，证明 为等边三角形，得到
，则 得到 ，则
即可．
【详解】解：设 交 于点N，连接 ，作 于点Q．
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∵将 绕点C逆时针旋转 得到
∴ ，
∵ 是等边三角形， 于点D，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴点F的运动轨迹为 ，且 ，
∴ ，
即 ，
∴当 时， 取得最小值4，
此时
∴ ，
∴ 为等边三角形，
，
，
．
∴最低点的横坐标为 ．
故答案为：
6．探究发现
（1）如图1，在正方形 中，点P、Q分别在边 、 上，连接 、 ，若 ，则线段
和 的数量关系是___________，线段 和 的数量关系是___________；
类比延伸：
（2）如图2，在正方形 中，点 是 边上的一个动点，连接 ，作 的垂直平分线分别交 、
于点E、F，过点P作 交 于点 ，猜想线段 、 、 的数量关系，并证明；
拓展应用：
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（3）在（2）的条件下，若设 的长为x， 的长为 ， 的长为 ，测量数据后画出的函数图象
如图3所示，其中点 是图象 的最高点．
①直接写出正方形 的边长；
②在点 的运动过程中，当 时，直接写出线段 的长．
【答案】（1） ， ；（2） ，见解析；（3）①4；② ．
【分析】（1）根据正方形的性质可得 ， ，再根据同角的余角相等可得
，然后根据 证明 即可得 ， ；
（2）方法一：易得 ，根据平行线分线段成比例定理可得 ，则 ，再根据
证明 ，则可得 ，进而可得 ．
方法二：过点 作 ，易证四边形 是矩形，则可得 ，根据 证明
，则可得 ，进而可得 ．
（3）①由函数图象，得当 时， ．设正方形 的边长为 ，则 ， ．易得
，则 ，求出a的值即可．
②过点 作 于点 ，根据 可得 ，则可得 ， ．设
，则 ， ， ， ．由 可得 ．求出
的值，再根据勾股定理求出 的长，即可得 的长．
【详解】解：（1）如图，设 与 的交点为O．
∵四边形 是正方形，
， ，
，
又 ，
，
，
，
在 和 中，
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，
，
， ．
故答案为： ， ；
（2） ．
证法一：如解图1，设 交 于点 ，连接 交 于点 ．
垂直平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
．
证法二：如解图2，过点 作 ，
则 ，
又∵ ， ,
，
∴四边形 是矩形，
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∴ ，
又 ，
，
，
，
又 ，
，
∴ ，
∴ ；
（3）①如解图3，由函数图象，得当 时， ，
设正方形 的边长为 ，则 ， ，
，
，
，
，
，
，即 ，
解得 ，即正方形 的边长为4．
②如解图4，过点 作 于点 ，
则 ， ，
，
又 ，
，
，
， ，
设 ，则 ， ，
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，
．
由(2)得 ，
，
，
，
．
模型03 函数图象判断
考｜向｜预｜测
函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变
化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也
变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．
答｜题｜技｜巧
1. 一变一不变，图象是直线；
2. 两个都变图象是曲线；
3. 同增同减口向上；
4. 一增一减口向下；
1．（2024·山东聊城·一模）如图，在矩形 中， ， ，E为矩
形 的边 上一点， ，点P从点B出发沿折线 运动到点D停止，点Q
从点B出发沿 运动到点C停止，它们的运动速度都是 ，现P，Q两点同时出发，设
运动时间为x（s）， 的面积为 ，则y关于x的函数图象为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：在矩形 中， ， ， ，点 在 上，且 ，
则在直角 中，根据勾股定理得到 ，
当 ，即点 在线段 上，点 在线段 上时，过点P作 于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；
当 ，即点 在线段 上，点 在线段 上时，此时 ，
此时该函数图象是直线的一部分；
当 ，即点 在线段 上，点 在点 时， 的面积 ，此时该三
角形面积保持不变；
综上所述，C正确．
故选：C．
1．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设
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容器内底部所受水的压强为 （单位：帕），时间为 （单位：秒），则 关于 的函数图象大致为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的图象，根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层
圆柱的直径最大，压强 与水面高度成正比例，故注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快．
【详解】解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，
所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意．
故选：C．
2．如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，以 的速度沿
向点C运动，同时点Q从点A出发，以 的速度沿 向点C运动，直到它们都到达点
C为止．若 的面积为 ，点P的运动时间为 ，则S与t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理．分当 时和当
时两种情况求出函数解析式即可求解．
【详解】解：①当 时，点Q在 上，
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∴ ， ，
过点Q作 交 于点D，则 ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，点Q在 上， ，
综上所述，正确的图象是A．
故选A．
3．如图，在矩形 中，点 从点 出发，沿着折线 以每秒 个单位长度的速度匀速
运动，设 的面积为 ，点 的运动时间为 ，则在点 的运动过程中， 关于 的函数图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查几何图形面积与函数图象的结合，理解几何图形面积的变化情况，掌握函数图象的
增减性是解题的关键．
根据题意，分类讨论：当点 位于边 上时；当点 位于边 上时；当点 位于 上时；根据几何图
形面积的变化情况确定函数图形的增减性即可求解．
【详解】解：由题意得，当点 位于边 上时， 的面积随着点 的运动匀速增加；
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当点 位于边 上时， 的高保持不变，
∴ 的值保持不变；
当点 位于 上时， 的面积随着点 的运动匀速减小，
故选：B．
4．如图，在凸四边形 中， 为边 的中点， ， 于点 ．若 ，设
， ，则 关于 的函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，二次函数关系式，中位线定理，勾股定理的应用，由 为边 的中点，
，则 ，从而得知点 在以 为圆心， 长度为半径的圆上，
由垂径定理得出 ， ，则 ， ，再由中位线性质得 ，然
后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ 为边 的中点， ，
∴ ，
∴点 在以 为圆心， 长度为半径的圆上，
如图，
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∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为边 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
由勾股定理得： ， ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴选项 图象符合题意，
故选： ．
5．如图，在 中， ， ，动点 从 点出发，以2个单位/秒沿折线
方向运动，运动到点 停止．设运动时间为 ， 于点 ，设以 为边长的正方形的面
积为 ．
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(1)求 关于 的函数解析式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，如果 与该函数图象有两个不同的交点，请写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)图见解析，当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）先求得 ，再分当 时， 在 上运动，；当 时， 在 上运
动，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质和正方形的面积公式求解即可；
（2）根据（1）中解析式描点画图即可；根据图象写出可性质；
（3）根据（2）中图象可得结论．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，
∴ ，
由题意知，当 时， 在 上运动，如图，则 ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ；
当 时， 在 上运动，如图，
则 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，y关于t的函数表达式为 ；
（2）解：由（1）知，该函数图象经过点 ， ， ， ， ， ， ，
则函数图象如图所示：
由图可知，当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小；
（3）解：根据图象，当 时，直线 与该函数图象有两个不同的交点．
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1．如图 1，点 为矩形 边 上一点， ，点 P 点 Q 同时从点 B 出发，点 P 沿
运动到点C停止，点Q沿 运动到点C停止，它们的运动速度都是 ．设P，Q出
发t秒时， 的面积为 ，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：① ；②当
时， ；③点H的坐标为 ；④若 与 相似，则 秒，其中正确结论的个
数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据图2结合 ，且P和Q速度相同，可得当P到达点E时，Q到达点C，即可求出
的长；再根据点M的坐标可求出当 时， 与 的函数关系式；利用勾股定理求出 ，进而求出
，结合函数图象即可求出点H的坐标；当 时， ，此时 是等腰三角形，从而
判断④．
【详解】解：∵ ，且P和Q速度相同，
∴当P到达点E时，Q到达点C，
由图2可知此时 ， ，
即 ， ，
∴ ，
解得 ，故①正确，符合题意；
由图2易得 ，
设 ，将M坐标代入得 ，
∴ ，故②正确，符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴点H的坐标为 ，故③正确，符合题意；
当 时， ，此时 是等腰三角形，
而 是直角三角形，很明显不相似，故④错误，不符合题意；
所以正确的结论有3个，
故选：C．
2．如图1，在矩形 中，动点M从点A出发，沿 方向运动，当点M到达点C时停止运动，
过点M作 交 于点N，设点M的运动路程为x， ，图2表示的是y与x的函数关系的大
致图象，则函数图象中a的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数动点问题，考查了解直角三角形，二次函数的性质．由图 2 知：
， 设 ， 当 点 M 在 上 时 ， 则 ， 利 用
，即 ，求出y关于x的关系式，利用二次函数的性质即可求出 的长，
即可解答．
【详解】解：由图2知： ，设 ，
如图所示，当点M在 上时，则 ，
∵ ，则 ，
∴
∴ ，即 ，
即 ，
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解得 ，
则函数的对称轴为 ，
∵ ，y有最大值，
当 时，y取得最大值，则 ，
解得 （舍去负值），
∴ ，
∴当点M运动到点C时，点M的运动路程为a，
则 ，
故选：C．
3．如图1，在矩形 中，P为边 上一点，连结 ，将矩形沿 折叠，记 与矩形重叠部分
的面积为S，设 的长为x，S关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（ ）
A．当 ，S为关于x的一次函数 B． ，
C．当 ，S为关于x的二次函数 D．图象过点
【答案】C
【分析】根据题意，分点 在矩形 内部和外部两种情况讨论，根据重叠部分的面积为 S，列出关系
式，逐一判断即可．
【详解】解：根据题意： ，
当点 在矩形 内部时（包含边界），
则重叠部分的面积为 ，
的长为定值，
此时，S为关于x的一次函数；
由函数图象可得：当 时，点 刚好落在 边上，
∴当 ，S为关于x的一次函数；故A选项说法正确；
如图，当 时，
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此时， 与 重合，则 ，
，
此时，四边形 是矩形，
，
此时，四边形 是正方形，
∴ ，
此时， ，
∴ ，
当点 在矩形 外部时，
如图，过点P作 于点H，设 交于点G，则四边形 是矩形，
，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
，
则重叠部分的面积为 ，
此时，S不是关于x的二次函数；则当 ，S不是关于x的二次函数；故C选项说法错误；
由函数图象可得：当 时，点P与点D重合，
此时， ，
∴ ，故选项B说法正确；
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当 时， ，
∴图象过点 ，故选项D说法正确；
故选：C．
4．如图，点E、F、G、H分别是正方形 边 、 、 、 上的点，且 ．
设A、E两点间的距离为x，四边形 的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的几何应用，熟练掌握二次函数的图象是解答的关键．设正方形的边数为 m，
然后割补法求面积得到y、x与m的关系，然后根据二次函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为m，则 ，
∵ ，则 ， ，
∴ ，
y与x的函数图象开口向上，顶点坐标为 ，
故y与x的函数图象可能为选项B中图象，
∴
故选：B．
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5．如图①，在 中， ，D是边 的中点，点P从 的顶点A出发，沿 以每
秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段 的长度y随时间x变化的函数图象如图②
所示，Q是曲线部分的最低点，则 的长为（ ）
A．3 B． C． D．12
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，等边三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°的直角三角形等知识．
解题的关键在于从函数图象上获取信息．
由图象知 ， ，如图③，过点 作 ，则 ，此时， 最短，
， ， 是等边三角形，点 是 的中点， 是 的中位线，进而可求 的
值．
【详解】解：由函数图象可知，当 时， ；当 时， 最小，当 时， ，
， ，
如图③，过点 作 ，则 ，此时， 最短，
，
∴
， ，
∴ ，
，
是等边三角形，
点 是 的中点，
点 是 的中点，
是 的中位线，
，
故选：C．
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6．如图1，在 中， 为 中点，动点 以每秒1个单位长度的速
度沿折线 方向运动，当点 运动到点 时停止运动．设运动时间为 秒 ，
的面积为 ．
(1)请直接写出 关于 的函数表达式并注明自变量 的取值范围；
(2)在给出的平画直角坐标系中画出 的图象，并写出 的一条性质；
(3)如图2， 的图象如图所示，结合函数图象，直接写出 时 的取值．（结果保留一位
小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练列出函数解析式是解答本题的关键．
（1）分阶段写出 关于 的函数表达式即可；
（2）根据（1）的函数解析式画出 的图象并写出一条性质即可；
（3）结合函数图象，直接写出 时 的取值即可．
【详解】（1）过点D作 ，则四边形 为矩形，
∵ 为 中点，
，
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当 时，
当 时，
（2）图象如图所示，性质如下：
增减性：当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，
最值：该函数在自变量的取值范围内，有最大值，无最小值；当 时，函数取得最大值 ；
（3）由图可知：
．
1．图①是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由正方形 和等边 组成，正方形
的两条对角线交于点O，校办在 的中点P处放置了一台摄像机全程摄像．九年级学生需绕场地某条线
路匀速行进，设行进的时间为x，与摄像机的距离为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图②所示，
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则九年级学生的行进路线可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，明确题中各个选项中路线对应的函
数图象，利用数形结合的思想逐一判断即可．
【详解】解：由题意可得，
当经过的路线是 时，从 ，y随x的增大先减小后增大且图象对称，从 ，y随x的
增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A不符合要求；
当经过的路线是 时，从 ，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始
的值，故选项B不符合要求；
当经过的路线是 时，从 ，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于刚开始
的值，从 时，y随x的增大先减小后增大，且和前图象对称，故选项C符合要求；
当经过的路线是 时，从 ，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始
的值，故选项D不符号要求；
故选：C．
2．如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ， ．若 过
点 且与边 ， 分别相交于点 ， ，设 ， ，则 关于 的函数图象大致为
（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】过点 向 作垂线，交 于点 ，根据含有 角的直角三角形性质以及勾股定理可得 、
的长，再结合平行四边形的性质可得 的长，进而求出 、 的长，设 ，则 ，
然后利用勾股定理可求出 与 的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断．
【详解】解：如图过点 向 作垂线，交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ,
当 时， ．且图像是二次函数的一部分,
故选：B．
3．如图1，在矩形 中，动点P从点B出发，沿 运动至点A停止，设点P运动的路程为
x， 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形 的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．26
【答案】B
【分析】本题考查动点的函数图象，根据点 在 上运动时， 的面积逐渐增大，点 在 上运
动时， 的面积保持不变，结合图象得到 ，即可得出结果．
【详解】解：当点 在 上运动时，
的面积 ， 随着 的增大而增大，
当点 在 上运动时， 的面积 为定值，保持不变，
由图象可知： ，
∴矩形 的周长是 ；
故选B．
4．如图1，点 是以点 为圆心， 为直径的半圆上的一个动点（点 不与点 ， 重合），过点
作 于 ．设弦 的长为 ，线段 的长为 ， 与 的函数图象如图2所示，则 的直径
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为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是要能根据图象确定圆的半径．先根据图象得出
当点 到点 的正上方时， 最大为2，可确定 的半径为2，即可求解．
【详解】解：当点 和点 重合时， 最大，
由图象得 最大为2，
圆 的半径为2，
的直径为4，
故选：B
5．如图 ，在 中， ，直线 经过点 且垂直于 ．现将直线 以 的速度向右匀速平移，
直至到达点 时停止运动，直线 与边 交于点 ，与边 （或 ）交于点 ．设直线 移动的时间
是 ， 的面积为 ，若 关于 的函数图象如图 所示，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，掌握如何从图象
中获取信息是解题的关键．
根据函数图象得到 的面积最大时 的长，再结合勾股定理即可求解．
【详解】解：依题意得：直线 运动到点 停止，且当直线 运动到点 时， 的面积最大，
此时， ， ，
，
，
当 时， ，
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在 中，
，
故选： ．
6．正方形 与正方形 按照如图所示的位置摆放，其中点E在 上，点G、B、C在同一直线上，
且 ， ，正方形 沿直线 向右平移得到正方形 ，当点G与点C重合时停止运
动，设平移的距离为x，正方形 与正方形 的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可
以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了动点函数图象问题，类似于这类要选择符合题意的函数图象时，不一定要写出函
数关系式．根据面积的变化情况一一比较即可．
【详解】解：由题可得：正方形 面积为： ，
，
最大重合面积为 ，
B选项，不符合题意；
正方形 沿直线 向右平移得到正方形 ，当点G与点C重合时停止运动，
最后的重合面积为0，
C、D不符合题意；A选项符合题意；
故选：A．
7．如图①所示，正方形 的边长为 ，动点P从点A出发，在正方形的边上沿 运
动，设运动的时间为 ， 的面积为 ，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：
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（1）点P在 上运动的时间为 s；
（2）当t为 时，三角形 的面积为 ．.
【答案】 6 或
【分析】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．（1）直接根据函数图象上坐标，利用
速度 路程 时间即可求解；（2）通过图象可知， 的面积为 ．即 ，分别在 和
，上代入即可求得答案．
【详解】解：（1）由图象可知，点P在 上运动的时间为 ，
故答案为：6；
（2）当P在 上运动，即 时，速度为 ，则 ，
，
的面积为 ，即 时，
∴ ，
∴ ，
当P在 上运动， 的面积为 ，不符合题意，
当P在 上运动，即 时，
在 上运动的速度为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，即 时，
∴ ，
∴ ，
所以当t为 、 时， 的面积为 ．
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故答案为： 或 ．
8．如图，在 中， ， ， ，点D为 上的三等分点．动点P从点A出
发，沿 方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿 方向以每秒1个单
位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时， 两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，
的长度为 ， 的面积为 ．
(1)请直接写出 与 分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数 与 的图象，并写出函数 的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出 时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【答案】(1) ， ；
(2)图见解析，性质见解析；
(3) ．
【分析】（1）根据题意得到 ， ，则 ， ，根据三
角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意画出函数的图象，并根据函数的图象得到函数的性质；
（3）根据函数的图象即可得到不等式的解集．
【详解】（1）解：由题意得 ，
．
（2）函数 ， 的图象如答图．
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根据函数图象，函数的性质为：
抛物线与x轴的交点为 ，顶点为 ．或当 时， 随着x的增大而增大．或当
时， 随着x的增大而减小．或当 时，函数有最大值9．
以上4条性质写出一条即可．
（3）由函数图象得，当 时， ．
9．如图，在 中， ， ，点P为 上一点，过点P作 交 于点Q．设 的
长度为x，点P，Q的距离为 ， 的周长与 的周长之比为 ．
(1)请求出 ， 分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 ， 的图象，并分别写出函数 ， 的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出 时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1) ；
(2)图见解析， 在 时随x的增大而增大， 随x的增大而减小
(3)
【分析】本题考查反比例函数综合应用，涉及一次函数及图象，相似三角形判定与性质．
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（1）由 ，得 ，可得 ， ，即可得到答案；
（2）描点画出图形，再由图象得 在 时随x的增大而增大， 随x的增大而减小；
（3）先求出 时，x的值，再观察图象可得x的取值范围．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的周长与 的周长之比 ，
∴ ；
（2）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ， ；
描点，画出图象如图：
由图象可得， 在 时随x的增大而增大， 随x的增大而减小；
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（3）解：当 时，即 ，
解得 或 （舍去），
观察图象可得，当 图象在 上方时，x的范围是 ，
∴当 时，x的取值范围是 ．
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