文档内容
【初三 01A】
入门测
1. 在比例尺为1:36000的某市旅游地图上，某条道路的长为5cm，则这条道路的实际长度为
( )
A． 0 .1 8 k m B． 1 .8 k m C．18km D． 1 8 0 k m
2. 如果
2
A
0 2 2
=
2
B
0 2 3
( A 、B均不为 0 ) ，那么 A : B = ( )
A．2022:2023 B．2023:2022 C．2023:1011 D． 1 0 1 1 : 2 0 2 3
3. 下面哪组中的两个比可以组成比例 ( )
A．
1
2
:
1
5
和 5 : 2 B． 1 .4 : 2 和 2 : 4 0 C．2:3和 4 : 1 2 D． 5 : 2 和 2 : 5
入门测Plus
1. 已知
6
a
=
7
b
( a 、 b 均不为 0 ) ，那么下面等式不成立的是 ( )
A． a : b = 6 : 7
1 1
B． : =7:6 C．
a b
a 7 = b 6
1 1
D．a =b
7 6
2. 如果 x ， y 都不为零，且 2 x = 3 y ，那么下列比例中正确的是( )
A．
x
y
=
2
3
B．
x
3
=
y
2
C．
x
2
=
3
y
D．
x
3
=
2
y
3. 根据 a b = c d 改写成的比例是( )
A．a:d =b:c B．a:b=c:d C．a:c=d:b
4. 能与 2 : 3 组成比例的是( )
A． 6 : 9 B． 9 : 6
1 1
C． : D．
2 3
1 .2 : 1 .5出门测
1．（2021•青浦区期末）下列图形，一定相似的是 ( )
A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形 D．两个菱形
2．（2021•普陀区期末）在一幅地图上，如果用9厘米表示甲地到乙地 1080米的实际距离，
那么这幅地图的比例尺是 ( )
A． 1 : 1 2 0 B．1:1200 C．1:12000 D． 1 : 1 2 0 0 0 0
3．（2021•金山区期末）已知
a
b
=
2
3
，那么下列等式中成立的是 ( )
A． 2 a = 3 b B．
a
b
+
+
1
1
=
3
4
a+b 5
C． = D．
b 3
a −
b
b
=
1
3
4．（2021•杨浦区期末）已知点 P 是线段 A B 上的一点，线段 A P 是 P B 和 A B 的比例中项，下
列结论中，正确的是 ( )
PB 5+1 PB 5+1 AP 5−1
A． = B． = C． = D．
AP 2 AB 2 AB 2
A
P
P
B
=
5
2
− 1
5．四边形ABCD和四边形 A B C D 是相似图形，点 A 、 B 、 C 、 D 分别与 A 、 B 、 C 、
D 对应，已知 B C = 3 ， C D = 2 .4 ， B C = 2 ，那么 C D 的长是_________．
6．（2021•奉贤区校级期中）已知：线段 a 、 b 、 c ，且
a
3
=
b
4
=
c
5
．
（1）求
a +
3
2
c
b
的值；
（2）如线段 a 、b、 c 满足 3 a − 4 b + 5 c = 5 4 ，求 a − 2 b + c 的值．出门测Plus
1. 若 a ， b ， c 是非零实数，并满足
a + b
c
− c
=
a − b
b
+ c
=
− a +
a
b + c
，且
(a+b)(b+c)(c+a)
x= ，求
abc
x 的值．
2. 若
2 b +
a
2 c
=
2 a +
b
2 c
=
2 a +
c
2 b
= k ，求直线 y = k x + k 经过的象限．【初三 02A】
入门测
1．下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是 ( )
A．两个等边三角形
B．有一个角是100的两个等腰三角形
C．两个矩形
D．两个正方形
2．在比例尺是 1 : 2 0 0 0 0 0 0 的地图上，量得甲、乙两城相距 1 2 .5 c m ，一辆汽车以每时 8 0 k m 的
速度行驶，从甲城开往乙城需要的时间是 ( )
A．2.35小时 B．3.5小时 C．3.25 D．3.125
3．若
x
2
=
y
3
，则
x +
y
y
的值为 ( )
A．
3
2
B．
2
3
5
C． D．
2
5
3
4．已知点 P 是线段 A B 的黄金分割点 ( A P P B ) ，若AB=10，则 A P 的长约为 ( )
A．0.382 B．0.618 C．3.82 D．6.18入门测Plus
1．已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为 2 5 、55，则另一个三角形
的最大内角的度数为________．
2．已知 a = 3 0 ， b = 6 0 ， c = 1 2 0 ．
（1）求 a 与 b 的比；
（2）如果 a ， b ， c ， d 成比例，求d的值；
（3）如果 x:y= y:z ，则 y 叫作 x 和z的比例中项．那么 b 是a和c的比例中项吗？为什么？
3. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点 G
将线段 M N 分为两线段 M G ， G N ，使得其中较长的一段 M G 是全长MN 与较短的一段 G N
的比例中项，即满足
M
M
G
N
=
G
M
N
G
=
5
2
− 1
，后人把
5
2
− 1
这个数称为“黄金分割”数，把点
G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在 A B C 中，已知 A B = A C = 3 ， B C = 4 ，若 D ，
E 是边 B C 的两个“黄金分割”点，则ADE的面积为 ．出门测
1．如图，在ABC中，DE//BC，若
A
A
D
B
=
3
5
AE
，则 的值为
CE
( )
2 3
A．3 B． C． D．
3 2
5
3
2．如图，在 R t A B C 中， A C = B C ， C D ⊥ A B 于点 D ， E 为BC中点， C D 、 A E 交于点 G ，
则下列结论中不一定正确的是 ( )
A． A G = 2 E G
B． C G =
2
3
C D
C． D G : A D = 1 : 3
D． A D G 的面积 = 四边形BEGD的面积
3. （2020•黄浦区期末）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6，则该三角形的
重心到其直角顶点的距离是 ．
4．如图，已知点F 在AB上，且 A F : B F = 1 : 2 ，点D是 B C 延长线上一点， B C : C D = 2 : 1 ，
连接 F D 与 A C 交于点 N ，求FN:ND的值．出门测Plus
1. 如图，在 A B C 中， D 在 A C 边上， A D : D C = 1 : 2 ， O 是 B D 的中点，连接 A O 并延长交
BC于点 E ，若 B E = 1 ，则EC的长为 ( )
?
A．2 B．2.5 C．3 D．4
2．（2021•黄浦区期末）如图，在 A B C 中，中线 A D 、 B E 相交于点 O ，如果 A O E 的面积
是4，那么四边形 O E C D 的面积是____________．
3. 如图， A D 是 A B C 的中线．
①若 E 为 A D 的中点，射线CE交 A B 于点 F ，则的值
A
B
F
F
为 ；
②若E为 A D
AE 1 AF
上的一点，且 = ，射线CE交AB于点F ，则 的值为 ．
DE k BF【初三 03A】
入门测
1．如图，DE//BC，则下列比例式错误的是( )
A．
A
B
D
D
=
D
B
E
C
AD AE AB AC
B． = C． = D．
BD EC BD EC
A
A
D
B
=
A
A
E
C
2．如图， A B C 中，三条中线 A D ， B E ， C F 相交于点 O ，若 A B C 的面积是10，则 O C D
的面积是 ( )
5
A．2 B．1.5 C． D．5
3
3. （2022•浦东三林中学期末）如图，已知 D E / / B C ，且 D E 经过 A B C 的重心 G ，若
B C = 6 c m ，那么 D E 等于______ c m ．
4．如图，G是 A B C 的重心，若S =30，则图中阴影部分面积是_________．
ABC入门测Plus
1. 如图， O A B 是等腰直角三角形， A O B = 9 0 ， O A = O B = 3 2 ，点 C 、 D 分别在边 O A 、
OB上，且CD//AB，已知CDE是等边三角形，且点 E 在OAB形内，点G是CDE的重
心，那么线段 O G 的取值范围是 ．
2．已知：如图，ABC中， D 在AC上，且 A D : D C = 1 : 2 ， E 为BD的中点， A E 的延长线
交 B C 于 F ，
求证： B F : F C = 1 : 3 ．出门测
1．（2021•青浦区一模）如图，已知 A B / / C D / / E F ，它们依次交直线l 、l 于点
1 2
A 、 C 、
E 和点 B 、 D 、 F ．如果 A C : C E = 2 : 3 ， B D = 4 ，那么 B F 等于( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2021•青浦区一模）如图，点 D 、 E 分别在 A B C 的边 A B 、 B C 上，下列条件中一
定能判定DE//AC的是( )
A．
A
D
D
B
=
B
C
E
E
B．
B
A
D
D
=
B
E
E
C
AD CE
C． = D．
AB BE
B
B
D
A
=
D
A
E
C
3．已知 A B C 中，点 D 、E分别在边AB和AC的反向延长线上，若
A
A
D
B
=
1
3
，则当
A
E
E
C
的值是_________时， D E / / B C ．4．（2021•宝山区期中）如图，已知直线 l1 、 l2 、 l3 分别截直线 l4 于点 A 、 B 、 C ，截直线
l5 于点 D 、 E 、 F ，且l //l //l ．
1 2 3
（1）如果 A B = 3 ， B C = 6 ， D E = 4 ，求 E F 的长；
（2）如果 D E : E F = 2 : 3 ， A C = 2 5 ，求 A B 的长．出门测Plus
1. 如图，在 A B C 中， D 是 AC 的中点， B A C 的角平分线 A E 交 B D 于点 F ，若
B F : F D = 3 : 1 ， A B + B E = 3 3 ，则 A B C 的周长为 ．
2．如图，已知 M 、N为ABC的边BC上的两点，且满足BM =MN =NC，一条平行于AC
的直线分别交AB、 A M 、 A N 的延长线于点 D 、 E 、 F ，则
E
D
F
E
= ．【初三 04A】
入门测
1．如图，已知直线a//b//c，直线 m 、 n 与 a 、b、 c 分别交于点 A 、C、 E 、 B 、 D 、
F ，若 A C = 8 ， C E = 1 2 ，BD=6，则BF的值是( )
A．14 B．15 C．16 D．17
2．（2020•静安区一模）在 A B C 中，点 D 、 E 分别在边BA、 C A 的延长线上，下列比例
式中能判定 D E / / B C 的为 ( )
A．
B
D
C
E
=
A
A
B
D
B．
A
A
C
D
=
A
A
B
E
AC AB
C． = D．
CE BD
A
A
C
B
=
B
C
D
E
3．点 D 、 E 分别是 A B C 的边 A B 、 A C
AD 3
的反向延长线上的点，如果 = ，当
BD 5
A
A
E
C
的
值是___________时，DE//BC．
4．（2020•金山区校级月考）已知，如图 l1 / / l2 / / l3 ， A B = 3 ， B C = 5 ， D F = 1 6 ，求 D E
和EF的长．入门测Plus
1．如图， A B / / E F / / C D ，已知 A C + B D = 2 4 0 ， B C = 1 0 0 ， E C + E D = 1 9 2 ，求 C F ．
2．如图，设
B
C
D
D
= p ，
C
A
E
E
= q ，
A
F
F
B
= r ，求
C
Q
Q
F
、
B
P
P
E
．出门测
1．如图，在 A B C 中，点D、E分别在边AB、 A C 上， D E / / B C ， A C D = B ，那么图
中一定相似的三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
2．如图，下列条件中，不能判定 A C D ∽ A B C 的是 ( )
A． A D C = A C B B． B = A C D C．ACD=BCD D．
A
A
C
B
=
A
A
D
C
3．如图，在 A B C 中， B = 9 0 ， A B = 2 ， B C = 2 ，以 A C 为边作 A C E ， A C E = 9 0 ，
A C = C E ，延长 B C 至点 D ，使 C D = 3 ，连接 D E ．
求证：ABC∽CED．出门测Plus
1．如图， C D 是 R t A B C 斜边 A B 上的中线， A B = 5 ， B C = 3 ，点 E 、 F 在边 A C 上，连接
D E ， D F ，当 D E F ∽ D B C 时，线段 C F 的长为 ．
2. 如图，在RtABC中，已知ACB=90，AC=3，BC=4，动点 D 从点 A 出发沿射线AC
方向以每秒 2 个单位的速度运动，点E是边 B C 的中点，连接 D E ．设点 D 运动的时间为 t
秒．求当 t 取何值时， A B C 与 C D E 相似？写出所有的情况．【初三 05A】
入门测
1．如图，如果BAD=CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABC∽ADE的
是 ( )
A． B = D B． C = A E D
AB DE
C． = D．
AD BC
A
A
B
D
=
A
A
C
E
2．如图， A B C 的高 A D ， B E 相交于点 O ，写出一个与 A O E 相似的三角形，这个三角
形可以是 __________．
3．如图，在四边形 A B C D 中， A D / / B C ， A B C = 9 0 ， A D = 2 ， B C = 6 ， A B = 7 ，点
P是线段 B A 上的一个动点，连接 P C 、 P D ．若 P A D 与 P B C 是相似三角形，则满足条
件的点 P 有__________个．入门测Plus
1. 如图，在 A B C 纸板中， A C = 8 ， B C = 4 ， A B = 1 0 ， P 是 A C 上一点，过点 P 沿直线剪
下一个与ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么 A P 长的取值范围是 ．
2. 如图，在四边形 A B C D 中， A D / / B C ， A D B C ， A B C = 9 0 ，且 A B = 3 ，点 E 是边
A B 上的动点，当ADE， B C E ， C D E 两两相似时，则 A E = ．出门测
1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 A B C 相似的是 ( )
A． B． C． D．
2．在ABC中，CD是 A B 上的高．由下列条件不一定能推出ACB=90的是 ( )
A．B+ACD=90 B． C D 2 = A D D B
AC CD
C． = D．A=DCB
BC DB
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形 O A B C 的两边分别在 x 轴和 y 轴上， O A = 1 0 厘米，
O C = 6 厘米，现有两动点 P ， Q 分别从 O ， A 同时出发，点 P 在线段OA上沿 O A 方向作匀
速运动，点 Q 在线段 A B 上沿 A B 方向作匀速运动，已知点 P 的运动速度为每秒1 厘米．设
点 Q
1
的运动速度为每秒 厘米，当
2
C O P 和 P A Q 相似时，求运动时间t．出门测Plus
1．根据下列条件能判断ABC和 D E F 相似的是 ( )
A．A=52，B=58，E =58，F =60
B． C = 7 8 ， E = 7 8 ，
A
B
C
C
=
D
D
E
F
C． A = F = 9 0 ， A C = 5 ， B C = 1 3 ， F D = 1 0 ， E D = 2 6
D． A B = 1 ， A C = 1 . 5 ， B C = 2 ， E F = 8 ， D E = 1 0 ， F D = 1 6
2. 如图，四边形ABCD中，AB//CD，B=90，AB=1，CD=2，BC=m，点 P 是边
B C 上一动点，若PAB与 P C D 相似，且满足条件的点P恰有2个，则 m 的值为 ．【初三 06A】
入门测
1．如图，在84的矩形网格中，每个小正方形的边长都是 1，若ABC的三个顶点在图中
相应的格点上，图中点 D 、点 E 、点 F 也都在格点上，则下列与 A B C 相似的三角形是( )
A．ACD B． A D F C．BDF D．CDE
2．下列命题中，说法正确的个数是 ( )
（1）两个等边三角形一定相似；
（2）有一个角相等的两个菱形一定相似；
（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
（4）两边及第三边上的中线对应成比例的两三角形相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，点 P 在ABC的边 A C 上，要使ABP∽ACB，还需添加条件：____________．（填
写一个即可）入门测Plus
1．在下列条件中不能判定 A B C 与DEF 相似的是 ( )
A． D = 4 0 ， E = 8 0 ， A = 6 0 ， B = 8 0
B．A=D， A B : A C = D F : E F
C． B = E = 9 0 ， B C : E F = A C : D F
D． A B = 1 ， B C = 2 ，CA=1.5， D E = 6 ， E F = 4 ， F D = 8
2．在平面直角坐标系中，已知 O A = 1 2 c m ，OB=6cm，点 P 从点O开始沿OA边向点 A 以
2 c m / s 的速度移动，点Q从点 B 开始沿BO边向点 O 以 1 c m / s 的速度移动，如果 P 、Q同
时出发，用 t ( s ) 表示移动的时间 ( 0 t 6 ) ．
（1）当 t 为何值时，四边形 P A B Q 的面积为 3 1 c m 2 ；
（2）当 t 为何值时， P O Q 与 A O B 相似．出门测
1. 如果两个相似三角形的相似比为 2 : 3 ，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三
角形的周长为_________cm．
2. （2020•松江区一模）如果两个相似三角形对应边的比为 1 : 4 ，那么它们的周长比是 ( )
A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:16
3. （2022•徐汇区四中期末）如图所示， A B C 中， D E / / B C ， A B = 9 ， D B = 3 ，则
A D E 与四边形DBCE的面积比是_______．
4. （2021•静安区市西初级期中）如图，在ABC中， A D 是BC上的高， A D = B C = 1 2 ，
如果矩形 P Q M N 内接于ABC中，点 P 、N分别在边AB、 A C 上，点 Q 、 M 在BC上，
那么矩形 P Q M N 的周长为________．出门测Plus
1. 如图，在ABC中， D ， E 分别是 B C ， A B 上的点，且 B = A D E = D A C ，如果 A B C ，
E B D ， A D C 的周长分别记为 m ， m
1
， m
2
，则
m
1
+
m
m
2 的最大值是 ．
2. 如图，在四边形 A B C D 中， A C 与 B D 相交于点 O ， A B C = D A C = 9 0 ，
A
B
B
C
=
1
2
，
B
O
O
D
=
4
3
，则
S
S
A
C
B
B
D
D
= ．【初三 07A】
入门测
1. （2020•长宁区期末）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5:4．那么这两个三
角形的周长之比为__________．
2. （2020•浦东新区月考）有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形
的最短边为4，则第二个三角形的周长为_________．
3. （2022•虹口区期中）如图，梯形 A B C D 中， A D / / B C ，对角线 A C 与 B D 相交于点
O ，S =9，
AOD
S
B O C
= 1 6 ，则 A O B 的面积为_______．入门测Plus
1. （2020•浦东新区期末）如图，矩形 D E F G 的边EF在 A B C 的边 B C 上，顶点D、 G 分别
在边 A B 、 A C 上，已知 A B C 的边 B C 长60厘米，高 A H 为40厘米，如果 D E = 2 D G ，那
么 D G = ______厘米．
2. 如图，在四边形ABDC中， A = D = 9 0 ，AC=DC=3， B C = 5 ，若点 M ，点 N 分别
在 A B 边和 C D 边上运动，且 A M = D N ，连接 M N ，则 M N 的最小值为 ．出门测
1．（2022•杨浦区校级月考）下列判断不正确的是 ( )
A． A B + B A = 0
B．如果AB=CD，那么 | A B |= | C D |
C． a + b = b + a
D．如果非零向量 a = k b ( k 0 ) ，那么 a / / b
2．（2022•浦东新区校级期中）已知a ， b 非零向量，且 | a + b |= | a | + | b | ，则一定有 ( )
A．a=b B．a//b，且a ，b 方向相同
C． a = − b D． a / / b ，且a ， b 方向相反
3．（2022•松江区校级期中）已知向量 e 为单位向量，则 | − 3 e |= _______．
4．（2021•金山区期末）计算：
1
2
( a − 2 b ) + 2 b = _________．
5．（2021•闵行区期中）如图，已知两个不平行的向量 a 、b ．先化简，再求作：
5
2
b − a −
1
2
( b − 4 a ) ．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）出门测Plus
1．（2021•浦东新区期末）如图，在 A B C 中，点D、E分别在边AB、 A C 上， D E / / B C ，
且 D E =
2
3
B C ．
（1）如果 A C = 6 ，求AE的长；
（2）设 A B = a ， A C = b ，求向量 D E （用向量a 、 b 表示）．
2. 已知：如图，在平行四边形 A B C D 中，对角线 A C 、 B D 相交于点 O ，点M、 N 分别在边
A O 和边 O D 上，且 A M =
2
3
A O ， O N =
1
3
O D ，设 A B = a ，BC =b ，试用a、b 的线性组合
表示向量OM 和向量 M N ．【初三 08A】
入门测
1．（2021•徐汇区期中）下列判断正确的是 ( )
A．如果 | a |= | b | ，那么 a = b
B．如果 a = k b ( k 0 ) ，那么 a 与 b 方向相同
C． a + b = b + a
D． a − a = 0
2．（2021•宝山区期中）已知 | a |= 3 ， | b |= 4 ，且 b 与 a 方向相反，如果用向量 b 表示向量
a ，那么结果是 ( )
A． a =
3
4
b B． a = −
3
4
b
4
C．a= b D．
3
a = −
4
3
b
3．（2021•闵行区期末）e为单位向量，a 与e的方向相同，且长度为2，那么a=__e．
4．（2021•青浦区期末）计算： 3 a − 2 ( a − 2 b ) = __________．入门测Plus
1．（2021•普陀区校级月考）如图，已知两个不平行的向量 a 、 b ．
先化简，再求作： (
7
2
a + b ) − (
3
2
a + 2 b ) ．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）
2．（2021•宝山区一模）如图，已知在四边形 A B C D 中， F 是边 A D 上一点， A F = 2 D F ，
B F 交 A C 于点 E ，又 A F =
1
4
B C ．
（1）设AB=a，AD=b，用向量 a 、 b 表示向量BF =_______， A C = _______．
（2）如果 A B C = 9 0 ， A D = 3 ， A B = 4 ，求BE的长．出门测
1．（2022•浦东新区期中）在 R t A B C 中， C = 9 0 ，AB=5， A C = 4 ．下列四个选
项，正确的是( )
A． ta n B =
3
4
B． c o t B =
4
3
4
C．sinB= D．
5
c o s B =
4
5
2．（2021•青浦区期末）在RtABC中，C=90，那么cotA等于( )
A．
A
B
C
C
AC BC
B． C． D．
AB AC
B
A
C
B
3．（2021•杨浦区期末）在 R t A B C 中， C = 9 0 ，如果 A = ，AC=1，那么 A B 等
于 ( )
A． s in B． c o s
1
C． D．
sin c o
1
s
4．（2021•青浦区期末）在ABC中， C = 9 0 ，如果 ta n A = 2 ， A C = 3 ，那么BC =
__________．
5．（2021•金山区期末）计算：
s in 4 5
c o s
−
2
ta
6 0
n
4 5
+ 2 c o s 3 0 s in 6 0 ．出门测Plus
1．如图，在 A B C 中， A C B = 9 0 ， A C = 6 ，BC=8， D 是AC上一点，连接BD，将 B D A
沿 B D 翻折至 B D E 处，若 B E 恰好经过点C，则tanABD的值为 ．
2. 如图，地面由相同的正方形地砖铺成，小猫在房间门外阴影部分区域（包括边界）观察房
间内最大视角的正弦值为 ．（不计墙的厚度）【初三 09A】
入门测
1．（2021•闵行区期末）在 R t A B C 中， C = 9 0 ， B C = 4 ， A C = 3 ，那么 A 的三角
3
函数值为 的是
5
( )
A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA
2．（2021•松江区期末）已知在RtABC中， C = 9 0 ，AB=c，AC=b，那么下列结
论一定成立的是 ( )
A．b=ctanA B．b=ccotA C．b=csinA D． b = c c o s A
3．（2021•嘉定区期末）在 A B C 中， C = 9 0 ， c o s B =
1
4
， B C = 4 ，那么 A B =
___________．
4．（2021•崇明区期末）计算： 3 ta n 3 0 + 2 c o s 4 5 − 2 s in 6 0 c o t 4 5 ．入门测Plus
1．如图，在 A B C 中， D C 平分 A C B ， B D ⊥ C D 于点 D ， A B D = A ，若BD=1， A C = 7 ，
则cosCBD的值为 ．
2. 若一个等腰三角形的两条边的边长之比 3 : 2 ，则这个等腰三角形底角的正切值为 ．
3. 如图，点 M ， E ， F 分别在矩形纸片ABCD的边 A B ，BC， A D 上， A B = 5 ， B C = 8 ，
分别沿 M E ， M F 两条不同的直线剪两刀，使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三角形（不
能有重叠和缝隙），则拼成的等腰三角形的底角的正切值为 ．出门测
1．（2021•嘉定区期末）在 A B C 中， A B = A C = 1 0 ， c o s B =
2
5
，那么 B C 的长是 ( )
A．4 B．8 C．2 21 D． 4 2 1
2. （2021•杨浦区期末）已知在 A B C 中， A B = 1 0 ， B C = 1 6 ， B = 6 0 ，那么 A C =
__________．
3．（2021•金山区期末）如图， R t A B C 中， A C B = 9 0 ，D是 A B 的中点， E D ⊥ A B 交
A C 于点E， ta n E B C =
3
4
，求ABE的正切值．出门测Plus
1. （2021•松江区期末）如图，已知 A B C 中， A B = A C = 1 2
3
，cosB= ，
4
A P ⊥ A B ，交
B C 于点 P ．
（1）求 C P 的长；
（2）求 P A C 的正弦值．
2. 如图，在RtABC， B = 9 0 ， D 为 A B 边上的一点，将 B C D 沿 C D 翻折，得到△ B C D ．连
接 A B ， A B / / B C ，若 A B = 8 ， ta n D C B =
1
2
，则 B C = ，点 B 到 A C 边上的距离为 ．【初三 10A】
入门测
1. （2021•黄浦区期中）如图，在 A B C
1
中，sinB= ，
3
ta n C = 2 ， A B = 3 ，则 A C 的长为
( )
A． 2 B．
2
5
C． 5 D．2
2. （2021•崇明区期末）如图，在 A B C 中，AB= AC= 5 ， s in B =
2
5
5
．
（1）求边BC的长度；
（2）求 c o s A 的值．入门测Plus
1. （2021•杨浦区期末）如图，已知在 A B C 中，CD⊥ AB，垂足为点D，AD=2，
B D = 6
2
，tanB= ，点E是边
3
B C 的中点．
（1）求边 A C 的长；
（2）求 E A B 的正弦值．
2. 如图，在矩形 A B C D 中， A B = 4 ，BC=3， M 为对角线BD上的一点（不与点 B 、 D 重
合），连接 A M ，过点M作 A M ⊥ M N 交边CD于点N，连接AN．若 B M : B D = 2 : 5 ，则的
tanDAN = ．出门测
1．（2022•奉贤区校级期中）某传送带与地面所成斜坡的坡度为i，如果它把物体从地面送
到离地面10米高的地方，物体所经过的路程为26米，则 i = __________．
2．（2021•青浦区期末）如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口
C ( A C / / B D ) 处测得教学楼顶部 D 的仰角为27，教学楼底部B的俯角为 1 3 ，量得实验楼
与教学楼之间的距离 A B = 2 0 米．求教学楼BD(BD⊥AB)的高度．（精确到0.1米）（参
考数据： s in 1 3 0 .2 2 ， c o s 1 3 0 .9 7 ， ta n 1 3 0 .2 3 ， s in 2 7 0 .4 5 ，cos270.89，
ta n 2 7 0 .5 1 )出门测Plus
1．如图，小明在距离地面33米的 P 处测得 A 处的俯角为 1 5 ， B 处的俯角为 6 0 ．若斜面
坡度为1: 3，则斜坡 A B 的长是 米．
2. 如图，小李为了测量某居民楼 A B 的高度，在楼底端点 B 沿斜坡 B C 走 36 米到达点 C ，
已知斜坡 B C 与地面夹角为 3 0 ，再沿水平方向走 6 米就到达到达点 D ，然后他沿着坡度
i = 1 : 2 .4 的斜坡 D E 走了 52 米到达了点 E ，此时他在点 E 处放置了高度为 1.6 米的测角仪
E F ，在点 F 处测得某楼顶端 A 点的仰角 2 4 ．（参考数据： 3 1 .7 3 ， s in 2 4
2
5
，
c o s 2 4
1
9
0
， ta n 2 4
4
9
)
（1）求居民楼AB的高度约为多少米；（精确到0.1米）
（2）如图，在 E 处的小李与在 A 处的小明约好在 C D 中点 M 处见面，已知两人的下坡速度
都为 0 .8 m / s ，平地速度为 1 m / s ，居民楼 A B 的电梯运行速度是 7 .2 k m / h ，不考虑电梯的等
待时间和中途进出时间，那么谁会先到达 M ？请说明理由．【初三 11A】
入门测
1. （2021•松江区期末）如图，码头 A 在码头 B 的正东方向，它们之间的距离为10海
里．一货船由码头A出发，沿北偏东 4 5 方向航行到达小岛 C 处，此时测得码头 B 在南偏
西 6 0 方向，那么码头A与小岛 C 的距离是__________海里（结果保留根号）．
2. （2021•金山区期末）如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机
在位于 C 点时距离地面 M N 的高度CH 为30米，测得旗杆顶部 A 点的俯角为30，测得旗
杆底部 B 点的俯角为45，求旗杆的高度．入门测 Plus
如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形 A B C D ，其中 A B = 3 m ，
A D = 1 m ，此时它与出入口 O M 等宽，与地面的距离 A O = 0 .2 m ；当它抬起时，变为平行四
边形 A B C D ，如图3所示，此时， A B 与水平方向的夹角为 6 0 ．
（1）求点B到地面的距离；
（2）在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
（3）一辆高 1 .6 m ，宽 1 .5 m 的汽车从该入口进入时，汽车需要与 B C 保持 0 .4 m 的安全距离，
此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据： 31.73，
3 .1 4 ，所有结果精确到 0 .1 )出门测
1．（2021•嘉定区期末）下列函数中是二次函数的是( )
A． y = x − 1 B． y =
1
x 2
C．y=(x−2)2 −x2 D． y = x ( x − 1 )
2．函数 y = x − 2 和 y = x 2 的图象大致正确的是( )
A． B．
C． D．
3．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① y = a x 2 ；② y = b x 2 ；③ y=cx2；④
y = d x 2 ．则 a 、 b 、 c 、 d 的大小关系为________．
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y = − k x + 1 与二次函数y=x2 +k的大致图象可以是
( )
A． B．
C． D．5. 已知 y = ( 2 − a ) x a 2 − 7 是二次函数，且当x0时， y 随x的增大而增大，求a的值．
出门测Plus
1. 已知二次函数 y = ( k − 1 ) x 2 + 2 x + 1 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是 ．
2. 已知二次函数 y = ( x − 3 ) 2 ．
（1）写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值；
（2）若点 A ( x
1
， y
1
) ， B ( x
2
， y
2
) 位于对称轴右侧的抛物线上，且 x
1
x
2
，试比较 y
1
与 y
2
的
大小关系；
（3）抛物线 y = ( x + 7 ) 2 可以由抛物线 y = ( x − 3 ) 2 平移得到吗？如果可以，请写出平移的方
法；如果不可以，请说明理由．【初三 12A】
入门测
1．（2021•虹口区期末）下列函数中，属于二次函数的是( )
A． y = x 2 + x B． y = ( x − l ) 2 − x 2 C．y=5x2 D． y =
2
x 2
2． y = − 2 ( x − 1 ) 2 的图象大致是( )
A． B．
C． D．
3．如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是：① y = a
1
x 2 ；② y = a
2
x 2 ；③ y = a
3
x 2 ；
则 a
1
、 a
2
、 a
3
的大小关系是_________．4．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y = m x + n 与二次函数 y = n x 2 + m 的大致图象可以是
( )
A． B．
C． D．
入门测 plus
1. 若关于 x 的函数 y = ( m + 2 ) x m 2 + m − 4 是二次函数，其图象开口向下，求 m 的值．
2. 已知y=mxm2−m是x的二次函数．
（1）当 m 取何值时，该二次函数的图象开口向下？
（2）在（1）的条件下：
①当 − 2 x 3 时，求 y 的取值范围；
②当 − 4 y − 1 时，求 x 的取值范围．出门测
1．（2022•静安区期中）如果将抛物线 y = 2 x 2 − 1 向左平移1个单位，那么所得新抛物线的
表达式是( )
A． y = 2 x 2 B． y = 2 ( x + 1 ) 2 − 1 C．y=2x2 −2 D． y = 2 ( x − 1 ) 2 − 1
2．（2021•崇明区一模）已知二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 的图象如图所示，那么下列结论
中正确的是 ( )
A． a c 0 B．当 x − 1 时， y 0 C．b=2a D． 9 a + 3 b + c = 0
3．（2021•浦东新区校级期末）已知点 A ( − 7 , m ) 、 B ( − 5 , n ) 都在二次函数 y = −
1
3
x 2 + 4 的图象
m 上，那么 、 n 的大小关系是： m _____ n ．（填“”、“ = ”或“ ” )
4．（2021•嘉定区期末）抛物线 y = ( m + 3 ) x 2 + x − 1 在对称轴右侧的部分是上升的，那么 m
的取值范围是________．出门测Plus
1. 已知二次函数 y = a ( x − t ) 2 + m ( a 0 ) 的图象经过点 M ( x
1
， y
1
) ， N ( x
2
， y
2
) ，若 2 x
1
3 ，
3 x
2
4 ，都有 m y
1
y
2
，则 t 的最大值为 ．
2. 已知二次函数 y = m ( x − 2 ) 2 − 3 ( m 0 ) 的图象与 x 轴交于点 A ( a , 0 ) ，B(b,0)．
（1）当 a = − 3 时，求 b 的值．
（2）当 a 0 b 时，求 m 的取值范围．
（3）若 P ( a + 1 , p ) ，Q(b+1,q)两点也都在此函数图象上，求证： p + q 0 ．【初三 14A】
入门测
1.．（2021•崇明区期末）将抛物线 y = 2 x 2 向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是 ( )
A． y = 2 x 2 + 3 B． y = 2 ( x + 3 ) 2 C． y = 2 ( x − 3 ) 2 D． y = 2 x 2 − 3
2. （2021•松江区期末）已知二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 的图象如图所示，那么下列判断
正确的是 ( )
A． b 0 ， c 0 B． b 0 ，c0 C． b 0 ， c 0 D．b0， c 0 ．
3. （2021•青浦区期末）如果抛物线 y = a x 2 + b x + c （其中a、b、c是常数，且 a 0 ) 在对
称轴左侧的部分是下降的，那么 a 0．（填“”或“” )
4. （2022•青浦区校级期中）抛物线 y = ( a − 1 ) x 2 − 2 x + 3 在对称轴左侧，y随 x 的增大而增大，
则 a 的取值范围是 ．入门测Plus
1．抛物线y=x2 −2x+c经过点(2,1)．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y=x2 −2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如
果 A B = 2 ，求新抛物线的表达式．
2. 定义：在平面直角坐标系中，点 P ( x , y ) 的横、纵坐标的绝对值之和叫做点 P ( x , y ) 的勾股
值，记 [ P ] = | x | + | y | ．若抛物线 y = a x 2 + b x + 1 与直线 y = x 只有一个交点 C ，已知点 C 在第
一象限，且 2 [ C ] 4 ，令 t = 2 b 2 − 4 a + 2 0 2 4 ，则 t 的取值范围为 ( )
A． 2 0 2 3 t 2 0 2 4 B．2020 t 2021 C．2021 t 2022 D． 2 0 2 2 t 2 0 2 3出门测
在平面直角坐标系 x O y 中（如图），已知抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a 0 ) 的图象经过点 B ( 4 , 0 ) 、
D(5,3)，设它与 x 轴的另一个交点为A（点 A 在点 B 的左侧），且 A B D 的面积是3．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求 A D B 的正切值
出门测Plus
如图，在平面直角坐标系中，直线 y = x + 2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点B，抛物线
y=ax2 −x+c经过点A，B．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点 P ，使 P A B 的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
