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专题11 空间几何体的表面积与体积
1、（2023年全国乙卷数学(理)）已知圆锥PO的底面半径为 ，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，
，若 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
2、（2023年全国甲卷数学（文））在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3、（2023年全国甲卷数学（理））在四棱锥 中，底面 为正方形，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
4、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.
已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面
的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上
升到157．5m时，增加的水量约为（√7≈2.65）（ ）
A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3
5、【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球
面上，则该球的表面积为（ ）
A．100π B．128π C．144π D．192π
6、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，
， ，点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为7、（2023年新课标全国Ⅰ卷）（多选题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容
器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）在正四棱台 中， ，则该棱台的体
积为________．
9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边
长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
10、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点， .
（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .题组一、空间几何体的表面积
1-1、（2023·云南玉溪·统考一模）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半
球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米
需要涂200克，则共需涂胶（ ）克（精确到个位数）
A．176 B．207 C．239 D．270
1-2、（2023·安徽·统考一模）在三棱锥 中， 底面 ，则三
棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1-3、（2023·江苏·统考三模）已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底
面半径为 ，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
1-4、（2021·山东日照市·高三二模）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面
都有广泛的应用．如图，A，B，C是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧AB,BC,CA ABC
分别为 ，由这三条劣弧组成的图形称为球面 ．已知地球半径为R，北极为点N，P，Q
20 60 △NPQ
是地球表面上的两点．若P，Q在赤道上，且经度分别为东经 和东经 ，则球面 的面积为
__________．
题组二、空间几何体的体积
2-1、（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等
的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），
则该容器的容积为（ ）
A． B． C． D．
2-2、（2023·云南·统考一模）三棱锥 中， 平面 ， ．若 ， ，则该
三棱锥体积的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D． .
2-3、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体
作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或
平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除 如图所示，底面 为正方形， ，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为
（ ）
A． B． C． D．
2-4、（2022·江苏如东·高三期末）已知三棱锥P－ABC的外接球半径为4，底面ABC中，AC＝6，∠ABC＝
60°，则三棱锥P－ABC体积的最大值是（ ）
A． B． C．24π D．
2-5、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、
园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截
面）是底边边长为 ，顶角为 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． B． C． D．
题组三、球的切接问题
3-1、（2023·安徽黄山·统考三模）如图，球 的表面积为 ，四面体 内接于球 ， 是边
长为 的正三角形，平面 平面 ，则该四面体体积的最大值为（ ）A． B． C． D．
3-2、（2023·云南红河·统考一模）（多选题）三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O上，且PA⊥底面ABC，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．球心O在三棱锥的外部
C．球心O到底面ABC的距离为2 D．球O的体积为
3-3、（2023·湖南邵阳·统考三模）三棱锥 中，PA⊥平面ABC，
，则三棱锥 外接球的表面积为__________.
题组四、计算的综合性问题
4-1、（2023·江苏南通·统考一模）（多选题）在棱长为2的正方体 中， 与 交于点
，则（ ）
A． 平面
B． 平面
C． 与平面 所成的角为
D．三棱锥 的体积为
4-2、（2023·安徽·统考一模）（多选题）在平行六面体 中，已知 ，
，则（ ）A．直线 与 所成的角为
B．线段 的长度为
C．直线 与 所成的角为
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
4-3、（2023·安徽合肥·统考一模）（多选题）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线
长为 ，高为 ．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（ ）
A．三角形 面积的最大值为
B．三棱锥 体积的最大值
C．四面体 外接球表面积的最小值为11
D．直线SP与平面 所成角的余弦值的最小值为
1、【2022·广州市荔湾区上学期调研】若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积
为（ ）
A. B. C. D.2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落
内，容器与地面所成的角为 ，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点 ， 到容器底部的距离分别是12和
18，则容器内液体的体积是（ ）
A． B． C． D．
3、（2023·江苏南京·校考一模）某圆锥母线长为2，底面半径为 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得
截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
4、（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，正八面体的棱长为2，则此正八面体的表面积与体积之比为（
）
A． B． C． D．
5、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）（多选题）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，
折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，
大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆
的半径分别是1和3，且 ，则该圆台（ ）A．高为 B．表面积为
C．体积为 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为
6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多选题）正方体 的棱长为2，且 （ ），
过P作垂直于平面 的直线l，分别交正方体 的表面于M，N两点，下列说法正确的
是（ ）
A． 平面 B．四边形 的面积的最大值为
C．若四边形 的面积为 ，则
D．若 ，则四棱锥 的体积为
7、（2023·安徽·校联考三模）已知四面体 的四个顶点都在球 的球面上， 是边长为2的等边
三角形， 外接圆的圆心为 ．若四面体 的体积最大时， ，则球 的半径为
______；若 ，点 为 的中点，且 ，则球 的表面积为______．
